Generelle teoremer og definisjoner TMA4120 Matematikk 4K - NTNU

Transkript

1 Generelle teoremer og definisjoner TMA412 Matematikk 4K - NTNU Kreyszig, E.: Advanced engineering mathematics tenth edition, international student version Jonas Tjemsland 18. november 215 Dersom ikke annet er oppgitt er k, c R konstanter og t, x, y, s R. 6 Laplacetransformasjoner 6.1 Laplacetransformasjon. Linearitet. Første forskyvningsteorem (s-forskyvning) Definisjon Laplacetransformasjon: Laplacetransformasjonen til f : [, ) R er definert som F (s) L (f) e st f(t)dt, (1) dersom denne eksisterer. Videre er f(t) den inverse Laplacetransformasjonen til F (s). Altså f(t) = F 1 (s) = L 1 (F ). (2) Teorem Linearitet: Laplacetransformasjon er en lineær operator. Det vil si at L [af(t) + bg(t)] = al [f(t)] + bl [g(t)], (3) for alle konstanter a, b R og funksjoner f, g : [, ) som er slik at F (s) og G(s) eksisterer. Teorem s-forskyvning: La F : [k, ) R være Laplacetransformasjonen til f(t). Da er der s > k og s > k + a. L [e at f(t)] = F (s a), og e at f(t) = L 1 [F (s a)], (4) Teorem Eksistens: La f : [, ) R være stykkevis kontinuerlig på ethvert intervall [, c], der c >. Dersom det finnes to konstanter N, k R slik at f(t) Me kt (5) eksisterer F (s) for s > k. Teorem Entydighet: Hvis f, g : [, ) R slik at L (f) = L (g) s, vil f(x) g(x) i endelig mange isolerte punkter. Dersom f og g i tillegg er kontinuerlige vil f g. Eksempel Finn Laplacetransformasjonen til cosh(t). Løsning: L [cosh(λt)] = e st 1 2 (eλt + e λt )dt = e st cosh(λt)dt = 1 2 (e t(λ s) + e t(λ+s) )dt = 1 2 [et(λ s) /(λ s) e t(λ+s) /(λ + s)] t= s> λ = 1 2 [ 1 λ s + λ 1 + s ] = s s 2 λ 2. L [cosh(t)] = s s 2, s > λ. (6) λ2 Eksempel Finn ut om Laplacetransformasjonen til f(t) = t λ e αt eksisterer, og regn den ut om mulig. Løsning: Bruker stigningsestimatet (5). f(t) = t λ e αt Me kt, for M 1 og k > α. Altså eksisterer L [f(t)] for s > α. Ok! L [f(t)] = L [t λ e αt ] = t λ e αt e st dt = t λ e t(α s) dt = ˆ ( ) ξ λ ˆ e ξ dξ s α s α = 1 (s α) λ+1 e ξ ξ λ dξ Γ(λ + 1), for s > α. Det er enkelt å vise ved (s α) λ+1 hjelp av n delvis integrasjoner at Γ(n + 1) = n!, der n =, 1, 2,... Videre vil Γ(λ + 1) for λ 1. Dermed er løsningen L [t n e αt ] = der L [t λ e αt ] = n!, (s > α, n =, 1, 2,...), (7) (s α) n+1 Γ(λ + 1), (s > α, λ > 1), (8) (s α) λ+1 Γ(λ + 1) e ξ ξ λ dξ. (9) 1

2 6.2 Laplacetransformasjoner til deriverte og antideriverte Teorem Laplacetransformasjonen til deriverte: La f : [, ) R være slik at f, f,..., f (n 1) (de (n 1)-deriverte) er kontinuerlige for alle t og slik at L (f) eksisterer. Dersom f (n) er stykkevis kontinuerlig på [, c], c >, så vil 6.4 Korte støt. Diracs deltafunksjon. Delbrøksoppspalting Definisjon Diracs deltafunksjon: δ-funksjonen er definert slik at den oppfyller betingelsen L (f (n) ) = s n L (f) s n 1 f() s n 2 f ()... f (n 1) (). (1) f(τ)δ(τ a)dτ = f(a), (17) Teorem Laplacetransformasjonen til antideriverte: La f : [, ) ha Laplacetransformasjonen F : [k, ) og oppfylle vekstrestriksjonen (5). Da vil {ˆ } t L f(τ)dτ = F (s) s. (11) Eksempel Finn Laplacetransformasjonen til sinh(λt) ved hjelp av derivasjon. Løsning: L [cosh(t)] = s (1) = L [sinh(t)] = sl [cosh(t)] s 2 λ 2 cosh() = s2 1 = λ2. s 2 λ 2 s 2 λ 2 L [sinh(t)] = λ2 s 2, s > λ. (12) λ2 6.3 Enhetsstegfunksjonen (Heavisidefunksjonen). Andre forskyvningsteorem (t-forskyvning) for enhver funksjon f(t) som er kontinuerlig i t = a. Det er ganske klart at Diracs deltafunksjon ikke kan være en funksjon i vanlig forstand, men kan tenkes framkommet fra grensen til en såkalt deltasekvens, δ(t) = lim n + δ n(t) (18) En en enkel sekvens å forestille seg er δ n (t) = { n 1 for t n/2, for t > n/2. (19) Definisjon Enhetsstegfunksjon (Heaviside-funksjon): Heaviside-funksjonen er definert som { for t < a, u(t a) = (13) 1 for t > a, for a R. På grunn av definisjonen av Laplacetransformasjonen (83) velges a. Teorem t-forskyvning: Dersom Laplacetransformasjonen til f : [, ) eksisterer, så vil den forskjøvne funksjonen δn(t) n=.333 n=.2 n=.143 n=.111 f(t) = f(t a)u(t a) = { for t < a, f(t a) for t > a, (14) t ha Laplacetransformasjonen e as L (f). Altså, L [f(t a)u(t a)] = e as L (f). (15) Figur 1: Representasjon av deltasekvensen (19). Dersom det er fordelaktig å bruke konvensjonen f(t) fremfor f(t a) kan (15) endres til L [f(t)u(t a)] = e as F (s). (16) En annen kjent sekvens er δ n (t) = 1 πn e x2 /n (2) 2

