4_Komplekse_tall.odt tg. Kap.4 Komplekse tall

Transkript

1 4_Komplekse_tall.odt tg Kap.4 Komplekse tall e i π +1=0 Innledning... Egenskaper...4 Geometrisk form...5 Regneregler...6 Lengde og argument...8 Polar form...9 Eksponentform - Eulers formel...1 Potenser, n-te rot...14 Sirkeldelingslikningen...15 Sirkeldelingslikningen med CASIO...17 Kalkulator...18 MATLAB numerisk...19 MATLAB symbolsk...0 Grafer på polar form...1

2 4_Komplekse_tall Innledning La oss prøve å utvide tallbegrepet slik at alle likninger av typen A z + B z+ C =0 kan løses. Eksempel 1 Løs likningen z z+ 5=0. ABC-formel? z 1, = ± ( ) = ± 16 = ± 1 16 =1± 1 Vi kommer ikke videre med dette, løsningen er ikke blant reelle tall. Noen valg av konstantene A, B og C vil vi gi løsninger som inneholder 1. Den imaginære enheten defineres slik, i= 1 - og dermed har vi løsningen, z 1, =1± i og polynomet i likninga kan for eksempel faktoriseres til z z+5=(z z 1 )(z z )=( z 1 i)(z 1+ i)!! Matematikere og fysikere bruker i som imaginær enhet, ingeniører bruker j.

3 3 4_Komplekse_tall Kalkulator Løser likningen z z+5=0 Velger F, Polynomial Velger 'grad og taster koeffisienter Velger SOLVe og finner røtter

4 4 4_Komplekse_tall Egenskaper Et komplekst tall z er generelt gitt som z= x+ y 1 eller kortere, z= x+ y i der x og y er reelle tall, i= 1 er imaginær enhet, y i er et imaginært tall, x+ yi er et komplekst tall dannet av summen av det reelle tallet x og det imaginære tallet y i. Den reelle delen av z er Re( z)=x og den imaginære delen av z er Im (z)= y. Hvis Re( z)=0, så er z et rent imaginært tall hvis Im (z)=0, så er z et rent reelt tall. Tallmengden R av reelle tall blir dermed en delmengde av komplekse tall, C. Eksempel z=3 4 i Re( z)=3, Im (z)= 4 w=i Re(w)=0, Im ( z)=1

5 5 4_Komplekse_tall Geometrisk form En vanlig tolking av komplekse tall er som punkter eller vektorer i det komplekse planet, med avbildning i forhold til reell og imaginær akse. Dette kalles et Argand diagram. z 1 =3+ i z = +i z 3 = i A(3,) B(,1) C (0, 1) MATLAB: >> z = 3 - i*4; w = i; q = 5; >> real(z) ans = 3 >> real(w) ans = 0 >> imag(w) ans = >> imag(q) ans = 0 >> compass([z w q])

6 6 4_Komplekse_tall Regneregler z 1 = x 1 + y 1 i z =x + y i Likhet z 1 =z hvis x 1 =x og y 1 = y Sum, differens z 1 + z =(x 1 + x )+( y 1 + y )i z 1 z =(x 1 x )+( y 1 y )i Produkt Kompleks konjugert Divisjon z 1 z =(x 1 + y 1 i)(x + y i) = x 1 x + x 1 y i+ y 1 i x + y 1 i y i =(x 1 x y 1 y )+( x 1 y +x y 1 )i z * =Re(z) Im( z) i=a bi z 1 = x 1+ y 1 i z x + y i = z 1 z * z z = x 1 x + y 1 y + x y 1 x 1 y * x + y x + y i z+z * =(x+ y i)+(x yi)= x= Re(z) z z * =( x+ yi) (x yi)= y i=im( z) i z z * =( x+ y i)(x yi)= x + y =r (z 1 z ) * = z 1 * z *

7 7 4_Komplekse_tall Eksempel 3 Løs likningen Lager reelle nevnere, z 1+i z i = 5 +i z 1+i 1 i 1 i z i i i = 5 +i i i z(1 i) z i 10 5i = 1 5 Ordner, z z i+ zi= i => z(1+i)= i z= i 1+i =( i)(1 i) = 1 3 i Eksempel 4 Løs likningen ABC-formel, z +( i)z+7 i=0 z= ( j)± ( i) 4 1 (7 i) +i± 4 i i 4 = 1 = +i± 5 = +i±5i z 1 = 1+3i z = 1 i

8 8 4_Komplekse_tall Lengde og argument z=x+ y i x=re( z)= realdel y=im( z)= imaginærdel z =r= x + y = modul = lengde = absoluttverdi arg z=θ =tan 1 y x, (z 0) = argument = vinkel CASIO Taster inn 3+j Finner vinkel Finner reell del Finner absoluttverdi og finner r = 3+j og kompl.konjugert og imaginær del og vinkel i en operasjon!! CASIO gir vinkler i området (-π,π) for de inverse trigonometriske funksjonene i stedet for (0,π) som i læreboka. Eks. Arg(1-i) = -π/4 der vi legger til π og får 7π/4.

