Dagens temaer. Endelig lengde data. Tema. Time 11: Diskret Fourier Transform, del 2. Spektral glatting pga endelig lengde data.

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Dagens temaer. Endelig lengde data. Tema. Time 11: Diskret Fourier Transform, del 2. Spektral glatting pga endelig lengde data."

Viktor Thorstensen
6 år siden
Visninger:

1 Dagens temaer Time : Diskret Fourier Transform, del Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF37 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Spektral glatting pga endelig lengde data Bruk av en Frekvensestimering November FFT Tema Spektral glatting pga endelig lengde data Spektral glatting Diskret tid vinduer Endelig lengde data Hvis vi definerer et vindu w[n] = {, n,,..., N ellers og et periodisk signal x p [n], n... så vil produktet av disse x[n] = x p [n] w[n] beskrive en tidsbegrenset versjon av x p [n]. Tar vi en av x[n] vil vi kunne få problemer med: Spektral lekkasje (når N kt s, k Z ) Glatting

2 Endelig lengde data Endelig lengde data Forskjellige utsnitt fra det periodiske signalet x p [n] =.5 sin(πf n): N = 3 F 6 N = 3 F F F -F F N = 3 F N = F -5 N = F Forskjellige utsnitt fra det periodiske signalet x p [n] =.5 sin(πf n) +.5 sin(πf n): N = 3 F 6 N = 3 F F-F FF -F-F FF N = F F F N = F F-F FF Spekter til en tidsbegrenset sinusfunksjon Respons, typisk vindu; kvalitetsmål Et vindu w[n] = har DTFT en W (Ω) = {, n,,..., N ellers sin NΩ/ sin Ω/ e j(n )Ω/ > N = ; > omega = linspace( pi, pi,5) ; > W = ( s i n ( N * omega / ). / s i n ( omega / ) ).... * exp( j * ( N ) * omega / ) ; > p l o t ( omega, r e a l ( W ) ) ; > h = fvtool (ones (N,) / N,,... ' frequencyrange ', '[ pi, p i ) ' ) ; > print dpng WindowedSin Kvalitetsmål, vinduer; Maks verdi; Peak value (P) Maks sidelobe verdi, Peak Sidelobe Level (PSL) -3dB bredde (W3 ), / P -6dB bredde (W 6 ),.5P Bredde. nullpkt (W M ) Bredde for å nå max-sl nivå (W S )

Noen typiske vinduer I Noen typiske vinduer... De forskjellige vinduene gir oss forskjellig kompromiss mellom oppløsning og lekkasje Endelig lengde data - rekt.

3 Noen typiske vinduer I Noen typiske vinduer... De forskjellige vinduene gir oss forskjellig kompromiss mellom oppløsning og lekkasje Endelig lengde data - rekt. vindu Endelig lengde data - Hamming vindu Forskjellige utsnitt fra det periodiske signalet xp [n] =.5 sin(πf n) +.5 sin(πf n): Forskjellige utsnitt fra det periodiske signalet xp [n] =.5 sin(πf n) +.5 sin(πf n): F-F FF F-F FF N = 3F F-F FF N = 3F F-F FF.5.5. N = F F-F FF...5. N = 3F N = 3F.5.5 N = F F-F FF

4 Oppløsning til vinduer Hvor nære kan to frekvenser være uten at vi får problemer med å skille dem? Frekvensoppløsning: f = W M F s, der W M er avhengig av vinduet og angir avstand til første nullpunkt i magnitudespekteret. Eksempel 8.3: Gitt: x(t) = A cos πf t + A cos π(f + f )t A = A = f = 3 Hz F s = 8 Hz (a) Hva er minste f som kan bli oppløst ved bruk av Boxcar og Hanning når: i N = 56, N FFT = 8 ii N = 5, N FFT = 8 iii N = 56, N FFT = 96 Oppløsning til vinduer Svar: (a) Hva er minste f som kan bli oppløst ved bruk av Boxcar og Hanning når: i N = 56, N FFT = 8 Rect: F = N = 56 Hann: F = N = 56 ii N = 5, N FFT = 8 Rect: F = N = 5 Hann: F = N = 5 iii N = 56, N FFT = 96 Rect: F = N = 56 Hann: F = N = 56 8Hz = Hz 8Hz = Hz 8Hz =.5Hz 8Hz = Hz 8Hz = Hz 8Hz = Hz Rektangulært vindu gir best oppløsning, men har størst sidelober / mest lekkasje. Bedre oppløsning ved å øke N. Null-utvidelse har ingen effekt. Hanning gir halvparten av oppløsningen, men mindre lekkasje. Oppløsning til vinduer Oppløsning til vinduer... Dynamisk område oppløsning Frekvens oppløsning: Kriterie for oppløsning av to nabofrekvenser

