Konvolusjon og filtrering og frevensanalyse av signaler

Transkript

1 Høgskolen i Østfold Avdeling for informasjonsteknologi Fag IAD33505 Bildebehandling og mønstergjenkjenning Laboppgave nr 2 Konvolusjon og filtrering og frevensanalyse av signaler Sarpsborg Ny oppgave Log LMN Log, LMN Rev. Dato. Beskrivelse. Skrevet av Kontrollert Godkjent Fil : Skrevet ut av : i :23 Antall sider : 8

2 Labkjøring: Alle gruppene må senest ha kjørt oppgaven i uke 4. Presentasjon og skriftlig innlevering etter gjennomført laboppgave. Dette er likt for alle laboppgavene med mindre annet er beskrevet særskilt i oppgaven. Presentasjonsdel: Straks etter at gruppen har gjennomført laben, skal gruppen gi en muntlig presentasjon, en slags miniforelesning (trening mot hovedprosjekt), av laboppgaven. Maks. 30 min. Gruppen avtaler tidspunkt og sted med faglærer. Alle i gruppen skal delta i presentasjonen! Alle bilder som gruppen har tatt, skal inngå i presentasjonen (se også skriftlig del). Alle spørsmål i oppgaveteksten skal besvares (se også skriftlig del). Følgende spørsmål skal også besvares under presentasjonen: Hvilke problemer møtte dere på underveis? Hvilke forbedringer, eventuelt ny løsningsstrategi, ville bli gjort dersom oppgaven skulle være løst på nytt? Oppgavens vanskelighetsgrad? (1 (lett) 5 (meget vanskelig)). Skriftlig del: Denne delen skal være en skriftlig labbesvarelse i kortversjon. Alle bilder tatt under labkjøringen skal inngå. Pass på at de kommer i kronologisk rekkefølge. Alle spørsmål i laboppgaveteksten skal besvares. Dersom gruppen har skrevet egne MatLabprogrammer, så skal de vedlegges. Til slutt skal rapporten inneholde en konklusjon som oppsummerer oppgaven: hva dere har lært, hvilke problemer oppsto underveis og hvilke forbedringer bør gjøres. Innføring i bildebehandling - HIØ side 2

3 Oppgave A: Konvolusjon og filtrering Oppgave B: Frekvensanalyse av signaler Innledning. Oppgave A tar for seg konvolusjon som en matematisk operator og hvordan denne operatoren henger nært sammen med filtrering av signaler. Oppgave B tar for seg hvordan fouriertransformen kan benyttes som verktøy til å analysere frekvensinnholdet i signaler. Formål. Oppgave A Få forståelse for hvordan konvolusjonsprosessen fungerer på diskrete signaler. Se bruken av konvolusjonen i forhold til sentrale begreper i statistikken. Gi en innføring i filtrering av signaler i form av maskefiltre. Oppgave B Forstå viktigheten av samplingsrate og aliasing ved Nyquist-teoremet. Få forståelse for hvordan fouriertransformen fungerer på diskrete signaler i form av FFT-algoritmen. Utstyr. Datamaskin med installert Mat Lab med toolboksene Image Processing Toolbox (IPC) og Signal Processing Toolbox (SPT). Litteratur. Læreboka: Digital Image Processing using MatLab av Rafael C. Gonzalez, Richard E. Woods, Steven L. Eddins. Innføring i bildebehandling - HIØ side 3

