2 Fourierrekker TMA4125 våren 2019

Transkript

1 Fourierrekker TMA45 våren 9 I M lærte du at mange glatte funksjoner kan skrives som en potensrekke. En mye større klasse av funksjoner kan skrives som rekker av sinus- cosinusfunksjoner. Komplekse funksjoner av en reell variabel I M M var alle funksjoner reelle. I M3 begynte vi så smått med komplekse funksjoner av en reell variabel når vi løste systemer av differensiallikninger. I dette kapitlet skal vi fortsette med det. En kompleks funksjon av en reell variabel er en funksjon f : R C Man kan tenke på f som en parametrisering av en kurve i det komplekse planet. Eksempel.. Funksjonen ( + i)x t beskriver en rett linje i første kvadrant i det komplekse planet. Eksempel.. Fra M3 husker du kanskje Eulers formel e ix cos x + i sin x. Periodiske funksjoner Når man skal forstå fourierrekker er det ikke mulig å komme utenom periodiske funksjoner. En funksjon sies å ha periode p > dersom f(x + p) f(x) (.) for alle x i definisjonsmengden til f. Den minste p slik at (.) holder, kalles fundamentalperioden til f. Eksempel.4. a sin x Denne funksjonen har perioder nπ for alle n N. Fundamentalperioden er π. Dersom f har periode p, g(x) f(kx), har g periode p/k, for g(x) f(kx) f(kx + p) Eksempel.5. a f (k (x + p/k)) g(x + p/k). sin(3x) Denne funksjonen har perioder nπ/3 for alle n N. Fundamentalperioden er π/3. Under er plot av funksjonene sin x, sin x sin 3x. Denne funksjonen kalles en kompleks eksponensialfunksjon. Merk at funksjonsverdiene ligger på enhetssirkelen i det komplekse planet, slik at funksjonen kan betraktes som en parametrisering av denne. I mange tilfeller er det gunstig å skrive en reell funksjon som en kompleks funksjon. Det ser mer komplisert ut, men kan gjøre livet enklere. Eksempel.3. Dersom vi erstatter x med x i Eulers formel, får vi e ix cos x i sin x. Disse to likningene kan kombineres til cos x eix + e ix sin x eix e ix. i Med andre ord: om vi har en funksjon som involverer sinus- cosinusfunksjoner, kan den like gjerne skrives med komplekse eksponensialfunksjoner. Sinus- cosinusfunksjoner har du jobbet med siden gymnaset, derfor er de intuitive å jobbe med, dessuten er de lette å visualisere. Komplekse eksponensialfunksjoner er vanskeligere å se for seg, men ofte mer praktiske i bruk, spesielt når man skal bevise ting. Dessuten er fouriertransform, som kommer i neste kapittel, umulig å forstå uten komplekse eksponensialfunksjoner. Eksempel.6. Siden e ix cos x + i sin x har denne funksjonen så fundamentalperiode π. Ortonale systemer a f g være komplekse funksjoner av en reell variabel på intervallet [a, b]. Integralet b a f g er en generalisering av indreproduktet mellom vektorer fra M3, har alle de samme egenskapene. Vi sier at f g er ortonale på [a, b] dersom b a f g.

