Diagonalisering. Kapittel 10

Transkript

1 Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel og ser på diagonalmatrisen 3 Det er lett å multiplisere D med vektorer i R eller C Men er også enkelt å multiplisere D med seg selv For eksempel får vi D ved D = D D D D [ 3 ( ) = 43 3 Hvis vi prøver samme med A, dvs beregne A for 3 A = 4 3 blir mye mer tidskrevende Fordi er mye lettere å jobbe med en diagonalmatrise, kan vi stille spørsmålet om finnes en diagonalmatrise D og en inverterbar matrise P slik at A = P DP Da ville oppgaven å beregne A blitt mye enklere: A = (P DP ) = P DP P DP P DP = P D P, fordi P P = I, og D er lett å beregne For å finne slike matriser D og P husker vi noen ting om A fra forrige kapittel, nemlig at A har egenverdier λ = 3 og λ = med henholdsvis v = [ 3 og v = som egenvektorer Det betyr at vi har Av = 3v og Av = ( )v En annen måte å skrive disse to ligningene er å skrive egenverdiene på diagonalen i en matrise D og så skrive egenvektorene som kolonnene i en matrise P : 3 3 og P =, slik at AP = P D Nå observerer vi at P er inverterbar med invers P = 8 3 Altså kan vi gange begge sidene av AP = P D med P og får A = P DP Nå kan vi faktisk beregne A k for alle k med formelen A k = P D k P Det vi har gjort i eksemplet er å erstatte en matrise A med en diagonalmatrise, med andre ord har vi diagonalisert A Definisjon Vi sier at en n n-matrise A er diagonaliserbar hvis finnes en diagonalmatrise D og en inverterbar matrise P slik at A = P DP Ikke alle matriser er diagonaliserbare Derfor trenger vi en metode for å sjekke om vi kan diagonalisere A Det gir oss følgende resultat: Teorem En n n-matrise A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer Bevis Først antar vi at A har n lineært uavhengige egenvektorer v, v,, v n og tilhørende egenverdier λ, λ,, λ n For hver egenvektor gjelder Av k = λ k v k Som i eksemplet kan vi organisere disse n ligningene i en matriseligning der og AP = P D, λ λ λ 3 λ n P = [ v v v n

2 Siden v, v v n er lineært uavhengige, er n n- matrisen P inverterbar Det betyr finnes en invers P og vi får A = P DP Med andre ord A er diagonaliserbar Nå antar vi at A er diagonaliserbar med A = P DP der D er en diagonalmatrise og P er en inverterbar matrise La v, v, v n være kolonnene i P og λ, λ,, λ n være tallene som står på diagonalen i D Ligningen A = P DP gir oss en likhet av matriser [ Av Av Av n = [ λ v λ v λ n v n Det viser Av k = λ k v k for alle k Fordi P er inverterbar, må vektorene v, v, v n være lineært uavhengige Især er alle forskjellige fra nullvektoren Det viser at v, v, v n er lineært uavhengige egenvektorer for A Vi fant i forrige kapittel at egenvektorer som hører til forskjellige egenverdier er lineært uavhengige Sammen med teorem gir : Teorem 3 Hvis en n n-matrise A har n forskjellige egenverdier, så er A diagonaliserbar Hvis noen av egenverdiene for A har algebraisk multiplisitet større enn, er fortsatt mulig at A er diagonaliserbar Det vi må undersøke er om er nok lineært uavhengige egenverdier likevel Teorem 4 En n n-matrise A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n egenverdier og dimensjonen til egenrommet til hver egenverdi λ er lik den algebraiske multiplisiteten til λ Merk La A være en reell n n-matrise Det er mulig at A er diagonaliserbar som en kompleks matrise, selv om den ikke er diagonaliserbar som en reell matrise Om A har kun komplekse egenverdier, kan vi ikke finne en passende reell diagonalmatrise Det er også mulig at egenverdiene er reelle, mens de tilsvarende n lineært uavhengige egenvektorene ligger i C n og ikke i R n Da kan vi ikke finne en passende inverterbar reell matrise P, selv om P eksisterer som en kompleks matrise Vi kan reformulere ved hjelp av basiser Teorem En kompleks n n-matrise A er diagonaliserbar hvis og bare hvis finnes en basis for C n som består kun av egenvektorer for A En reell n n-matrise A er diagonaliserbar som en reell matrise hvis og bare hvis finnes en basis for R n som består kun av egenvektorer for A Dette resultatet motiverer følgende definisjon: Definisjon En lineærtransformasjon T : V V kalles diagonaliserbar hvis finnes en basis for V som består kun av egenvektorer for T Da kan vi konkludere fra forrige teoremer og kapitler følgende resultat: Teorem 6 La T : V V være en lineærtransformasjon Vi antar at T er diagonaliserbar og B = (v,, v n ) er en basis som består av egenvektorer Da er matrisen som beskriver T med hensyn på basisen B en diagonalmatrise D med egenverdiene λ,, λ n for T på diagonalen Vi kan tenke på teoremet på følgende måte Hvis T er diagonaliserbar, la B være en basis som består av egenvektorer for T Vi husker fra forrige kapittel at å velge en basis for V gir oss en isomorfi C n = V ved å sende den kte basisvektoren e k i standardbasisen E for C n til den kte basisvektoren i B Så sier teoremet at finnes en diagonalmatrise D slik at er samme i følgende diagrammet om vi går fra nedrevenstre hjørnet først opp og så langs T til høyre eller om vi går først til høyre ved å gange med D og så gå opp (en matematiker sier at diagrammet kommuterer): sende E til B V T D V C n C n sende E til B Det holder å sjekke for basisvektorene: e k C n sendes til v k som sendes til λ k v k av T eller e k sendes først til λ k e k av D og så til λ k v k For V = C n tilsvarer diagrammet likheten A = P DP : Eksempler C n P A D C n P C n C n Vi skal nå se på en rekke eksempler Eksempel 7 Vi har sett på matrisen 8 6 A = 4 6, 4 og vet at egenverdiene for A er og 4 (med algebraisk multiplisitet ) Egenrommet til egenverdi er Sp 3 3 Egenrommet til egenverdi 4 er Sp, Vi ser at vi har tre lineært uavhengige egenvektorer v = 3 3, v = og v 3 = Det betyr at A er diagonaliserbar med diagonalmatrisen 4 4

