Fakta om fouriertransformasjonen

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Fakta om fouriertransformasjonen"

Knut Farstad
7 år siden
Visninger:

1 Fakta om fouriertransformasjonen TMA413/TMA415, V13 Notasjon Fouriertransformasjonen til funksjonen f er F[f](ω) = ˆf(ω) = 1 Den inverse fouriertransformasjonen er F 1 [g](x) = 1 f(x)e iωx dx g(ω)e iωx d ω Det viser seg at disse er inverse, f = F 1 [F[f]], så og f(x) = 1 ˆf(ω)e iωx d ω f(x) = 1 f(v)e iω(x v) dv d ω. (1) Formel (1) kalles fourierintegralet til f. Noen egenskaper 1. Vi får at ˆf() = 1 f() = 1 f(x) dx ˆf(ω) d ω. Basert på notat av Harald Krogstad. Notatet er kortfattet og er kun ment som en oversikt. For flere detaljer, se Kreyszig eller andre bøker om fouriertransformasjonen. 1

2 . Linearitet. Fouriertransformasjonen og dens inverse er lineære operatorer: der a og b er vilkårlige konstanter F[af + bg] = a F[f] + b F[g] F 1 [af + bg] = a F 1 [f] + b F 1 [g] 3. FT til FT. Hvis g(x) = F[f](x), < x <, så er F[g](ω) = f( ω). 4. Translasjon. Fouriertransformasjonen til en translasjon er Hvis g(x) = e iωx f(x) så er F[f(x x )](ω) = e iωx F[f](ω). F[g](ω) = F[f](ω ω ). 5. Strekking og komprimering. Fouriertransformasjonen til en reskalering er F[f(ax)](ω) = 1 ( ω ) a F[f]. a Når funksjonen strekkes ut så trykkes fouriertransformasjonen sammen, og omvendt. Se figur.

3 6. Derivasjonsregler. Anta f(x) når x. (a) Den fouriertransformerte til en nte-derivert er F[f (n) (x)](ω) = (iω) n F[f](ω). (b) Den inverse fouriertransformasjonen til en nte-derivert er F 1 [f (n) (ω)](x) = ( ix) n F 1 [f](x). 7. Jamne og odde funksjoner. f jamn ˆf jamn f odde ˆf odde Dersom f er en jamn funksjon kan vi bruke eulers formel til å forenkle formlene for fouriertransformasjonen og dens invers: ˆf(ω) = 1 f(x) = 1 f(x)e iωx = ˆf(x)e iωx = f(x) cos ωx dx ˆf(x) cos ωx dx () Dersom f er en odde funksjon vil ˆf(ω) = 1 f(x) = 1 f(x)e iωx = i ˆf(x)e iωx = i f(x) sin ωx dx ˆf(x) sin ωx dx (3) Boken kaller integralene i () for henholdsvis fourier cosinus-transformasjonen ˆf c og den inverse fourier cosinus-transformasjonen. Integralene f(x) sin ωx dx ˆf(x) sin ωx dx i (3) kalles henholdsvis fourier sinus-transformasjonen ˆf s og den inverse fourier sinus-transformasjonen. Merk at fouriertransformasjonen til en generell f kan skrives som ˆf(ω) = ˆf c (ω) i ˆf s (ω). 3

4 Fouriertransformasjonen og konvolusjon Definisjon. Konvolusjonen av f og g er definert ved (f g)(x) = Merk: dette er ekvivalent med Vi har Får dermed (f g)(x) = f(p)g(x p) dp. f(x p)g(p) dp. F[f g](ω) = ˆf ĝ F 1 [ ˆf ĝ] = 1 f g. (f g)(x) = ˆf(ω)ĝ(ω)e iωx d ω. Merk: f g = g f. I operasjonen f h f representerer h et såkalt filter. Et filter er en transformasjon L som sender en funksjon f til L(f). Filteret er lineært dersom L(af + bg) = al(f) + bl(g), og translasjonsinvariant (også kalt tidsinvariant) dersom L[f x ] = (Lf) x, der f x betegner funksjonen f(x x ). Konvolusjonsfilteret f h f er både lineært og translasjonsinvariant: og h (af + gh) = a(h f) + b(h g) (h f) x = h f x. Det viser seg at alle lineære og translasjonsinvariante filtre kan representeres ved konvolusjon. Dermed kan en beregne resultatet av filtreringen via fouriertransformasjonen. Dette er en av de aller viktigste anvendelsene av fouriertransformasjonen. Deltafunksjonen Deltafunksjonen δ(x) er en såkalt generalisert funksjon (Kreyszig, 1. utgave, ch. 6, s. 6). Det er vanlig å beskrive δ som en funksjon som er overalt bortsett fra i x = der den er uendelig, og med totalt areal under grafen lik 1: {, x = δ(x) = og δ(x) = 1, ellers 4

