Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker

Transkript

1 Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010

2 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x slik at rekken konvergerer, får vi en funksjon f (x) = f n (x). n=1

3 Motivasjon(?) Mange funksjoner i naturvitenskap er kun gitt som funksjonsrekker og ikke med vanlige funksjonsuttrykk. Dersom vi klarer å skrive en funksjon som en funksjonsrekke, så kan vi ofte finne tilnærmede funksjonsverdier ved å kappe av summen etter et visst antall ledd. Ved hjelp av funksjonsrekker kan vi definere mange nye funksjoner med interessante egenskaper. F.eks. gjelder dette Weierstrassfunksjonen f (x) = a n cos(b n πx), der 0 < a < 1, b N og ab > π. Det er nemlig et eksempel på en kontinuerlig, men ingensteds derivérbar funksjon.

4 Dens graf: Bevis i høstkurset MAT211-Reell analyse.

5 Potensrekker Vi skal i dette kurset kun se på en bestemt type funksjonsrekker, nemlig dem på formen a n (x c) n = a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 + a 3 (x c) 3 + der c er en konstant, som kalles konvergenssentrum. En slik rekke kalles potensrekke om c eller i potenser av x c. For de x slik at rekken konvergerer, definerer rekken en funksjon som vi kaller summen til rekken.

6 Eksempel vi allerede har sett x n = 1 1 x når 1 < x < 1 (geometrisk rekke) (Her er alle a i = 1 og c = 0.) Sier at: x n er en potensrekkerepresentasjon av funksjonen 1 1 x på intervallet ( 1, 1). Variabelskifte x x: Ny representasjon ( 1) n x n = 1 når 1 < x < x

7 Konvergensområder Spørsmål: For hvilke x konvergerer a n (x c) n? Ihvertfall for x = c, der summen er a 0. Teorem Tre muligheter: (1) rekken konvergerer kun for x = c; (2) rekken konvergerer for alle x (, ); (3) det finnes en R > 0 slik at rekken konvergerer for x (c R, c + R), divergerer for x < c R og x > c + R og oppførselen i endepunktene x = ±R kan variere. I alle tilfellene er konvergensen absolutt bortsett fra muligens i endepunktene x = ±R. Tallet R i (3) kalles konvergensradius. Vi sier gjerne at R = 0 i (1) og R = i (2). Intervallet der rekken konvergerer i (2) og (3) kalles konvergensintervallet.

8 Hvordan finne konvergensområdet? Finner det som oftest ved forholdstesten: ρ = lim a n+1(x c) n+1 = lim n a n (x c) n n a n+1 a n x c Konvergens om ρ < 1 og divergens om ρ > 1 (ρ kan være ). Dersom L = lim a n+1 eksisterer eller er, får vi n a n Konvergens hvis x c < 1/L; Divergens hvis x c > 1/L, der vi lar 1/0 = og 1/ = 0 (FYSJ-notasjon) Vi har altså R = 1/L og må sjekke endepunktene x = c ± R spesielt (dersom R 0,.) Råd: ikke pugg dette utenat, men bruk forholdstesten hver gang. (Noen ganger kan det være lurere å bruke andre tester, f.eks. rottesten.)

9 Abels teorem Teorem Summen av en potensrekke er en kontinuerlig funksjon overalt i konvergensintervallet (også i eventuelle endepunkter). Spesielt sier Abels teorem: Dersom r > 0, da vil også lim x r a n x n = a n r n konvergerer for en a n r n. (Tilsvarende for r < 0). Dette gjelder også om r = R er et endepunkt og rekken konvergerer der, noe vi vil benytte oss av i flere eksempler.