3 P = 3 3 Eksempel 8 Matrisen har egenverdier λ = ±i {[ i med egenrom Sp til egenverdi i, og egenrom } { Sp til egenverdi i i} Det betyr at A er diagonaliserbar som en kompleks matrise med diagonalmatrise i i P = i i Men vi kan ikke diagonalisere A som en reell matrise Eksempel 9 Vi ser på matrisen A = Egenverdien til A er med algebraisk multiplisitet fordi () λ = ( λ) λ Egenrommet til er nullrommet til matrisen A I = Det er underrommet utspent av vektoren Især er egenrommet endimensjonalt Vi kan altså ikke finne to lineært uavhengige egenvektorer for A Dette viser at A ikke er diagonaliserbar, hverken som reell eller kompleks matrise Eksempel Det samme argumentet viser at matrisen A = ikke er diagonaliserbar, hverken som reell eller kompleks matrise Oppgave: Vi ser på matrisen 3 A = a b a For hvilke reelle tall a og b er A diagonaliserbar? Mer om komplekse egenverdier Når en reell n n-matrise A har komplekse egenverdier er på første øyekast ikke lenger så enkelt å se geometrisk hva virkningen av A på vektorer i R n er Vi skal nå se at ligger ganske mye geometri i bakgunn likevel, i hvert fall for -matriser La C være matrisen a b b a med reelle tall a og b Vi kan beregne egenverdiene for C eller vi kan observere at [ [ a b a bi = = (a bi) b a i b + ai i Altså er i en egenvektor til C med egenverdi λ = a bi Fordi b, vet vi at λ = a [ + bi er den andre egenverdien til C med egenvektor i Hvis vi skriver r = λ = [ a + b for lengden av a vektoren i R b, så kan vi skrive r cos θ sin θ r sin θ cos θ der θ er vinkelen mellom den positive x-aksen og linjen fra origoen til punktet med koordinater (a, b) θ (a, b) r Å gange en vektor v i R med matrisen tilsvarer at vi ganger vektoren med tallet r, med andre r vi strekker eller krymper v med faktoren [ r Å gange en vektor v i R med matrisen cos θ sin θ sin θ cos θ tilsvarer å rotere v om vinkelen θ Altså har vi vist at å gange en vektor v i R med matrisen C tilsvarer å strekke og rotere v Observasjonen at å gange med matrisen C tilsvarer en rotasjonion og en reskalering gjelder faktisk også for andre matriser med komplekse egenverdier Teorem La A være en reell -matrise med kompleks egenverdi λ = a bi, med b, og la v C være en egenvektor som hører til λ Så kan vi faktorisere A A = P CP med P = [ Re v Im v a b og b a Teoremet sier at for å forstå virkningen av A på en vektor x, kan vi skifte koordinater ved P for å få u = P x, rotere og strekke vektoren u ved C og skifte koordinatene tilbake: 3