4 Generelt om oppgave A Når vi behandler et generelt signal ved hjelp av et filter, kommer ofte konvolusjonsoperatoren inn i bildet. Vanligvis designer vi et filter som skal anvendes på signalet, for så å konvolvere filteret med signalet. Dersom vi behandler diskrete signaler, vil signalene være digitale, noe som medfører at filtrene også bør være digitale. Slike digitale filtre kalles i noen sammenhenger for maskefiltre. I denne lab-øvingen skal vi bli kjent med noen av disse. Oppgave A. Del 1 Konvolusjon La oss til å begynne med generere et enkelt diskret signal, x, som består av seks punkter som 1 alle har verdien 1/6. På denne måten blir x en vektor, x = [ 1, 1, 1, 1, 1, ]. Hvis vi plotter denne i MATLAB ved bruk av kommandoen plot med bare x som argument, vil de seks verdiene til x plottes som funksjon av indeksene i vektoren (heltallene 1 til 6). Gjør dette. Denne funksjonen er en gyldig diskret sannsynlighetsfordeling, p ( x) =, siden 1 x i= p( ) = 1 x i Som en illustrasjon, kan vi tenke oss at denne fordelingen representerer en seks-siders terning, hvor hver av heltallene fra 1 til 6 har en sannsynlighet for utfall på P 1 = 1/ 6. Sett at vi nå har to terninger og ønsker en sannsynlighetsfordeling, p 2( x), for hvordan et terningkast med to terninger fordeler seg. Det kan vises at fordelingen generelt kan beregnes ved p2( x) = p1 ( x) p1 ( x) hvor * markerer diskret konvolusjon. Utfør denne konvolusjonen ved bruk av kommandoen conv i MATLAB og plot resultatet, p 2( x), med et argument og punktmarkering. Hvis dette er gjort riktig, skal dere få et plot med 11 punkter fordelt i en trekantformasjon. Forklar hvorfor resultatet gir akkurat 11 punkter. Trekantformasjonen representerer da fordelingsfunksjonen for et kast med to terninger, men med en liten feil i plottet som vi ikke har tatt hensyn til. Hva er denne feilen, og hvordan korrigerer vi den? Lag deretter en fordelingsfunksjon for terningkast med tre og fire terninger. Kommenter hvordan fordelingskurven forandrer seg etterhvert som flere terninger kommer til. Et av de viktigste og mest forunderlige resultatene innen statistikk er det såkalte sentralgrenseteoremet som sier at summen av et uendelig antall gyldige fordelingsfunksjoner går mot en normalfordeling. Dette vil altså si at hvis vi fortsetter med å konvolvere en større mengde fordelingsfunksjoner med hverandre, vil kurven nærme seg en normalfordeling. Innføring i bildebehandling - HIØ side 4

5 Verifiser dette eksperimentelt med minst 30 terninger. Prøv også å plotte en ekte tilpasset normalfordeling i samme plott som terningene for å se etter avvik. Figur 1: Todimensjonal fordelingskurve fremkommet fra konvolusjon av 16 identiske uniformfordelinger. Til slutt i denne delen av oppgaven skal vi se at konvolusjonsoperatoren ikke bare er begrenset til en enkelt dimensjon, men enkelt kan utvides til to dimensjoner. La derfor vektoren x bli en matrise med 6 x 6 elementer på samme måte som for en dimensjon. Hvilken skaleringsfaktor for x må benyttes for at p(x, x) = x skal være en gyldig to-dimensjonal uniform fordelingsfunksjon? I MatLab må funksjonen conv2 benyttes for konvolvering av matriser. Denne funksjonen fungerer ellers på samme måte som conv. Verifiser sentralgrenseteoremet for det to-dimensjonale tilfellet og illustrer dette. Plottekommandoene som kan benyttes er for eksempel mesh, surf, surfl, shading, colormap, osv. Klarer dere å få til et plott slik som vist i figur 1? Del 2 Filtrering Nå som dere har fått et innblikk i hvordan konvolusjon foregår, skal vi bevege oss inn på realistiske anvendelser av konvolusjon i forhold til filtrering. Filtrering foregår ofte ved konvolusjon av et bilde og et maskefilter. Vi skal bruke tre ulike maskefiltre som ofte benyttes i bildebehandling. I det følgende skal vi benytte er syntetisk bilde (se figur 2) som kan hentes på følgende : \\Leia\apps\Bildeb\syntetisk.jpg. Les inn bildet ved kommandoen imread i MatLab. Den første masken er et lavpassfilter: Bruk et 3 x 3-gjennomsnittmaskefilter. Det betyr at skarpe kanter og raske intensitetsvariasjoner dempes. Konvoler denne masken med det innhentete bildet. Hva skjer? Prøv også å utvide maskefilteret til et 7 x 7-gjennomsnittmaskefilter. Hva skjer med de skraverte områdene i det syntetiske bildet? Kommenter resultatet. De to neste maskene er en kantdetektor eller et høypassfilter og en linjedetektor: Bruk hver av de to 3 x 3-sobeloperatorene, den i x-rening og den i y-retning. Prøv disse to maskene hver for seg og kommenter resultatene i forhold til linjer og kanter i det syntetiske bildet. Er Innføring i bildebehandling - HIØ side 5