10 Naturlig omvendt spørsmål: Dersom må da NEI: a n r n = s? lim x 1 ( 1) n x n = lim ( 1) n divergerer. 1 + x x 1 1 lim x r a n x n = s eksisterer, = 1/2, men grenserekken

11 Algebraiske operasjoner (c = 0 for enkelhets skyld) Teorem Mult. med konstant (Ka n )x n = K Samme konvergensradius. Addisjon (a n + b n )x n = a n x n a n x n + b n x n Konvergensradius til rekken til venstre er minst like stor som den minste av radiene til de to rekkene til høyre. Multiplikasjon av rekker (Cauchyprodukt): les selv!

12 Derivasjon og integrasjon (c = 0 for enkelhets skyld) Anta f (x) = a n x n for x ( R, R). Teorem f (x) = na n x n 1 for x ( R, R) x 0 n=1 f (t) dt = a n n + 1 x n+1 for x ( R, R). Moralen er: vi kan derivére og integrére leddvis, så lenge vi er i det indre av konvergensintervallet ( R, R). Det kan imidlertid skje ting i endepunktene: vi kan miste konvergens når vi derivérer og vinne konvergens når vi integrérer. Dette følger fra Abels teorem: vi skal ikke vise dette generelt, men vise det i konkrete eksempler.

13 For spesielt interesserte: Dette teoremet gjelder ikke for funksjonsrekker som ikke er potensrekker. sin(n 3 x) F.eks. konvergerer n 2 absolutt for alle x (HVORFOR?), n=1 mens rekken vi får ved leddvis derivasjon n cos(n 3 x) divergerer for alle x. n=1

14 Taylor- og Maclaurinrekker Anta f er uendelig mange ganger derivérbar i punktet c, dvs. at f (n) eksisterer for alle n = 0, 1, 2, 3,.... Potensrekken f (n) (c) (x c) n n! kallestaylorrekken til f om c (eller i potenser av x c.) Vi sier gjerne Maclaurinrekken hvis c = 0. Merk at den n-te delsummen til rekken er Taylorpolynomet av orden n: n f (j) (c) P n (x) = (x c) j j! j=0

15 Viktig teorem Teorem Hvis f (x) = a n (x c) n for x (c R, c + R), R > 0, da er dette Taylorrekken til f om c. Bevis: Bare derivér rekken n ganger og få at a n = f (n) (c) n!. Definisjon:f kalles analytisk i c dersom f har en Taylorrekke om c (dvs. f er uendelig mange ganger derivérbar i c) og Taylorrekken konvergerer mot f i et åpent intervall om c. OBS! For en ikke-analytisk funksjon: selv om Taylorrekken konvergerer, trenger den ikke konvergere mot f. Se Oppg

16 Metode for å vise at Taylorrekken konvergerer mot f Bruker Taylors formel med restledd: der f (x) = P n (x) + E n (x), E n (x) = f (n+1) (s) (n + 1)! (x c)n+1, for en s mellom c og x Viktig! lim n E n(x) = 0 Taylorrekken (= lim n P n(x)) konvergerer mot f.

17 To motsatte problemtyper Gitt en potensrekke. Finn konvergensintervallet og summen f (uttrykt som en vanlig funksjon). Da vet vi at dette er Taylorrekken til f ved Teorem Gitt en funksjon f. Finn Taylorrekken og vurdér om den konvergerer mot f. Metode I: finn formel for f (n) (c) (gjerne ved induksjon) og skriv ned rekken. Konvergens kan f.eks. vises ved å vise at lim E n(x) = 0 (se Eks ) eller ved å derivére rekken og n vise at den oppfyller en diffligning (se Eks ) Metode II (oftere): modifisér kjente Taylorrekker ved å bytte variable, derivére og integrére osv. Klarer vi å skrive f som en potensrekke om c, da er denne rekken Taylorrekken igjen ved Teorem

18 Ellers... Noen ganger kan vi ikke skrive summen f (x) = a n (x c) n som en kjent funksjon. Da kan vi likevel jobbe med funksjonen (f.eks. derivére den og integrére den ved å gjøre det leddvis) på noenlunde vanlig måte (funksjonsdrøfting o.l.). Spesielt viktig i naturvitenskap generelt.