Fourier-Transformasjoner

Transkript

1 Fourier-Transformasjoner Lars Vidar Magnusson February 5, 2018 Delkapittel 4.1 Background Delkapittel 4.2 Preliminary Concepts Delkapittel 4.3 Sampling and the Fourier Transform of Sampled Functions Delkapittel 4.4 The Discrete Fourier Transform (DFT) of One Variable Delkapittel 4.5 Extension to Functions of Two Variables Delkapittel 4.6 Some Properties of the 2-D Discrete Fourier Transform

2 Fourier Fourier var en fransk matematiker/fysiker som levde på 1700/1800-tallet. Mest kjent for sitt bidrag til signalprosessering. Alle periodiske funksjoner kan beskrives som en sum av sinus og/eller cosinus ved ulike frekvenser ganget med en koeffisient. En slik sum kalles for en Fourier-rekke.

3 Periodiske Signal Bildet under illustrerer konseptet med at en periodisk funksjon kan deles opp i sin/cos-funksjoner. Merk transformasjonen kan utføres begge veier.

4 Fordelen med Filtrering i Frekvensdomenet Fordelen med filtrering i frekvensdomenet kan i hovedsak reduseres til følgende Mer effektivt (kjøretid) Kan være mer intiutivt Hvis vi har et M N bilde og et m n filtermaske (kernel) vil kjøretiden for spatial filtrering bli O(MNmn) Hvis filteret er separabelt får vi O(MN(m + n)) Det tilsvarende i frekvensdomenet er 2MN log 2 MN = O(MN log 2 MN)

5 Fordelen med Filtrering i Frekvensdomenet Vi kan illustrere forskjellen ved å betrakte de to variantene som et forhold. Vi har et bilde M M og et filter m m. Ikke separable C n(m) = M2 m 2 ) 2M 2 log 2 M 2 = m2 4 log 2 M Separable C s(m) = 2M2 m) 2M 2 log 2 M 2 m = 2 log 2 M

6 Fordelen med Filtrering i Frekvensdomenet Disse to funksjonene kan plottes for å illustrere forskjellen.

7 Et Eksempel Under har vi et eksempel på bruk av Fourier-transformasjonen.

8 Et Eksempel Under har vi et annet eksempel på bruk av Fourier-transformasjonen.

9 Teoretisk Bakgrunn - Komplekse Tall Fourier-transformasjonen er bygget på teorien om komplekse tall. Et kompleks tall C er definert som følgende. C = R + ji Hvor R og I er reele tall, mens j er kvadratroten av 1 i.e. j = 1. Den konjugerte av et kompleks tall er definert som følgende. C = R ji

10 Teoretisk Bakgrunn - Komplekse Tall Det kan ofte være nyttig å bruke polarkoordinater når vi jobber med komplekse tall. C = C (cos θ + j sin θ) Hvor C er lengden til vektoren og θ er vinkelen mellom vektoren og den reelle aksen. Vi har da også følgende... og tan θ = I R tan 1 I R = θ

11 Teoretisk Bakgrunn - Komplekse Tall Vi kan også benytte oss av Euler formelen og representere et komplekst tall med... siden C = C e jθ e jθ = cos θ + j sin θ

12 Teoretisk Bakgrunn - Komplekse Tall Alle disse formlene kan også benyttes for komplekse funksjoner. F (u) = R(u) + ji (u) Og den konjugerte er.. F (u) = R(u) ji (u)

13 Teoretisk Bakgrunn - Fourier-Rekker Vi kan nå formelt definere Fourier-rekker på følgende vis. Vi har en periodisk funksjon f (t) som har en periode T. hvor f (t) = n= c n e j 2πn T t c n = 1 T T /2 f (t)e 2πn j T t dt for n = ±1, ±2.... T /2

14 Teoretisk Bakgrunn - Impulssignaler og Siling Impulssignaler og deres silingsegenskaper (sifting properties) er sentrale for forståelsen av Fourier-transformasjonen. En enhetsimpuls for en kontinuerlig variabel t plassert ved t = 0 er definert som... { t = 0 δ(t) = 0 t 0 og den tilfredstiller også følgende identitet. δ(t)dt = 1 Vi har altså en uendelig topp med 0 i lengde, og som har et areal på 1.

