Vi skal hovedsakelig ikke bestemme summen men om rekken konvergerer. det vil si om summen til rekken er et bestemt tall

Transkript

1 Kapittel 8 Oppsummerig-Rekker Rekker er summe til edelig eller uedelig mage ledd i e tallfølge. Potesrekker ka beyttes til å uttrykke vaskelige fuksjoer om et pukt. Ma ka skreddesy potesfuksjoer ved hjelp av Taylorrekker til å være e god tilærmig for fuksjoer. 8. Oppsummerig Tallfølger og rekker Tallfølge er e serie av tall som følger e bestemt regel(a ). Tallfølge a kovergerer dersom lim a = L <, det vil si dersom greseverdie eksisterer (L er et bestemt tall) Rekker og kovergeskriterier Rekke er summe til edelig mage ledd eller uedelig mage ledd i e tallfølge og blir kalt heholdsvis edelig rekke og uedelig rekke. De uedelige rekke: a + a 2 + a a + = S + = kovergerer dersom summe til uedelig mage ledd i rekke går mot et bestemt tall eller ma ka si rekke kovergerer mot A hvis tallfølgem {S } der S = a + a 2 + a kovergerer mot A: lim S = A <. Vi skal hovedsakelig ikke bestemme summe me om rekke kovergerer. det vil si om summe til rekke er et bestemt tall Divergesteste La a være e uedelig rekke. Hvis lim a 0, divergerer rekke. De divergerer også år greseverdie ikke eksisterer. Hvis lim a = 0, så er rekke ka kovergere, me ikke ødvedigvis. Her tar vi tre metoder for å bestemme om rekke kovergerer eller diveregerer. 8 Oppsummerig-Rekker 3. jauar 206 Side a

2 Forholdstest Hvis lim a = 0, så er rekke ka kovergere. Rekke kovergerer hvis L <, lim a + = L Rekke divergerer hvis L >, + a Ige koklusjo hvis L =. Itegraltest La a være e positiv rekke. La e fuksjo f : [, ) R, med f() = a. Ata at f(x) er avtagede i det miste for x N. Da kovergerer rekke a hvis og bare hvis itegralet N f()d kovergerer. Hvis f()d < (kovergerer), så kovergerer a også. Hvis f()d (divergerer), så divergerer a også. Sammeligigstest og gresesammeligig Betrakt rekkee a og a -rekke er større e b -rekke. b der a og b er begge positive. Hvis a > b, ka vi si Sammeligigskriteriet for koverges: Hvis de største av to positive rekker kovergerer, så kovergerer også de miste. Sammeligigskriteriet for diverges: Hvis de miste av to positive rekker divergerer, så divergerer også de største. Hvis a b kovergerer og lim <, så kovergerer a også. b Hvis a b divergerer og 0 < lim <, så divergerer a også. b p-rekker Rekke på forme Altererede rekker kalles p-rekker og det ka lett ved itegraltest vises at: p { Rekke kovergerer hvis p >, Rekke divergerer hvis p. Altererede rekker er rekker der leddee veksler forteg, det vil si at aethvert ledd er positivt/egativt. ( ) a. Leibiz kriterium for altererede rekker sier at rekke kovergerer dersom størrelse på leddee( a er avtagede, og leddee går mot ull: { a+ < a for N Koverges(absolutt og betiget) lim a = 0 Rekke a kovergerer absolutt hvis a kovergerer. E koverget rekke som ikke er absolutt koverget, kalles betiget koverget. 8. Oppsummerig 3. jauar 206 Side 2

3 Potesrekker og kovergesområdet E fuksjosrekke på forme c (x x 0 ) kalles potesrekke om x = x 0. Kovergesrekke til potesrekke ka bestemmes ved hjelp av forholdstest: La L = lim c + c lim c +(x x 0 ) + c (x x 0 ) = lim c + x x 0 < c og ρ = L (kovergesradie): x x 0 ρ Koverget for alle x(ρ = ) for L = 0, Diverget for alle x(ρ = 0) for L =, x 0 ρ < x < x 0 + ρ for 0 < L < Hvis 0 < L <, er kovergesradie ρ og kovergesområdet er lik x 0 ρ < x < x 0 + ρ. Husk å sjekke mulightee for koverges edepuktee: x = x 0 ρ og x = x 0 + ρ. Taylorrekker og Maclaurirekker T (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f () (x 0 ) (x x 0 ) + 2! f () (x 0 ) = (x x 0 ) M(x) =f(0) + f (0)x + f (0) x f () (0) x + 2! f () (0) = x (Maclauri-rekke er det samme som Taylor-rekke om x = 0) Kjete rekker (Maclauri-rekker) Eller: e x = + x + x2 2! + x3 3! + = x si x = x x3 3! + x5 5! = ( ) x 2+ (2 + )! cos x = x2 2! + x4 4! = x = + x + x2 + x 3 + = ( ) x2 (2)! x x x x x < l( + x) = x x2 2 + x3 3 = l( x) = x + x2 2 + x3 3 + = ( ) x+ x + x < x < 8. Oppsummerig 3. jauar 206 Side 3