3 δn(t) n=.2 n=.1 n=.67 n=.5 n=.4 n=.33 n=.29 n=.25 n=.22 f g = g f f (g 1 + g 2 ) = f g 1 + f g 2 f = f = Teorem Konvolusjonsteorem: La f, g : [, ) R være stykkevis kontinuerlige og oppfylle stigningsestimatet (5). Da vil L (f g) = L (F ) L (g). (28) t Figur 2: Representasjon av deltasekvensen (2). Legg merke til at arealet under grafen alltid er 1 ifølge definisjonen. Teorem Generelle egenskaper til deltafunksjonen: δ-funksjonen vil blant annet ha følgende egenskaper: 1. δ(t a) = { for t = a ellers. (21) 2. δ(t a)dt = 1 (22) 3. L [δ(t a)] = e as, a >. (23) 4. δ-funksjonen kan bli sett på som den deriverte av Heaviside-funksjonen, d u(t a) = δ(t a) (24) dx ( t aδ(t) = δ a) (25) f(t)δ(t) = f()δ(t) (26) 6.5 Konvolusjon. Integrallikninger Definisjon Konvolusjon: La f, g : [, ) R være stykkevis kontinuerlige og oppfylle stigningsestimatet (5). Da kalles (f g)(t) ˆ t konvolusjonen av f og g. Noen egenskaper: f(τ)g(t τ)dτ, (27) 6.6 Derivasjon og integrasjon av Laplacetransformasjoner. Ordinære differentiallikninger med variable koeffisienter Teorem Derivasjon av transformasjoner: Anta at f : [, ) R er stykkevis kontinuerlig og oppfyller stigningsestimatet (5). Da vil L [f(t)] = d L [f(t)] = L [tf(t)] (29) ds Teorem Integrasjon av transformasjoner: Anta at f : [, ) R er stykkevis kontinuerlig og oppfyller stigningsestimatet (5), og at grensen lim t + f(t)/t eksisterer. Da vil [ ] f(t) L (s) = t s L [f(t)]( s)d s (3) 6.7 Likningssett av differensiallikninger Systemer av differensiallikninger kan løses ved å først gjøre hver av likningene lineære ved hjelp av Laplacetransformasjoner, for å deretter løse likningssettet algebraisk og til slutt transformere tilbake. Eksempel 1) y 1 + y 2 = 2 cosh t y 1 () = 2) y 2 y 3 = e t y 2 () = 3) y 3 + y 1 = 2e t y 3 () = 1 Løsning: I) y 1 + y 2 = 2 cosh(t) Y 1 + Y 2 = L [2 cosh(t)] (6),(1) = sy 1 +y 1 ()+sy 2 y 2 () = 2s s 2 1 Y 1 + Y 2 = 2 s 2 1 II) y 2 y (7),(1) 3 = e t = sy 2 y 2 () sy 3 + y 3 () = 1 s+1 Y 2 Y 3 = 1 s(s+1) 1 s III) y 1 + y (7),(1) 3 = 2e t = sy 1 y 1 () + sy 3 y 3 () = 2 s+1 Y 1 + Y 3 = 2 s(s+1) + 1 s 1 s(s+1) 1 (III+II-I)/2; Y 1 = 3 2 s 2 1 = 3 2s 1 s+1 1 2(1 s) (I+II+III)/2; Y 2 = 1 s s(s+1) = 1 s s 3 2(s+1) 3

4 (I-II+III)/2; Y 3 = 1 s s(s+1) + 1 s = 1 s (s+1) + 3 2s Tilbaketransformasjon ved hjelp av (8) og (8) (og eventuelt (6) og (12)) gir y 1 = 3 2 e t 1 2 et = 1 2 sinh(t) 3 2 cosh(t) + 3 2, y 2 = 2e t et = 5 2 sinh(t) 3 2 cosh(t) + 3 2, y 3 = e t et = 3 2 sinh(t) 1 2 cosh(t)

5 11 Fourieranalyse 11.1 Fourierrekker Definisjon Periodiske funksjoner: La f være definert for alle x R et endelig antall punkter. Da er f en periodisk funksjon dersom det finnes p > slik at f(x + p) = f(x) for alle x der f er definert. Den minste p en som oppfyller dette, kalles fundamentalperioden. Definisjon Fourierrekke: Anta at f(x) er en gitt funksjon med periode 2π og at f(x) kan uttrykkes som en trigonometrisk rekke, f(x) = a + (a n cos nx + b n sin nx). (31) Da kalles (31) Fourierrekken til f(x). Fra MA122 Funksjonene 1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x),..., cos(kx), sin(kx),... kalles ofte det trigonometriske systemet, og er ortogonalt med hensyn på indreproduktet f, g ˆ π π f(x)g(x)dx. (32) Man kan lett vise (enten ved hjelp av projeksjon av f(x) på dette indreproduktrommet eller termis integrasjon) at koeffesientene i Fourierrekken (31) må være: a = 1 2π a n = 1 π b n = 1 π ˆ π π ˆ π π ˆ π π f(x)dx (33) f(x) cos nxdx (34) f(x) sin nxdx (35) Siden Fourierrekken til f(x) ligger i indreproduktrommet (32) vil indreproduktets aksiomer gjelde, deriblant skalarmultiplikasjon og addisjon. Teorem Konvergens av Fourierrekker: Anta at f(x) er periodisk med periode 2π og stykkevis kontinuerlig på [ π, π]. La så de ensidige deriverte eksistere i hvert punkt i dette intervallet. Da konvergerer Fourierrekken (31) mot f(x) i alle punkter der f(x) er kontinuerlig. Der f(x) er diskontinuerlig konvergerer Fourierrekken mot (f(x + ) + f(x ))/ Vilkårlig periode. Jevne og odde funksjoner. Halvintervallutvidelse Fourierrekken (31) kan enkelt udvides slik at den gjelder for alle periodiske funksjoner f(x) med periode p = 2L, L R. Da vil med f(x) = a + (a n cos nπ L x + b n sin nπ L x ), (36) a = 1 2L a n = 1 L b n = 1 L ˆ L L ˆ L L ˆ L L f(x)dx (37) f(x) cos nxdx (38) f(x) sin nxdx. (39) Fremdeles kalles (36) en trigonometrisk rekke. Definisjon Jevne og odde funksjoner: En funksjon f : R R kalles jevn, dersom f(x) = f( x) x. (4) Likeledes kalles funksjonen odd dersom f(x) = f(x) x. (41) Teorem Fouriercosinus- og Fouriersinusrekker: Dersom f(x) er en jevn periodisk funksjon med periode 2L vil Fourierrekken (36) reduseres slik at b n =. Likeledes dersom f(x) er en odd periodisk funksjon med periode 2L vil Fourierrekken (36) reduseres slik at a = a n =. Halvintervallutvidelse går ut på å representere en ikke-periodisk funksjon f : [, c] R, c > som en Fourierrekke. For å spare tid vil det være hensiktsmessig å utføre en jevn eller odd periodisk utvidelese, altså representere f(x) som en Fouriersinus- eller en Fouriercosinus-rekke Påtrykte svingninger Eksempel Finn likevektstilstanden til der c > og r(t) = y + cy + y = r(t), { t for π 2 < t < pi 2, π t for π 2 < t < 3π 2, r(t + 2π) = r(t). 5