15 Teoretisk Bakgrunn - Impulssignaler og Siling Silingsegenskapen til et impulssignal er definert med følgende ligning... f (t)δ(t)dt = f (0) Siling av en funksjon f (t) med et impulssignal gir derfor bare verdien til funksjonen på lokasjonen til signalet. Mer generelt kan vi si at for et impulssignal med en tilfeldig plassering t 0 så får vi følgende. f (t)δ(t t 0 )dt = f (t 0 )

16 Teoretisk Bakgrunn - Impulssignaler og Siling For en diskret variabel x får ligningene følgende utforming. δ(x) = { 1 x = 0 0 x 0 som åpenbart også tilfredstiller identiteten.. δ(x) = 1 Silingsegenskapen blir da... f (x)δ(x x 0 ) = f (x 0 )

17 Teoretisk Bakgrunn - Impulstog Vi kommer til å få bruk for impulssignaler i form av impulstog. Et impulstog s T (t) er summen av uendelig mange periodiske impulssignaler med T avstand. s T (t) = n= δ(t n T )

18 Teoretisk Bakgrunn - Impulstog Impulstog for både kontinuerlig og diskrete variable

19 Fourier-Tranformasjon - En Kontinuerlig Variabel Fourier-transformasjonen for funksjoner med en kontinuerlig variabel t er definert som F{f (t)} = f (t)e j2πµt dt µ og er en kontinuerlig variabel, t integreres bort, vi sitter igjen med bare µ og får derfor F{f (t)} = F (µ). F (µ) = f (t)e j2πµt dt µ angir frekvensen til hvert av delsignalene. Funksjonen kan også skrives som F (µ) = f (t)[cos(2πµt) j sin(2πµt)]dt

20 Fourier-Tranformasjon - En Kontinuerlig Variabel Vi kan bruke den samme forenklede notasjonen på den inverse transformasjonen. f (t) = F (µ)e j2πµt dµ Disse to ligningene utgjør Fourier-transformasjonspar og kan benyttes til konvertere til og fra et frekvensdomene (frequency domain).

21 Fourier-Tranformasjon - Et Eksempel Vi skal se på et enkelt eksempel. Vi har et rektangulært signal.

22 Fourier-Tranformasjon - Et Eksempel Ved litt utregning så får vi følgende. Som gir følgende plot... F (µ) = AW sin(πµw ) πµw

23 Fourier-Tranformasjon - Et Eksempel Som gir følgende plot... Legg merke til.. F (µ) (og F (µ) ) er 0 i posisjoner inverst proporsjonalt med W. Høyden minker med avstanden fra origo De strekker seg uendelig

24 Fourier-Tranformasjon av Impulssignal Fourier-transformasjonen av et impulssignal i origo blir.. F{δ(t)} = F (µ) = δ(t)e j2πµt dt = e j2πµ0 = 1 Hvis vi utvider til et tilfeldig plassert signal får vi... F (µ) = δ(t t 0 )e j2πµt dt = e j2πµt0 = cos(2πµt 0 ) j sin(2πµt 0 )

25 Fourier-Tranformasjon av Impulstog Siden vi kommer til å få bruk for det senere tar vi en titt på Fourier-transformasjonen til et impulstog. Siden impulstoget er periodisk får vi følgende... hvor s T (t) = n= c n e j 2πn T t c n = 1 T T /2 T /2 2πn j s T (t)e T t dt

26 Fourier-Tranformasjon av Impulstog Siden integralet bare ovelapper impulssignalet i origo, kan vi forenkle ytteligere. c n = 1 T = 1 T e0 = 1 T T /2 T /2 2πn j δ(t)e T t dt Vi får da følgende Fourier-rekkeutvidelse for signaltoget s T (t) = 1 T n= e j 2πn T t

27 Fourier-Tranformasjon av Impulstog Fourier-transformasjonen til et impulstog er nyttig når vi skal utlede den diskrete utgaven av Fourier-transformasjonen. Vi må få på plass et par ting først... F (µ) er den transformerte av f (t). Siden F er lik F 1 bortsett fra fortegnet i potensen, så følger det at.. F{F (t)} = f ( µ) Siden den transformerte av δ(t t 0) er e j2πµt 0, så følger det at... F{e j2πt 0t } = δ( µ t 0) Hvis vi sier at a = t 0 så kan vi også si følgende... F{e j2πat } = δ(µ a)

28 Fourier-Tranformasjon av Impulstog Vi kan nå endelig utlede Fourier-transformasjonen til impulstoget s T (t). S(µ) = F{s T (t)} { 1 = F T { = 1 T F = 1 T = 1 T n= n= n= n= F } e j 2πn T t } e j 2πn T t {e j 2πn T t} ( δ µ n ) T Vi kan se at Fourier-transformasjonen til et impulstog med periode T er også et impulstog med periode 1/ T.