6 det noen vinkler som disse operatorene har spesielt problemer med? Til slutt slå sammen disse to sobel-operatorer til en operator. Prøv dette maskefilteret på det syntetiske og sammenlikn med MatLabs innebygde kantdetektor under kommandoen edge. Hva er best? Figur 2: Bildefilen Syntetisk.tif som inneholder diverse syntetiske geometriske figurer. Generelt om oppgave B Fouriertransformen har sine historiske røtter helt tilbake til 1700-tallet, hvor matematikere lette etter et verktøy for å innhente informasjon om frekvensinnholdet i forskjellige signaler. En funksjon som beskriver frekvensinnholdet til et signal kalles ofte for spekteret til et signal. Siden fouriertransformen gir oss slike spektra til signaler, kalles ofte et fouriertransformert signal for spekteret til signalet. Fouriertransformen er fortsatt den vanligste metoden som benyttes i frekvensanalyse, selv om andre kraftigere analysemetoder har blitt oppdaget i de senere årene. (jfr. Wavelets, osv.) I denne delen av lab-oppgaven skal vi introdusere en av de fire variantene av fouriertransformen, nemlig den som transformerer diskrete signaler til diskrete spektra, også kjent som FFT-algoritmen. Del 1 Nyqvist-teoremet og aliasing Fouriertransformen har mange kompliserte aspekter, så det er viktig at alle deler følges nøye i denne delen av oppgaven. Vi skal begynne helt enkelt med et signal som vi kjenner frekvensinnholdet til. Sinusoidale Innføring i bildebehandling - HIØ side 6

7 signaler er velkjente funksjoner som vi enkelt kan bestemme frekvensinnholdet til. Et generelt sinusoidalt signal kan skrives på formen: f ( t ) = sin(2 π v t 0 ) (1) I likning (1) lar vi signalet, f(t), være en funksjon av tid hvor t beregnes i sekunder. I frekvensanalyse er det vanlig å la v representere frekvensen, målt i Hertz (Hz = 1/ s). På denne formen kan vi bestemme svingefrekvensen til signalet ved å sette inn forskjellige verdier for frekvensen, v 0. Vi får også frem lengden av en hel periode, P, målt i sekunder, gitt ved P = / v. 1 0 Test dette for dere selv ved å generere 200 verdier for t mellom 0 og 1 som benyttes som input til funksjonen gitt i likning (1) når v 0= 20. Plott f(t) som funksjon av t og verifiser at svingefrekvensen v 0 og perioden P gir reultater som forventet. I dette eksempelet genererte vi et diskret signal ved å danne N = 200 punkter som tilnærming til funksjonen i likning (1). Selv med bare N = 200 punkter ser sinusfunksjonen pen og glatt ut når den plottes. Dersom vi kun benyttet N = 10 punkter for t er det lite trolig at kurven hadde blitt like glatt, kanskje ikke korrekt i det hele tatt. Vi kan da spørre oss hva sammenhengen er mellom antall samplingspunkter for t og den korrekte gjengivelsen av signalet. Svaret gis ved det såkalte Nyqvist-teoremet, som sier at vi må benytte en samplingsrate for vårt diskrete signal som er minst det dobbelte av den høyeste frekvensen representert i signalet, for at alle frekvenser skal taes med. Grensefrekvensen kalles ofte for Nyqvist- Shannon-frekvensen. Hvor mange verdier for t bør vi da ha for at vår svingefrekvens på v 0 = 20 skal ivaretas? Verifiser svaret ditt ved å prøve forskjellige antall samplinger i intervallet fra t = 0 til t = 1. Prøv spesielt totalt N = 30 samplinger og legg merke til at vi da får en 'falsk' svingekurve. Fenomenet med slike 'falske' svingekurver kalles aliasing. Kan det forklares hvorfor en CD-spiller har en samplingsrate på Hz? Del 2 Fouriertransformen Slik som vi så i oppgave A, kunne vi la det kontinuerlige signalet, f(t), diskretiseres ved å diskretisere den kontinuerlige variabelen t, slik at den ble erstattet av nt, hvor n = 0,1,..., N - l og T er tidsintervallet mellom hver sampling. 'Vi kan betrakte n som tellevariabel for samplingene. På denne måten omgjorde vi signalet f(t) til bare å være definert som et sett punkter, fn = f(nt), for 200 verdier av n: f ( t ) = sin(2 π v t 0 ) f ( t) = sin(2π v nt ) 0 n = 0, 1,, 199. Med denne notasjonen skal vi se hvordan vi kan fouriertransformere et diskret signal. Den diskrete fouriertransformen, DFT, for et diskret signal fn defineres vanligvis ved likningen1 jωnt F ( j ) = f n e. n= ω (2) Innføring i bildebehandling - HIØ side 7

