Repetisjon: Sampling. Repetisjon: Diskretisering. Repetisjon: Diskret vs kontinuerlig. Forelesning, 12.februar 2004

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Repetisjon: Sampling. Repetisjon: Diskretisering. Repetisjon: Diskret vs kontinuerlig. Forelesning, 12.februar 2004"

Bjarte Andreassen
6 år siden
Visninger:

1 Repetisjon: Diskret vs kontinuerlig Forelesning,.februar 4 Kap i læreboken. Anta variabelen t slik at a < t < b, (a, b) R sampling og rekonstruksjon, i tids- og frekvensdomenet Nyquist-Shannons samplingsteorem oversampling undersampling, aliasing og folding Variabelen t er kontinuerlig dersom aksen har uendelig oppløsning, så t kan ta enhver verdi innenfor grensene. diskret dersom aksen har endelig oppløsning, så settet med verdier innenfor grensene er begrenset. INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK Repetisjon: Sampling Repetisjon: Diskretisering Gitt endelig presisjon kan vi ikke representere kontinuerlige variable fullstendig, hverken i tid eller verdi (amplitude). Sampling Tiden t diskretiseres, vi ser på verdien av x(t) kun ved bestemte tidspunkt Kvantisering Amplituden til funksjonen x(t) diskretiseres til bestemte nivåer Vi konsentrerer oss om sampling, og vil benytte en sinusoid på formen x(t) = A cos(ωt + φ) som det kontinuerlige signalet x(t). Å sample et kontinuerlig-tid (analogt) signal x(t) vil si å ta prøver av signalverdien ved bestemte tidspunkt nt s, gitt n =...,,,,,,... Det samplede signalet er en indeksert sekvens av signalverdier x[n] = x(nt s ) = A cos(ωt s n + φ), der T s kalles samplingsperioden, og f s = /T s er samplingsraten. Sekvensen x[n] er en diskret-tid (digital) representasjon av x(t). x(t) sampler (C til D omformer) x[n] T s INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4

2 Sampling av en cosinus Diskret-tid signaler x(t) = A cos(ωt), A = 3, ω = 4π x[n] = x(nt s ), T s = /5 s Signaler som er diskrete i tid kan oppstå på to måter:. Ved sampling, x[n] = x(nt s ). Ved beregning direkte fra en formel, f.eks. x[n] = n 3 + n 3 3 Plot av x (t) = A cos(ω t) og x [n] = x (n T s ) = A cos(ω T s n), gitt A = 3, ω = 4 π Kontinuerlig signal 5 sampler per periode Samplet sekvens Uansett refererer vi ofte til leddene i sekvensen som sampler. amplitude tid [s] INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 Informasjonstap ved sampling Gitt verdier av det samplede x[n] for n [, N]. Normalisert vinkelfrekvens Vi sampler en cosinus x[n] = x(nt s ) = A cos(ωnt s + φ) = A cos( ˆωn + φ) Kan vi da si noe om T s, eller om ω og φ for x(t)? Eksempel Gitt N = 6; for ˆω =.4 og ˆω =.5. 3 ω T s =.4 Den normaliserte vinkelfrekvensen er definert som ˆω ωt s = ω f s, med radianer som enhet. x [n] Tidsindeks (n) 3 ω T s =.5 x [n] Tidsindeks (n) INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8

3 Informasjonstap ved sampling II Vi har to samplede diskret-tid sinuoider og x [n] = cos( ˆω n) = cos(ω nt s, ) x [n] = cos( ˆω n) = cos(ω nt s, ) Dersom ˆω = ˆω er, for alle n, x [n] = x [n]. Eksempel For sekvensen x [n] har vi ω = 3π, T s, = 5 s, mens x [n] gis ved ω = π, T s, = 6 s Det er klart at ˆω = ˆω =.π Aliasing alias adv (lat. ellers ) den samme som; også kalt. Kjartan Fløgstad a- K. Villum To signaler x [n] = cos(.3π n) og x [n] = cos(4.3π n) har diskret-tid frekvensene og vi ser at ˆω =.3π og ˆω = 4.3π x [n] = cos(4.3π n) = cos(.3π n + 4π n) = cos(.3π n) =x [n] x [n] er et annet navn på signalet x [n], altså et alias. På samme måte er ˆω et alias for ˆω. Finn nok en aliasfrekvens til ˆω =.3π. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK Eksempel, gitt ω =.3π, ω = 4.3π og Ts = s. x (t) = cos(.3π t) x (t) = cos(.3π t) x 3 (t) = cos(4.3π t) x [n] = x [n] = x 3 [n] Amplitude Tid (s) INSTITUTT FOR INFORMATIKK Uendelig mange aliasfrekvenser Gitt en sinusoid x[n] = A cos( ˆω n + φ) har vi følgende aliasfrekvenser ˆω, ˆω + πl, πl ˆω, l et heltall Dette følger av likheten A cos( ˆω n + φ) = A cos(( ˆω + πl)n + φ) = A cos((πl ˆω )n φ) INSTITUTT FOR INFORMATIKK

f max. Nyquist-raten (kritisk sampling): f s = f max. Foldingsfrekvensen: f = f s /. Eksempel Hørbart frekvensområde for mennesker ligger mellom Hz og Hz, så f max = khz.