6 ˆ 2π Løsning: Siden r(t) er antisymmetrisk må Fourierrekken være en Fouriersinus-rekke. Ved å bruke (31) finner man b n = 1 r(t) sin(nt)dt = ( ) π 2 πn πn 2 sin [1 ( 1) n ]. Dette gir Fourierrekken 2 ( ) 2 πn r(t) = πn 2 sin [1 ( 1) n ] sin(nt) = 2 4 ( 1) n+1 sin[(2n 1)t]. Differensiallikningen gir π(2n 1) 2 n= nå y + cy + y = 4 ( 1)n+1 sin[(2n 1)t]. I MA112 π(2n 1) 2 lærte man at denne differentiallikningen vil ha løsningen y n = A n cos[(2n 1)t] + B n sin[(2n 1)t]. ckξ k Innsatt gir dette A k = (1 k 2 ) 2 + c 2 k 2 og B k = (1 k 2 ) 2 ξ k (1 k 2 ) 2 + c 2, der k = 2n 1, n = 1, 2, 3,... og k2 ξ n = 4 ( 1)n+1. Siden differensiallikningen er linear kan vi bruke superposisjon av løsninger, slik at π(2n 1) 2 y = y n n= r(t) y(t), c =.5 y(t), c = 1 y(t), c = 3 y(t), c = 5 feilen er da ˆ [ ] π N E = f(x) 2 dx π 2a + (a 2 n + b 2 n). (44) π Bessels uliket 2a 2 + (a 2 n + b 2 n) 1 ˆ π f(x) 2 dx (45) π π Parsevals identitet 2a 2 + (a 2 n + b 2 n) = 1 ˆ π f(x) 2 dx (46) π π 11.4 Komplekse Fourierrekker [9. utgave av Kreyszig] Fourierrekken (36) blir på kompleks form f(x) = n= c n e inπx/l dx, c n = 1 ˆ L f(x)e inπx/l, n Z. 2L L 11.7 Uendelig periode. Fourierintegral (47) Teorem Fourierintegral: Anta at f : R R er stykkevis kontinuerlig på ethvert endelig intervall og de ensidige deriverte eksisterer for alle x R. La også f være absolutt integrerbar. Da er Fourierintegralet til f gitt som t Figur 3: r(t) og y(t) fra eksempelet i 11.3 plottet for ulike verdier av c Tilnærming ved trigonometriske polynomer Teorem Minste kvadratiske feil: Anta at f : [ π, π] R kan representeres som en Fourierrekke (31). Da vil den minste kvadratiske feilen til N h N (x) = c + (c n cos(nx) + d n sin(nx)) (42) relativt f(x) på [ π, π] være gitt ved E ˆ π π (f(x) h N (x)) 2 dx. (43) Denne feilen er minimal hvis og bare hvis koeffesientene til h N er lik Fourierkoeffesientene til f. Den minste der og f(x) = [A(ω) cos(ωx) + B(ω) sin(ωx)]dx, (48) A(ω) = 1 π B(ω) = 1 π f(ν) cos(ων)dν (49) f(ν) sin(ων)dν. (5) Fourierintegralet (48) konvergerer mot f(x) i alle punkter der f(x) er kontinuerlig. Der f(x) er diskontinuerlig konvergerer Fourierrekken mot (f(x + ) + f(x ))/2. På samme måte som for Fouriercosinus- og Fouriersinus-rekkene, vil B(ω) = dersom f(x) er jevn og A(ω) = dersom f(x) er odd. Fourierintegralet (48) blir på kompleks form f(x) = 1 2π 11.8 Fouriertransformasjon f(ν)e iω(x ν) dνdω. (51) 6

7 Definisjon Fouriertransformasjon: La f : R R være stykkevis kontinuerlig på ethvert endelig intervall og R f(x) <. Da er Fouriertransformasjonen til f(x) gitt som F (f) ˆf(ω) 1 2π f(ν)e iων dν (52) Fra (57) og (52) får man sammenhengen (f g)(x) = ˆf(ω)ĝ(ω)e iωx dω. (58) Videre er f(x) den inverse Fouriertransformasjonen til ˆf(ω). Altså f(x) = F 1 ( ˆf) = 1 2π ˆf(ω)e iωx dω. (53) Teorem Eksistens: Dersom f : R R er stykkevis kontinuerlig på ethvert endelig intervall og kvadratisk integrerbar, så eksisterer Fouriertransformasjonen (52) til f(x). Teorem Linearitet: Fouriertransformasjon er en lineær operator. Det vil si at F [af(x) + bg(x)] = af [f(x)] + bf [g(x)], (54) for alle konstanter a, b R og funksjoner f, g : [, ) som er slik at Fouriertransformasjonene ˆf(ω) og ĝ(ω) eksisterer. Teorem Fouriertransformasjonen til deriverte: La f(x) være stykkevis kontinuerlig og lim x f(x) =. Anta videre at f (x) er absolutt integrerbar. Da vil F [f (x)] = iωf [f(x)]. (55) Definisjon Konvolusjon: Anta at f, g : R R er stykkevis kontinuerlige, begrenset og absolutt integrerbare. Da defineres konvolusjonen til til f og g som (f g)(x) f(p)g(x p)dp (56) Noen egenskaper: f g = g f f (g 1 + g 2 ) = f g 1 + f g 2 f = f = Teorem Konvolusjonsteorem: Anta at f, g : R R er stykkevis kontinuerlige, begrenset og absolutt integrerbare. Da gjelder F (f g) = 2πF (f)f (g). (57) 7