2 Et ortonalt system er familie av funksjoner som er innbyrdes ortonale. Merk at siden f f, er b a f f. Den eneste funksjonen som tilfredsstiller er f. b a f f Eksempel.7. De komplekse eksponensialfunksjonene e inx n Z utgjør et ortonalt system på intervallet [, π]: e inx e mx e i(n m)x e inx e imx π for n m for n m Dersom f g er reelle, blir f f g g, slik at indreproduktet kan skrives b a f g. Reelle funksjoner kan så danne ortonale systemer. Eksempel.8. a m, n. Siden π π for n m cos nx cos mx; for n m sin nx sin mx; π for n m for n m cos nx sin mx; utgjør sin nx, cos mx} så et ortonalt system på [, π]. Vi beviser at cosinusfunksjonene er ortonale. Først skriver vi om litt: cos nx cos mx; cos(n + m)x + cos(n m)x Det siste integralet er lett å beregne. Det forsvinner for alle verdier av m n, unntatt når m n, for da er π cos(n m)x π, slik at cos nx cos mx; π for n m for n m De to andre formlene bevises på samme måte. Eksempel.9. egendrepolynomene er gitt ved rekursjonen P P x (n + )P n+ (x) (n + )xp n (x) np n (x). er et ortonalt system på intervallet [, ]. De første fem polynomene er: P P x P (3x ) P 3 (5x3 3x) P 4 8 (35x4 3x + 3) Vi skal ikke ha bruk for legendrepolynomene i dette kapitlet, men vi skal møte dem igjen i kapitlene om interpolasjon numerisk integrasjon. Trigonometriske rekker En trigonometrisk rekke er et uttrykk på formen Dersom f er gitt ved en trigonometrisk rekke, er det lett å utlede formler for koeffisientene c n. Teorem.. Dersom er konvergent, er c n π f(x)e inx Bevis. Vi ganger den trigonometriske rekken med e imx : integrerer f(x)e imx f(x)e imx e imx, c n e i(n m)x, bruker at de komplekse eksponensialene er ortonale: f(x)e imx πc m. Merk til slutt at en trigonometrisk rekke er en geometrisk rekke med multiplikasjonsfaktor e ix.

3 Fourierrekker I forrige avsnitt definerte vi f ved en trigonometrisk rekke, utledet et uttrykk for koeffisientene. Siden funksjonene i den trigonometriske rekken er ortonale, var dette en relativt lett jobb. Men vi antok at f kunne skrives som en trigonometrisk rekke. I dette avsnittet skal vi gå motsatt vei, spørre om hvilke funksjoner som kan skrives som en lineærkombinasjon av komplekse eksponensialer. Er det riktig å skrive for alle funksjoner f? Ved første øyekast kan man bli forledet til å tro at kun harmoniske svingebevegelser kan skrives på denne måten, det trodde de fleste matematikere helt frem til 8-tallet en gang. Det viser seg imidlertid at nesten alle funksjoner mellom himmel jord kan skrives som trigonometriske rekker, bare man løsner litt på konvergensbegrepet. Det har ikke vi mulighet til å gjøre ordentlig, men vi skal skrive opp et klassisk konvergensteorem, innleder med følgende definisjon. Definisjon. a f være en funksjon. Vi definerer f sin fourierrekke som der skriver c n f(x)e inx, π f(x). Spørsmålet er nå om det går fint å skrive likhetstegn mellom f fourierrekken til f. Det gjør det i mange tilfeller. Teorem.. a f være en stykkvis kontinuerlig deriverbar funksjon på [, π], der den venstre- høyrederiverte eksisterer i eventuelle bruddpunkter, la f. Hvis f er kontinuerlig i punktet x, konvergerer fourierrekken til f(x) i x. Dersom f ikke er kontinuerlig i x, konvergerer fourierrekken til f(x h) + f(x + h). h + I endepunktene konvergerer fourierrekken til f(π h) + f( + h). h + Beviset er dessverre for hardt for oss, men et par enkle korollarer kan vi skrive opp. Korollar.. a f være en kontinuerlig deriverbar funksjon. Da er på (, π). Korollar.3. a f være en kontinuerlig deriverbar funksjon med periode π. Da er på [, π]. Kommentar. Det finnes noen berømte eksempler på kontinuerlige funksjoner der fourierrekken ikke konvergerer i alle punkter. Så kontinuerlig deriverbarhet er nødvendig for å garanterer konvergens til f(x). Å vise at den trigonometriske rekken konvergerer i det hele tatt, er mye lettere å vise enn at den konvergerer til f(x), men vi dropper det. Eksempel.4. Vi finner fourierrekken til Vi beregner x der x (, π). c x, π c n xe inx π in (e inπ + e inπ ) in ( )n+ cos nπ. in Siden x er glatt på intervallet (, π), blir fourierrekken ( ) n+ x e inx in n ( ) n+ e inx ( ) n+ in in n n ( ) n+ sin nx. n n e inx Fourierkoeffisientene er definert ved integraler. Derfor kan vi, akkurat som med laplacetransform, forvente at to funksjoner har samme fourierrekke selv om de er forskjellige i isolerte punkter. Fourierrekker på reell form Dersom f er reell, blir fourierrekken så reell, som illustrert i forrige eksempel. Vi kan fint sette opp fourierrekken direkte med sinus- cosinusfunksjoner: f a + a n cos nx + b n sin nx. n 3

