Vi skal hovedsakelig ikke bestemme summen men om rekken konvergerer. det vil si om summen til rekken er et bestemt tall

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Vi skal hovedsakelig ikke bestemme summen men om rekken konvergerer. det vil si om summen til rekken er et bestemt tall"

Transkript

1 Kapittel 8 Oppsummerig-Rekker Rekker er summe til edelig eller uedelig mage ledd i e tallfølge. Potesrekker ka beyttes til å uttrykke vaskelige fuksjoer om et pukt. Ma ka skreddesy potesfuksjoer ved hjelp av Taylorrekker til å være e god tilærmig for fuksjoer. 8. Oppsummerig Tallfølger og rekker Tallfølge er e serie av tall som følger e bestemt regel(a ). Tallfølge a kovergerer dersom lim a = L <, det vil si dersom greseverdie eksisterer (L er et bestemt tall) Rekker og kovergeskriterier Rekke er summe til edelig mage ledd eller uedelig mage ledd i e tallfølge og blir kalt heholdsvis edelig rekke og uedelig rekke. De uedelige rekke: a + a 2 + a a + = S + = kovergerer dersom summe til uedelig mage ledd i rekke går mot et bestemt tall eller ma ka si rekke kovergerer mot A hvis tallfølgem {S } der S = a + a 2 + a kovergerer mot A: lim S = A <. Vi skal hovedsakelig ikke bestemme summe me om rekke kovergerer. det vil si om summe til rekke er et bestemt tall Divergesteste La a være e uedelig rekke. Hvis lim a 0, divergerer rekke. De divergerer også år greseverdie ikke eksisterer. Hvis lim a = 0, så er rekke ka kovergere, me ikke ødvedigvis. Her tar vi tre metoder for å bestemme om rekke kovergerer eller diveregerer. 8 Oppsummerig-Rekker 3. jauar 206 Side a

2 Forholdstest Hvis lim a = 0, så er rekke ka kovergere. Rekke kovergerer hvis L <, lim a + = L Rekke divergerer hvis L >, + a Ige koklusjo hvis L =. Itegraltest La a være e positiv rekke. La e fuksjo f : [, ) R, med f() = a. Ata at f(x) er avtagede i det miste for x N. Da kovergerer rekke a hvis og bare hvis itegralet N f()d kovergerer. Hvis f()d < (kovergerer), så kovergerer a også. Hvis f()d (divergerer), så divergerer a også. Sammeligigstest og gresesammeligig Betrakt rekkee a og a -rekke er større e b -rekke. b der a og b er begge positive. Hvis a > b, ka vi si Sammeligigskriteriet for koverges: Hvis de største av to positive rekker kovergerer, så kovergerer også de miste. Sammeligigskriteriet for diverges: Hvis de miste av to positive rekker divergerer, så divergerer også de største. Hvis a b kovergerer og lim <, så kovergerer a også. b Hvis a b divergerer og 0 < lim <, så divergerer a også. b p-rekker Rekke på forme Altererede rekker kalles p-rekker og det ka lett ved itegraltest vises at: p { Rekke kovergerer hvis p >, Rekke divergerer hvis p. Altererede rekker er rekker der leddee veksler forteg, det vil si at aethvert ledd er positivt/egativt. ( ) a. Leibiz kriterium for altererede rekker sier at rekke kovergerer dersom størrelse på leddee( a er avtagede, og leddee går mot ull: { a+ < a for N Koverges(absolutt og betiget) lim a = 0 Rekke a kovergerer absolutt hvis a kovergerer. E koverget rekke som ikke er absolutt koverget, kalles betiget koverget. 8. Oppsummerig 3. jauar 206 Side 2