4 x u P A C rotere/stretche Ax P Cu Eksempel La A være matrisen A = 3 Vi finner egenverdiene til A: () λ = 3 λ ( λ)(3 λ) + = λ 4λ + = (λ ) + = λ = + i eller λ = i Vi finner egenvektorer som hører til egenverdien λ = i Da må vi bestemme nullrommet til matrisen A λi : A ( i)i = i + i + i + i Det viser at v = er en egenvektor for A som hører til egenverdi λ = i Som i teoremet får vi A = P CP med matrisene P = og Symmetriske matriser Definisjon En reell matrise kalles symmetrisk dersom A = A T Eksempel 3 Matrisen er symmetrisk En reell -matrise A er symmetrisk hvis den har formen a b A = b c Vi sjekker om denne matrisen er diagonaliserbar Vi beregner egenverdiene: () a λ b = b c λ (a λ)(c λ) b = λ (a + c)λ + ac b = λ = ± (a c) + 4b + a + c Fordi (a c) + 4b er et positivt reelt tall, ser vi at A har to reelle egenverdier Hvis (a c) + 4b, så er egenverdiene forskjellige Det betyr at -matrisen A har to forskjellige egenverdier og er dermed diagonaliserbar Hvis (a c) + 4b =, så må vi ha a c = og b =, altså er A = a I en diagonalmatrise med egenrom hele R Vi ser altså at en symmetrisk -matrise er alltid diagonaliserbar Faktisk holder vi nettopp fant ut, også i alle dimensjoner: Teorem 4 La A være en symmetrisk n n- matrise Da har A n reelle egenverdier (talt med multiplisitet) og A er diagonaliserbar (som en reell matrise) Merk Dette teoremet er fantastisk fordi for en vanlig n n-matrise er nesten umulig å se med en gang om den er diagonaliserbar Men for symmetriske matriser er lett å se Oppgave: Sjekk om matrisen A = er diagonaliserbar Hvis den er diagonaliserbar, finn den tilsvarende diagonalmatrisen D og inverterbare matrise P slik at A = P DP Eksempel Vi ser på matrisen B = 6 6 Vi beregner egenverdiene: λ 6 λ = 6 λ ( λ)((6 λ) 4) ((6 λ) 4) + (4 (6 λ)) = λ 3 3λ + 36λ = λ(λ 4)(λ 9) = Det viser at egenverdiene for B er, 4 og 9 Egenvektorerer er henholdsvis 4, og Altså får vi B = P DP med diagonalmatrise P = 4

5 Merk Det forrige eksemplet minner oss om at en matrise kan være diagonaliserbar uten å være inverterbar En forsmak på ortogonalitet Vi skal se nærmere på indreproduktet og ortogonalitet i neste kapittelet, men vi begynner med en liten forsmak allerede her Vi ser litt nærmere på eksemplene A = og B = 6, så observerer vi noe overraskende 6 [ Egenvektorene u = og u = for A utspen- ner underrom i R som er ortogonalt til hverandre: Ortogonale egenrom for A Vi husker at vi kan sjekke om to vektorer i R er ortogonale ved å sjekke at deres indreprodukt er null: u T u = = + ( ) = = Det samme fenomenet observerer vi for egenrommene for B Egenvektorene 4 v =, v =, og v 3 = er ortogonale til hverandre: v T v = [ 4 = ( 4) + + =, v T v 3 = [ 4 = + =, v T v 3 = = + = Faktisk er te alltid riktig for symmetriske matriser: Bevis La v og v være to egenvektorer som hører til egenverdier henholdsvis λ og λ Vi beregner λ v T v = (λ v ) T v = (Av ) T v Vi vet altså at = v T A T v (nå bruker vi at A er symmetrisk: A = A T ) = v T A v = v T (A v ) = v T (λ v ) = λ v T v = λ v T v λ v T v = (λ λ )v T v Nå bruker vi at λ og λ er forskjellige, og får v T v = Definisjon En n n-matrise er ortogonalt diagonaliserbar dersom den har n ortogonale egenvektorer For en symmetrisk n n-matrise har vi vist at egenvektorene til forskjellige egenverdier er ortogonale til hverandre Neste uke lærer vi at, gitt en basis for et underrom i R n, vi alltid kan bytte til en basis der alle basisvektorer er ortogonale til hverandre Dette viser: Teorem 7 En reell n n-matrise er ortogonalt diagonaliserbar hvis og bare hvis den er symmetrisk For n n-matriser med komplekse elementer trengs en liten tilpasning for å få lignende resultater La A være en n n-matrise med a ij C som element i rad i og kolonne j Da skriver vi A for matrisen A = A T dvs vi transponerer A og så komplekskpnjugerer vi resultatet Med andre ord, elementet i A i rad i og kolonne j er a ji Definisjon En n n-matrise A kalles hermitsk hvis A = A Merk I en hermitsk matrise A må elemente på diagonalen være reelle tall fordi de oppfyller a ii = a ii Dessuten er en reell matrise hermitsk hvis og bare hvis den er symmetrisk Vi skal utvikle litt av teorien i komplekse tilfellet i øvingene Her nøyer vi oss med å nevne hovedresultatet: Teorem 8 En hermitsk n n-matrise har n reelle egenverdier (talt med multiplisitet) og er ortogonalt diagonaliserbar Teorem 6 La A være en symmetriske n n- matrise Egenvektorene for A til to distinkte egenverdier er ortogonale