f(t) F( ) f(t) F( ) f(t) F( )

Transkript

1 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR PETROLEUMSTEKNOLOGI OG ANVENDT GEOFYSIKK Oppgave SIG4045 Geofysisk Signalanalyse Lsningsforslag ving 3 a) ' xy (t) = x()y(t + )d : La oss, for en gitt t, denere en ny variable 0 slik at 0 = t +. Da har vi d 0 = d, og vi far ' xy (t) = = x( 0, t)y( 0 )d 0 y()x(,t + )d = ' yx (,t) b) Na har vi y(t) = x(t). Ligningen utledet i a) omskrives ' x (t) = ' x (,t). Med andre ord er autokorrelasjonen en like funksjon. Vi har generelt xy (!) = = = = e,i!t ' xy (t)dt e,i!t x()y(t + )d dt e i! x()e,i!(t+) y(t + )d dt x()e i! y(t + )e,i!(t+) dtd For en gitt kan vi denere 0 = t +. Vi har da d 0 = dt, ogfar xy (!) = Z 0 x()e i! y( 0 )e,i! 0 d d = X (!)Y (!) ; hvor X (!) erden komplekse konjugerte av X(!). Nar y(t) = x(t)blir denne ligningen x (!) = X (!)X(!) = jx(!)j 2 :

2 Dette viser at Fourier transformen av autokorrelasjonen til et signal er lik energispekteret til signalet. Energispekteret viser i hvilke frekvensomrader energien til signalet ligger, og er lik amplitude-spekteret kvadrert. Det vil si at autokorrelasjonen inneholder den samme informasjonen som amplitude-spekteret jx(!)j. Kjenner vi ' x (t) kan vi regne ut A x (! = jx(!)j, og kjenner vi A x (!) kan vi beregne ' x (t), men vi mangler informasjon om fasen. Uten denne informasjonen kan vi ikke beregne x(t): To signaler som har samme autokorrelasjon funksjon er ikke ndvendigvis identiske. For eksempel er sin(! 0 t) og cos(! 0 t) forskjellige signaler, selv om de har samme autokorrelasjon (og samme amplitudespektrum), fordi de har forskellige fasespektrer (se oppgave 3). Oppgave 2 a) F (!) er diskret og ikke periodisk. Transformasjonen som brukes for a regne ut F (!) er formlene for koesientene i Fourierrekker. Koesientene a n representerer den reelle delen av et diskret spektrum, dvs denert bare for frekvenser n T. Koesientene b n representerer det imaginre spekteret. Spekteret er ikke periodisk. b) F (!) erna gitt av den vanlige Fourier transformen. Det er kontinuerlig og ikkeperiodisk. Dette er pa en mate grensetilfellet av a), hvor perioden T gar mot uendelig, som far avstanden f = 2! = mellom de to frekvensene i det T diskret spektrum a ga mot null. Dermed blir spekteret kontinuerlig. Merk at et kontinuerlig signal er ofte kalt analogt signal. c) F (!) erfortsatt gitt av den vanlige Fourier transformen. Den er kontinuerlig og periodisk, med periode F =, eller periode = hvis vi bruker angulr t 2t frekvens som variabel i spekteret, hvor t er samplingsintervallet. I praksis kan k vi beregne den ved noen bestemte frekvenser ved hjelp av den diskret Fourier Nt transformasjonen, kalt DFT. Signalene og amplitude spektrene er tegnet i gur 2, 3 og 4. Vi antar at fase spektret er null, og tegner det ikke. Vi ser pa gurene at kontinuitet i tids- eller frekvensdomenet er relatert til ikke-perioditet i det andre domenet. En periode T i tids-domenet gir en frekvensopplsning lik (gur 2). Et punktprvingsintervall t i tidsdomenet, gir et 2T spektrum med periode. Vanlige diskret (ogsa kalt digitale eller numeriske) signaler har 2t da som regel et kontinuerlig periodisk spektrum. Nar vi i praksis arbeider med diskret signaler (gur 3), og nsker a beregne spektret m.h.a. datamaskin, kan datamaskinen gjre dette bare for visse verdier av frekvensen. M.a.o ma vi ogsa diskretisere frekvensen. Vi kan da, som sagt, beregne spektret ved visse frekvenser m.h.a DFT (i praksis bruker man som regel en spesiell algoritme kalt fast Fourier tranform eller FFT). DFT virker slik at man far like mange sampler i frekvens-domenet som man hadde i tids-domenet, og disse samplene dekker en periode. Resultatet blir da et diskret spektrum, selv om spektret i teori er kontinuerlig (og periodisk). Jeg har illustrert dette i gur 4. Merk at samplingsintervallet t bestemmer maksimum og minimum frekvens som blir beregnet. 2