4 med koeffisienter a π f(x) a n π b n π f(x) sin nx. f(x) cos nx Disse utledes på samme måte som for de komplekse eksponensialene, men alt blir noe mer grisete, så vi skal ikke gjenta hele diskusjonen. Eksempel.5. Vi finner fourierrekken til x der x (, π). Eksempel.7. Heavisidefunksjonens fourierrekke u(x) + sin(n )x π n n har partialsummer på formen S N + π n sin(n )x n Under er plot av partialsummer for n, 5, 5. Jeg har plottet på intervallet [, π] for å illustrere hvordan fourierrekken oppfører seg utenfor intervallet [, π]. en gang til. Vi beregner a π x a n π b n π x sin nx n ( )n+ x cos nx Merk at symmetri gir a a n, mens b n må beregnes. Fourierrekken blir som kjent ( ) n+ x sin nx. n n Eksempel.6. Vi finner heavisidefunksjonen for x u(x) for x <. sin reelle fourierrekke på (, π). Vi beregner a π u(x) π a n π b n π u(x) cos nx π nπ u(x) sin nx π for n oddetall for n partall. Altså kan vi skrive u(x) + π n cos nx sin nx sin(n )x n Fourierrekken konvergerer til u på intervallene (, ) (, π), til / i x x ±π. Partialsummer Uttrykket S N n N kalles den N-te partialsummen til fourierrekken. Uttrykket D N (x) n N e inx kalles dirichletkjernen. Den er en reell funksjon, for vi kan skrive D N e inx + cos nx. n N n 4

5 Under er et plot av dirichletkjernen for N. Vi kan så lage en enda penere formel. Først utnytter vi at en trigonometrisk rekke er en geometrisk rekke med faktor e ix, skriver Siden e inx N n N kan vi beregne n N e inx n e i(n+/)x e inx ei(n+)x e ix. e ix/ e inx e inx e i(n+/)x e ix/ e inx n N e inx e i(n+/)x + e i(n+/)x e ix/ e ix/ sin ( ) N + x sin x. for x. Siden D N () N +, sin ( N + ) x x sin x N + N +, kan vi skrive sin(n+ )x x D n (x) sin x N + x Vi kan bruke dirichletkjernen til å skrive partialsummen til en fourierrekke som en konvolusjon: π n N n N f(y) f(y)e iny dy e inx n N e in(x y) dy f(y)d n (x y) dy f D n. Det er ikke så vanskelig demonstrere punktvis konvergens for funksjoner som er litt mer enn bare kontinuerlige. Man starter da med å analysere partialsummene på konvolusjonsform. Vi skal få bruk for dirichletkjernen igjen i kapitlet om interpolasjon. Til dere som senere skal ta Vi skal ta med et teorem om approksimasjonsegenskapene til partialsummen S N. Dersom man måler approksimasjonsfeilen som S N (x) f(x), er fourierkoeffisientene c n det optimale valget av koeffisienter. Teorem.8. a f være en reell funksjon. a R N (x) d n e inx S N (x) n N n N. Dersom d n er fritt valgte koeffisienter, er c n π f(x) S N (x) for alle valg av R N. f(x)e inx f(x) R N (x) Bevis. Vi beregner (her må du kanskje frem med penn papir) f(x) R N (x) (f R N )(f R N ) f fr N fr N + R N f(x) d n c n c n d n + d n f(x) c n + c n d n. Den siste linjen viser at minimeres om d n c n. f(x) R N (x) Formler for overgang mellom kompleks reell fourierrekke Vi har sett i eksempler at dersom f er en reell funksjon, blir fourierrekken så reell, til tross for at de trigonometriske eksponensialene er komplekse funksjoner. Dette følger av formelen for koeffisientene c n. Dersom f er reell, kan vi skrive c n π π π f(x)e inx f(x)e inx f(x)e inx c n 5