9 9 4_Komplekse_tall Polar form Polar form av komplekst tall: z=r(cosθ +isinθ ) På kortform: z=r θ Sammenhengen mellom (x, y) og (r,θ ) er gitt av trigonometriske funksjoner x=r cosθ og y=r sinθ slik at z= x+ y i=r cosθ +r sinθ i=r(cosθ +i sinθ ) Multiplikasjon på polar form, z 1 =r 1 (cosθ 1 +i sinθ 1 ) z =r (cosθ +isinθ ) z 1 z =r 1 r (cosθ 1 +i sinθ 1 ) (cosθ +i sinθ ) =div. trigonometrisk forenkling =r 1 r [cos(θ 1 +θ )+i sin (θ 1 +θ )] = r 1 r (θ 1 +θ ) >> vinkel=0.973; lengde=5.000; z=lengde*(cos(vinkel)+j*sin(vinkel)) z = i

10 10 4_Komplekse_tall Divisjon på polar form, z 1 =r 1 θ 1, z =r θ z 1 = r (cosθ +i sinθ ) z r (cosθ +i sinθ ) =div. trigonometrisk forenkling = r 1 r [cos(θ 1 θ )+i sin(θ 1 θ )] = r 1 r (θ 1 θ ) Eksempel 5 (3 4i) 6 e 1.34 i 10 e i = 5e 0.97 i 6e 1.34i 10 e 0.789i = e( )i =3 e 0.48 i >> z1=(3-4j); z=6*exp(1.34j); z3=10*exp(0.789j); >> svar = z1*z/z3 svar = i

11 11 4_Komplekse_tall Multiplikasjon med imaginær enhet i 0 =1, i 1 =i, i =i i= 1, i 3 = 1 i= i, i 4 = i i=1,... i n+4k =i n n, k Z z 1 =r 1 (cosθ 1 +i sinθ 1 ) z =z 1 i=r 1 (cosθ 1 + j sinθ 1 )i =1(cos π +i sin π ) r 1 (cosθ 1 +i sinθ 1 ) =div. forenkling =r 1 [cos(θ + π )+i sin (θ + π )] =r 1 (θ + π ) z 1 =3+i z =z 1 i=(3+i)i= +3i

12 1 4_Komplekse_tall Eksponentform - Eulers formel Fra teorien om rekkeutvikling av matematiske funksjoner kom Euler fram til formelen e i θ =cosθ +i sinθ e i θ =cosθ i sinθ - og vi får en ny måte å representere komplekse tall, z=r(cosθ +isinθ )=r e iθ =r θ MATLAB >> z1 = 4 + 3i; >> lengde = abs(z1) lengde = 5 >> vinkel = angle(z1) vinkel = >> z = lengde*exp(i*vinkel) % exp() = e^ z = 4 + 3i e i 0 =1 e i π =i e i π = 1 e i 3 π = i e i α =1

13 13 4_Komplekse_tall Oppsummering, vi har flere måter å skrive et komplekst tall, - kartesisk form: z=3 4i - polar form: z=5(cos( 0.973)+i sin( 0.973)) i eksponentform: z=5e - kortform: z= Vi finner lengden av tallet z= x+ y i som rota av kvadratsummen av x og y, r= z = x + y Vinkelen med x-aksen finnes ved å fastslå hvilken kvadrant tallet ligger i og beregne θ =tan 1 y x alternativt, som kombinasjonen av θ =cos 1 ( x r ) og θ =sin 1 ( y r ).

14 14 4_Komplekse_tall Potenser, n-te rot Med regler for potensregning får vi at z n =(r e iθ ) n =r n e i n θ eller også som de Moivres teorem: z n =r n (cos nθ +i sin nθ ) For å finne n-te rot w=r e i ϕ av et komplekst tall z=r e iθ må vi ha at w n =z, z=r e iθ =w n =R n e i n ϕ -og en sammenlikning av modul og argument gir at 1 w= z=z n n =r 1 n e + π k i (θ ) n Dette betyr at det er n stk. n-te røtter til et tall, eks. 4= og 4 16= og 1 =r n (cos( θ +π k )+i sin( θ + π k )), k=0,±1,±,...,±n 1 n n 4= fordi =( ) =4 4 16= og =i og 16= i fordi 4 =( ) 4 =(i) 4 =( i) 4 =16

15 15 4_Komplekse_tall Sirkeldelingslikningen Setter vi de n røttene i likningen z n =w inn i et vektordiagram vil vi se at de plasserer seg som n vektorer med vinkel π n til neste vektor. Multipliserer vi hver enkelt av de n vektorene med seg selv n ganger, blir resultatet samme vektor z. Eksempel 6 Løs likningen z 3 8=0 - skriv svarene på geometrisk form (kartesisk form). Ordner z 3 =8=8e i (0+ π k ), k =0,±1,±,...,±n 1 1 Generelt z=(8 e i(0+ π k) ) 3 =8 k=0: z 0 = e 1 3 e 0+ π 0 i( ) 3 =+0 i +π k i (0 ) 3, k =0,±1,±,...,±n 1 k=1: k=: z 1 = e z = e 0+ π 1 i ( 3 ) = e i π 3 =(cos π 3 0+π i( ) i 4π 3 =e 3 =(cos 4π 3 + j sin π 3 )= 1+ 3 i +i sin 4 π 3 )= 1 3 i