3 f(t) F( ) t Figure : Kontinuerlig periodisk signal f(t) F( ) t Figure 2: Vanlig (ikke periodisk) kontinuerlig signal f(t) F( ) t Figure 3: Vanlig (ikke periodisk) diskret signal 3

4 f(t) F( ) t 2π/T t N T=N. t 2π/ t Figure 4: Diskret signal, og spektret bergnet med DFT Derfor ma tvre kort nok (samplingsteorem). Pa den annen side bestemmer signallengden T frekvensopplsningen. Hvis vi legger en del null-sampler til slutten av signalet vart, vil vi ikke forandre maks. og min. frekvensene, men spektret vil bli tettere diskretisert. A legge en del null-sampler til slutten (og begynnelsen, for a bevare symmetri-egenskapene...) av spektret og ta en invers-dft vil vi pa den annen side fa tettere sampling i tids-domenet (som om man hadde samplet tettere...). Hvis kravene i samplings-teoremet er oppfyllt kan vi da pa denne maten ke opplsningen i tid (m.a.o. interpolere signalet) sa mye vi nsker... Oppgave 3 For a lse denne oppgaven kan vi bruke resultatene fra tidligere oppgaver. Vi husker (fra ving 2, oppgave ) at: F((t)) = () Vi har ofte papekt symmetrien mellom tids- og frekvensdomenet, og direkte og invers Fourier transformasjonene. Ved a bruke samme metode som for a utlede () (men \symmetrisk", altsa ved a bruke invers Fourier transform pa en delta-funksjon i frekvensdomenet) er det lett a vise at: 2 = F ((!)) (2) Dette blir illustrert i gur 5: Vi husker ogsa (ving 2, oppgave 3) at: F(f(t, t 0 )) = e,i!t0 F (!) Med samme metoden som i oppgave (men \symmetrisk"), kan vi vise at: Ved hjelp av (2) og (3) far vi: e i! 0t f(t) =F (F(!,! 0 )) (3) e i! 0t =2F ((!,! 0 )); eller F(e i! 0t )=2(!,! 0 ): (4) 4

5 f(t) F() (pluss null fase-spektrum) f(t) F() (pluss null fase-spektrum) /2π Figure 5: Delta-funksjon i tid og frekvens domener Vi har da ogsa Dessuten husker vi at F(e,i! 0t )=2(! +! 0 ); (5) cos(! 0 t)= 2 (ei! 0t + e,i! 0t ); og sin(! 0 t)= 2i (ei! 0t, e,i! 0t ): I og med at Fourier transformasjonen er en liner operator far vi da ved hjelp av (4) og (5). F(cos(! 0 t)=[(!,! 0 )+(!+! 0 )]; og F(sin(! 0 t)= i [(!,! 0),(!+! 0 )]: Merk at vi, i vart eksempel har at y(t) =x(t, 2! 0 ), og at det hadde vrt mulig a regne ut Y (!) fra X(!) ved a bruke resultatet om spektret til en forsinket versjon av et signal (ving 2, oppgave 3). Y (!) =e,i! 2! 0 X(!); som gir Y (! 0 ) = e,i=2 X(! 0 ) (6) =,ix(! 0 ) (7) Y (,! 0 ) = e i=2 X(,! 0 ) (8) = ix(! 0 ) (9) Amplitude og fasespektrene til x(t) ogy(t) er vist i gur 6. Formen til amplitude spektrene er veldig \logisk". En ren cosinus eller sinus-funksjon inneholder bare en gitt frekvens. Derfor 5