4 Maipulasjo av potesrekker I) Substitusjo av hjelpevariabel i rekke La f(y) = c (y a) være e potesrekke med kovergesradius ρ > 0. La u(x) være kotiuerlig. Sett i y = u(x). Da er f(u(x)) = c (u(x) a) e absolutt koverget rekke for alle x-verdier der u(x) a < ρ. II) Algebraiske operasjoer La c (x a) være e potesrekke med kovergesradius ρ > 0 og la f(x) = c (x a) være defiert for x a ρ, a + ρ. Da er f(x) kotiuerlig og x a f(t) dt = c (x a)+ for + alle x a ρ, a + ρ. Da er f(x) deriverbar og f (x) = c (x a) for alle x a ρ, a + ρ. Divergestest lim a 0 lim a = 0 Velge metode Forholdsteste OK, feiler Sammeligigstest OK, feiler Itegraltest OK, feiler Divergerer Kovergerer 8. Oppsummerig 3. jauar 206 Side 4

5 8.2 Kotrollspørsmål(refleksjo over defiisjoer og teorier) Oppgave 8.2.: Hva vil det si at de uedelige rekke a kovergerer? a) Hvis lim a = 0, ka vi si at rekke er koverget? Hvis ikke, ta et eksempel. Nei, rekke da ka kaskje divergere, for eksempel. Hvis lim a 0, ka vi si at rekke er diverget? Hvis ja, ta et eksempel. Hva kalles rekke? For hvilke p-verdier kovergerer dee rekke? (du treger ikke å p bevise oe). Hva ka vi si om rekkee: og? Kovergerer eller divergerer? Oppgave 8.2.2: Les teoriee i kapittelet før du svarer på disse spørsmålee. a) Hvis a + < a for alle aturlige tall, ka vi si at rekke er koverget? Hvis ikke, ta et eksempel. Ata at a i og b i er rekker med positive ledd, a i 0 og b i 0. Gitt i= i= b i er koverget og a i b i. Hva ka vi si om rekke i= divergerer? Gitt b i er diverget og a i b i. Hva ka vi si om rekke i= divergerer? La a i = f(i), der f(x) er e kotiuerlig fuksjo: f(x) > 0, og er avtagede. Hvis f(x)dx <, hva ka si om rekke a i? i= Hvis f(x)dx =, hva ka si om rekke a i? i= a i? Kovergerer eller i= a i? Kovergerer eller Oppgave 8.2.3: Disse spørsmåleme ka du svare år du er ferdig med oppgavee fra oppgavesamlige(ettbasert) og kotrolloppgavee i oppgavehefte her. a) I hvilke oppgavetyper bruker ma forholdsteste? I hvilke oppgavetyper bruker ma sammeligigsteste? I disse oppgavee hva sammeliger ma te ledd i rakke(a ) med? I hvilke oppgavetyper bruker ma itegralteste? Oppgave 8.2.4: Ata a i kovergerer, b i divergerer og c i kovergerer. i= Hva ka vi si om rekke Hva ka vi si om rekke a i + b i? i= a i + c i? i= i= i= i= 8.2 Kotrollspørsmål(refleksjo over defiisjoer og teorier) 3. jauar 206 Side 5

6 8.3 Kotrolloppgaver(fordypig av metoder og teorier) Oppgave 8.3.: Sett opp t ledd i tallfølge(a ): 2, 4 5, 9 0, Er tallfølge koverget eler diverget? Oppgave 8.3.2: a) Bestem summe = Gitt rekke: Sett opp te ledd i rekke(a ). Bestem summe til første ledd i rekke(s ). Bestem summe til de uedelige rekke. Oppgave 8.3.3: Udersøk om følgede rekker kovergerer eller divergerer. Begru svaret. a) ( 2 ) ( ) d) 000 Oppgave 8.3.4: Betrakt rekke cos. Forklar hvorfor rekke er diverget. Oppgave 8.3.5: Betrakt rekke, der a > 0. (hvor a > 0 er e kostat). Hva slags rekke a er dette? Agi for hvilke a rekke kovergerer? Svar på spørsmålet for rekke: 2. Oppgave 8.3.6: Betraktrekke: ( ) a a rekke kovergerer? Udersøk om rekke spørsmålet for rekke: ( ) 2. der a > 0. Hva slags rekke er dette? Agi for hvilke ( ) kovergerer eller divergerer. Svar på Oppgave 8.3.7: Avgjør om følgede rekker kovergerer: a) d) 3 Oppgave 8.3.8: Betrakt rekke cos 2. Forklar hvorfor rekke er koverget. Oppgave 8.3.9: Avgjør om følgede rekker kovergerer: a) 4 ( + )! 4 (2)! () 2 d) (2)! (3)! 8.3 Kotrolloppgaver(fordypig av metoder og teorier) 3. jauar 206 Side 6