8 Likning (2) er egentlig definert for et uendelig antall samplinger, siden summen over n går fra til. Dette løses ved å la funksjonen være null utenfor intervallet hvor vi har definert signalet. ω representerer frekvens, målt i radianer pr. sek, slik at ω = 2πv. Vi legger merke til at denne transformen har flere matematiske komponenter enn det vi strengt tatt behøver i vår anvendelse, frekvensanalyse. Transformen involverer det komplekse tallet j = 1, samt at vi også får ut negative frekvenser. Til vårt bruk er ingen av disse komponentene nødvendige, spesielt ikke siden negative frekvenser ikke gir noen fysisk mening (på samme måte gir negativt areal jo heller ingen mening...). MabLab har denne transformen implementert i form av en algoritme som kalles Fast Fourier Transform (FFT), og er definert ved N jωnt F ( j ) = f n e. ω (3) n= i Prøv å fouriertransformer det sinusoidale signalet fra Del l ved kommandoen fft(signal, N), hvor N = 200 er det totale antallet samplingspunkter. Hvis dere nå sjekker 'workspace' (kommandoen whos) i MatLab, vil dere se at det fouriertransformerte signalet nå ligger lagret med N punkter i et komplekst array. Hvis dere prøver å plotte det transformerte signalet, F ( jω), vil plottet se svært merkelig ut, siden MatLab nå vil plotte komplekse mot reelle verdier, noe som ikke gir noen mening. Som nevnt tidligere, er vi ikke interessert i å kikke på de komplekse verdiene, derfor plotter vi normalt F ( jω) i stedet. Gjør dette. Fra plottet som nå fremkommer, vil dere sannsynligvis oppdage en viss symmetri rundt verdien N /2, noe som skyldes negative frekvenser. Siden vi ikke er interessert i disse, plotter vi kun de N /2 første punktene, som representerer de positive frekvensene vi er ute etter. Til slutt må vi skalere frekvensaksen (x-aksen), slik at den nå representerer frekvenser målt i Hz. Vi har totalt N/2 antall punkter som dermed må skaleres fra 0 til Nyqvist/Shannonfrekvensen som er lik 1/2T. Dersom dere har gjort alt riktig, vil dette plottet nå representere spekteret til f(t). For vårt sinusoidale signal med svingefrekvens v = 20 og N = 200 definert fra t = 0 til t = 1, dvs. et sekund, skal frekvensaksen gå fra v = 0 til v = 100, og plottet vise en markant 'peak' rundt svingefrekvensen v = 20. Når dere har fått alt til å stemme, kan dere teste med andre signaler, for eksempel summere flere sinusoidale signaler og se at dette gir flere 'peaks' i spekteret. En annen test dere kan gjøre er å generere en sinusoidal funksjon som svinger på 440 Hz og spille denne av slik at den kan høres i høyttalerne (kommandoen sound i MatLab). Innføring i bildebehandling - HIØ side 8