4 Samplingsteoremet Hvor ofte må vi sample for å kunne rekonstruere det originale, analoge signalet? Shannons samplingsteorem Et kontinuerlig-tid signal x(t) med høyeste frekvens f max kan rekonstrueres eksakt fra samplet versjon x[n] = x(nt s ), hvis samplingsraten f s = /T s tilfredsstiller f s > f max. Nyquist-raten (kritisk sampling): f s = f max. Foldingsfrekvensen: f = f s /. Eksempel Hørbart frekvensområde for mennesker ligger mellom Hz og Hz, så f max = khz. Shannon og Nyquist Harry Nyquist ( ) ble født i Sverige, men emigrerte til USA og tok utdannelse der. Nyquist formulerte samplingsteoremet allerede i 98, i sitt arbeid "Certain topics in telegraph transmission theory". Det ble imidlertid ikke formelt bevist før av Claude Shannon (96-) i 949. Shannon regnes som informasjonsteoriens far. Hans forskning la grunnlaget for den senere digitale kommunikasjonsrevolusjonen. Både Nyquist og Shannon var tilknyttet Bell Laboratories i en årrekke, der de utførte mye av sin forskning. CD-lyd samples med f s = 44. khz, og oppfyller således samplingsteoremet ettersom f s > f max. Også kjent som Nyquist-Shannons samplingsteorem effektiv lagring, transmisjon og representasjon av informasjon INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4 Ideell rekonstruksjon Samplingsteoremet stiller krav som muliggjør rekonstruksjon av x(t) fra x[n], som gjøres ved D-til-C konvertering. x[n] Ideell D til C omformer x(t) Ideell rekonstruksjon II Ved sampling finner vi uendelig mange diskret-tid aliasfrekvenser av ˆω, nemlig ˆω, ˆω + πl, πl ˆω, l et heltall Vi forventer x(t) = x[n] f s = /Ts n=fst < n <, men dette holder bare når x(t) er en sum av sinusoider. En virkelig D-til-A omformer må også fylle inn verdier mellom samplingspunktene nt s, en prosess som involverer interpolering. Hvilken diskret-tid frekvens ˆω velges ved rekonstruksjon (ideell D-til-C omformer)? Regelen er at den frekvenskomponenten nærmest ˆω = (principal alias i boken) velges. Denne er garantert å alltid oppfylle π < ˆω pa π. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6

5 Valg av samplingsrate f s Vi sampler signalet Sampling sett fra frekvensdomenet Spektret til signalet x(t) = A cos(ω t + φ) består av to spektralkomponenter, beliggende ved ±ω og med komplekse amplituder Ae±jφ. Vi sampler x(t) med f s x[n] = x(n/f s ) = A cos ( (ω /f s )n + φ ) til sekvensen x(t) = A cos(ω t + φ) x[t] = A cos(ω nt s + φ) = A cos( ˆωn + φ) Oversampling, f s > f max Signalet x(t) kan gjenvinnes fra sekvensen av sampler. Pga ikke-ideelle komponenter er f s gjerne en del større enn f max x[n] har spektrallinjer ved ˆω = ±ω /f s, men også ved aliasfrekvensene ˆω = ω /f s + πl l =, ±, ±,... ˆω = ω /f s + πl l =, ±, ±,... Sistnevnte kalles foldede aliasfrekvenser. Kritisk sampling, f s = f max Signalet x(t) kan i noen tilfeller gjenvinnes fra sekvensen av sampler. Eksempelvis bevares frekvensinformasjonen i cos(πf t) gjennom sampling og rekonstruksjon med f s = f, mens den går tapt ved sampling av sin(πf t) med samme rate. Test selv! Undersampling, f s < f max Kan ikke ikke rekonstruere x(t) fra samplene, undersampling fører til aliasing og folding. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8 Oversampling ω = π Hz og f s = 5 Hz ˆω =.4π + πl l =, ±, ±,... ˆω =.4π + πl l =, ±, ±,... Aliasing som følge av undersampling ω = π Hz og f s = 8 Hz ˆω =.5π + πl l =, ±, ±,... ˆω =.5π + πl l =, ±, ±,... Sampling av en Hz sinusoid ved f s = 5 Hz. Sampling av en Hz sinusoid ved f s = 8 Hz INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK

6 Aliasing som følge av undersampling ω = π Hz og f s = Hz ˆω = πl l =, ±, ±,... Folding som følge av undersampling ω = π Hz og f s = 5 Hz ˆω =.6π + πl l =, ±, ±,... ˆω =.6π + πl l =, ±, ±,....5 Sampling av en Hz sinusoid ved f s = Hz. Sampling av en Hz sinusoid ved f s = 5 Hz INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK Illustrasjon av frekvensfolding Maksimal rekonstruerbar frekvens Definisjonen av ˆω er ˆω = ω T s = ω f s Frekvensen på signalet x(t) økes lineært fra 4 til 4 Hz på 4 sekunder. Samplingsfrekvensen er 3 Hz, slik at maksimal rekonstruerbar frekvens er 5 Hz. En ideell C-til-D omformer plukker aliasfrekvensen ˆω nærmest null, slik at 5 π < ˆω π. Omregning til analog frekvens ( fs ) f = ˆω π Frequency Da ser vi at f s < f f s Time INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4

Like dokumenter

Forelesning, 23.februar INF2400 Sampling II. Øyvind Ryan. Februar 2006

Forelesning, 23.februar INF2400 Sampling II. Øyvind Ryan. Februar 2006 INF2400 Februar 2006 INF2400 Innhold Delkapitlene 4.4-4.6 fra læreboken, 4.3 er til selvstudium. Repetisjon om sampling og aliasing Diskret-til-kontinuerlig omforming Interpolasjon med pulser Oversamling