EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse
|
|
- Aksel Hovland
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 5. juni 3 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene til funksjonen og bestem residuene i disse. f(z) = z +6z + b) Ved hjelp av substitusjonen z = e iθ skal en beregne det reelle integralet π dθ 3+cosθ. Oppgave B- a) Finn Laurentrekkene til funksjonen om z =. f(z) = z 5 ( + z) b) Beregn det komplekse linjeintegralet dz z 5 ( + z) z =a for <a< og a> der sirkelen z = a gjennomløpes en gang i positiv omløpsretning. Oppgave B-3 a) Finn polene til funksjonen f(z) = z 4, og vis at dersom z er en pol for f(z), så er residuet i z lik z 4.
2 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side av 6 b) Regn ut verdien av integralet hvor er ) sirkelen z = i positiv retning ) sirkelen z = i positiv retning 3) sirkelen z ++i = i positiv retning 4) sirkelen z + i = 3 i postitiv retning. dz z 4 Oppgave B-4 Bestem funksjonene f(y) og g(y) slik at den komplekse funksjonen blir analytisk og F () =. F (z) =U(x, y)+iv (x, y) =(x x + f(y)) + i(xy ++g(y)) Oppgave B-5 La s>oga> være gitt og definer f(z) = e isz (z ai) 3. a) Finn de singulære punkter for f. Bestem type og beregn residuet. b) La Γ R betegne halvsirkelen med radius R i øvre halvplan. Vis at lim f(z) dz =. R Γ R c) Bestem e isx πi (x ai) dx 3 for s>, a>. Hva blir verdien av dette integralet når s<oga>? Oppgave B-6 La R være rektangelet med hjørner ( K, ), (K, ), (K, b), ( K, b). a) Vis at integralene e z dz langs de vertikale sidene i rektangelet går mot null når K. b) Vis at e (x+ib) dx = e x dx for vilkårlig b. (auchys sats)
3 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 3 av 6 c) Finn Fourier-transformen til f(x) =e x gitt at e x dx = π. Oppgave B-7 dz a) Bestem integralet der er enhetssirkelen med positiv omløpsretning πi (z k)(z /k) og k er et positiv reelt tall, k. b) Bruk resultatene under a) til å beregne integralet π dθ +k k cos θ der k er et positivt reelt tall, k. (Vink: bruk substitusjon z = e iθ.) Oppgave B-8 Vis at en analytisk (holomorf) funksjon i enhetsdisken ( z < ) som har konstant imaginærdel må være en konstant. (Vink: auchy-riemann ligningene.) Oppgave B-9 Hvilke verdier kan integralet dz z + anta når er en vilkårlig sirkel (positiv orientering) som ikke går gjennom z = ±i? Oppgave B- a) Hva er verdien av det komplekse integralet R e iz z + dz y når R (med R>) er den lukkede konturen påfiguren? R R x b) La Γ R være halvsirkelen z = R, Imz>, og vis at lim R c) Bruk resultatene i a) og b) til å finne verdien av integralet ΓR e iz dz =. z + cos x x + dx.
4 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 4 av 6 Oppgave B- Bestem v(x, y) slik at den komplekse funksjonen f(z) =x + x y + iv(x, y) blir analytisk og f() =. Uttrykk også f(z) sometpolynomiz. Oppgave B- La betegne sirkelen z = (positivt orientert). Finn verdien av integralet z n e /z dz der n er et helt tall. Bruk så Maclaurinrekken til e z, og lovlighet av den leddvise integrasjonen som trengs, til åetablere formelen e z+/z dz =πi n!(n +)!. n= Oppgave B-3 For hvilken verdi av konstanten a er funksjonen u(x, y) =ax 4y + e x cos y harmonisk? La a være lik denne verdien, og finn alle analytiske funksjoner f(z) =f(x + iy) som har u(x, y) som realdel. Oppgave B-4 La være kurven gitt ved z(t) =x(t)+iy(t) for t, der x(t) =t og y(t) = arctan t. Beregn integralene Re zdz og z dz. Oppgave B-5 Vis at dersom f(z) er en analytisk funksjon med Re f(z) =Imf(z) for alle z, såerf(z) konstant. Oppgave B-6 Finn alle verdier av fjerderoten 4 i +i.