3 Potesrekker og kovergesområdet E fuksjosrekke på forme c (x x 0 ) kalles potesrekke om x = x 0. Kovergesrekke til potesrekke ka bestemmes ved hjelp av forholdstest: La L = lim c + c lim c +(x x 0 ) + c (x x 0 ) = lim c + x x 0 < c og ρ = L (kovergesradie): x x 0 ρ Koverget for alle x(ρ = ) for L = 0, Diverget for alle x(ρ = 0) for L =, x 0 ρ < x < x 0 + ρ for 0 < L < Hvis 0 < L <, er kovergesradie ρ og kovergesområdet er lik x 0 ρ < x < x 0 + ρ. Husk å sjekke mulightee for koverges edepuktee: x = x 0 ρ og x = x 0 + ρ. Taylorrekker og Maclaurirekker T (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f () (x 0 ) (x x 0 ) + 2! f () (x 0 ) = (x x 0 ) M(x) =f(0) + f (0)x + f (0) x f () (0) x + 2! f () (0) = x (Maclauri-rekke er det samme som Taylor-rekke om x = 0) Kjete rekker (Maclauri-rekker) Eller: e x = + x + x2 2! + x3 3! + = x si x = x x3 3! + x5 5! = ( ) x 2+ (2 + )! cos x = x2 2! + x4 4! = x = + x + x2 + x 3 + = ( ) x2 (2)! x x x x x < l( + x) = x x2 2 + x3 3 = l( x) = x + x2 2 + x3 3 + = ( ) x+ x + x < x < 8. Oppsummerig 3. jauar 206 Side 3

4 Maipulasjo av potesrekker I) Substitusjo av hjelpevariabel i rekke La f(y) = c (y a) være e potesrekke med kovergesradius ρ > 0. La u(x) være kotiuerlig. Sett i y = u(x). Da er f(u(x)) = c (u(x) a) e absolutt koverget rekke for alle x-verdier der u(x) a < ρ. II) Algebraiske operasjoer La c (x a) være e potesrekke med kovergesradius ρ > 0 og la f(x) = c (x a) være defiert for x a ρ, a + ρ. Da er f(x) kotiuerlig og x a f(t) dt = c (x a)+ for + alle x a ρ, a + ρ. Da er f(x) deriverbar og f (x) = c (x a) for alle x a ρ, a + ρ. Divergestest lim a 0 lim a = 0 Velge metode Forholdsteste OK, feiler Sammeligigstest OK, feiler Itegraltest OK, feiler Divergerer Kovergerer 8. Oppsummerig 3. jauar 206 Side 4

5 8.2 Kotrollspørsmål(refleksjo over defiisjoer og teorier) Oppgave 8.2.: Hva vil det si at de uedelige rekke a kovergerer? a) Hvis lim a = 0, ka vi si at rekke er koverget? Hvis ikke, ta et eksempel. Nei, rekke da ka kaskje divergere, for eksempel. Hvis lim a 0, ka vi si at rekke er diverget? Hvis ja, ta et eksempel. Hva kalles rekke? For hvilke p-verdier kovergerer dee rekke? (du treger ikke å p bevise oe). Hva ka vi si om rekkee: og? Kovergerer eller divergerer? Oppgave 8.2.2: Les teoriee i kapittelet før du svarer på disse spørsmålee. a) Hvis a + < a for alle aturlige tall, ka vi si at rekke er koverget? Hvis ikke, ta et eksempel. Ata at a i og b i er rekker med positive ledd, a i 0 og b i 0. Gitt i= i= b i er koverget og a i b i. Hva ka vi si om rekke i= divergerer? Gitt b i er diverget og a i b i. Hva ka vi si om rekke i= divergerer? La a i = f(i), der f(x) er e kotiuerlig fuksjo: f(x) > 0, og er avtagede. Hvis f(x)dx <, hva ka si om rekke a i? i= Hvis f(x)dx =, hva ka si om rekke a i? i= a i? Kovergerer eller i= a i? Kovergerer eller Oppgave 8.2.3: Disse spørsmåleme ka du svare år du er ferdig med oppgavee fra oppgavesamlige(ettbasert) og kotrolloppgavee i oppgavehefte her. a) I hvilke oppgavetyper bruker ma forholdsteste? I hvilke oppgavetyper bruker ma sammeligigsteste? I disse oppgavee hva sammeliger ma te ledd i rakke(a ) med? I hvilke oppgavetyper bruker ma itegralteste? Oppgave 8.2.4: Ata a i kovergerer, b i divergerer og c i kovergerer. i= Hva ka vi si om rekke Hva ka vi si om rekke a i + b i? i= a i + c i? i= i= i= i= 8.2 Kotrollspørsmål(refleksjo over defiisjoer og teorier) 3. jauar 206 Side 5

