Bruk av tidsvindu. Diskret Fourier-transform. Repetisjon: Fourier-transformene. Forelesning 6. mai 2004

Transkript

1 Repetisjon: Fourier-transformene Forelesning 6. mai 4 Spektralanalyse Pensum i boken: 3-4 til 3-5. Diskret tid Kontinuerlig tid Diskret frekvens DFT, X[k] Fourierrekker, {a k } Kontinuerlig frekvens DTFT, X(e j ˆω ) CTFT, X c (jω) Oversikt Bruk av tidsvindu før sampling, beregne CTFT Bruk av tidsvindu etter sampling, beregne DTFT Fourier rekker {a k } øk perioden mot uendelig, gir kontinuerlig frekvens CTFT, X(j ω) Overgang til DFT Invers DFT diskretiser frekvensen j ω^ DTFT, X(e ) diskretiser tiden, sampling DFT, X[k] INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK Diskret Fourier-transform X[k] L n x[n]e j(π/n)kn for k,,..., N DFT er en funksjon av en frekvensindeks k, som relateres til en CTFT-frekvens ω k ved ( NTs ) k ω k π I DFT inngår bare et endelig segment av det samplede signalet I DFT evalueres spektret bare ved et diskret sett med frekvenser Generelt antas det at N L. Bruk av tidsvindu For å beregne en DFT kreves et sekvens x[n] med endelig lengde. Hvis x[n] har uendelig lengde må vi velge et endelig utsnitt, en prosess som kan representeres ved å multiplisere x[n] med en vindussekvens w[n]. En mulig w[n] er firkantvinduet n N w[n] ellers Ved å se x[n] gjennom vinduet w[n] får vi den endelige sekvensen x[n] x[n] w[n]x[n], definert for n N Det vi beregner DFT for er altså den endelige x[n], ikke den uendelige x[n]. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4

2 Anta at x[n] er samplet fra et kontinuerlig-tid signal x c (t). Vinduet kan legges på enten x[n] (etter sampling) eller x c (t) (før sampling). x (t) c x (t) c C til D omformer w c(t) T s /fs ~ x(t) x[n] C til D omformer T s /fs w[n] ~ x[n] DFT ~ X(e jω kts ) ~ x[n] X(e jω kts ) DFT Alt som kreves er at w[n] w c (nt s ), og vi har at x[n] x c (nt s ) w c (nt s )x c (nt s ) w[n]x[n] Gitt at vi velger det rektangulære vinduet i diskret tid, er det ekvivalente kontinuerlig-tid vinduet gitt som t T w c (t) w R (t) ellers der (L )T s < T < LT s. Spørsmålet er: Hvilken effekt har vindusfunksjonen på Fourier-transformen av signalet? X(e jωkts ) L n med analysefrekvensene w[n]x[n]e jωktsn, ω k πk NT s k N INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 Analyse av en sum av sinuoider Anta det båndbegrensede signalet x c (t) A + A cos(ω t + φ ), < t < A + A ej(ωt+φ) + A e j(ωt+φ) A + X ejωt + X e jωt der X A e jφ Vi husker CTFT-paret e jωt F πδ(ω ω ) Ved å legge på et vindu w c (t), får vi signalet x c (t), som er endelig i tid. x c (t) w c (t)x c (t) A w c (t) + X w c(t)e jωt + X w c(t)e jωt Ettersom multiplikasjon i tidsdomenet gir konvolusjon i frekvensdomenet x(t)y(t) F X(jω) Y (jω) π får vi følgende CTFT for x c (t) så signalet x c (t) har CTFT X c (jω) πa δ(ω) + πx δ(ω ω )+ πx δ(ω + ω ) X c (jω) π A W c (jω) πδ(ω)+ X π W c(jω) πδ(ω ω )+ X π W c(jω)) πδ(ω + ω ) INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8