16 16 4_Komplekse_tall De 3 røttene til z 3 8=0 fra forrige eksempel er her tegnet med MATLAB, >> z0=; z1=-1+sqrt(3)*i; z=-1-sqrt(3)*i; >> compass(8), hold on, compass([z0 z1 z]) La oss teste at CASIO tester: z = 1 3 i z = 1 3 i er en av røttene, z =( 1 3 i) = Andre kv.setning =( 1) ( 1) ( 3 i)+( 3 i) = + 3i z 3 =( + 3 i)( 1 3 i)=+ 3 i 3 i+6=8

17 17 4_Komplekse_tall Sirkeldelingslikningen med CASIO Vi tar utgangspunkt i at det er n stk. røtter i likningen z n =w i intervallet 0 z< π, og at vinkelen mellom hver av røttene er π /n. CASIO i komplekst humør kan finne den ene roten og så finner vi de øvrige ved å 'dreie' roten videre med vinkler π/n til vi har n røtter. Eksempel 7 Vi skal løse likningen z 5 =3i Legger w=3 i inn i minne W Finner den ene av 5'terøttene, legger den i minne Z Vinkelen mellom de 5 røttene legges i minne V Den andre rota blir Z dreiet vinkelv, og legges i minne B Tredje, fjerde og femte rot legges i minner C, D og E, og så tester vi om E 5 = 3 i

18 18 4_Komplekse_tall Kalkulator Kalkulatoren settes til å bruke komplekse tall i kartesisk modus. Vinkelmål i radianer. Shift>SETUP Angle: Rad Complex Mode: a + bi Komplekse tall i beregninger kan tastes inn i kartesisk, lengde/vinkel notasjon eller polar modus, men svarene vises i den oppsatte modus. Kalkulatorens minne kan brukes til å lagre tall som inngår i beregninger, eks. løs likningen z +(1 j) z+4 j 7=0

19 19 4_Komplekse_tall MATLAB numerisk >> a = 3 + 4*j % a på komponentform a = 3 + 4j >> b = 7*exp(j*pi/6) % b på eksponentform b = i >> sum = a + b; % sum vises ikke pga. ; >> abs(sum) % absoluttverdi, lengde, modul ans = >> angle(sum) % vinkel i radianer ans = >> real(sum), imag(sum) % realdelen og img.del til sum ans = 9.06 ans = >> a*conj(a) % a multipliseres med a* ans = 5

20 0 4_Komplekse_tall MATLAB symbolsk >> q=sym(-1-sqrt(3)*i); % q= 1 3i >> abs(q) % som symbolsk objekt ans = >> angle(q) % finner vinkelargument ans = -(*pi)/3 >> syms z % symbolsk variabel z >> solve(*z/(1+i)-*z/i-5/(+i), z) % Løser z 1+i z 5 i +i =0 ans = 1/ (3*i)/ >> svar = solve(z^3 + 8) svar = ^(1/)*i 1 3^(1/)*i >> abs(svar(3)), ans = >> compass(eval(svar))

21 1 4_Komplekse_tall Grafer på polar form Noen funksjoner er gitt indirekte med en funksjonslikning, der x- og y-verdier henger sammen i et uttrykk, for eksempel x + y =4. Det er ikke lett å se hvordan denne grafen blir uten litt trening (hvis vi ikke gjenkjenner dette som et kjeglesnitt). Siden vi opererer i planet, kan komplekse tall være et hjelpemiddel. Vi danner et komplekst tall, z= x+ yi=r e θi slik at r= x + y = 4= og lar θ være ubestemt, det vil si alle mulige vinkler. Dermed har vi tolket grafen til funksjonslikningen x + y =4 som posisjonen til et komplekst tall med lengde = og alle mulige vinkler, altså en sirkel rundt origo med radius. CASIO: CASIO kan plotte grafer på kompleks form. Grafen til x = er en sirkel med radius, (Obs, ulik målestokk for x og y. Her plottes den komplekse funksjonen r= cosθ, en sirkel med sentrum i 1,0 og radius=1.

22 4_Komplekse_tall Eksempel 8 Skisser grafen til r=cosθ. Punkter på grafen pekes ut av det komplekse tallet z= x+ yi=r e θi med absoluttverdi z =r=cosθ= x + y (1) Vinkelargumentet til z er θ slik at cosθ= x r = x x + y () Kombinerer vi(1) og () får vi følgende funksjonslikning, som omformes til x + y x = x + y x + y x=0 og vi danner kvadratsetning, x x+1+ y =1 => (x 1) + y =1 det vil si kjeglesnittet sirkel med sentrum i (0,1) og radius 1.