6 8.3 Kotrolloppgaver(fordypig av metoder og teorier) Oppgave 8.3.: Sett opp t ledd i tallfølge(a ): 2, 4 5, 9 0, Er tallfølge koverget eler diverget? Oppgave 8.3.2: a) Bestem summe = Gitt rekke: Sett opp te ledd i rekke(a ). Bestem summe til første ledd i rekke(s ). Bestem summe til de uedelige rekke. Oppgave 8.3.3: Udersøk om følgede rekker kovergerer eller divergerer. Begru svaret. a) ( 2 ) ( ) d) 000 Oppgave 8.3.4: Betrakt rekke cos. Forklar hvorfor rekke er diverget. Oppgave 8.3.5: Betrakt rekke, der a > 0. (hvor a > 0 er e kostat). Hva slags rekke a er dette? Agi for hvilke a rekke kovergerer? Svar på spørsmålet for rekke: 2. Oppgave 8.3.6: Betraktrekke: ( ) a a rekke kovergerer? Udersøk om rekke spørsmålet for rekke: ( ) 2. der a > 0. Hva slags rekke er dette? Agi for hvilke ( ) kovergerer eller divergerer. Svar på Oppgave 8.3.7: Avgjør om følgede rekker kovergerer: a) d) 3 Oppgave 8.3.8: Betrakt rekke cos 2. Forklar hvorfor rekke er koverget. Oppgave 8.3.9: Avgjør om følgede rekker kovergerer: a) 4 ( + )! 4 (2)! () 2 d) (2)! (3)! 8.3 Kotrolloppgaver(fordypig av metoder og teorier) 3. jauar 206 Side 6

7 Oppgave 8.3.0: Avgjør om følgede rekker kovergerer: a) l ( ) + =2 l d) Oppgave 8.3.: Bestem kovergesområdet til hver potesrekke. Agi kovergesradie. x a) 2 x 2 x 3 Oppgave 8.3.2: a) 2 x 3 d) 3 x (5 x) 2 + x 2 ( 2 + )4 Bestem kovergesområdet til hver potesrekke. Oppgave 8.3.3: Reg ut Maclauri-rekke til hver fuksjo. a) f(x) = x + x 2 f(x) = f(x) = x e t2 0 + t 2 x 0 Oppgave 8.3.4: dt l( + 2t) t dt a) La f(x) = ex e x for alle x 0. Fi e potesrekke med sum lik f(x) (år x, x 0), 2x og beytt dee potesrekke til å berege greseverdie lim f(x). x 0 x l( + x) La f(x) = for alle x 0. Fi e potesrekke med sum lik f(x) år x 0, og x 2 beytt dee potesrekke til å berege greseverdie lim x 0 f(x). La f(x) = cos(2x), for alle x 0. Fi e potesrekke om x = 0 med sum lik f(x) (år x 2 x 0), og beytt dee potesrekke til å berege greseverdie lim x 0 f(x). Oppgave 8.3.5: 8.3 Kotrolloppgaver(fordypig av metoder og teorier) 3. jauar 206 Side 7

8 a) Udersøk om rekke kovergerer eller divergerer. Bestem potesrekke til g(x) = xex e x + x 2. Bestem summe 2! + 2 3! + 3 4! + Oppgave 8.3.6: a) Bestem e potesrekke om x = 0 for f(x) = e x. x Sett opp e uedelig rekke for f(x) dx. Reg ut itegralet med å ta fire første ledde i 0 + potesrekke. Bestem kovergesområdet for rekke ( ) 2 + x2. Fi et ekelt uttrykk for de fuksjo som represeterer rekkas sum i kovergesområdet ved å ta utgagspukt i de geometrisk rekke x = x. Bestem summe av rekke ( ) 2 + ( /3). 8.3 Kotrolloppgaver(fordypig av metoder og teorier) 3. jauar 206 Side 8