8 12 Partielle differensiallikninger (PDE) 12.1 Grunnleggende begreper Definisjon PDE: En partiell differensiallikning er en likning som inneholder en eller flere partielle deriverte av en funksjon som avhenger av to eller flere variabler. Teorem Superposisjonsprinsippet: Dersom u 1 og u 2 er løsninger til en homogen lineær partiell differensiallikning i en region R, vil enhver lineær kombinasjon av disse løsningene også være en løsning til differensiallikningen i regionen R Modellering: vibrerende streng, bølgelikningen Utledning av bølgelikningen som transversal bølge på streng. Antagelser: konstant masse µ per lengdeenhet, små utsving (ingen horisontal bevegelse av masse) og strekkraften S er mye større enn tyngden (tyngden neglisjeres, F g S).. u(x, t) S 1 θ 1 x x+ x Figur 4: Infinitesimalt strengelement. Siden det ikke er noen horisontal bevegelse må den totale horisontale kraften på hvert strengelement være null. Altså S 1x = S 2x S 1 cos θ 1 = S 2 cos θ 2 = ζ = konstant. Den totale kraften på strengelementet er kommer dermed fra de vertikale kraftkomponentene, F tot = S 1y + S 2y F tot = S 1 sin θ 1 + S 2 sin θ2. Newtons andre lov F tot = m a gir S 1 sin θ 1 + S 2 sin θ 2 = µ x 2 u(x, t)/ t 2. Dividering med den horisontale kraften gir µ x 2 u ζ t 2 = S 2 sin θ 2 S 1 sin θ 1 = tan θ 2 S 2 cos θ 2 S 1 cos θ 1 tan θ 1 = u x u x+ x x. Dividering med x og x gjenkjennelse av definisjonen på partiellderiverte gir til slutt µ 2 u ζ t 2 = 1 [ u x x u ] x x+ x x = 2 u x x 2. Dette er bølgelikningen. Ved å innføre c 2 = ζ/µ (c vil alltid være positiv) kan bølgelikningen skrives på den generelle formen for en endimensjonal bølgelikning. θ 2 S 2 x Den endimensjonale bølgelikningen 2 u t 2 = c2 2 u x 2 (59) Den tredimensjonale bølgelikningen 2 u t 2 = c2 2 x (6) 12.3 Løsning ved å separere variable. Bruk av Fourierrekker Løsning av den endimensjonale bølgelikningen som en stående bølge på en streng med lengde L. Randbetingelser: Strengen er festet i endene slik at u(, t) = u(l, t) = t. Initialbetingelser: Startavbøyningen u(x, ) = f(x) og startfarten u t (x, ) = g(x) antas kjent. Til å begynne med antas det at utsvinget kan skrives som produktet av to funksjoner som avhenger av henholdsvis lengden og tiden, u(x, t) = F (x)g(t). Dette kalles variabelseparasjon eller produktmetoden. Bølgelikningen (59) kan dermed skrives om til G/c 2 G = F /F. Siden venstre side kun avhenger av t og høyresiden kun avhenger av x må begge sider være konstant. Dermed kan bølgelikningen separeres til to differensiallikninger som kun avhenger av én variabel F kf =, (61) G c 2 kg =, (62) for en konstant k. Til å begynne med løses (61). Siden G u ikke er av interesse velges G, og randbetingelsene gir F () = F (L) =. (63) Videre vil k = (61) F = ax + b (63) F ikke være av interesse, slik at det velges k. I tillegg vil k = α 2 > F = Ã exp(αx)+ B exp( αx) F. Dermed må k = α 2 <, slik at den generelle løsningen av (61) blir F (x) = A cos αx + B sin αx. (64) Fra dette gir (63) F () = A = og derfor også F (L) = B sin αl =. Siden B = F må B og sin αl = α = nπ/l, n N. Dermed har (61) uendelig mange løsninger på formen F n (x) = B sin nπ x, n N. (65) L 8

9 På tilsvarende måte løses (62) med k = α 2 = (nπ/l) 2. Da blir løsningen G n (t) = E n cos cnπ L t + H n sin cnπ t. (66) L Den generelle løsningen til bølgelikningen (59) blir dermed ( u(x, t) = n cos cnπ L t + D n sin cnπ ) L t sin nπ x, (67) L der n = 1, 2, 3,... [Løsninger med heltall n er essensielt de samme med et minustegn, og innholder dermed ikke mer informasjon]. Da gjenstår det bare å finne og D uttrykt med f(x) og g(x) fra initialbetingelsene. Superponering (teorem 12.1) av alle de ulike løsningene (67) gir u(x, t) = u n (x, t) = ( n cos cnπ L t + D n sin cnπ ) L t sin nπ (68) L x. Fra den første initialbetingelsen vil u(x, ) = n sin nπ x = f(x), som fra (36) medfører at L u(x, ) er Fouriersinusrekken til f(x). Altså n = 2 L ˆ L f(x) sin nπx dx. (69) L Likeledes gir den andre initialbetingelsen u t (x, ) = g(x) etter termvis derivasjon D n = 2 cnπ ˆ L g(x) sin nπx dx. (7) L Likning (68), (69) og (7) er løsningen til bølgelikningen med de gitte randbetingelsene og initialverdiene D Alemberts løsning av bølgelikningen. Kjennetegn Ved å introdusere v = x+ct og w = x ct og bruke kjerneregelen ser man at u xx = u vv + 2u vw + u ww og u tt = c 2 (u vv 2u vw + u ww ). Innsatt i bølgelikningen (59) gir dette 2 u =. (71) w v Denne differensiallikningen løses enkelt med to etterfølgende integraler, først med hensyn på w og dernest v. Løsningen er kjent som d Alemberts løsning av bølgelikningen. Teorem D Alemberts løsning av bølgelikningen: Enhver løsning av bølgelikningen (59) kan skrives på formen u(x, t) = φ(x + ct) + ψ(x ct), (72) for to arbitrære to ganger deriverbare funksjoner ψ og φ. Med de samme initialverdiene og randbetingelsene som i 12.3 kan man vise at d Alemberts løsning av bølgelikningen gir u(x, t) = 1 2 [f(x + ct) + f(x ct)] + 1 2c ˆ x+ct x ct g(s)ds, (73) som etter litt regning viser seg å være i overenstemmelse med det som er funnet tidligere Modellering: varmestrøming fra et legeme i rommet. Varmelikningen Antagelser: Varmekapasiteten per volumelement, σ er konstant i hele legemet. Varme hverken produseres eller forsvinner i legemet. Videre antas det at Fouriers lov, j = κ T, (74) gjelder og at den termiske konduktiviteten, κ, er konstant. z A j(z + dz, t) j(z, t) z + dz z Figur 5: Varmestrøm, j, i z-retning gjennom et volumelement med infinitesimal tykkelse dz og areal A i xy-planet. Utledning av varmelikningen fra termisk fysikk 1. Temperaturen vil avhengenge av både posisjonen og tiden, T = T (x, y, z, t). Anta først at varmen kun strømmer i z-retning (se figur 5). Nettoenergien inn i elementet per tidsenhet vil være differansen mellom varmestrømmene gjennom de to endeflatene, j(z, t) (74) [ j(z+dz, t)+j(z, t)]a = dza = dzaκ 2 T z z 2. Dersom varmekapasiteten per volumenhet er σ vil den totale varmekapasiteten til elementet være c A dz. Temperaturendringen er forholdet mellom energitilførsel og varmekapasitet. Per tidsenhet blir det da T t = κ 2 T σ z 2. (75) 1 Omtrent lik utledning som fra emnet FY15 - termisk fysikk på NTNU og Hemmer, P..: Termisk fysikk, Tapir Akademisk forlag, 22 9

