7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon

Transkript

1 Notat 07 for MAT Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med en orden. Vi sier at ordenen er kompatibel med addisjon og multiplikasjon når følgende holder: x, y, z x y = x + z y + z, (1) x, y (0 x 0 y) = 0 xy. (2) En ordnet ring er en ring utstyrt med en orden som er kompatibel med addisjon og multiplikasjon. En totalt ordnet ring er ordnet ring der ordenen er total, mens en partielt ordnet ring er en ordnet ring der ordenen er partiell. (Når man bare snakker om en ordnet ring, er det som regel en totalt ordnet ring man sikter til, med mindre man presiserer at det er en partielt ordnet ring). Proposisjon 7.1. I en totalt ordnet ring har vi: Vi har x 0 x 0. For alle x, xx Hvis x y og z 0, så zx zy. Hvis x er invertibel har vi x > 0 hvis og bare hvis x 1 > 0. Hvis x 0, y 0 og x + y = 0, har vi x = y = 0. Igjen kan vi presisere hva vi har i tankene, gjennom eksempler vi skal komme tilbake til: Eksempel 7.1. Z er en totalt ordnet ring. Q er en totalt ordnet kropp. R er en totalt ordnet kropp. Bemerkning 7.1. Man kan vise at det ikke finnes noen total orden som er kompatibel med ringstrukturen på B (den binære kroppen). Det samme gjelder for C (de komplekse tallene). 1

2 7.1 De hele og de naturlige tallene De hele tallene utgjør en ikke-triviell ordnet ring Z slik at vi kan gjøre induksjonsbevis for å etablere egenskaper ved de positive hele tallene, også kalt de naturlige tallene. De naturlige tallene utgjør altså en mengde N definert som: og vi har følgende prinsipp: N = {x Z : x 0}, (3) Aksiom 7.1 (Induksjon). La P være en egenskap definert på N (med andre ord har vi et utsagn P (n) for hver n N). Dersom vi har: P (0) er sant, n N P (n) = P (n + 1), kan vi konkludere at, for hver n N har vi P (n). Bemerkning 7.2. La m Z og definer I m = {n Z : n m}. Anta at P (n) er et utsagn for hver n I m. For å vise at P (n) holder for alle n I m er det nok å vise at : P (m) er sant, n I m P (n) = P (n + 1). Følger definert ved induksjon Definisjon 7.1. La A være en ikke-tom mengde. En følge i A er en avbildning fra N til A. Notasjon: Dersom u : N A er en følge er det vanlig å skrive u n heller enn u(n) for verdien til u i n N, og å betegne følgen som (u n ) n N. Vi foreslår at man også kan skrive følgen u som: (u n : n N). (4) Merk at vi skiller følgen fra dens verdimengde, som er en delmengde av A som skrives: {u n : n N}. (5) Mange følger vil bli definert som følger (!): Teorem 7.2 (Følger definert ved induksjon). For hver mengde A, for hver avbildning f : A A og for hvert element x A finnes det en og bare en følge (u n ) n N i A slik at: u 0 = x, (6) n N u n+1 = f(u n ). (7) 2

3 Eksempel 7.2. La A være utstyrt med en assosiativ operasjon som skrives multiplikativt og med neutralt element 1. Gitt x A er følgen (x n ) n N entydig bestemt av å kreve: x 0 = 1, (8) n N x n+1 = x n x. (9) Proposisjon 7.3. Under forutsetningene i forrige eksempel har vi, for alle m, n N: Hvis x og y kommuterer har vi også, for alle n N: x m+n = x m x n, (10) (x m ) n = x mn. (11) x n y n = (xy) n. (12) Eksempel 7.3. Et spesialtilfelle av forrige eksempel er at dersom U er en mengde og f : U U en avbildning, defineres potensen til f med hensyn på komposisjon ved f 0 = id U og f n+1 = f n f. Vi sier at f n består i å iterere f, n ganger. Men dersom vi ser på avbildninger A R, og vi har valgt en f : A R, kan vi også definere potensen til f med hensyn på funksjonsmultiplikasjon (også kalt punktvis multiplikasjon). Da har vi f 0 = 1 (den konstante avbildningen A R) og f n+1 = f n f. Det kan være gunstig å skille på disse to typene potenser notasjonsmessig. For eksempel, når f : R R er identitetsavbildningen må vi skille mellom den n-te potensen med hensyn på komposisjon, som er identitetsavbildningen, og den n-te potensen med hensyn på multiplikasjon, som er x x n. La P være en egenskap definert for de hele tallene. Vi kan bevise utsagnet ved å bevise de to utsagnene: n Z P (n), (13) n N P (n), (14) n N P ( n). (15) Disse to utsagnene kan bevises ved induksjon. Noen ganger kan det være mer effektivt å gå frem litt annerledes, basert på: Proposisjon 7.4. La P (n) være et utsagn definert for hver n Z. Anta at: Da har vi, for alle n Z, at P (n). P (0), (16) n Z P (n) P (n + 1). (17) 3