5 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 5 av 6 Oppgave B-7 π cos θdθ=? (Hint: Eulers formel) Oppgave B-8 Betrakt uttrykket z z z = c n z n. n= a) Bestem rekkens konvergensradius. b) Finn en ligning for koeffisienten c n og beregn c 5. Oppgave B-9 Finn integralet der πi z 998 dz z i a) er sirkelen z = 4. b) er sirkelen z =. Oppgave B- Finn Laurentrekka til funksjonen f(z) =e (z+)/(z ) om punktet z =, og finn verdien av integralet f(z) dz, der er sirkelen gjeven ved z =, gjennomløpt i positiv retning. Oppgave B- a) Finn nullpunkta til polynomet z 6 + =. La funksjonen f(z) vere definert ved f(z) = z4 z 6 +. Finn dei singulære punkta til f(z), og vis at residuet til f(z) i eit singulært punkt z er 6z.
6 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 6 av 6 b) La Γ R vere halvsirkelen gjeven ved z = Re iθ, θ π og la kurva R vere samansett av intervallet [ R, R] ogkurvaγ R, positivt gjennomløpt. Finn verdien av integralet R f(z) dz, R >. Vis ved direkte estimering at c) Finn verdien av integralet lim f(z) dz =. R Γ R x 4 (x 6 +) dx. Oppgave B- Funksjonen f(z) er definert ved f(z) = z iz +3 (z )(z +). a) Finn løysingane til likninga z iz +3=. Finn den Laurentrekka til f(z) omz = som gjeld nærast z =, og finn konvergensområdet for rekka. b) La og vere sirklane z =og z =3. Finn verdien av integrala f(z) dz og f(z) dz. Oppgave B-3 a) Funksjonen f er definert ved f(z) = Finn dei singulære punkta, og rekn ut residua. z + z(z +3z +). b) Finn verdien av integralet ved å bruke substitusjonen z = e iθ. π cosθ 3+cosθ dθ
7 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 7 av 6 Oppgave B-4 Funksjonen f(z) er definert ved f(z) = (z )(z ). Finn residuet til f(z) i punktet z =. Finn Laurentrekka til f(z) omz =iområdet z >. Finn verdien av integralet f(z) dz, der er sirkelen definert ved z = (positivt orientert). Oppgave B-5 a) Finn Taylorrekka til funksjonen f(z) =e 3iz 3e iz +omkringz =. Finn deretter Laurentrekka til funksjonen g(z) = [ e 3iz 3e iz + ] omkring z =. z 3 Kva er konvergensområdet for denne rekka? b) La Γ R vere halvsirkelen definert ved z = Re iθ θ π, positivt orientert. Vis at lim g(z) dz =. Finn verdien av lim g(z) dz. R Γ R R Γ R c) Finn verdien av integralet I = sin 3x 3sinx x 3 dx. Oppgave B-6 Bestem konstanten A slik at funksjonen u(x, y) = arctan x y + A(x + y ), x >, y> blir harmonisk. Finn dei konjugert harmoniske funksjonane v(x, y). Oppgave B-7 a) Finn dei singulære punkta til funksjonen f(z) =, og rekn ut residua. z +4iz b) Finn verdien av integralet I = π π dθ +sinθ. Oppgave B-8 Finn de to Laurentrekkene om z = for funksjonen f(z) =. Bestem verdien av z 3 ( z)( + z) integralene f(z) dz f(z) dz når og betegner sirklene z = og z = 3 (begge positivt orientert).
8 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 8 av 6 Oppgave B-9 a) Sett f(z) =e iz og la Γ R betegne sirkelbuen z = Re iθ, θ π/4. Vis at lim R Γ R f(z) dz =. (Hint: sin θ 4θ/π når θ π/4.) b) La R betegne den lukkede kurven bestående av intervallet [,R]på x-aksen, sirkelbuen Γ R og det rette linjestykket fra Re iπ/4 til. Finn verdien av integralene cos(t ) dt og sin(t ) dt ved å integrere f(z) en gang rundt R og deretter la R. Det oppgis at e t dt = π. Oppgave B-3 a) Gitt funksjonen f(z) =(z +) 6 /z 7. Hvilken type singularitet har f(z) i punktet z =? Begrunn svaret. Finn residuet til f(z) iz =. b) Finn verdien av integralet ved residuregning. π cos 6 θdθ Oppgave B-3 Finn alle Laurentrekkene til funksjonen f(z) = åpne konvergensområdene for rekkene. Bestem verdien av integralet (z +)(z +z) om punktet z =, og angi de f(z) dz der er en sirkel i positiv omløpsretning med sentrum i ogradius. Oppgave B-3 La a>ogω> være gitt. La R>a,ogla R være den enkle lukkede kurven i det komplekse plan som består av det reelle intervallet fra R til R og halvsirkelbuen z = Re iθ for θ π (positiv omløpsretning). Beregn R e iωz a + z dz og vis at cos ωx a + x dx = π a e aω for alle a>ogω>.