10 Dersom vi i tillegg tar med x- og y-retningene og innfører c 2 = κ/σ blir resultatet T t = c2 2 T. (76) Mer matematisk utledning av varmelikningen. La W være en region i legemet omsluttet av en overflate W med normalvektor n slik at Gauss divergensteorem er gyldig 2. Mengden varme som strømmer gjennom W fra W per tidsenhet er gitt ved overflateintegralet W (j n)da = Q/ t, som etter omskrivning med Fouriers lov (74) og omgjøring til volumintegral ved hjelp av Gauss divergensteorem, blir Q t = κ T n da = κ 2 dv. (77) W Samtidig vil mengden varme i W være Q = σt dv. (78) W Ved å derivere (78) med hensyn på tiden og sette det lik (77), finner man sammenhengen W W ( T t K ) σ 2 T dv =. (79) På differensialform blir resultatet identisk lik (76). Den endimensjonale varmelikningen u t = c2 2 u x 2 (8) Den tredimensjonale varmelikningen u t = c2 2 u (81) 12.6 Varmelikningen: løsning ved Fourierrekker. Stasjonære todimensjonale varmeproblemer. Diriclet-problem Ved å bruke samme løsningsmetode som i 12.3, kan man enkelt vise at løsningen til den endimensjonale varmelikningen (8) med randbetingelsene u(, t) = u(l, t) = og initialbetingelsen u(x, ) = f(x) blir Denne metoden kan bli brukt til å løse varmelikningen med mange ulike rand- og initialbetingelser, for eksempel et stasjonært Dirichlet-problem i to dimensjoner. Ved stasjonære tilstander er temperaturen T uavhengig av tiden t. Dermed reduseres varmelikningen (81) til Laplacelikningen (83). Laplacelikningen 2 u = (83) 12.7 Varmelikningen: modellere lange bjelker. Løsninger med Fourierintegraler og transformasjoner Dersom lengden L i 12.6 går mot, vil det være mer hensiktsmessig å løse problemet ved hjelp av Fourierintegral. Dette lar seg lett gjøre ved å bruke samme teknikk, men bruke det kontinuerlige Fourierintegralet istedenfor den diskrete Fourierrekken. Etter en del regning finner man at løsningen av den endimensjonale varmelikningen (8) med initialbetingelsen u(x, ) = f(x) blir u(x, t) = 1 ˆ { } 2c (x ν)2 f(ν) exp πt 4c 2 dν. t (84) Slike varmelikningsoppgaver kan enda enklere løses ved hjelp av Fouriertransformasjoner. Eksempel Finn (84) ved hjelp av Fouriertransformasjon. Løsning: Varmelikningen blir u t = c 2 u xx F (u t ) = c F (u x x) (55) = ω 2 c 2 F (u). Videre vil F (u t ) = ˆ 1 2π u t e iωx dx = 1 2π t ue iωx dx = F (u). Dette gir den enkle differensiallikningen t û/ t = c 2 ω 2 û, som har den generelle løsningen û(ω, t) = (ω)e c2 ω 2t. Initialbetingelsen u(, t) = f(x) medfører û(ω, ) = (ω) = ˆf(ω). Dermed blir u(x, t) = 1 2π ĝ = e c2 ω 2 t Rottmann = g = 1 4c 2 t. Fra (27) blir resul- { } (x p)2 4c 2 dp. t tatet u(x, t) = 1 2c πt ˆf(ω)e c2 ω 2t e iωx dω = F (f g), der c x 2 2t e f(p) exp u(x, t) = n sin nπx L e λ2 n t, n N, λ n = cnπ L, B n = 2 ˆ L f(x) sin nπx (82) L L dx. 2 W er lukket og avgrenset, W er stykkevis kontinuerlig med en gitt retning og j(x, y, x) er et glatt vektorfelt 1

11 13 Komplekse tall og funksjoner. Kompleks derivering 13.1 Komplekse tall og deres geometriske representasjon 13.2 Polarformen til komplekse tall. Potenser og røtter 13.3 Derivering. Analytiske funksjoner Definisjon Omegn: Et omegn om a med radius ρ > er mengden {z : z a < ρ}. Enhver a har uendelig mange omegn. Definisjon Åpne, lukkede og sammenhengende mengder og domener: La S. Da er S åpen, hvis enhver z S hat et omegn som også ligger i S. lukket, hvis S {z : c S} er åpen. sammenhengende, hvis to vilkårlige punkter kan forbindes men en endelig lang og kontinuerlig kurve. et domene, hvis den er både sammenhengende og åpen. Definisjon Den deriverte: Den deriverte til en kompleks funksjon f : S i et punkt z er definert som f f(z + z) f(z ) (z ) = lim. (89) z z z Fra definisjonen av grenserverdi vil den deriverte være den samme uanset hvilken retning i det komplekse planet det deriveres i. Definisjon Analytisk funksjon: En funksjon f(z) er analytisk i et domene D dersom f(z) er definert og er deriverbar i hele D. f(z) kalles analytisk i et punkt z = z dersom f(z) er analytisk i et omegn rundt z. Med en analytisk funksjon menes en funksjon som er analytisk i et eller annet domene auchy-riemann-likningene. Laplaces likning auchy-riemann-likningene u x = v y, u y = v x. (9) Teorem : Enhver kompleks funksjon f : R R kan skrives som der u, v : R 2 R. f(z) = u(x, y) + iv(x, t), (85) Definisjon Kontinuitet og grenseverdi: Dersom f : S, z, så gjelder det at lim f(z) = L, (86) z z hvis f er definert i et omegn om z, men ikke nødvendigvis i z, og for alle ε > finnes en δ > slik at f(z) L < ε < z z < δ. (87) L kalles grenseverdien til f(z) når z går mot z. f er kontinuerlig i z hvis lim f(z) = f(z ). (88) z z Teorem auchy-riemann-likningene I: La f : S, z f(z) = u(x, y) + iv(x, y) og u, v : R 2 R. Dersom f er definert og kontinuerlig i et omegn om et punkt z = x + iy og deriverbar i z, eksisterer u x, u y, v x og v y og oppfyller auchy- Riemann-likningene (9). Dette medfører at dersom f(z) er analytisk i et domene D, vil de partiellderiverte eksistere og oppfylle auchy-riemannlikningene for z D. Teorem auchy-riemannlikningene II: La f : S, z f(z) = u(x, y) + iv(x, y) og u, v : R 2 R. Dersom u og v har kontinuerlige førsteordens partiellderiverte som oppfyller auchy- Riemann-likningene (9) i et domene D, så er f(z) analytisk i D. Teorem Laplaces likning: Dersom f : S er analytisk i et domene D og z f(z) = u(x, y) + iv(x, y), u, v : R 2 R, da vil u og v oppfylle Laplaces likning (83) i D og ha kontinuerlige annenordens partiellderiverte i D. Løsninger til Laplace-likningen (83) som har kontinuerlige annenordens partiellderiverte kalles harmo- 11