29 Fourier-Transformasjon og Konvolusjon Konvolusjon for for funskjoner av kontinuerlige variable er definert som... f (t) h(t) = f (τ)h(t τ)dτ La oss se på Fourier-transformasjonen av denne ligningen. F{f (t) h(t)} = = f (τ) f (τ)h(t τ)dτ e j2πµt dt h(t τ)e j2πµt dt dτ Uttrykket i firkantparantesene er Fourier-transformasjonen til h(t τ).

30 Fourier-Transformasjon og Konvolusjon Det kan vises at F{h(t τ)} = H(µ)e j2πµτ dt. Vi kan derfor utlede at... F{f (t) h(t)} = f (τ)[h(µ)e j2πµτ ]dτ = H(µ) f (τ)e j2πµτ dτ = H(µ)F (µ) Dette gir oss følgende relasjoner. f (t) h(t) H(µ)F (µ) og f (t)h(t) H(µ) F (µ)

31 Sampling med Impulstog For å kunne arbeide med kontinuerlige funksjoner på en datamaskin må de diskretiseres (se Forelesning 2). Vi kan modellere sampling ved å multiplisere en kontinuerlig funksjon f med et impulstog. f (t) = f (t)s T (t) = n= Hvert komponent f k av denne summen er altså.. f (t)δ(t n T ) f k = f (t)δ(t k T )dt = f (k T )

32 Sampling med Impulstog

33 Fourier-Transformasjonen av Samplede Funksjoner Vi lar som tidligere F (µ) angi Fourier-transformasjonen av en funksjon f (t). Vi så på den forrige sliden at vi kan finne den samplede f (t) ved å multiplisere f (t) med et impulstog. Vi vet også at å multiplisere i spatial-domenet er det samme som å konvolere i frekvens-domenet. F (t) = F{ f (t)} = F{f (t)s T (t)} = F (µ) S(µ) hvor S(µ) er Fourier-tranformasjonen av s T (t)

34 Fourier-Transformasjonen av Samplede Funksjoner Nå kan vi utlede Fourier-tranformasjonen til en samplet funksjon. F (µ) = F (µ) S(µ) = = 1 T = 1 T F (τ)s(µ τ)dτ n= F (τ) F n= ( µ n ) T ( δ µ τ n ) dτ T

35 Fourier-Transformasjonen av Samplede Funksjoner Den siste linjen av ligningen på forrige side er gjentatt under. F (µ) = 1 T n= F ( µ n ) T Den viser oss at Fourier-transformasjonen av en samplet funksjon f er.. en uendelig periodisk sekvens av F (µ) en kontinuerlig

36 Hvordan Velge T Frekvensen til samplingen er kontrollert av T, så hvordan velger vi fornuftig verdi? Hvilke verdier tillater gjenoppretting av f (t)?

37 Hvordan Velge T - Nyquist Teoremet Man kan rekonstruere en kontinuerlig båndbegrenset f (t) dersom 1 2 T > µ max 1 T > 2µ max Dette kalles Nyquist (Sampling) teoremet. Den høyeste frekvensen som kan fanges med en sampling rate på 1/ T er.. µmax = 1 2 T

38 Hvordan Velge T - Aliasing Velger man for lav verdi vil man introdusere aliasing. Høyere frekvenser maskeres som lavere frekvenser

39 Diskret Fourier-Transformasjon (DFT) Nå har vi endelig lagt grunnlaget for å kunne begynne å definere Diskret Fourier-transformasjon (DFT). Vi har uttrykt F (µ) ved hjelp av den transformerte F (µ). Nå skal vi uttrykke den ved hjelp av f (t). F (µ) = f (t)e j2πµt dt = = = n= n= n= f (t)δ(t n T )e j2πµt dt f (t)δ(t n T )e j2πµt dt f ne j2πµn T

40 Diskret Fourier-Transformasjon (DFT) Nå er vi nesten i mål. Vi vet fra tidligere at F (µ) er uendelig periodisk med periode 1/ T. Vi henter ut M samples fra F i intervallet [0, 1/ T ] med følgende frekvenser. µ = m m = 0, 1, 2,..., M 1 M T Dette kan vi sette inn i resultatet fra forrige slide for å bringe oss i mål. F m = M 1 n=0 Dette er uttrykket for DFT. f n e j2πmn/m m = 0, 1, 2,..., M 1 Merk at tar samples i intervallet [0, 1/ T ]. Dette gjøres for at notasjonen skal holdes enkel.