9 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 9 av 6 Oppgave B-33 Løs ligningen sin z =. Oppgave B-34 a) La R>, og la R være den enkle lukkede kurven i det komplekse plan som består av det reelle intervallet fra R til R og halvsirkelbuen z = Re iθ for θ π (positiv omløpsretning). Bruk residuregning til å evaluere integralet b) Finn verdien av det reelle integralet R z z 4 +6 dz. x x 4 +6 dx. Oppgave B-35 La f(z) være en hel funksjon, det vil si, analytisk for alle z. Vis at dersom f(z) M z k for alle z for en fast konstant M>ogetfastheltallk, så erf(z) etpolynompå formen f(z) =cz k. Oppgave B-36 Bestem integralet ved å benytte substitusjonen z = e iθ. π dθ +cosθ sin θ Oppgave B-37 Finn Laurentrekken(e?) om z = til funksjonen f(z) = ez og bestem { } Im f(z) dz der er det rette linjestykket som går fra til i. z 3
10 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side av 6 Oppgave B-38 La Γ R være halvsirkelbuen z = Re iθ for θ π, derr er en positiv konstant. Vis at e lim R ΓR iz dz =. z + Finn også e lim R + ΓR iz e dz og lim z + R + ΓR iz z(z +) dz. Oppgave B-39 Bestem konstanten A slik at u(x, y) =e y (x cos x + Ay sin x) blir en harmonisk funksjon. Finn de analytiske funksjonene av z = x + iy som har u(x, y) som realdel. Oppgave B-4 Finn alle Laurentrekkene med sentrum i z = til funksjonen f(z) = z 4z 4 og angi gyldighetsområdene til hver av dem. Oppgave B-4 Finn Fouriercosinustransformen f(w) =F{f(t)} = π f(t)coswt dt til den jevne funksjonen f(t) = t + ved hjelp av residuregning. Forklar hvorfor f(w) erenjevnfunksjon. Oppgave B-4 Finn alle Laurentrekker med sentrum i punktet z = til funksjonen f(z) = (z )(z 4).Skriv opp konvergensområdet for kvar rekke. Finn verdien av integralet f(z) dz, der er sirkelen med radius 3 og sentrum i z =, orientert mot urvisaren.
11 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side av 6 Oppgave B-43 a) Finn alle singulære punkt til funksjonen f(z) = z. Teikn figur. Rekn ut residuet til f(z) z 5 + i punktet z = e iπ/5. xdx b) Rekn ut integralet x 5 + ved å integrere langs randa til sirkelsektoren z = reiθ, θ π/5, r R, ogsålar. (Svaret skal skrivast på reell form.) Oppgave B-44 Ved hjelp av substitusjonen z = e iθ og integrasjon rundt sirkelen z = skal ein rekne ut verdien π dθ av integralet,dera er eit vilkårleg positivt tal. a i sin θ Oppgave B-45 La P (z) ogq(z) vere to polynom, der graden til Q(z) er større enn eller lik pluss graden til P (z). Vis at P (z) lim dz =, r Q(z) der r er sirkelen med sentrum i origo og radius r. r La z,z,...,z m vere alle polane til m P (z). Finn verdien av summen Q(z) k= P (z) Res z=z k Q(z). Oppgave B-46 Finn dei to Laurentrekkene til funksjonen f(z) = kvar rekkene konvergerer. omkring punktet z =,ogavgjer (i z)(z ) Oppgave B-47 Funksjonen f(z) er definert ved f(z) = eiωz (z i) der ω er eit positivt tall. La R vere eit reelt tal, R>, la Γ R vere halvsirkelen gjeven ved z = Re iθ, θ π, ogla R vere kurva samansett av Γ R og intervallet frå R til R, med positiv orientering. a) Finn verdien av integralet R f(z) dz.