12 niske funksjoner. Dermed er den reelle og den imaginære delen av en analytisk funksjon, harmoniske funksjoner Eksponensialfunksjonen La z = x+iy og x, y R. Da vil den komplekse eksponensialfunksjonen være definert som e z = e x (cos y + i sin y). (91) Dermed er e z analytisk for alle z, (e z ) = e z og e z+2πi = e z for alle z Trigonometriske og hyperbolske funksjoner. Eulers formel La z = x+iy og x, y R. Da vil den komplekse trigonometriske funksjonene være definert som Teorem Deriverbarheten til den naturlige logaritmen: For enhver n Z er den naturlige logaritmen (99) analytisk for z \ {, R }, og dens deriverte er (ln z) = 1 z. (1) Generelle potenser til et komplekst tall er definert som z ς = e ς ln z, (11) der ς. z ς er flerverdig og dens prinsipalverdi blir derfor e ς Ln z. Videre vil a ς = e z ln ς. cos z = 1 2 (eiz + e iz ), (92) sin z = 1 2i (eiz e iz ). (93) Dermed er (cos z) = sin z, (sin z) = cos z, cos z og sin z er analytiske for alle z og alle de trigonometriske identitetene for de reelle trigonometriske funksjonene holder. De komplekse hyperbolske funksjonene er definert som cosh z = 1 2 (ez + e z ), (94) sinh z = 1 2 (ez e z ). (95) Dermed er (cosh z) = sinh z, (sinh z) = cosh z, cosh z og sinh z er analytiske for alle z. Videre gjelder sammenhengende cosh iz = cos z, sinh iz = i sin z, cos iz = cosh z og sin iz = i sinh z Logaritme. Generelle potenser. Prinsipalverdien La z = x + iy og x, y R. Den komplekse naturlige logatimen, ln z, er definert slik at Altså blir e ln z = z = re iθ. (96) ln z = ln r + iθ. (97) Den naturlige logaritmen har dermed uendelig mange verdier for hver z. Prisipalverdien til ln z er derfor definert Ln z = ln z +iarg z, (z ), (98) der π < Arg z π er prinsipalverdien til arg z. Som igjen impliserer ln z = Ln z ± 2nπi. (99) 12

13 14 Kompleks integrasjon 14.1 Linjeintegral i det komplekse planet Definisjon Linjeintegral: La = {z(t) = x(t)+iy(t) : x, y R, a t b} være en glatt kurve og la f : S være kontinuerlig på. Del intervallet t [a, b] inn i n mindre partisjoner, t (= a), t 1,, t j,, t n 1, t n (= b) der t < t 1 < < t n, på en slik måte at max { t j t j 1 } når n. Dette korresponderer til en inndeling av lik z, z 1,, z n, der z j = z(t j ). La nå ξ j være et arbitrært punkt på mellom z j 1 og z j. Altså ξ j = {z(t) : t j 1 t t j }. La videre S n = n m=1 f(ξ m ) z m, der z m = z m z m 1. Siden er glatt vil max { z m } når n. Linjeintegralet til f(z) over er da definert som ˆ lim S n = f(z) dz. (12) n Dersom er lukket brukes ofte notasjonen f(z) dz. (13) Teorem Ubestemt integral til analytiske funksjoner: La f : S være en analytisk funksjon i et domene D S. Da eksisterer det et ubestemt integral av f(z) i domenet D. Altså det eksisterer en analytisk funksjon F (z) slik at F (z) = f(z) D. Videre vil linjeintegralet til f(z) over alle kontinuerlige kurver D som forbinder to punkter z og z 1 kunne skrives som et bestemt integral med grensene z og z 1. Med andre ord ˆ ˆ z1 f(z) dz = f(z) dz = F (z 1 ) F (z ). (14) z Teorem Integrasjon ved hjelp av kurver: La = {z(t) = x(t) + iy(t) : x, y R, a t b} være en glatt kurve og la f : S være kontinuerlig på. Da er ˆ ˆ b f(z) dz = f[z(t)]ż(t) dt. (15) a Teorem ML-ulikheten: La = {z(t) = x(t) + iy(t) : x, y R, a t b} være en glatt kurve og la f : S være kontinuerlig på. Da vil ˆ f(z) dz ML, (16) der L er lengden av og M R er en konstant slik at f(z) M på hele auchys integralteorem Definisjon Enkel lukket kurve og enkelt sammenhengende domene: En simpel lukket kurve er en kurve uten selvskjæring. Et enkelt sammenhengende domene er et er et domene D som er slik at enhver simpel lukket kurve D bare omslutter punkter i D. Teorem auchys integralteorem: Dersom f : S er analytisk i et enkelt sammenhengende domene D S, så vil det for enhver enkel lukket kurve D, f(z) dz =. (17) Teorem Uavhengighet av vei: Dersom f : S er analytisk i et enkelt sammenhengende domene D S, så vil integralet til f(z) over en kontinuerlig kurve = {z(t) = x(t) + iy(t) : x, y R, a t b} D kun avhenge av endepunktene til. Altså ˆ f(z) dz = F [z(b)] F [z(a)]. (18) 14.3 auchys integralformel Teorem auchys integralformel: La f : S være analytisk på et enkelt sammenhengende domene D S. Da vil det for ethvert punkt z D og enhver enkel lukket kurve D som omslutter z være slik at f(z) z z dz = 2πif(z ). (19) 14.4 Deriverte av analytiske funksjoner Teorem Deriverte til en analytisk funksjon: Dersom f : S er analytisk i et domene D S, så er er f uendelig mange ganger deriverbar, og alle de deriverte er også analytiske funksjoner i D. De deriverte f (n) (z) i punktet z er da gitt ved f (n) (z ) = n! 2πi f(z) dz, (11) (z z ) n+1 der D er en enkel lukket kurve som omslutter z og kun omslutter punkter som ligger i D. 13

14 Det kan være instruktivt å legge merke til at (11) oppnås ved å derivere auchys integralformel (19) med hensyn på z. Ved å velge i (11) lik en sirkel med radius r og sentrum z og deretter bruke ML-ulikheten (16), oppnås auchys ulikhet f (n) (z ) n! M r n. (111) Teorem Liouvilles teorem: Dersom en hel funksjon er begrenset i absoluttverdi i hele det komplekse planet, så er denne funksjonen en konstant. Teorem Moreras teorem (omvendt auchys integralteorem): Dersom f : S er kontinuerlig i et enkelt sammenhengende domene D S og f(z) dz =, (112) for enhver lukket kurve D, så er f(z) analytisk i D. 14

