STE 6146 Digital signalbehandling. Løsningsforslag til eksamen avholdt

Transkript

1 HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Sivilingeniørstudiet EL/RT STE 6146 Digital signalbehandling Løsningsforslag til eksamen avholdt

2 Oppgaver 1. Forklar hva som er karakteristisk med egenfunksjoner til lineære tidsinvariante systemer. Gi ett eksempel på en slik funksjon. Det er karakteristisk for egenfunksjoner at den prinsipielle formen på funksjonen er uforandret når funksjonen går gjennom et lineært system. En sinus vil f.eks. fortsatt være en sinus med samme frekvens etter at den har passert systemet, men amplituden og fasen kan være endret. Dette tilsvarer en skalering med en kompleks frekvensavhengig konstant. Den komplekse eksponentielle funksjonen xn e jn, n er en egenfunksjonen for et lineært tidsinvariant diskret system, og den blir skalert med en kompleks frekvensavhengig konstant når den passerer et slikt system. 2. Utled et uttrykk for frekvensresponsen til et diskret system med ideell tidsforsinkelse, yn xn n d. Angi uttrykk for amplitude og fase. La xn e jn være inngangen til systemet. Utgangen blir xn e jnn d e jn d e jn He j e jn, så He j e jn d. Alternativt benyttes impulsresponsen hn n nd, så det følger fra definisjonen av frekvensresponsen at He j n He j n d. 3. Anta at et system er karakterisert med frekvensresponsen He j e jn d, c 0, c n n d e jn e jn d. Amplituden er gitt av He j 1, og fasen er Utled et uttrykk for impulsresponsen til systemet. Hvilken type filter er dette? Forklar hvordan du vil realisere dette filteret. Frekvensresponsen kan skrives om som He j e jn d 1 Hlp e j e jn d e jn dhlp e j, hvor 1, H lp e j c. En kan nå benytte formlene i den vedlagte tabellen, og får 0, c hn n n d sincnnn nn n. Dette er et høypassfilter med forsinkelse, dvs. lineær fase. Filteret er ikke kausalt, og har impulsrespons av uendelig varighet. Filteret er ikke beregningsmessig realiserbart. 4. Beregn den z-transformerte Xz på lukket form, og angi konvergensområdet når a n, 0 n N 1 xn. 0, ellers Benytter definisjonen av Z-transformen direkte, og får Xz a n z n az 1 n 1az1 N 1 z N a N 1az 1 z za. Ved utregningen av summen, kan en benytte formelen for summering av endelige geometriske rekker, som ble gitt i den vedlagte tabell. Konvergensområdet bestemmes utfra az 1 n. Summen er over et endelig antall elementer, og vil være begrenset så lenge az 1 er begrenset, dvs. så lenge a, og z 0. Konvergensområdet (ROC) blir altså hele z-planet unntatt origo, under forutsetningen om at a er endelig. 5. Gi en kort forklaring på hvert enkelt av følgende begreper: Kanonisk form Beregnbarhet Aliasing Systemfunksjon Kanonisk form: Begrepet betegner i dette faget en implementasjon av en systemfunksjon for et lineært tidsinvariant diskret system, med det minste mulige antall forsinkelseselementer.

3 Beregnbarhet: Begrepet er relatert til muligheten for å kunne realisere et nettverk for et LTI-system fysisk. Spesielt sier en at et nettverk representert ved en signalflytgraf er ikke-beregnbart, dersom det ikke kan finnes noen måte å ordne rekkefølgen av beregningene assosiert med nodevariablene på, slik at disse kan beregnes i en gitt rekkefølge. Aliasing: Begrepet relateres til overlapp av funksjoner, enten i frekvens eller i tid. Ved for sakte sampling av analoge signaler (som funksjon av tid), vil de assosierte frekvensforskjøvede frekvensspektrene av det opprinnelige analoge signalet kunne overlappe, slik at det originale frekvensspekteret ikke kan skilles ut fra frekvensspekteret til det samplede signalet. Ved å benytte for få sampler av Fouriertransformen til et signal ved rekonstruksjonen av signalet, vil tidsforskjøvede replika av det originale signalet kunne overlappe, slik at det originale signalet ikke kan skilles ut fra det rekonstruerte signalet. Systemfunksjon: Hz Yz/Xz. Forholdet mellom z-transformerte av utgang og inngang for et diskret LTI system. 6. Anta at du skal designe et digitalt filter. Nevn kort hvilke hovedkategorier av filtertyper som finnes, og hvilke metoder som kan benyttes ved design av filtre i de ulike kategoriene. Infinite Impulse Response (IIR) filter. Impulsvarians, bilineær transform. Polplassering er også nevnt i pensum. Finite Impulse Response (FIR) filter. Vindusmetoden, optimale metoder (Parks-McClellan) 7. Anta at et system er karakterisert med differensligningene wn a 1 wn 1 a 2 wn 2 xn yn b 0 wn b 1 wn 1 b 2 wn 2. Tegn opp en signalflytgraf for dette systemet av typen Direkte form II, og den tilsvarende transponerte signalflytgrafen. 8. Anta at du vil benytte den bilineære transformasjonen for å designe en diskret versjon av det lineære systemet med Laplace-transformert Hs e s. Forklar hvordan dette gjøres, og hvilke eventuelle forskjeller som oppstår mellom det kontinuerlige og diskrete systemet. Det naturlige vill være å substituere s 2 for å få Hz, og så beregne en differensligning. Det 1 T d 1z1 1z viser seg imidlertid at Hz e 2 1z1 T d 1z 1, og siden denne systemfunksjonen ikke er rasjonal, vil det være noe komplisert å komme frem til en differensligning. Dette problemet kan evt. løses vha. rasjonale approksimasjoner. Ved å evaluere Hz for z e j, finner vi imidlertid at fasen er gitt som en sterkt ulineær funksjon (det kreves ikke at denne regnes ut, men He j 2/T d tan/2 ). Fasen er altså ikke