12 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side av 6 b) Vis at lim f(z) dz =. R Γ R Finn verdien av integrala (x ) cos ωx x sin ωx (x +) dx og x cos ωx +(x ) sin ωx (x +) dx. Oppgave B-48 La ein funksjon f(z) haeinpolavordenm i punktet z. Vis at funksjonen ϕ(z) = f (z) f(z) ein pol i z, og finn residuet av ϕ(z) iz. også har Oppgave B-49 Funksjonen ϕ(z) er definert ved ϕ(z) = i e iz. a) Finn alle singulære punkt til funkjonen ϕ(z), vis at desse er polar, og avgjer ordenen til polane. b) Rekn ut residuet til ϕ(z) i alle polane. La vere sirkelen om origo med radius 4 og sirkelen om origo med radius, begge positivt orientert. Finn verdien av integrala ϕ(z) dz og ϕ(z) dz. Oppgave B-5 Ved bruk av substitusjonen z = e iθ og residurekning skal ein finne verdien av integralet π dθ 3cosθ 5.
13 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 3 av 6 Fasit B- a) z = 3, z = 3+, enkle poler Res f(z) = z=z 8, Res f(z) = z=z 8 b) π B- a) f(z) = ( ) n+ z n for < z <, f(z) = ( ) n z n for z > n= 5 n=6 b) πi for <a<, for a> B-3 a), -, i, i b), πi, π ( i), B-4 f(y) = y, g(y) = y B-5 a) z = ai, pol av orden 3; Res z=ai s e as c) s e as for s>, a>, for s<, a> B-6 c) e w /4 B-7 a) b) k k π k B-9, ±π B- a) π/e c) π/e B- v(x, y) =xy + y, f(z) =z + z B- πi (n +)!
14 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 4 av 6 B-3 a =4,f(z) =4z + e z + i B-4 ( + i π ), 4 ( +i π ) ( B-6 /8 (8k +)π cos + i sin 6 B-7 63π/8 (8k +)π ), k =,,, 3 6 ( ±(,7 ±,i) ) B-8 a) ( 5 ) b) c n = c n + c n for n 3; c 5 =5 B-9 a) 998 b) B- n= 3 n e n!(z ) n for z > ; 6πie B- a) e (k+)πi/6, k =,,...5 b) π/3 c) π/3 3i B- a) i, 3i ; i b) π(4 + 7i)/5, πi z +i n= n (z )n ( ) ( i) n+ for < z < 5 ) B-3 a), ( 3 ± 5 ;, b) π ( ) B-4 ; n= ( ) n (z ) n ; 3(3 n ) B-5 a) i n z n ; n! n= b) 3πi c) 3π/ n= 3(3 n+ ) i n+3 z n (n +3)! for < z <
15 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 5 av 6 B-6, ln(x + y )+ B-7 a) ( ± 3)i; ± i 3 b) π 3 B-8 z n 3 for < z <, n= z n 5 for z > ; πi, n= B-9 b) π, π B-3 a) Pol av orden 7; b) 5π/8 B-3 B-3 B-33 B-34 a) b) (z +) n for < z + <, n= π a e ωa (z +) n 3 for z + > ; n= π +kπ i ln( ± 3), k =,±, ±,... π π 4 B-36 π 3 B-37 n= z n 3 e n! for z > ; π e B-38, πi B-39 A =, v(x, y) =e y (x sin x + y cos x)+, f(z) =ze iz + i B-4 4 n( z 4n z 4n+) for z < / (, 4 n+ z ) for z > / 4n+3 z 4n+4 n= n=
16 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 6 av 6 B-4 π e w (z ) n B-4 for < z < 3, 3 n+ n= n= 3 n for z > 3; πi (z ) n 3 B-43 a) e (k+)πi/5, k =,,...4; 5 eπi/5 π b) 5sin(π/5) B-44 π +a B-45 B-46 n= B-47 a) πωe ω (z ) n (i ) n+3 for < z < ; b) πωe ω, n=3 (i ) n 3 (z ) n for z > B-48 m B-49 a) π/4+kπ, k =,±, ±,...; enkle polar b) ;, πi B-5 π/4
EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene til funksjonen
Detaljer(s + 1) s(s 2 +2s+2) : 1 2 s s + 2 = 1 2. s 2 + 2s cos(t π) e (t π) sin(t π) e (t π)) u(t π)
NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA4 Matematikk 4K og MA5 Kompl. f.teori med diff.likninger.8.4 Løsningsforslag Laplace-transformasjon av initialverdiproblemet gir y + y + y ut π), y), y )
DetaljerEKSAMEN I TMA4120 MATEMATIKK 4K, LØSNINGSFORSLAG
EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 4K, 3..5. LØSNINGSFORSLAG Oppgave. y + y + t y(τ)e t τ dτ = u(t ) t >, y() = Anta at den Laplacetransformerte Y (s) av y(t) eksisterer. Siden integralet er konvolusjonen av y(t)