6 Dette betyr at + c n e inx + blir en reell funksjon, følgelig er hele fourierrekken reell. Vi kan utlede formler for overgangen mellom fourierrekker på reell kompleks form: c n + c n ( f(x)e inx + π ( π π f(x) ( e inx + e inx) f(x) cos nx a n ) f(x)e inx ) Eksempel.9. Vi beregner den komplekse fourierrekken til heavisidefunksjonen på [, ]. Koeffisientene blir slik at c n u(x) + πi nπx i f(x)e nπx i e n n for n nπi for odde n for jevne n, (n ) e(n )πix. c n c n ( f(x)e inx π ( π i π f(x) ( e inx e inx) f(x) sin nx ib n ) f(x)e inx ) Vi kan selvfølgelig så snu om på disse formlene, skrive c n (a n ib n ) c n (a n + ib n ). Fourierrekker på andre intervaller Merk nok en gang at slik at c n e nπix + c n e nπix sin nπx, nπ u(x) + πi n n + π n Odde jevne funksjoner (n ) e(n )πix sin(n )πx. n Vi sier at en funksjon er odde dersom Å utlede formler for fourierrekker på andre intervaller enn [, π] er ikke vanskelig. For intervallet [, ] skriver man eller f a + n Koeffisientene er gitt ved a n cos nπx c n e i nπx. (.) + b n sin nπx. c n nπx i f(x)e, a a n b n f(x) f(x) cos nπx f(x) sin nπx henholdsvis. Utledning er identisk med utledning på intervallet [, π]. På samme måte kan man sette opp fourierrekker på intervallet [a, b], men det dropper vi. jevn dersom f( x) f(x) f( x) f(x). for alle x i definisjonsmengden til f. Grafen til en odde funksjon blir identisk dersom du dreier den π radianer om origo, mens grafen til en jevn funksjon blir identisk dersom du speiler den om y-aksen. En rask kikk på figur overbeviser oss om at for odde funksjoner, for jevne funksjoner. f(x) f(x) f(x) Eksempel.. Man kan vise at produktet av to jevne eller to odde funksjoner blir en jevn funksjon, at produktet av en jevn en odde funksjon blir en odde funksjon. a f være odde g være jevn. Siden f( x) f(x), g( x) g(x), får vi f( x)g( x) f(x)g(x), altså er fg en odde funksjon. De andre tilfellene bevises på samme måte. 6

7 a n π slik at x π 4 π x cos nx n 4 πn for odde n for for jevne n. cos(n )x (n ) Eksempel.. Merk at u er en odde funksjon. Denne strukturen kommer til syne i fourierrekken til u. Vi merker oss at dersom f er odde, er a n for alle n, mens dersom f er jevn, er b n for alle n. Fourierrekken til en odde funksjon inneholder følgelig kun sinusfunksjoner, mens fourierrekken til jevne funksjoner inneholder kun cosinusfunksjoner. Odde jevne utvidelser Dersom en funksjon f har definisjonsmengde (, ), kan vi definere den odde utvidelsen f(x) for x (, ) f o f( x) for x (, ) den jevne utvidelsen f(x) for x (, ) f j f( x) for x (, ). Siden både f o f j er identiske med f på (, ), vil fourierrekkene deres konvergere til f(x) på (, ). Man kan således velge mellom sinus eller cosinus når man skal fourierutvikle f på (, ). Disse kalles henholdsvis sinus- cosinusrekkene til f på (, ). Vi ser på fourierutviklingen til f o. For den har vi at a n for alle n, at b n f o (x) sin nπx f(x) sin nπx. For fourierutviklingen til f j, har vi tilsvarende at samt a n f j (x) cos nπx f(x) cos nπx a f j (x) f(x). Eksempel.. Vi beregner cosinusrekken til x på (, π). Koeffisientene blir a π x π/ på intervallet (, π). Under er et plot af x cosinusrekken på et litt større intervall enn [, π] Parsevals identitet Teorem.3. Anta integralet eksisterer, at f (x) c n e i nπx. Da gjelder Parsevals identitet: f (x) a + c n a n + b n n Bevis. Denne er lettest å bevise om man starter på kompleks form c n e i nπx. 7