3 Innsatt for konvolusjonsintegralet gir det X c (jω) A λ W c (jλ)δ(ω λ) dt + X X λ W c (jλ) δ(ω ω λ) dt + W c (jλ) δ(ω + ω λ) dt λ A W c (jω) + X W c(j(ω ω ))+ X W c(j(ω + ω )) Så, bruk av tidsvindu på en sum av komplekse eksponentialer gir et spektrum sammensatt av frekvensskiftede kopier av W c (jω). Hver kopi er skalert med den komplekse amplituden til det tilhørende komplekse eksponentialet. Det rektangulære vinduet Et kontinuerlig-tid rektangulært vindu t T w R (t) ellers CTFT for dette vinduet er W R (jω) w R (t)e jωt dt k T e jωt dt k [ ] T jω e jωt ( e jωt e jω) jω jω e jωt / ( e jωt / jωt e /) / ( e jωt e jωt / jωt e /) (ω/) j sin(ωt /) jωt / e (ω/) INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK Magnituden til FT for det rektangulære vindu W R (jω) sin(ωt /) e jωt / (ω/) For vindusbreddene T og T > T.5 Firkantvinduet w R (t), T s.5 Firkantvinduet w R (t), T.5 s Bredden på hovedloben er avstanden mellom de to første nullpunktene på hver side av ω. W R (jω) for ω krever at sin(ωt /).5 tid, i sekunder.5 Absoluttverdien av W R (jω).5 tid, i sekunder.5 Absoluttverdien av W R (jω) De to nærmeste nullpunktene finner vi for T ω π og ω π T slik at hovedlobens bredde er T ω+ π ω + π T.5.5 ω ω + ω 4π T 5 5 frekvens ω, i enheter av π Begreper hovedlobe, bredde 5 5 frekvens ω, i enheter av π Et kort/langt vindu gir en bred/smal hovedlobe. sidelobe, høyde INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK

4 Eksempel, rektangulært vindu x c (t) cos(ω t), har Fourier-transformen (CTFT) ω 4π X c (jω) π(.5) δ(ω) +.8π δ(ω 4π)+.8π δ(ω + 4π) π δ(ω) +.8π δ(ω 4π)+.8π δ(ω + 4π).5 Signalet x c (t) cos(π t), i uendelig tid. Gjennom et rektangulært vindu ser vi x c (t) w c (t)x c (t), der vinduets varighet T er valgt slik at ω 3 ω π/t T 3 s amplitude Signalet x c (t) cos(π t), i uendelig tid og sett gjennom et firkantvindu amplitude tid, i sekunder a k tid, i sekunder π Fourier transform av x c (t) med uendelig lengde π.8π Vi vet at Fourier-transformen er X(jω) A W R (jω) + X W R(j(ω ω ))+ X W R(j(ω + ω )) som i dette tilfellet gir X(jω).5 W R (jω) +.4 W R (j(ω 4π))+.4 W R (j(ω + 4π)) INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4 Vi finner W R (jω) for to valg av vindusvarighet T, og plotter magnituden til X(jω).5 W R (jω) +.4 W R (j(ω 4π))+.5.4 W R (j(ω + 4π)) Spektrum av individuelle komponenter, T 3 s.5 Spektrum av individuelle komponenter, T s Plottene gir topper plassert ved frekvensene i x c (t) med høyde proporsjonal med amplituden til korresponderende komplekst eksponential.5.5 Tidsvinduet reduserer frekvensoppløsningen, sett i forhold til det ideelle tilfellet med CTFT Sum av spektrum for individuelle komponenter Sum av spektrum for individuelle komponenter Kortere vindu gir bredere hovedlobe i W c (jω), og følgelig også for de skiftede kopiene i X(jω) Hovedlobene i eksemplet er ω 3 4π/3 og ω 4π brede, henholdsvis for T 3 og T sekunder. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6