15 15 Potensrekker, Taylorrekker 15.1 Følger, rekker, konvergenstester Teorem Følge av reell og imaginær del: En følge {z 1, z 2,, z n, } av komplekse tall z n = x n + iy n, x, y R, (n N), konvergerer mot ς = a+ib hvis og bare hvis rekken av den reelle delen {x 1, x 2, } konvergerer mot a og rekken av den imaginære delen {y 1, y 2, } konvergerer mot b. Teorem Rekke av reell og imaginær del: En rekke z m = z 1 + z 2 + m=1 med z m = x m + iy m, x, y R, konvergerer mot S = u + iv hvis og bare hvis x 1 + x 2 + konvergerer mot u og y 1 + y 2 + konvergerer mot v. Teorem Divergens: Hvis rekken z 1 + z 2 + konvergerer, så er lim m z m =. Teorem auchys konvergensprinsipp for rekker: En rekke z 1 + z 2 + er konvergent hvis og bare hvis det for enhver ε > finnes en N slik at z n+1 +z n+2 + +z n+3 < ε n > N, p, n N. (113) Teorem Sammenligningstesten: Dersom en rekke z n er gitt og det finnes en konvergent rekke b n, b n R slik at z n b n, n N, så konvergerer rekken absolutt. Teorem Geometrisk rekke: Den geometriske rekken konvergerer hvis og bare hvis q < 1. Da gjelder n= q n = 1 1 q. (114) Teorem Forholdstesten I: En rekke z 1 +z 2 +, z n (n N) konvergerer absolutt dersom det finnes en N slik at z n+1 z n < 1 n > N. (115) Rekken divergerer dersom det finnes en N slik at z n+1 z 1 n > N. (116) n Teorem Forholdstesten II: Dersom en rekke z 1 + z 2 +, z n (n N) er slik at lim z n+1 n z = L, (117) n så a) hvis L < 1 konvergerer rekken absolutt. b) hvis L > 1 divergerer rekken. c) hvis L = 1 gir ikke testen noen konklusjon. Teorem Rottesten I: En rekke z 1 + z 2 +, z n (n N) konvergerer absolutt dersom det finnes en N slik at n z n < 1 n > N. (118) Rekken divergerer dersom det finnes en N slik at n z n 1 n > N. (119) Teorem Rottesten II: Dersom en rekke z 1 + z 2 +, z n (n N) er slik at lim n n z n = L, (12) så a) hvis L < 1 konvergerer rekken absolutt. b) hvis L > 1 divergerer rekken. c) hvis L = 1 gir ikke testen noen konklusjon Potensrekker En potensrekke er en rekke på formen a n (z z ) n, (121) n= der a n, z er er konstanter og z er variabel. Potensrekken har konvergensradius R = z z. Teorem Konvergens av potensrekker: a) Enhver potensrekke konvergerer for z = z. b) Dersom en potensrekke konvergerer i et punkt z = z 1 z, konvergerer den for alle z z < z 1 z. c) Dersom en potensrekke divergerer i z = z 2, divergerer den for alle z z > z 2 z. Teorem Konvergensradius R (auchy- Hadamard-formel): Konvergensradiusen R til en potensrekke (121) er gitt ved R = lim a n n a n+1, (122) der a n, (n N) er termene i potensrekken. 15

16 15.3 Funksjoner gitt ved potensrekker Teorem Kontinueitet til en potensrekker: Dersom en funksjon f(z) kan bli representer som en potensrekke med konvergensradius R >, så er f kontinuerlg i z =. Teorem Potensrekkerepresentasjonen er unik: La potensrekkene S a (z) = n= a n z n og S b (z) = n= b n z n begge være konvergente for z < R, og la S a (z) = S b (z) z. Da er de to rekkene identiske. Altså a n = b n (n =, 1, 2, ). Derav er potensrekkerepresentasjonen av en funksjon f(z) med sentrum i z unik. Teorem Termvis multiplikasjon av en potensrekke: Termvis multiplikasjon av to rekker f(z) = n= a n z n og g(z) = n= b n z n med konvergensradier henholdsvis R 1 > og R 2 > gir auchyproduktet n-ledd er gitt ved R n (z) = (z z ) n+1 f(ζ) 2πi (ζ z ) n+1 (ζ z) dζ. (126) Teorem Taylors teorem: La f : S være analytisk i et domene D S, og la z D. Da eksisterer en og bare en Taylorrekke (124) rundt z som representerer f(z). Denne representasjonen er gyldig i den største disken med sentrum i z der f er analytisk, altså z z < R, der R er konvergensradien. Restleddet til Taylorrekken kan uttrykkes som (126). Koeffesientene til Taylorrekken a n vil oppfylle ulikheten a n M r n, (127) der M = max z z =r{ f(x) } og alle punktene i og på sirkelen z z = r ligger i D. a b +(a b 1 +a 1 b )z +(a b 2 +a 1 b 1 +a 2 +b )z 2 + = (a b n + a 1 b n a n b )z n, n= (123) med konvergensradius R = min{r 1, R 2 }. Teorem Termvis derivasjon og integrasjon av en potensrekke: En termvis derivert og integrert potensrekke har samme konvergensradius som den orginale potensrekke. Teorem Analytiske funksjoner og deres deriverte: En potensrekke med konvergensradius R > representerer en analytisk funksjon i alle punkter innenfor z z < R. De deriverte til disse funksjonene oppnås ved å derivere den originale rekken ledd for ledd. Alle disse rekkene har følgelig samme konvergensradius som de originale rekkene. Således representerer hver av dem en analytisk funksjon Taylor- og Maclaurinrekker Taylorrekken til en komleks funksjon f(x) er er gitt ved f(z) = a n (z z ) n, (124) der a n = 1 n! f (n) (z ) (11) = 1 2πi f(z) dz, (125) (z z ) n+1 for en enkel lukket kurve som omslutter z og som kun omslutter punkter der f(z) er analytisk. Dersom z = kalles det en Maclaurinrekke. Taylorrekker er potensrekker. Restleddet dersom rekken bryter etter 16