DetaljerTMA4120 Matematikk 4K Høst 2015
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Løsningsforslag Øving 9 hapter 13.7 La z. Logaritmen til z, ln z, er definert som tallene ln z ln
DetaljerOppgave 1 OPPGAVER OG LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 6147 OG SMN 6195 KOMPLEKS ANALYSE STED: HØGSKOLEN I NARVIK. KLASSE:4EL,4RTog5ID
OPPGAVER OG LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 647 OG SMN 695 KOMPLEKS ANALYSE STED: HØGSKOLEN I NARVIK KLASSE:4EL,4RTog5ID DATO: 8 januar 004 TID: 9.00-.00 ANTALL SIDER: 0 (inklusiv formler)
DetaljerLøysingsforslag for TMA4120, Øving 9
Løysingsforslag for TMA4, Øving 9 October, 6 7..5) La z = x + iy og w = a + bi. Biletet til x = c, c konstant, under mappinga w = z,erallepunktidetkomplekseplanetpåforma w = z =(c + iy) = c y +ciy, det
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i MAT111
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 I dette kapittelet har mange av oppgavene et mindre teoretisk preg enn i de foregående kapitlene, og jeg regner derfor med at lærebokas eksempler og fasit
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I KOMPLEKS ANALYSE
LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I KOMPLEKS ANALYSE DATO: 9 desember 3 Hver deloppgave teller like mye! Oppgave a) Finn eventuelle akkumulasjonspunkter til følgende mengder: ) z n = i n (n =,,...) ) z n = in
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
Detaljery = x y, y 2 x 2 = c,
TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerTMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41/TMA415 Matematikk 4M/4N Vår 1 Løsningsforslag Øving 1 Skriv om følgende trigonometriske funksjoner til fourierrekker ved
Detaljer2 n+2 er konvergent eller divergent. Observer først at; 2n+2 2 n+2 = n=1. n=1. 2 n > for alle n N. Denne summen er.
MA2 Vår 28 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 9.2.9 Ønsker å finne ut om 3+ 2 n+2 er konvergent eller divergent. Observer først at; 3 + 2 n 2 n+2 = ( 3 ) + +2
DetaljerMAT1100 - Grublegruppen Uke 36
MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
DetaljerMAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430
MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.
DetaljerEksamensoppgave i MA1102/6102 Grunnkurs i analyse II
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1102/6102 Grunnkurs i analyse II Faglig kontakt under eksamen: Magnus Landstad Tlf: Eksamensdato: 6. juni 2017 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerOppgaver og fasit til seksjon
1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos
DetaljerLøsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
DetaljerEKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus
DetaljerEt Komplekst tall på kartesisk(standard), polar(eksponentialform) og trigonometrisk form
Kapittel Komplekse tall.1 Kompleksetall-Oppsummering Kvadratroten av 1 må være en løsning til ligningen x = 1, om den finnes. Tallet i kalles den imaginære enheten og er det vi trenger for å definere de
DetaljerLøsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien
DetaljerNTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 5. Avsnitt Vi vil finne dx ( cos t dt).