41 Diskret Fourier-Transformasjon (DFT) Det gjenstår nå bare å definere Invers Diskret Fourier-Transformasjon (IDFT). f n = 1 M M 1 m=0 F m e j2πmn/m n = 0, 1, 2,..., M 1

42 Diskret Fourier-Transformasjon (DFT) Legg merke til hverken DFT eller IDFT er uttrykt med hverken T eller µ. Vi har brukt m og n, men det kan være mer intuitivt å ta i bruk x og u. F (u) = f (x) = 1 M M 1 x=0 M 1 u=0 Disse utgjør et transformasjonspar. f (x)e j2πux/m u = 0, 1, 2,..., M 1 F (u)e j2πux/m x = 0, 1, 2,..., M 1

43 Diskret Fourier-Transformasjon og Konvolusjon Den diskrete utgaven av konvolusjon er følgende... f (x) h(x) = M 1 m=0 Blir ofte refert til som sirkulær konvolusjon. f (m)(x m) Relasjonene definert for kontinuerlige funksjoner gjelder også for diskrete.. f (t) h(t) H(µ)F (µ) og f (t)h(t) H(µ) F (µ)

44 Forholdet mellom Sampling og Frekvens Intervallene f (x) består av M samples tatt med et mellomrom på T. Dette gir en total på.. T = M T Det tilsvarende intervallet u er... Hele frekvensområdet blir... u = 1 M T = 1 T Ω = M u = 1 T

45 Et Enkelt Eksempel Vi ser på et enkelt eksempel. f (x) = [1, 2, 4, 4]

46 Utvide til To Variable - Impulssignaler og Siling Vi har et to-dimensjonalt impulssignal δ(t, z) som er definert som { if t = z = 0 δ(t, z) = 0 otherwise med areal δ(t, z) dt dz = 1 Vi har den samme silingsegenskapen vi hadde i en dimensjon. Og for et gitt punkt (t 0, z 0 ) så har vi. f (t, z)δ(t, z) dt dz = f (0, 0) f (t, z)δ(t t 0, z z 0 ) dt dz = f (t 0, z 0 )

47 Utvide til To Variable - Diskrete Impulssignaler og Siling Den diskrete utgaven av impulssignalet på forrige slide blir som følger. { 1 if x = y = 0 δ(x, y) = 0 otherwise med areal δ(t, z) = 1 Og silingsegenskapen for et gitt punkt (x 0, y 0 ) blir.. f (t, z)δ(x x 0, y y 0 ) = f (x 0, y 0 )

48 2D Kontinuerlig Fourier-Transformasjon Vi begynner med å se på Fourier-transformasjonsparet for en to-dimensjonal kontinuerlig funksjon f (t, z). og F (µ, ν) = f (t, z)e j2π(µt+νz) dt dz f (t, z) = F (µ, ν)e j2π(µt+νz) dµ dν µ og ν er frekvensvariablene t og z er kontinuerlige spatialvariabler

49 2D Sampling Vi kan modellere sampling ved hjelp av et 2D impulstog. s T Z (t, z) = δ(t m T, z n Z) m= n= hvor T og Z er separasjonen langs henholdsvis t- og z-aksen. Vi finner den samplede utgaven f (t, z) av en kontinuerlig funksjon f (t, z) ved å multiplisere med et 2D impulstog. f (t, z) = f (t, z)s T Z (t, z)

50 2D Sampling - Samplingteoremet En 2D kontinuerlig båndbegrenset funksjon f (t, z) kan rekonstrueres uten tap fra et sett av samples. Dette krever at samplingintervallene er.. og T < 1 2µmax Z < 1 2νmax Dette kalles samplingteoremet (Nyquist). Alternativt Ingen informasjon blir borte hvis man representerer 2D båndbegrenset kontinuerlig funksjon samplet med en frekvens høyere enn to ganger den høyeste frekvensen i funksjonen.