7 Oppgave 8.3.0: Avgjør om følgede rekker kovergerer: a) l ( ) + =2 l d) Oppgave 8.3.: Bestem kovergesområdet til hver potesrekke. Agi kovergesradie. x a) 2 x 2 x 3 Oppgave 8.3.2: a) 2 x 3 d) 3 x (5 x) 2 + x 2 ( 2 + )4 Bestem kovergesområdet til hver potesrekke. Oppgave 8.3.3: Reg ut Maclauri-rekke til hver fuksjo. a) f(x) = x + x 2 f(x) = f(x) = x e t2 0 + t 2 x 0 Oppgave 8.3.4: dt l( + 2t) t dt a) La f(x) = ex e x for alle x 0. Fi e potesrekke med sum lik f(x) (år x, x 0), 2x og beytt dee potesrekke til å berege greseverdie lim f(x). x 0 x l( + x) La f(x) = for alle x 0. Fi e potesrekke med sum lik f(x) år x 0, og x 2 beytt dee potesrekke til å berege greseverdie lim x 0 f(x). La f(x) = cos(2x), for alle x 0. Fi e potesrekke om x = 0 med sum lik f(x) (år x 2 x 0), og beytt dee potesrekke til å berege greseverdie lim x 0 f(x). Oppgave 8.3.5: 8.3 Kotrolloppgaver(fordypig av metoder og teorier) 3. jauar 206 Side 7

8 a) Udersøk om rekke kovergerer eller divergerer. Bestem potesrekke til g(x) = xex e x + x 2. Bestem summe 2! + 2 3! + 3 4! + Oppgave 8.3.6: a) Bestem e potesrekke om x = 0 for f(x) = e x. x Sett opp e uedelig rekke for f(x) dx. Reg ut itegralet med å ta fire første ledde i 0 + potesrekke. Bestem kovergesområdet for rekke ( ) 2 + x2. Fi et ekelt uttrykk for de fuksjo som represeterer rekkas sum i kovergesområdet ved å ta utgagspukt i de geometrisk rekke x = x. Bestem summe av rekke ( ) 2 + ( /3). 8.3 Kotrolloppgaver(fordypig av metoder og teorier) 3. jauar 206 Side 8

9 Fasit Oppgave 8.2.: Ja, + p-rekke. For p > kovergerer rekke. p = 2 < divergerer. p = 3 2 > kovergerer. Oppgave 8.2.2: a) Nei, eksempel Kovergerer Divergerer Kovergerer Divergerer i= Oppgave 8.2.3: a) I oppgaver der a er e rasjoalfuksjo og ieholder blat aet ekspoetialledd eller fakultet ledd i tellere eller evere. For eksempel: a = I oppgaver der a er e rasjoalfuksjo og ma fier ekspoetialledd eller fakultetledd i tellere eller evere: For eksempel: a = 3 elller a = 5 I oppgaver der a er itegrerbar For eksempel: a = l Oppgave 8.2.4: Summe til e koverget rekke og e diverget rekke er diverget. Summe til to kovergete rekker er koverget. Oppgave 8.3.: der =, 2, 3, Koverget: lim Oppgave 8.3.2: 2 2 = < (greseverdie eksisterer) + a) Geometrisk rekke a 0 =, k = 2 9 < og S = a 0 k = 9 7 a = a 0 k = 3 5 (2 2 3 ) = S = a 0 k = Oppsummerig-Rekker 3. jauar 206 Side 9

10 Oppgave 8.3.3: a) Diverget (bruk divergestest) eller å summere med seg selv udelig mage gager blir uedelig. Koverget (geometrisk rekke) Diverget (bruk divergestest) ellers summe til rekke ka bli 0 eller, og selv om det er edelig tall, me det ikke bestemt(ikke etydig). d) Diverget(divergestest gir ikke 0) Oppgave 8.3.4: lim cos 0 og dermed diverget. aaaa Oppgave 8.3.5: p-rekke. Kovergerer år a >. Rekke kovergerer. Oppgave 8.3.6: Altererede rekke. Rekke kovergerer for alle a-verdier (Leibiz-teste). Rekke kovergerer. Dee rekke kovergerer også. Oppgave 8.3.7: Vi bruker forholdsteste: a) lim a = lim = 0 rekkke ka kovergere. Ved å bruke sammeligigstest får vi: a 2 + lim = lim b = < ( 0) Rekke er dermed diverget. 2 lim a = lim 4 = 0 rekkke ka kovergere. Ved å bruke sammeligigstest får vi: + a 2 lim = lim b lim a = lim 3 = < ( 0) Rekke er dermed koverget. = 0 rekkke ka kovergere. Ved å bruke forholdstest får vi: lim a + ( + )3 = lim a ( + )! 3 = lim = 0 (< ) Rekke er dermed koverget. ( + ) d) lim a = lim 3 = 0 rekkke ka kovergere. Ved å bruke forholdstest får vi: a + lim = lim a ( + )! 3 = lim 3 = 0 (< ) Rekke er dermed koverget. ( + ) Oppgave 8.3.8: cos lim 2 = 0 og cos 2 Oppgave 8.3.9: 3 + < og dermed koverrget Kotrolloppgaver(fordypig av metoder og teorier) 3. jauar 206 Side 0