5 Tema Bruk av en Lineær konvolusjon med lange sekvenser Bånd-begrenset interpolasjon Konvolusjon av lange sekvenser Gitt h[n] med lengde N, og x[n] med lengde N.. Nullutvider h[n] og x[n] til lengde N N + N.. Finner N-punkts av h[n] og x[n]. 3. Multipliserer sammen Y [k] = H[k] X[k].. Finner invers av Y [k] y[n] = h[n] x[n]. Beregningsbyrde: En N samples konvolusjon krever N komplekse multiplikasjoner. Algoritmen over krever 3Nlog (N) + N komplekse multiplikasjoner v/fft. Gitt N = m : 3Nlog (N) + N = 3 m log ( m ) + m = m (3m + 5) m = 5: m (3m + 5) = 6 m = : m (3m + 5) = 35 8 Lange sekvenser blir fort veldig beregningstunge! Løsning: Blokk-konvolusjon. To typer: Overlap-add Overlap-save Overlap-add Overlap-save. Splitt x[n] i m sekvenser x i [n] med lengde M.. Nullutvid x i [n] til -potens 3. Beregn X i [k] = F {x i [n]} ved å bruke FFT. Legg sammen alle X i [k] X[k] = M X i [k] i= Hvis x[n] er den lange sekvensen:. Nullutvid x[n] med N nuller i front.. Del i k overlappende segmenter (N overlapp) av med lengde M (typisk M = N) 3. Nullutvid h[n] til lengde M.. Beregn periodisk konvolusjon for hver del og kutt overlapp.

6 Interpolasjon i frekvens Ønsker å interpolere opp et signal med lengde N til lengde NM:. x[n] X[k]. Nullutvid X[k] til X i [k] på følgende måte: { {X[],..., X[N/ ],... (M )N er... X[N/],..., X[N ] X i [k] = {X[],...,.5X[N/],... (M )N er....5x[n/],..., X[N ] 3. x i [n] I X i [k] Det hadde vært identisk å nullutvide x[n] med nuller mellom samplene, ta en, legge på et LP-filter, og inverstransformere. hvis N odde hvis N like Tema Frekvensestimering Periodogram og dets avarter Spektrogram Periodogrammet Effekt tetthets spekteret (Power Spectral Density, PSD) er definert ved R xx (f ) = F {r xx (t)} det r xx (t) er autokorrelasjonen av x(t), r xx (t) = x(t ) x(t + t )dt Problem: Vi har ikke x(t), men en samplet endelig tidssekvens x[n]. Vi må estimere R xx (f ). En mulighet er Periodogrammet: Forbedrede estimater Bartletts metode Del dataene opp i L ikke-overlappende deler. Beregn P for hver del og PB som et midlet estimat. Welchs metode Del dataene opp i K overlappende deler. Beregn P fra vektede utgaver av hver del og PW som et midlet estimat. Blackman-Tukeys metode Beregn estimatet for rxx (t) ved r xx [n]. Beregn PB T som {w r xx }, der w[n] er et vindu (som har positivt FT). Kalles også smoothed periodogram. P[k] = N X [k] Godt estimat for deterministiske, båndbegrensede power signaler samplet over Nyquist-raten. Dårlig estimat for støyfullt signal. Estimat ikke forbedret med økende N.

7 Tid-frekvens plott Spektrogram, eksempel Spektrogrammet definert ved X[k, n] = L m= w[m]x[n + m] e j(πk/n)m Spektrogram, eksempel... Spektrogram, eksempel...

8 Spektrogram, eksempel... Spektrogram, eksempel... på matriseform Tema FFT på matriseform Radix-

9 FFT Fast Fourier Transform (FFT) er en effektiv måte å regne en av et signal på. Beregningsbyrden reduseres mye fordi: Den utnytter symmetri og periodiske egenskaper for å unngå unødvendige beregniner. Den bryter signalet opp i mindre segmenter med lengde N (typisk N =, kalles da radix-) og tar en av disse i stedet. Like og odde indekser behandles hver for seg, noe som er beregningsmessig gunstig. FFT - Radix- Vi prøver å ta en av like og odde indekser hver for seg: X [k] = = = = N n= N/ n= N/ n= N/ n= x[n] W nk N N/ x[n] WN nk + x[n] W nk N n= + W k N x[n + ] W (n+)k N N/ n= x[n + ] W nk N N/ x[n] WN/ nk + W N k x[n + ] WN/ nk n= = X e [k] + W k N X o [k] X e [k] og X o [k] kan nå igjen splittes opp i like- og odde-indexer, og til slutt står man igjen en av veldig små sekvenser. FFT - Radix- en av veldig små sekvenser: -punkt: -punkt: F {x[n]} = F {x[n]} = = N n= N n= x[n] e jπ k N n x[n] e jπ k N n = x[] e = x[] { x[] e + x[] e = x[] + x[] k = x[] e + x[] e jπ = x[] x[] k = FFT - implementasjon av små sekvenser veldig enkelt. Det er dette FFT en utnytter.

10 FFT, Decimation in frequency FFT, Decimation in time FFT, Beregningsbyrde

Like dokumenter

Uke 10: Diskret Fourier Transform, II

Uke 10: Diskret Fourier Transform, II Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 011 /38 Dagens temaer Spektral glatting pga endelig lengde data Bruk av DFT en