8 Vi ganger denne likheten med seg selv f (x) integrerer f (x) c n e i nπx c n e i nπx m m m m c m e i mπx c m e i mπx c n c m e i (n m)πx c n c n c n c m c n c n e i (n m)πx c n. ikningen f (x) a + a n + b n vises på samme måte. Noen artige anvendelser n Her er en samling eksempler som ofte dukker opp på eksamen i M4. Eksempel.4. Vi kan bruke fourierrekken til heavisidefunksjonen til å finne summen til rekken Siden u(x) + π n u er glatt i x π/, ser vi at u(π/) + π Dette betyr at n + π ( ) n+ n n ( ) n+ n sin(n )x n n n n sin(n )π ( ) n+ n. ( ) π π 4. Eksempel.5. Vi kan bruke Parsevals identitet til å finne summen til den kjente kjære rekken Siden x n n. ( ) n+ sin nx, n n gir Parsevals identitet at eller Epil π 3 π x b n 4 n, n π 6 n. n n Du husker kanskje projeksjon fra M3. Vi gjengir et avsnitt. Denne epilen er ikke essensiell lesning dersom du bare ønsker å komme deg gjennom eksamen, men viktig hvis du ønsker å sette fourieranalysen i sammenheng med ting du har lært tidligere. Hvis vi har en ortonal basis for et rom, er det veldig lett å finne en vektors komponenter i rommet. a oss si at vi ønsker å finne vektoren v sine komponenter i basisen u, u, u n. Komponentene til v er gitt ved likningen v x u + x u +...x n u n Ux Hvis vi ganger begge sider av denne likningen med U, får vi U v U Ux, siden kolonnene til U er ortonale, blir den kvadratiske matrisen U U diagonal: u u... u u... U U u 3u u nu n Følgelig er løsningen av systemet U v U Ux enkel å skrive opp. Teorem.6. a u, u,...,u n være en ortonal basis for V, la v V. I så fall kan v skrives v u v u u u + u v u u u u nv n u u n nu n Fourieranalyse er akkurat det samme, bare i uendelig mange dimensjoner. Vi definerer indreprodukt som f g, lager oss en ortonal mengde, for eksempel e inx n Z prøver å skrive funksjoner som der c n f(x)e inx. π 8