9 Fasit Oppgave 8.2.: Ja, + p-rekke. For p > kovergerer rekke. p = 2 < divergerer. p = 3 2 > kovergerer. Oppgave 8.2.2: a) Nei, eksempel Kovergerer Divergerer Kovergerer Divergerer i= Oppgave 8.2.3: a) I oppgaver der a er e rasjoalfuksjo og ieholder blat aet ekspoetialledd eller fakultet ledd i tellere eller evere. For eksempel: a = I oppgaver der a er e rasjoalfuksjo og ma fier ekspoetialledd eller fakultetledd i tellere eller evere: For eksempel: a = 3 elller a = 5 I oppgaver der a er itegrerbar For eksempel: a = l Oppgave 8.2.4: Summe til e koverget rekke og e diverget rekke er diverget. Summe til to kovergete rekker er koverget. Oppgave 8.3.: der =, 2, 3, Koverget: lim Oppgave 8.3.2: 2 2 = < (greseverdie eksisterer) + a) Geometrisk rekke a 0 =, k = 2 9 < og S = a 0 k = 9 7 a = a 0 k = 3 5 (2 2 3 ) = S = a 0 k = Oppsummerig-Rekker 3. jauar 206 Side 9

10 Oppgave 8.3.3: a) Diverget (bruk divergestest) eller å summere med seg selv udelig mage gager blir uedelig. Koverget (geometrisk rekke) Diverget (bruk divergestest) ellers summe til rekke ka bli 0 eller, og selv om det er edelig tall, me det ikke bestemt(ikke etydig). d) Diverget(divergestest gir ikke 0) Oppgave 8.3.4: lim cos 0 og dermed diverget. aaaa Oppgave 8.3.5: p-rekke. Kovergerer år a >. Rekke kovergerer. Oppgave 8.3.6: Altererede rekke. Rekke kovergerer for alle a-verdier (Leibiz-teste). Rekke kovergerer. Dee rekke kovergerer også. Oppgave 8.3.7: Vi bruker forholdsteste: a) lim a = lim = 0 rekkke ka kovergere. Ved å bruke sammeligigstest får vi: a 2 + lim = lim b = < ( 0) Rekke er dermed diverget. 2 lim a = lim 4 = 0 rekkke ka kovergere. Ved å bruke sammeligigstest får vi: + a 2 lim = lim b lim a = lim 3 = < ( 0) Rekke er dermed koverget. = 0 rekkke ka kovergere. Ved å bruke forholdstest får vi: lim a + ( + )3 = lim a ( + )! 3 = lim = 0 (< ) Rekke er dermed koverget. ( + ) d) lim a = lim 3 = 0 rekkke ka kovergere. Ved å bruke forholdstest får vi: a + lim = lim a ( + )! 3 = lim 3 = 0 (< ) Rekke er dermed koverget. ( + ) Oppgave 8.3.8: cos lim 2 = 0 og cos 2 Oppgave 8.3.9: 3 + < og dermed koverrget Kotrolloppgaver(fordypig av metoder og teorier) 3. jauar 206 Side 0