5 For kort tidsvindu Frekvensoppløsning Vi finner frekvensene i signalet hvis hovedlobene til de skiftede versjonene av W c (jω) ikke overlapper. Hovedloben til det rektangulære vinduet er ω 4π/T bred. Overlapp unngås dersom frekvenskomponentene ligger minst så langt fra hverandre. Vi finner W R (jω) for to nye vinduslengder, T.8s og T.4s, og plotter så magnituden til X(jω). Spektrum av individuelle komponenter, T.8 s Spektrum av individuelle komponenter, T.4 s I eksemplet lå frekvensene med en avstand på d ω 4π. Det er større enn ω 4π/3, så T 3 gir intet overlapp. Gitt T er det såvidt hovedlobene ikke overlapper, da er nemlig ω d ω 4π. 5 5 Sum av spektrum for individuelle komponenter Sum av spektrum for individuelle komponenter INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8 Hamming-vindu, CTFT Hamming-vindu En ulempe med det rektangulære vinduet er at sidelobene er relativt høye, og kan forveksles med hovedlober for komponenter med lav amplitude. Resultatet er at vi tror signalet inneholder frekvenser som ikke er der, noe som ikke er ønskelig. En vindusfunksjon med lavere sidelober er Hamming-vinduet, men dette oppnås på bekostning av en bredere hovedlobe. Vinduet er gitt som cos( π T w H (t) t) t T ellers Fourier-transformen (CTFT) til Hammingvinduet er W H (jω) [ T w H (t)e jωt dt ( cos( π T t)) e jωt dt.54 jω e jωt e jωt (.46 ( jω) + ( π jω cos( π T ) T t)+.54 ω( j e jωt ) +.46 jω ( ) ( π e jωt T ) ω π T sin(π T t) )] T (.54 j.46 jω )( ) + ω ( π e jωt T ) ω INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK

6 w H (t) Hamming vindu, T s tid t (s) CTFT av et endelig tid Hamming vindu, magnitudeplott Eksempel, Hamming-vindu Vi finner Fourier-transformen X(jω) for det avkortede signalet x c (t) x c (t) w H (t)x c (t) der w H (t) er Hamming-vinduet og signalet er x c (t) cos(ω t), ω 4π.6 W H (jω) frekvens, i enheter av π/t I tidsdomenet avtar w H (t) mot nær grensene t og t T, uten det plutselige endringen som firkantvinduet har. Resultatet er X(jω).5 W H (jω) +.4 W H (j(ω 4π))+.4 W H (j(ω + 4π)) Spektrum for avkortet x c (t), T 3 s og Hamming vindu Vi ser at hovedloben er dobbelt så bred som for firkantvinduet, ω 8π/T, men til gjengjeld er sidelobene nærmest usynlige på dette plottet. Her gjelder også at et kort/langt vindu gir en (relativt) bred/smal hovedlobe INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK Eksempel, Hamming-vindu Hvis vi øker lengden på vinduet blir toppene i spektret skarpere, hovedloben blir smalere. Hvis vi gjør vinduet kortere blir loben bredere og frekvensoppløsningen dårligere. Plottene viser signalets spektrum for T 6 s og T.8 s..5 Spektrum for avkortet x c (t), T 6 s og Hamming vindu Frekvensoppløsning For at alle frekvenser i en sum av sinusoider skal være synlige i et spektrum må frekvensoppløsningen være fin nok. Frekvensoppløsningen er bestemt av hovedlobebredden ω, som igjen er bestemt av vinduslengden T. Den minste avstanden d ω mellom to frekvenser i signalet bestemmer da vinduslengden, ved at ω d ω Spektrum for avkortet x c (t), T.8 s og Hamming vindu For de to vindustypene vi har sett på betyr kravet over rektangulært vindu, med ω 4π/T T R 4π d ω Hamming-vindu, med ω 8π/T T H 8π d ω INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4