5 men dette gir ikke en veldefinert funksjon. 1 Tenk på δ(x) eller, mer generelt δ(x x ), som en impuls eller spike konsentrert i ett enkelt punkt x = x. Den viktigste egenskapen til δ(x) er eller mer generelt δ(x x )f(x) dx = δ(x)f(x) dx = f(), Fouriertransformasjonen til deltafunksjonen. ˆδ(ω) = 1 δ(x x)f(x) = f(x ). δ(x)e iωx dx = 1 e iω = 1. Fouriertransformasjonen til deltafunksjonen er lik konstanten 1/. Konvolusjon med deltafunksjonen. det vil si, (δ f)(x) = δ(x p)f(p) dp = f(x), δ f = f. Konvolusjon med deltafunksjonen gir samme funksjon. Fouriertransformasjonen av en gaussfunksjon La f(x) = e x /. Dette gir en såkalte gausskurve (eller bell curve ). Funksjonen er enormt viktig, både i matematikk og statistikk (normalfordelingen). Vi skal finne den fouriertransformerte ˆf til f. Siden f (x) = xe x / vil f tilfredstille differensialligningen f (x) + xf(x) =. (4) 1 for en rigorøs definisjon av deltafunksjonen, se f.eks. Dirac_delta_function og referansene gitt der. 5

6 Fra derivasjonsregelene for fouriertransformasjonen får vi = F[f + xf](ω) = F[f ](ω) + F[xf](ω) = (iω)f[f](ω) + if[ ixf](ω), (i = 1) = (iω) ˆf(ω) + i ˆf (ω), så ˆf (ω) + ω ˆf(ω) =. Den fouriertransformerte ˆf vil også tilfredstille (4)! Dermed må ˆf(ω) = Cf(ω) = Ce ω /, der C er en konstant. Vi ønsker å bestemme C. Har 1 = f() = 1 ˆf(ω) d ω = 1 C e ω / d ω Dette siste integralet er kjent. Faktisk er e x dx =, og vi får C = 1. Altså: F [ e x / ] = e ω /. Den fouriertransformerte til en gaussfunksjon er en gaussfunksjon. Parsevals teorem Akkuratt som for fourierrekker finnes det et Parsevals teorem (også kalt Parsevals identitet eller Plancherels formel) som knytter integralet av f(x) til fouriertransformasjonen: f(x) dx = ˆf(ω) d ω. Med andre ord: energien f(x) dx til funksjonen f i tids-domenet er lik energien ˆf(ω) d ω i frekvens-domenet. Se f.eks. 6

7 Bevis av Parsevals teorem. er ˆf(ω) : Viser først at fouriertransformasjonen til f( x) 1 f( x)e iωx dx = 1 Lar så g(x) = f( x) og får (g f)() = = = = Siden (f g)(x) = ˆf(ω)ĝ(ω)e iωx d ω vil f( x)e iωx dx = s=x 1 g( p)f(p) dp f( ( p))f(p) dp f(p)f(p) dp f(x) dx. f(s)e iωs dx = ˆf(ω). (g f)() = ĝ(ω) ˆf(ω) d ω = ˆf(ω) ˆf(ω) d ω = f(ω) d ω, som beviser Parsevals teorem. 7

Like dokumenter

Eksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D

Eksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Helge Holden a, Gard Spreemann b Tlf: a 92038625, b 93838503 Eksamensdato: 0. desember 205 Eksamenstid