11 a) Vi bruker forholdsteste: d) lim a + ( + )4 ( + )! = lim a ( + 2)! 4 = lim + 2 = 0 <. lim a + = lim a ( + )! 4 = lim 4 + = 0 <. 4 + lim a + ( + )!( + )! (2)! = lim a (2 + 2)! = lim ( + )( + ) (2 + )(2 + 2) = 4 <. lim a + (2 + 2)! (3)! = lim a (3 + 3)! (2)! = lim (2 + )(2 + 2) (3 + )(3 + 2)(3 + 3) = 0 <. Oppgave 8.3.0: l l a) lim = 0 og >. Dermed rekke er diverget. ( ) + = + +. Summe er ete eller 0 og dermed rekke er diverget. lim l Sammeligig med d) Dermed = 0: rekke ka kovergere. Her ka vi bruke triks: l < og dermed l >. som er diverget (p = ) =2 l er også diverget lim 3 = 0: rekke ka kovergere. Forholdstest: lim a + = 2( + ) a = <. Rekke kovergerer. 3 Oppgave 8.3.: a) Bruk forholdstest og ser at rekke kovergerer for alle x og dermed kovergesradieρ = Kovergerer for ige x og dermed kovergesradie ρ = 0 [ 3, 3 Oppgave 8.3.2: a), 3, ] 3 4, 6 [ d) 2, Kotrolloppgaver(fordypig av metoder og teorier) 3. jauar 206 Side

12 Oppgave 8.3.3: a) ( ) x 2+ (2 ) x2 ( ) 2 x 2 Oppgave 8.3.4: a) k=0 (2k + )! x2k Greseverdie er da k=0 ( ) k k + 2 xk ! 24 4! x ! x4 = k=0 2 2k+2 (2k + 2)! x2k Greseverdie er da 2 Oppgave 8.3.5: Så kovergerer rek- a) lim a + = lim a ( + )! = lim + = 0 <. ke. xe x e x + x( + x + x2 x 2 = 2! + + x x2 + ) ( + x + 2! + + x + ) + x 2 = ( 2! ) + ( 2! 3! )x + ( 3! 4! )x2 + Rekke er et resultat av å omskrive rekke i del a): Ved å rege g() får vi: g() = ( 2! ) + ( 2! 3! ) + ( 3! 4! ) + = = ( ( )! ) = = 2! + 2 3! + 3 4! + = g() = Oppgave 8.3.6: 8.3 Kotrolloppgaver(fordypig av metoder og teorier) 3. jauar 206 Side 2

13 a) e x x = ( x + x2 2! + ( ) x x + ) = ( ) ( + )! x = 0 0 f(x)dx = 0 ( ) ( ( + )! x ) dx ( 2! x + 3! x2 + + ( ) ( + )! x + ) dx = 2 2! + 3 3! + ( ) ( + ) ( + )! + ( ) = ( + )( + )! Ved å ta fire første ledde får vi: 0, , , 0044 = 0, 795 lim a + = lim ( )+ 2 + x2+2 a ( ) x 2 = x2 < < x < ρ = (kovergesradie). Sjekker edepuktee: ( ) x = : 2 + ( )2 = ( ) koverget(leibiz kriteriet). 2 + ( ) x = : koverget(leibiz kriteriet). 2 + Dermed kovergesitervall er x. Fi et ekelt uttrykk for de fuksjo som represeterer rekkas sum i kovergesområdet ved å ta utgagspukt i e geometrisk rekke. Tar utgagspukt i: x = x dermed x 2 = x 2 ( ) x 2 = x 2 + x 4 = + x 2 ( ( ) x 2 )dx = x 2 = arcta x x = arcta(/ 3) (/ 3) dermed ( ) x 2 + x2+ = = π/6 / 3 = π ( /3) = dt = arcta x + t2 ( ) 2 + (/ 3) Kotrolloppgaver(fordypig av metoder og teorier) 3. jauar 206 Side 3