51 2D Diskret Fourier-Transformasjon (DFT) Da kan vi endelig definere Fourier-transformasjonsparet for 2D diskrete funksjoner (DFT). og F (u, v) = M 1 f (x, y) = 1 MN N 1 f (x, y)e j2π(ux/m+vy/n) x=0 y=0 M 1 N 1 F (u, v)e j2π(ux/m+vy/n) u=0 v=0 For diskrete bilder f (x, y) med størrelse på M N. u = 0, 1, 2,..., M 1 og v = 0, 1, 2,... N 1 x = 0, 1, 2,..., M 1 og y = 0, 1, 2,... N 1

52 Et Enkelt Eksempel Vi ser på et enkelt eksempel

53 Forholdet Mellom Spatial- og Frekvens-Intervallene Et digitalt bilde f (x, y) er en samplet utgave av en kontinuerlig funksjon f (t, z). Vi har M N samples tatt med et mellomrom på henholdsvis T og Z. Mellomrommet mellom de korresponderende diskrete frekvens-variablene blir.. u = 1 M T og v = 1 N Z Merk at intervallene i frekvens-domenet er invers-proporsjonale med både intervallstørrelsen i spatial-domenet og antall samples.

54 Translering og Rotering Man kan translere en DFT med... f (x, y)e j2π(u0x/m+v0y/n) F (u u 0, v v 0 ) Man kan translere et bilde med... f (x x 0, y y 0 ) F (u, v)e j2π(ux0/m+vy0/n Med polarkoordinater så har vi følgende... x = r cos θ y = r sin θ u = ω cos ϕ v = ω sin ϕ og vi får dette rotasjonsparet f (r, θ + θ 0 ) F (ω, ϕ + θ 0 )

55 Periodiskhet Både f (x, y) og F (u, v) er periodiske. F (u, v) = F (u + k 1 M, v) = F (u, v + k 2 N) = F (u + k 1 M, v + k 2 N) f (x, y) = F (x + k 1 M, y) = F (x, y + k 2 N) = F (x + k 1 M, y + k 2 N) Dette er et nyttig faktum når vi skal implementere transformasjonen.

56 Flytting av Origo i Frekvens-Domenet Vi foretrekker typisk å flytte origo i frekvensdomenet til (M/2, N/2). Vi skal se senere at dette gjør det enklere å få et riktig inntrykk av frekvensene.

57 Flytting av Origo i Frekvens-Domenet Vi kan flytte origo ved hjelp av translering. Vi kan translere til (M/2, N/2) i frekvens-domenet ved å multiplisere f (x, y) med følgende eksponent. Vi får altså følgende... e j2π([m/2]x/m+[n/2]y/n) = e jπ(x+y) = ( 1) x+y f (x, y)( 1) x+y F (u M/2, v N/2)

58 Symmetri Et viktig resultat fra funksjonsanalyse er at alle reelle og komplekse funksjoner kan skrives som summen av en even (lik) og en odd (ulik) funksjon. w(x, y) = w e (x, y) + w o (x, y) Hvor den like og ulike funksjonen er definert som.. w e (x, y) = w o (x, y) = w(x, y) + w( x, y) 2 w(x, y) w( x, y) 2

59 Symmetri Like funksjoner blir ofte kalt symmetriske. w e (x, y) = w e ( x, y) Ulike funksjoner kalles ofte antisymmetriske. w o (x, y) = w o ( x, y)

60 Diskret Symmetri Det er ikke like intuitivt å visualisere like og ujevne funksjoner av diskrete variable. Like funksjoner blir følgende... w e (x, y) = w e (M x, N y) og ulike blir.. w o (x, y) = w o (M x, N y) M er bredden og N er høyden til et bilde i vårt tilfelle.