7 Overgang til DFT Vi ønsker å beregne spektrum utfra diskret-tid sekvenser, så et system der vinduet legges på etter C-til-D omformeren passer bra. x c(t) C til D omformer T s /fs x[n] w[n] ~ ~ x[n] X(e jω k Ts ) DFT Det gir en DTFT-beregning X(e jωkts ) w R [n]x[n]e jωknts n men kun evaluert ved de N frekvensene ω k πk/nt s for k,,..., N. Notasjonen w R [n] indikerer at vinduet er rektangulært. Merk at vi nå beregner DTFT, ikke CTFT. Ettersom DTFT forholder seg til CTFT som X(e jωts ) T s l X c (j(ω lω s )) forventes spektret å bestå av periodisk repeterte kopier av det sanne CTFT-spektret, med periode ω ω s Vi finner DTFT for det vindusavkortede signalet x[n] w R [n]x[n] ved frekvensskift. X(e jωts ) A W R (e jωts ) + X W R (e j(ω ω)ts )+ X W R(e j(ω+ω)ts ) Her er W R (e jωts ) DTFT av det rektangulære vinduet, gitt ved W R (e jωts ) n w R [n]e jωn L n e jωn (e jω ) L e sin(ωt sl/) L jω sin(ωt s /) e jωts INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 Plottet viser to versjoner av DTFT for det samplede og avkortede signalet x[n], både X(e jωts ) for kontinuerlig frekvens ω X(e jω kt s ) for diskret frekvens ω k πk/nt s. 6 Absoluttverdi av DTFT for kontinuerlig og diskret frekvens, for diskret tid sekvensen x[n]. kontinuerlig frekvens diskret frekvens Diskret Fourier-transform, DFT DTFT til et endelig avsnitt av et samplet signal kan finnes som X(e jωkts ) x[n]e jωktsn k N n Den endelige sekvensen x[n] w[n]x[n] kan være avkortet med et rektangulært vindu, et Hamming-vindu eller en annen vindussekvens periodisk kopi ved ω ω s frekvens ω, i enheter av π rad/s Vi forenkler ved å anta at vinduslengden er N og setter inn for ω k N X(e jπk/(nts)ts ) n x[n]e jπk/(nts)tsn for k N. Dette forenkles til N X(e jπk/n ) n x[n]e jπk/n n og er uttrykket for en diskret Fouriertransform, med notasjon N X[k] x[n]e jπk/n n k N n INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8

8 Invers DFT, bevis Invers DFT DFT kan beregnes fra enhver endelig sekvens, ikke bare de som oppstår ved bruk av et tidsvindu. Det finnes også en invers DFT (IDFT), for å beregne x[n] fra X[k], gitt som x[n] N N k Vi refererer da til DFT som analyselikningen og IDFT som synteselikningen X[k]e jπk/n n n N Vi kaller resultatet fra IDFT for v[n], og sjekker så om v[n] x[n]. v[n] N N N N N k X[k]e jπk/n n ( N N k N m N m m x[m] x[m] x[m]e jπk/n m ) ( N ) e jπk/n (n m) k ( e jπ(n m) e j(π/n)(n m) e jπk/n n ) x[n] INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 DFT, eksempel For sekvensen x[n] {,,, } DFT, oppsummering DFT, analyse N X[k] x[n]e jπk/n n k N n IDFT, syntese N x[n] X[k]e jπk/n n n N k beregner vi en 4-punkts DFT X[k] X[] X[] N x[n]e jπk/4 n k 3 n 3 x[n]e jπ /4 n k 3 n x[]e j + x[]e j + x[]e j + x[3]e j x[n]e jπ/4 n k 3 n x[]e j + x[]e jπ/ + x[]e jπ + x[3]e j3π/ + ( j) + + e jπ/4 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3

9 Fornuftig eksempel Gitt f Hz og f Hz i X[] X[3] 3 x[n]e jπ /4 n k 3 n x[]e j + x[]e jπ + x[]e jπ + x[3]e j3π + ( ) x[n]e jπ 3/4 n k 3 n x[]e j + x[]e j3π/ + x[]e j3π + x[3]e j9π/ + j + + e jπ/4 x(t) cos(πf t) + cos(πf t) Sampling med f s 8 Hz gir x[n] x(nt s ) cos(.5πn) + cos(.5πn) Sekvensen har lengde N 4 8 3, fra n til n 3. En 3-punkts DFT beregnes av Matlab, ved kall på fft(). 3 Kontinuerlig og diskret tid signal, der x c (t) cos(π t) + cos(4π t) tid i sekunder Tilsammen gir dette de fire DFT-koeffisientene X[k] {, e jπ/4,, e jπ/4 } 4 3 f 4/(3*T s ) Hz DFT av diskret tid sekvensen x[n] f 8/(3*T s ) Hz frekvensindeks k INSTITUTT FOR INFORMATIKK 33 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 34