4 Når I er en delmengde av Z er det også vanlig å omtale avbildninger I A som følger i A, og bruke tilsvarende notasjon, eksempelvis (u n ) n I. Når f : A A er en bijeksjon, kan man styrke Teorem 7.2 som følger: Teorem 7.5. For hver mengde A, for hver bijeksjon f : A A og for hvert element x A finnes det en og bare en følge (u n ) n Z i A slik at: u 0 = x, (18) n Z u n+1 = f(u n ). (19) Eksempel 7.4. La A være utstyrt med en assosiativ operasjon som skrives multiplikativt og med neutralt element 1. Gitt et invertibelt element x A er følgen (x n ) n Z entydig bestemt av å kreve: x 0 = 1, (20) n Z x n+1 = x n x. (21) Merk at denne definisjonen er konsistent med å notere inversen til x som x 1, slik vi er vant med. Eksempel 7.5. Hvis vi antar i stedet at A er utstyrt med en operasjon som skrives additivt (en slik operasjon vil da være assosiativ, kommutativ, ha 0 som neutralt element og hvert element x vil ha en additiv invers), blir notasjonen litt annerledes: Da leder forrige eksempel til å definere nx for n Z og x i A, slik at: 0x = 0, (22) (n + 1)x = nx + x. (23) Eksempel 7.6. De to forrige eksemplene brukes spesielt når A er en ring. Da defineres både: nx for x A og n Z, ved hjelp av addisjonen, x n for x A og n N, ved hjelp av multiplikasjonen. Når x er invertibel defineres x n for n Z. Proposisjon 7.6. Under forutsetningene i Eksempel 7.4 har vi, for alle m, n Z: x m+n = x m x n, (24) (x m ) n = x mn. (25) Hvis x og y er invertible og kommuterer har vi også, for alle n Z: x n y n = (xy) n. (26) 4

5 Oppgaver Oppgave 7.1. Gi bevis for Bemerkning 7.1. Oppgave 7.2. Vi utstyrer R med sin vanlige orden. La A være en ikke-tom mengde. Vi betrakter funksjonsringen R A. For f, g R A definerer vi: f g ( x A f(x) g(x)) (27) (i) Vis at er kompatibel med addisjon og multiplikasjon på R A. (ii) Vis at denne ordenen ikke er total, når A har mer enn to elementer. Oppgave 7.3. (i) Gi en begrunnelse for Bemerkning 7.2. (ii) Vis at for n N med n 10 har vi: Her står man fritt til å bruke kjente identiteter i R. 2 n n 3. (28) Oppgave 7.4. (i) Gi induksjonsbevis for de tre potensreglene i Proposisjon 7.3 (bare det første ble gjennomgått i forelesningen). (ii) Gi induksjonsbevis for de tre potensreglene i Proposisjon 7.6. Oppgave 7.5. (i) I en ordnet ring R, er den positive konen 1 definert ved: P = {x R : x 0}. (29) Vis at P er stabil under addisjon og multiplikasjon. Vi innfører: P + P = {x + y : x, y P}, (30) P P = {xy : x, y P}, (31) P = { x : x P}. (32) Stabilitetsegenskapene kan da skrives som at P + P P og P P P. Vis at vi også har P P = {0}. (ii) Anta at P er en delmengde av en ring R med egenskapene: P + P P, P P P og P P = {0}. Vis at relasjonen på R definert ved x y y x P gjør R til en ordnet ring. Sjekk at det er den eneste ordensrelasjonen på R som gjør P til den positive konen. Oppgave 7.6. Vi vil vise at enhver ikke-tomme delmengde av N har et minste element. Anta derfor at A er en mengde uten minste element og vis ved induksjon at A er tom. 1 En vanlig notasjon for den positive konen i en ring R er ellers R +. 5

6 Appendix Det ble ikke tid til følgende under forelesningene. Forhåpentligvis blir det tid til dem senere i semesteret, da temaet er regneregler i en ring. Jeg lar det stå her inntil videre. En variant En variant av konstruksjonen av følger ved induksjon er: Proposisjon 7.7. La A være en mengde og f : N A A være en avbildning. For hver x A finnes det en og bare en følge (u n ) n N slik at: Eksempel 7.7. Fakultet er definert ved å kreve: Summetegn u 0 = x, (33) n Z u n+1 = f(n, u n ). (34) 0! = 1, (35) (n + 1)! = n!(n + 1). (36) For reelle tall har vi muligens allerede støtt på bruk av summasjonstegn, slik at: u n = u m + u m+1 + u m u n. (37) Som definisjon av summetegn er denne formelen ikke helt tilfredsstillende, da det ikke er helt klart hva betyr. Vi definerer derfor summasjon ved induksjon: Definisjon 7.2 (summasjonstegn). La A være utstyrt med en addisjon (assossiativ, kommutativ med neutralt element 0). Vi definerer summen til følger (u k ) k [[m,n]], ved induksjon på n (n m). Vi krever at: m u k = u m, (38) n+1 u k = ( u k ) + u n+1 hvis n m. (39) Vi føyer også til følgende definisjon: u k = 0 hvis n < m. (40) 6