4 lenger lineær for den diskrete implementasjonen av filteret, noe som skulle være hovedpoenget med å gå ut fra Hs e s. Det har derfor ingen hensikt å benytte den bilineære transformasjonen på Hs for å komme frem til en diskret ekvivalent av filteret 9. Skisser det karakteristiske forløpet til amplituden av frekvensresponsen for 4 typer analoge filtre. Hvilken av disse typene gjør det mulig å komme nærmest (mhp. kortest mulig transisjonssone) en gitt stykkevis konstant filterspesifikasjon, når filterets orden er fast. Se figurene under. Elliptiske filtere som har rippel i både pass- og stoppbåndet, gir den beste approksimasjonen mhp. kortest mulig transisjonssone for en gitt orden. 10. Anta at Fourier-rekken til et periodisk diskret signal xn er gitt ved koeffisientene Xk, slik at xn 1 XkW kn N. Sett opp et uttrykk for den assosierte Fourier-transformen Xe j til dette signalet. N Angi også sammenhengen mellom Xk og Xe j. Signalet er periodisk, og Fourier-transformen er definert som Xe j 2 N k Xk 2k N. Videre har en sammenhengen Xe j 2 N Xej2/Nk 2k, så Xk N Xej2/Nk, der Xe j er den k Fourier-transformerte til en periode xn av xn, dvs. Xk består av likt fordelte sampler av Xe j mellom 0 og Gi en kort forklaring på hva FFT er, og hva som er grunntanken bak denne algoritmen. FFT (Fast Fourier Transform) er en samlebetegnelse for spesielt beregningsbesparende algoritmer for implementasjon av DFT (Discrete Fourier Transform). Grunnprinsippet er at DFT en av en følge med lengde N, suksessivt deles inn i kortere DFT er ved beregning. 12. Anta at du ønsker å analysere frekvensinnholdet i et stasjonært signal vha. DFT. Forklar kort hvordan du vil gjøre dette. Tegn en skisse.

5 Signalet prefiltreres, en endelig (avkortet) tidsserie fremkommer ved sampling, og det beregnes en DFT (evt. vha. en FFT-algoritme). Det kan også være aktuelt å multiplisere den samplede tidsserien av endelig lengde med koeffisienter i en vindusfunksjon som er forskjellig fra den rektangulære (som bare gir avkorting av tidsserien). 13. Forklar kort effekten av bruken av vindusfunksjoner og sampling i frekvens ved en diskret implementasjon av et system for frekvensanalyse av analoge signaler. Bruk av vindusfunksjoner bidrar til redusert oppløsning (vanskelig å skille distinkte frekvenskomponenter fra hverandre), og lekkasje mellom frekvenskomponenter (topper i spekteret påvirker gjensidig hverandres amplitude). Den første effekten skyldes i størst grad bredden av hovedloben til den Fourier-transformerte av vindusfunksjonen. Den andre effekten skyldes i hovedsak sidelobene. 14. Hvilke fortrinn har bruken av Kaiser-vindu fremfor anvendelsen av andre vindustyper innenfor digital signalbehandling? Ved bruk av Kaiser-vindu har en mulighet til å spesifisere ønsket bredde av hovedloben, og forholdet mellom hovedloben og første sidelobe. Ut fra disse spesifikasjonene kan en så beregne lengde M og form (angitt med av vindus-funksjonen. På denne måten kan en kontrollere innvirkningen av vindusfunksjonen på resultatet. Dette gjelder både ved design av digitale filtre, der en ønsker å imøtekomme gitte spesifikasjoner, og ved frekvensanalyse. 15. Forklar begrepene ekvirippel og ekstrarippel når disse benyttes om optimale filterapproksimasjoner. For å bestemme om et gitt filter er optimalt eller ikke, ser en på antall alternasjoner av en frekvensavhengig feilfunksjon. Denne består av det vektede avviket mellom den spesifiserte amplitudekarakteristikken for filteret, og amplituden til den aktuelle filterapproksimasjonen. Med alternasjon menes at feilfunksjonen varierer mellom pluss og minus av maksimum feil, for to strengt etterfølgende verdier av argumentet. Antall alternasjoner må minst være L2, der L1er varigheten av filterets impulsrespons. Filterapprokismasjoner som gir L2 alternasjoner av feilfunksjonen, kalles ekvirippel filtre, mens approksimasjoner med L3 alternasjoner kalles ekstrarippel filtre.