61 Diskret Symmetri Vi har følgende resultater fra funksjonsanalyse Produktet av to like funksjoner er en lik funksjon Produktet av to ulike funksjoner er en lik funksjon Produktet av en lik og en ulik funksjon er en ulik funksjon Vi vet også at elementene i en ulik funksjon må summere til 0. Vi får da følgende interessante resultat. M 1 N 1 w e (x, y)w o (x, y) = 0 x=0 y=0

62 Et 1D Eksempel på Lik Funksjon La oss ta en titt på et enkelt eksempel i en dimensjon. f (x) = [2, 1, 1, 1] Vi ser at M = 4, som betyr at f (x) = f (4 x) må være oppfylt for at funksjonen skal være lik. f (0) = f (4) siden 4 faller på utsiden (kan være hva som helst) f (1) = f (3) f (2) = f (2) Vi kan konkludere at funksjonen er lik. Alle funksjoner med 4 elementer må ha følgende form for å være lik. f (x) = [a, b, c, b]

63 Et 1D Eksempel på Ulik Funksjon Under har vi et nytt eksempel. f (x) = [0, 1, 0, 1] Vi ser at M = 4, som betyr at f (x) = f (4 x) må være oppfylt for at funksjonen skal være ulik. f (0) = 0 som er påkrevd f (1) = f (3) f (2) = 0 som er påkrevd for funksjoner hvor M er et partall Vi kan konkludere at funksjonen er ulik. Alle funksjoner med 4 elementer må ha følgende form for å være ulik. f (x) = [0, b, 0, b] Alle funksjoner hvor M er et partall har f (0) = 0 og f (M/2) = 0, mens de resterende bare har f (0) = 0

64 Et 1D Eksempel Vi fant at [0, 1, 0, 1] er ulik, men hva med den tilsynelatende ulike f (x) = [0, 1, 0, 1, 0] Vi ser at M = 5, som betyr at f (x) = f (5 x) må være oppfylt for at funksjonen skal være ulik. f (0) = 0 f (1) f (4) Denne er altså ikke ulik (den er heller ikke ulik).

65 Et 2D Eksempel Det samme gjelder for to dimensjoner Denne er ulik. Hvis vi hadde lagt til en rad og en kolonne hadde den ikke vært hverken lik eller ulik.

66 Symmetriske Egenskaper En mye brukt egenskap er den Fourier-transformerte av en reell funksjon f (x, y) er konjugert symmetrisk (conjugated symmetric). F (u, v) = F ( u, v) Hvis f (x, y) er imaginær så er den Fourier-transformerte konjugert antisymmetrisk. F ( u, v) = F (u, v)

67 Symmetriske Egenskaper f (x, y) real F (u, v) = F ( u, v) f (x, y) imaginary F ( u, v) = F (u, v) f (x, y) real R(u, v) even; I (u, v) odd f (x, y) imaginary R(u, v) odd; I (u, v) even f ( x, y) real F (u, v) complex f ( x, y) complex F ( u, v) complex f (x, y) complex F ( u, v) complex f (x, y) real even F (u, v) real even f (x, y) real odd F (u, v) imaginary odd f (x, y) imaginary even F (u, v) imaginary even f (x, y) imaginary odd F (u, v) real odd f (x, y) complex even F (u, v) complex even f (x, y) complex odd F (u, v) complex odd

68 Fourier-Spektrum og Fasevinkel Siden DFT er kompleks så kan vi utrykke den på polarform F (u, v) = F (u, v) e jφ(u,v) Magnituden til F (u, v) kalles Fourier-spektrum (frekvensspektrum) og kan finnes med.. F (u, v) = [R 2 (u, v) + I 2 (u, v)] 1/2 Fasevinkelen (phase angle) kan finnes med.. [ ] I (u, v) φ(u, v) = arctan R(u, v) Power-spectrum kan finnes med.. P(u, v) = R(u, v) 2 + I (u, v) 2

69 Egenskaper ved Fourier-Spektrum og Fasevinkel Fourier-transformasjonen til en reell funksjon er konjugert symmetrisk. Dette impliserer at Fourier-spektrumet er lik. F (u, v) = F ( u, v) Fasevinkelen er ulik φ(u, v) = φ( u, v)

70 Et Eksempel Under har vi et enkelt bilde og dets Fourier-transformasjon.

71 Et Eksempel Under har vi dets Fourier-transformasjon etter at funksjonen er multiplisert med ( 1) x+y.

72 Et Eksempel Under har vi dets log transformerte Fourier-transformasjon etter at funksjonen er multiplisert med ( 1) x+y.

73 Et Eksempel med Translering Under har vi et lignende bilde, bare translert, og dets Fourier-transformasjon. Merk den Fourier-transformerte er lik som ved det opprinnelige bildet.

74 Et Eksempel med Translering Under har vi et lignende bilde, bare translert, og dets Fourier-transformasjon.