6 Α () x Α () y π π ϕ () x ϕ () y 0 0 Figure 6: Frekvensspektrene til cos(! 0 t)ogsin(! 0 t) kunne vi forvente a bare ha noe bidrag i spektret ved angulr frekvens! 0 (og -! 0,pa grunn av symmetri). Dette er viktig a huske pa! Egentlig er fasen ' y godt denert for! =! 0 og! =,! 0, men kunne ta andre verdier enn 2 for frekvenser forskjellige fra! 0, fordi spektret er null (uansett fasen) for disse frekvensene... Derfor er bade den stiplete og den kontinuerlige kurven gyldige muligheter for ' y (!). Oppgave 4 a) Vi har regnet ut spekteret til sinus funksjonen i oppgave 3: Y (!) =,i[(!,! 0 ), (! +! 0 )]; hvor vi her har at:! 0 =2(f N +f) Her vil vi gjerne bruke frekvens f i stedet for angulr frekvens!, som variabel for spekteret. Man ma merke seg at deltafunksjonen ma isa fall skaleres. Vi har, i denisjonen av (!), at: (!) = Tar vi! =2f og d! =2df far vi at: 6

7 /2 f N f δ f / t Figure 7: Imaginr delen av spektret til sinus-funksjonen fr sampling (analogt signal) (2f)df = 2 Sammenligner vi den siste ligningen med denisjonen av (f) ser vi at: (2f) = (f). Vi har da: 2 Y (f) =,i[(2(f, f 0 )), (2(f + f 0 ))] (0) =, i 2 [(f, f 0), (f + f 0 )]; () hvor f 0 = f N + f. I oppgave 3 har vi skissert fase og amplitudespektrene til Y (!), men siden den reelle delen er null er all informasjon inneholdt i det imaginre spekteret. Figur 7 viser dette imaginre spektret fr sampling (d.v.s. spektret til det kontinuerlige eller analoge signalet), har vi Nar vi sampler med t blir spektret periodisk. Vi tegner periodene med stiplet strek (gur 8). Hadde vi hatt riktig sampling, hadde det vrt mulig a rekonstruere spekteret til det endelige signalet vist i gur 7, ved bare a beholde frekvensene mellom,f N og f N (m.a.o. ved a lavpassltrere det digitale signalet...). Da hadde vi hatt de kontinuerlige strekene innenfor intervallet [,f N ;f N ], og de stiplete utenfor. Gjr vi dette na (for eksempel om vi \tror" at signalet ble samplet riktig), ser vi at vi vil rekonstruere spektret i gur 9 i stedet for spektret i gur 7. 7

8 /2 f δ f / t f N Figure 8: Imaginr delen av spektret til sinus-funksjonen etter sampling (digitalt signal) /2 - f N f f N / t Figure 9: Feil rekonstruksjon av det analoge signalet p.g.a. aliasing 8

9 2 Aliased sinus signal fn=0hz, deltaf=4.3hz Original signal Aliased signal Figure 0: Imaginr del av spektret til det analoge signalet vi rekonstruerer ut fra spektret i gur 7 Dette er spektret til en sinus funksjon z(t) =,sin(2(f N,f)t), som er forskjellig fra y(t). Blant annet har den en annen frekvens. Ved sampling med for lav frekvens (d.v.s. med tidssampler som ikke har vrt tette nok) har vi fjernet den opprinnelige \riktige" frekvensen f N + f, og vi far en foldet \uriktig" frekvens f N,f. Dette blir illustreres i gur 0: De to kurvene representerer de to analoge signaler (det opprinnelige og det "uriktige") med spektrene tegnet i gur 7 og 9. Punktprvene faller akkurat der disse signalene trees. Punktprver vi et av de to analoge signalene med sampligfrekvens 2f N, far vi de samme punktprvene, tilsvarende spektret tegnet i gur 8. Forskjellen mellom de to analoge signalene er at samplingsteoremet ikke er tilfredstilt for det frste signalet... b) Dette eksemplet viser at: Hvis det eksisterer, i det analoge signalet, frekvenser over f N, vil disse frekvensene ikke bare forsvinne nar vi sampler, men de vil ogsa danne frekvenser i det digitale signalet, som ikke eksisterte i det opprinnelige signalet. For a unnga dette kan vi ltrere bort frekvensene over f N i det analoge (kontinuerlige) signalet. Filteret som skal brukes er selvsagt analogt og lavpass. Et slikt lter kalles for \anti-alias lter". I vart eksempel far vi da ikke noe signal etter ltrering og sampling, i stedet for et falskt signal. 9