7 En fordel med en slik definisjon, sammenliknet med bruk av..., er at den legger til rette for indukjonsbevis, for formler knyttet til summetegn. Eksempel 7.8. Vi bruker notasjon fra Eksempel 7.5 (der forutsetter vi også eksistens av additiv invers). Velg x A. Da har vi, for n m 1: x = (n m + 1)x. (41) Eksempel 7.9. Et mye brukt eksempel er følgende identitet i Z: k = k=0 n(n + 1). (42) 2 (Merk at n(n + 1) er et partall). Denne definisjonen av summetegn tilsvarer et valg av parenteser i (37) som kan skrives: u k = ( ((u m + u m+1 ) + u m+2 ) + ) + u n. (43) Helst skulle vi si at assosiativitet av addisjon medfører at vi kan sette parenteser ganske vilkårlig. Et presist eksempel på det prinsippet er: Proposisjon 7.8. For m l < n har vi: u k = l u k + k=l+1 Andre mye brukte regneregler for summetegn er: Proposisjon 7.9. Vi har: og: u k = (u k + v k ) = ( x n l l u k ) + ( u k = u k. (44) u k+l, (45) v k ), (46) xu k. (47) Proposisjon La x og y være kommuterende elementer i en ring. Da har vi, for n N : n 1 x n y n = (x y) x n 1 k y k. (48) 7 k=0

8 Eksempel Binomialkoeffisienter er definert ved induksjon (på n) ved å kreve først: ( ) 0 = 1, (49) 0 ( ) 0 for k N = 0. (50) k Deretter krever vi, for n N: ( ) n + 1 = 1, (51) 0 ( ) ( ) ( ) n + 1 n n for k N = +. (52) k + 1 k k + 1 Denne definisjonen er motivert ved induksjonsbevis for binomialformelen: Teorem La x og y være kommuterende elementer i en ring. Da har vi, for hver n N: ( ) n (x + y) n = x k y n k. (53) k k=0 Proposisjon Vi har følgende formel for binomial-koeffisientene, for 0 k n: ( ) n n! = k k!(n k)!. (54) Følgende er en generalisert form for kommutatitivitet: Proposisjon La σ : [[m, n] [[m, n] være en bijeksjon. Da har vi: Morfier u k = u σ(k). (55) Definisjon 7.3. La A være utstyrt med en operasjon og B være utstyrt med en operasjon. Da er en morfi fra (A, ) til (B, ) en avbildning Φ : A B som tilfredsstiller: Φ(x y) = Φ(x) Φ(y). (56) Dersom A har et neutralt element e og B har neutralt element f er en morfi fra (A,, e) til (B,, f) en morfi fra (A, ) til (B, ) slik at Φ(e) = f. 8

9 Når det er klart fra konteksten hva operasjonene og evt hva de neutrale elementene er, er det vanlig å snakke bare om morfier fra A til B (uten å presisere hvilke operasjoner og neutrale elementer det er snakk om). Eksempel Under forutsetningene i Eksempel 7.2 har vi at n x n er en morfi fra (N, +, 0) til (A,, 1). Eksempel La U og V være mengder, og f : U V være en avbildning. La f : P(V ) P(U) være inversbilde-avbildningen. Da er f en morfi fra (P(V ),, ) til (P(U),, ). Den er også en morfi fra (P(V ),, V ) til (P(U),, U) Hva kan vi si om direktebilde-avbildningen? Eksempel La U være en mengde. Avbildningen C U : A C U (A) er en morfi fra (P(U),, U) til (P(U),, ), og omvendt. Definisjon 7.4. La R og R være to ringer. En ring-morfi er en avbildning Φ : R R slik at Φ er en morfi med hensyn på både addisjon og multiplikasjon. Med andre ord krever man: Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y), Φ(0) = 0, (57) Φ(xy) = Φ(x)Φ(y), Φ(1) = 1. (58) Teorem Dersom R er en ring finnes det en og bare en ring morfi Φ : Z R. Hvis R i tillegg er ordnet vil Φ være voksende. Bevis: Bemerk at f : x x + 1 er en bijeksjon R R. Ved hjelp av Teorem 7.5 lar vi Φ : Z R være den eneste avbildningen slik at: Φ(0) = 0, (59) n Z Φ(n + 1) = f(φ(n)) = Φ(n) + 1. (60) Man viser at Φ er en ring-morfi ved induksjon. 9