9 Uttrykket kan betraktes som projeksjonen av f ned i det uendeligdimensjonale rommet utspent av funksjonene e inx, koeffisienten π f(x)e inx π er f sin komponent langs vektoren e inx. Husk at π e inx e mx π for n m for n m Denne beregningen forteller oss både at funksjonene e inx er ortonale, samt at indreproduktet av dem med seg selv blir π. I M3 ville vi skrevet u nv u nu n π, så satt sammen alt ved f(x)e inx, v u v u u u + u v u u u + Det kan så nevnes at Parsevals teorem er en uendeligdimensjonal variant av Pytagoras teorem, som du lærte allerede på ungdomsskolen. Det er naturlig å spørre seg hva slags vektorrom funksjonene e inx er basis for. Dette er et komplisert spørsmål, ble ikke ordentlig besvart før tidlig på 9-tallet. Rommet heter, vi skal snakke litt løst om ingrediensene i konstruksjonen. For det første må man gå over til å betrakte ekvivalensklasser av funksjoner, heller enn funksjoner. Grunnen er at funksjoner som kun er forskjellige i enkelte punkter her der, vil ha den samme fourierrekken, dette kan vi ikke ha noe av, for et element i rommet bør helst kunne representeres på en entydig måte i basisen e inx }. For det andre må man justere litt på konvergensbegrepet. Hva vil det si at rekken konvergerer til f? Punktvis konvergens, altså at fourierrekken konvergerer til f for hver x, gir vi opp, for det kan vi jo ikke forvente uansett. Vi beviser heller at ( ) π f(x) når N. n N som kalles -konvergens. Denne konvergensen sier i prinsippet at arealet mellom f partialsummen skal gå mot null når partialsummen går mot fourierrekken til f. Når alt dette er sagt gjort, ekvivalensklasser av funksjoner er definert, -konvergens er tatt i bruk, kan man vise at består, litt forenklet, av alle funksjoner som tilfredsstiller f f f <. Joseph Fourier oppfant fourierrekker da han prøvde å løse varmelikningen tidlig på 8-tallet. Ideene hans ble i noen grad avskrevet av samtidige matematikere, for bevisene hans holdt ikke alltid vann. Men eksemplene han oppdrev på at en diskontinuerlig funksjon kan skrives som en uendelig rekke av glatte funksjoner, var banebrytende, stimulerte andre matematikere til å utvikle nytt maskineri for å rydde opp i disse konvergensspørsmålene, som Fourier bare gjettet tildels riktig på. Andre artige opplysninger om Joseph Fourier, er at at han ble satt i fengsel under den franske revolusjon, dro til Egypt med Napoleon Bonaparte, regnes som første som oppdaget drivhuseffekten. Det kan så nevnes at legendrepolynomene er en ortonal basis for [, ]. For deg som er skikkelig interessert, inkluderer vi et lite konvergensbevis helt til slutt. Teorem.7. a f være en π-periodisk funksjon, la x være et punkt slik at f(x t) f(x) M t for alle t (, π). Da er N n N f(x). Merk at betingelsene i dette teoremet er noe strengere enn i det store konvergensteoremet lenger opp. Derfor er beviset mulig å gjennomføre for oss. Bevis. Husk dirichletkjernen D n (x) n N For det første er det lett å se at D n (t) dt n N e inx. e inx dt π, siden D N er en π-periodisk funksjon, kan vi like gjerne skrive D n (t) dt D n (t x) dt π. På grunn av denne likningen, kan vi, siden både f D N er π-periodiske, skrive f(x)d n (t) dt π 9

10 Siden både f D N er π-periodiske, kan vi skrive n N f(t)d n (x t) dt π π Alt dette kan vi slå sammen til f(x) n N π Vi tar en titt på funksjonen f(t x)d n (t) dt (f(t x) f(x)) D n (t) dt. Vi kan så projisere en vektor ned i et rom der den ikke hører hjemme. Projeksjonen minimerer avstanden fra rommet til vektoren. Teorem.8. a u, u,...,u n være en ortonal basis for V, la v / V. Punktet v u v u u u + u v u u u u nv n u u n nu n er det punktet i V som har kortest avstand til v: v v min v w w V g(t) f(t x) f(x) sin t/ Siden f(t x) f(x) M t, er denne funksjonen er begrenset på [, π]. Den er ikke definert for t, men det gjør ikke noe, for vi skal bare integrere den. Nå skriver vi f(x) n N g(t) sin(n + /)t dt π π + π g(t) cos t/ sin Nt dt g(t) sin t/ cos Nt dt De to siste integralene er fourierkoeffisientene b n til g(t) cos t/ a n til g(t) sin t/. I beviset for teorem.8 kan man se at f(x) c n. følgelig må c n være en konvergent rekke. Men da må så a n + b n n være en konvergent rekke, følgelig må Med andre ord må både slik at n n a n b n. n n π g(t) cos t/ sin Nt dt π g(t) sin t/ cos Nt dt π N n N f(x). Til slutt kan nevnes at teorem.8 er egentlig bare en versjon av følgende teorem fra M3. I prinsippet kunne vi bevist.8 på samme måte som i M3, men det hadde vært litt jobb å sette opp alt sammen.