17 16 Laurentrekker. Residu-integrasjon 16.1 Laurentrekker Teorem Laurents teorem: La f : S være analytisk i et domene D S, og la D inneholde to konsentriske sirkler 1 og 2 med sentrum i z og et omegn mellom dem (se figur 1). Da kan f(z) bli representert ved Laurentrekka n f(z) = a n (z z ) n b n + (z z n= ) n, (128) der koeffesientene er gitt ved og a n = 1 2πi f(z) dz, (129) (z z ) n+1 b n = 1 f(z)(z z ) n 1 dz, (13) 2πi for en enkel lukket kurve som ligger i sin helhet i omegnet mellom 1 og 2. Denne rekken konvergerer mot f(z) i det forstørrede området som oppnås ved å utvide den ytre sirkelen 1 og minke den minste sirkelen 2 frem til hver av dem når et punkt der f(z) er singulær. I det spesielle tilfellet det z er det eneste singulære punktet innenfor 2, vil rekken konvergere for en disk utenom i diskens sentrum. I dette tilfellet kalles de negative potensene prinsipaldelen av f(z) ved z Singulariteter og nullpunkter. Uendelig Definisjon Singulært punkt, nullpunkt og nullpunkt av orden m: Et punkt z = z kalles et singulært punkt eller en singularitet dersom en kompleks funksjon f(z) ikke er analytisk i z, men hvert omegn inneholder minst et punkt der f(z) er analytisk. Et punkt z = z kalles en isolert singularitet dersom en kompleks funksjon f(z) ikke er analytisk i z, men er analytisk i et omegn om z. Et nullpunkt er et punkt der f(z) =. I et nullpunkt av orden m er f(z ) = f (z ) = = f (n 1). Definisjon Fjernbar singularitet, pol av orden m og essensiell singularitet: La den komplekse funksjonen f(z) være singulær i z og ha med Laurentrekken f(z) = n= a n (z z ) n. Dersom a n = for n = 1, 2, så kalles z en fjernbar singularitet. Dersom m er et positivt tall slik at a m, men a n = for n = m 1, m 2,, kalles z = z en pol av orden m. Dersom a n for uendelig mange n kalles z en essensiell singularitet. Teorem Poler: Dersom f(z) er analytisk og har en pol i z = z, så vil f(z) når z z uavhengig av vei. 1 z 2 Teorem Picards teorem: Dersom en kompleks funksjon f(z) er analytisk og har en isolert essensiell singularitet i z, så opptar den alle mulige komplekse verdier, med maksimalt ett unntak, i et arbitrært lite omegn om z. der Figur 6: Figur til Laurents teorem, Merk at man kan uttrykke Laurentrekken (128) f(z) = n= a n = 1 2πi a n (z z ) n, (131) f(z) dz. (132) (z z ) n+1 Teorem Nullpunkt: Nullpunktene til en analytisk funksjon f(z)( ) er isolert. Teorem Poler og nullpunkt: La f(z) være analytisk i z = z og ha et nullpunkt av orden n i z = z. Da har 1/f(z) en pol av orden n i z = z. Det samme gjelder en funksjon h(z)/f(z), der h(z) er en vilkårlig funksjon som er analytisk i z = z og h(z ). 17

18 En funksjon f(z) er definert til å være analytisk eller singulær i uendelig dersom g(w) f(1/w) er henholdsvis analytisk eller singulær i w =. Samme definisjoner for ulike poler, singulariteter og nullpunkter gjelder for g(w) som for f(z) Residu-integrasjonsmetoden Definisjon Residu: La f : S være analytisk i et domene D S rundt z = z, men ikke i z = z. Da har f en Laurentrekke (128), som konvergerer i en disk gitt ved z z < R. Koeffesienten b 1 kalles residuen til f(z) i z = z, og skrives som der D. (13) Res = b 1 = 1 z=z 2πi Noen formler for residuer For simple poler i z gjelder f(z) dz, (133) Res f(z) = b 1 = lim (z z )f(z), (134) z=z z z p(z) Res f(z) = Res z=z z=z q(z) = p(z ) q (z ). (135) For poler av orden n gjelder Res f(z) = z=z 1 (m 1)! lim z z { d m 1 For poler av orden 2 gjelder dz m 1 [(z z ) m f(z)] }. (136) Res f(z) = lim {[(z z ) 2 f(z)] }. (137) z=z z z Teorem Residu-teorem: La f(z) være analytisk på innsiden av en enkel lukket kurve og på, utenom endelig mange singulære punkter z 1, z 2, z k på innsiden av. Da gjelder k f(z) dz = 2πi Res f(z). (138) z=z j j=1 exp( z 2 ) Eksempel Beregn integralet dz, : sin 4z z = 1,5. Løsning: Siden exp( z 2 ) > er analytisk på hele, vil alle (de enkle) singularitetene være i nullpunktene til { sin 4z. Altså } sin 4z = z = πn π 4, (n Z) = 4, π. Disse nullpunktene er av 4 første orden ([sin 4z] z=z = cos 4z = 1 ). Residuene kan dermed beregnes enkelt ved hjelp av (135), exp( z 2 ) exp( z 2 { } ) π 2 Res = Res = exp. Løsningen blir ved hjelp av (138) dz = z= π/4 sin 4z z=π/4 sin 4z 16 exp( z 2 ) { } sin 4z π 2 4πi exp Residuintegrasjon av reelle integraler Et eksempel som er enkelt å løse ved hjelp av metoden i tidligere delkapitler er integraler av rasjonale funksjoner av cos(θ) og sin(θ). Altså J = ˆ 2π F (cos θ, sin θ) dθ, (139) der F (cos θ, sin θ) er en reell rasjonal funksjon og endelig på integrasjonsområdet. Ved å velge z = e iθ, kan de trigonometriske funksjonene skrives om til cos θ = 1 2 ( z + 1 z ), sin θ = 1 2i ( z 1 z ). (14) Dette viser at F kan skrives som en rasjonal funksjon av z. Ved å også bruke at dz/dθ = ie iθ dθ = dz/iz kan integralet skrives som J = f(z) dz iz. (141) Siden θ gikk fra til 2π, vil z = e iθ variere mot klokka langs enhetssirkelen : z = 1. Man kan også vise at uegentlige integraler til en reell rasjonal funksjon med en nevner som er ulik null for alle reelle x og er minst to orden høyere enn telleren, kan skrives som f(x) dx = 2πi Res f(z), (142) der summen går over alle residuene til f(z) ved polene til f(z) i det øvre halvplanet. Ved å sette f(x) f(x)e isx inn i (142) oppnås en sammenheng med Fourierintegraler, cos sx dx = 2π Im Res[f(z)e isz ], (143) sin sx dx = 2π Re Res[f(z)e isz ], s >. (144) Teorem Enkle poler på den reelle aksen: Dersom f(z) har en enkel pol ved z = a R, så (se figur 7) ˆ lim r 2 f(z) dz = πi Res z = af(z). (145) a r a 2 a + r Figur 7: Figur til teorem x 18

19 Dersom funksjonen i (142) i tillegg har poler på den reelle aksen, vil pr. v. f(x) dx = 2πi Res f(z) + πi Res f(z), (146) der den første summen strekker seg over alle polene i det øvre halvplanet og den andre over polene på den reelle aksen. pr. v. betyr auchys prinsipalverdi som i bunn og grunn går ut på at integralet blir definert slik at grensene til integralet blir tatt eller at integralet er regnet ut. Altså ˆ R f(x) dx = lim f(x) dx, (147) R R i steden for den vanlige definisjonen lim a f(x) dx = ˆ a f(x) dx + lim b ˆ b f(x) dx. (148) 19

20 17 Konform avbildning Definisjon Konform avbildning: La D være et domene og f : D. Da kalles f konform på D hvis det for to vilkårlige kurver i D med skjæringspunkt z D gjelder at vinkelen mellom to kurver 1 og 2 er bevart med hensyn på absoluttverdi og orientering etter avbildningen f. Altså f( 1 ), f( 2 ) i f(z ) = 1, 2 i z. (149) Teorem Konforme avbildninger av analytiske funksjoner: La D være et domene og f : D. Da er f konform for alle z D, unntatt i kritiske punkter (f (z) = ). 2