NTNU Instittt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 5 Avsnitt 5.4 ( + cos x)dx = dx + cos xdx = π + [sin x] π = π + (sin π sin) = π. 44 Vi vil finne d x dx ( cos t dt). Merk
Detaljerdx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk vår 9 øsningsforslag til eksamen 15. august 9 1 Treghetsmoment med hensyn på x-aksen er gitt ved x [ ] y I
DetaljerVi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerSIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag
SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver
DetaljerKomplekse tall: definisjon og regneregler
Komplekse tall: definisjon og regneregler Eugenia Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 22. august 2011 Komplekse tall fra Wikipedia Et komplekst tall er tall på formen x + iy, der x og y er
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2009
TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +
DetaljerTMA4105 Matematikk 2 Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,
DetaljerSammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009
Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/
Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss
DetaljerEksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl Løysingsforslag:
Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl. 09-15 Løysingsforslag: 1a Her er r 2 løysing av det karakteristiske polynomet med multiplisitet 2 pga. t-faktor. Det karakteristiske
DetaljerLøsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7
Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 14 1.4.5: Vi skal finne fluksen ut overflaten til den solide ballen B med sentrum = (2,, 3) og radius r = 3, av vektorfeltet F = x 2 i + y 2
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 14. oktober 2016 Tid for eksamen: 13.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11
Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x
DetaljerBYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)
DetaljerPrøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og
DetaljerKomplekse tall og komplekse funksjoner
KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som
Detaljera 2 x 2 dy dx = e r r dr dθ =
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk
DetaljerLøsningsforslag, Ma-2610, 18. februar 2004
Løsningsforslag, Ma-60, 8. februar 004 For sensor og kandidater.. Lineær uavhengighet Avgjør hvorvidt de følgende funksjonene er lineært uavhengige på den reelle tallinja: f(x) x g(x) 3x h(x) 5x 8x Svaralternativ
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8
LØNINGFORLAG TIL ØVING, TMA45, V8 Oppgave 4.5.9. Parametrisering: x = r cos θ, y = r sin θ, z = r for θ π, r 6. r(r, θ) = r cos θ, r sin θ, r. N = r r r θ = cos θ sin θ = r cos θ, r sin θ, r. r sin θ r
DetaljerLØSNINGSFORSLAG. Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk form som a + bi og på polar form som re iθ (r 0 og 0 θ < 2π). a) 2 + 3i.
Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag. februar 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: LØSNINGSFORSLAG Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 917 44 Eksamensdato: 22. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I MATEMATIKK 4N/D (TMA4125 TMA4130 TMA4135) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 EKSAMEN I MATEMATIKK N/D (TMA25 TMA3 TMA35 3. August 27 LØSNINGSFORSLAG Oppgave a Løsning: fouriersinusrekken til
Detaljer(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y
DetaljerLøsningsforslag. a) i. b) (1 i) 2. e) 1 i 3 + i LF: a) Tallet er allerede på kartesisk form. På polar form er tallet gitt ved
Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Mandag 3. august 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag Uttrykk følgende komplekse tall både
DetaljerKomplekse tall. Kapittel 2. Den imaginære enheten. Operasjoner på komplekse tall
Kapittel Komplekse tall Oppfinnelsen av nye tallsystemer henger gjerne sammen med polynomligninger x + 4 0 har ingen positiv løsning, selv om koeffisientene er positive tall Vi må altså inn med negative
Detaljerx 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 n x 1 n x 2 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 2012 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 00 Oppgave Evaluerer grensen cos( ) 0 ( sin( ) ) 0 6 0 6 5 0 sin( ) 0 sin( ) = Har brukt l Hôpitals regel (derivert teller og nevner hver for seg) i første og tredje overgang.
DetaljerSIF5003 Matematikk 1, 6. desember 2000 Løsningsforslag
SIF53 Matematikk 1, 6. desember 2 Oppgave 1 Dreid om y aksen: iv). Dreid om x = 1: iii). Oppgave 2 Om bredden på rektanglet er 2x og høyden er y finner vi for det ukjente arealet A og den kjente omkretsen
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt
DetaljerEksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Oppgave 1. Fra ligningen Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag x 2 64 y2 36 1 finner vi a 64 8 og b 36 6. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a 2 + b 2 64 + 36 1 1. Dermed er fokuspunktene
DetaljerDAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.
Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir
LØNINGFOLAG IL EKAMEN I FAGE 55/7 MAEMAIKK. august Oppgave. (i Ja. (ii Ja. (iii Nei. Alternativt: (i Ja. (ii Ja. (iii Ja. Oppgave. curlf (x, y F i j k (x, y / x / y / z e y + ye x +x xe y + e x + Altså
Detaljer= (2 6y) da. = πa 2 3
TMA45 Matematikk Vår 7 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete ourse.
DetaljerLøsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03
Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(
Detaljer= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2
TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x
DetaljerEksamensoppgave i MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA/MA6 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG Faglig kontakt under eksamen: John Erik Fornæss /Kari Hag Tlf: 464944/483988 Eksamensdato: 8. desember 5 Eksamenstid
Detaljere y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0
LØNINGFORLAG TIL EKAMEN I FAGET 55/7 MATEMATIKK. august Oppgave. (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Nei. Alternativt: (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Ja. Oppgave. a) curlf (x, y) F i j k (x, y) / x / y / z e y + ye x +x xe
DetaljerKorreksjoner til fasit, 2. utgave
Korreksjoner til fasit,. utgave Kapittel. Oppgave.. a): / Oppgave.. e):.887, 0.58 Oppgave..9: sin00πt). + ) x Oppgave.7.5 c): ln for 0 < x. x Oppgave.8.0: Uttrykket for a + b) 7 skal være a + b) 7 = a
DetaljerI = (x 2 2x)e kx dx. U dv = UV V du. = x 1 1. k ekx x 1 ) = x k ekx 2x dx. = x2 k ekx 2 k. k ekx 2 k I 2. k ekx 2 k 1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 6..4 Vi skal evaluere det ubestemte integralet I = ( e k. Vi starter med å dele opp integralet
DetaljerOppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus
DetaljerSIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag
SIF5003 Matematikk, 5. desember 200 Oppgave For den første grensen får vi et /-uttrykk, og bruker L Hôpitals regel markert ved =) : lim 0 + ln ln sin 0 + cos sin 0 + cos sin ) =. For den andre får vi et
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT 1110, våren 2006
Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT, våren 6 Oppgave : a) Vi har C 5 3 II+( )I a + 3a 3a III+I 3 II 3 3 3 3 a + 3a 3a 3 a + 3a 3a III+II I+( ))II 3 3 3 a + 3a 3a 3 3 3 a + 3a 4 3 3a a + 3a 4 3 3a b)
DetaljerUniversitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
Universitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelie fakultet Eksamen i: FYS4-Matematiske metoder i fysikk Dato: juni 9 Tid for eksamen: 9- Oppavesettet: sider Tillatte hjelpemidler: Elektronisk kalkulator,
DetaljerEksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 05.12.2007 AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål Oppgave 1 a) Deriver funksjonen: f x 2 ( ) = cos( x + 1) b) Løs likningen og oppgi svaret
DetaljerEKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1
EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998
Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim
DetaljerTMA4105 Matematikk2 Vår 2008
TMA4105 Matematikk2 Vår 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 11.4.1 Vi ser på kurven i xy-planet gitt ved r(t) ti + (ln(cos t))j π/2
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig 1
FYS4 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig. januar 8 Her er løsningsforslag for Oblig som dreide seg om å friske opp en del grunnleggende matematikk. I tillegg finner dere til slutt et løsningsforslag
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA3 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 97 44 Eksamensdato: 22. mai 28 Eksamenstid (fra til): 9: 3: Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerEksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/N Bokmål Mandag 2.
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
DetaljerNTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 8 Oppgave b. Vi har at f() > og f(π/) π /6
DetaljerF = x F 1 + y F 2 + z F 3 = y 2 z 2 + x 2. i j k F = xy 2 yz 2 zx 2 = i(0 ( 2yz)) j(2xz 0) + k(0 2xy) = 2yzi 2xzj 2xyk.
TMA415 Matematikk 2 Vår 215 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 12 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerEksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.
Detaljerx 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får
DetaljerLøsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis,
DetaljerLøsning til Kompleks Analyse, Øving 5
Løsning til Kompleks Analyse, Øving 5 1. Oppgave For z = R> er z 1 z +1= z +1=R +1. Ved å innføre variabelen u = z får vi at som gir oss faktoriseringen z 4 +5z +4=u +5u +4=(u +1)(u +4) z 4 +5z +4= z +1
DetaljerEksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler
Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor
DetaljerEksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Helge Holden a, Gard Spreemann b Tlf: a 92038625, b 93838503 Eksamensdato: 2. desember 204 Eksamenstid
DetaljerEKSAMEN i MATEMATIKK 30
Eksamen i Matematikk 3 3. mai Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi EKSAMEN i MATEMATIKK 3 Onsdag 3. mai kl. 9 4 agnummer: V39A aglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator
DetaljerUniversitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
Universitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS34-Matematiske metoder i fysikk Dato: juni 4 Tid for eksamen: 43-73 Oppgavesettet: sider Tillatte hjelpemidler: Elektronisk
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske
DetaljerMA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs Analyse I Høst 7 9.5. a) Har at + x b arctan b = π + x [arctan x]b (arctan b arctan ) f) La oss først finne en
Detaljer