11 a) Vi bruker forholdsteste: d) lim a + ( + )4 ( + )! = lim a ( + 2)! 4 = lim + 2 = 0 <. lim a + = lim a ( + )! 4 = lim 4 + = 0 <. 4 + lim a + ( + )!( + )! (2)! = lim a (2 + 2)! = lim ( + )( + ) (2 + )(2 + 2) = 4 <. lim a + (2 + 2)! (3)! = lim a (3 + 3)! (2)! = lim (2 + )(2 + 2) (3 + )(3 + 2)(3 + 3) = 0 <. Oppgave 8.3.0: l l a) lim = 0 og >. Dermed rekke er diverget. ( ) + = + +. Summe er ete eller 0 og dermed rekke er diverget. lim l Sammeligig med d) Dermed = 0: rekke ka kovergere. Her ka vi bruke triks: l < og dermed l >. som er diverget (p = ) =2 l er også diverget lim 3 = 0: rekke ka kovergere. Forholdstest: lim a + = 2( + ) a = <. Rekke kovergerer. 3 Oppgave 8.3.: a) Bruk forholdstest og ser at rekke kovergerer for alle x og dermed kovergesradieρ = Kovergerer for ige x og dermed kovergesradie ρ = 0 [ 3, 3 Oppgave 8.3.2: a), 3, ] 3 4, 6 [ d) 2, Kotrolloppgaver(fordypig av metoder og teorier) 3. jauar 206 Side

12 Oppgave 8.3.3: a) ( ) x 2+ (2 ) x2 ( ) 2 x 2 Oppgave 8.3.4: a) k=0 (2k + )! x2k Greseverdie er da k=0 ( ) k k + 2 xk ! 24 4! x ! x4 = k=0 2 2k+2 (2k + 2)! x2k Greseverdie er da 2 Oppgave 8.3.5: Så kovergerer rek- a) lim a + = lim a ( + )! = lim + = 0 <. ke. xe x e x + x( + x + x2 x 2 = 2! + + x x2 + ) ( + x + 2! + + x + ) + x 2 = ( 2! ) + ( 2! 3! )x + ( 3! 4! )x2 + Rekke er et resultat av å omskrive rekke i del a): Ved å rege g() får vi: g() = ( 2! ) + ( 2! 3! ) + ( 3! 4! ) + = = ( ( )! ) = = 2! + 2 3! + 3 4! + = g() = Oppgave 8.3.6: 8.3 Kotrolloppgaver(fordypig av metoder og teorier) 3. jauar 206 Side 2

13 a) e x x = ( x + x2 2! + ( ) x x + ) = ( ) ( + )! x = 0 0 f(x)dx = 0 ( ) ( ( + )! x ) dx ( 2! x + 3! x2 + + ( ) ( + )! x + ) dx = 2 2! + 3 3! + ( ) ( + ) ( + )! + ( ) = ( + )( + )! Ved å ta fire første ledde får vi: 0, , , 0044 = 0, 795 lim a + = lim ( )+ 2 + x2+2 a ( ) x 2 = x2 < < x < ρ = (kovergesradie). Sjekker edepuktee: ( ) x = : 2 + ( )2 = ( ) koverget(leibiz kriteriet). 2 + ( ) x = : koverget(leibiz kriteriet). 2 + Dermed kovergesitervall er x. Fi et ekelt uttrykk for de fuksjo som represeterer rekkas sum i kovergesområdet ved å ta utgagspukt i e geometrisk rekke. Tar utgagspukt i: x = x dermed x 2 = x 2 ( ) x 2 = x 2 + x 4 = + x 2 ( ( ) x 2 )dx = x 2 = arcta x x = arcta(/ 3) (/ 3) dermed ( ) x 2 + x2+ = = π/6 / 3 = π ( /3) = dt = arcta x + t2 ( ) 2 + (/ 3) Kotrolloppgaver(fordypig av metoder og teorier) 3. jauar 206 Side 3

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 18/5-21/5

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 18/5-21/5 Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka 8/5-2/5 Øyvid Rya (oyvidry@i.uio.o) May 28, 200 Oppgave 2.4. Rekke er betiget koverget, side + divergerer, mes de altererede rekke kovergerer etter teste for altererede

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen MAT112 vår 2011

Løsningsforslag Eksamen MAT112 vår 2011 Løsigsforslag Eksame MAT vår OPPGAVE Gitt følge {a } defiert rekursivt ved a = 5, a + = a + 6, =,,, 3,.... (a) Vis (for eksempel ved iduksjo) at {a } er stregt avtagede og edtil begreset. (b) Avgjør om

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014 Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA Grukurs i aalyse II Vår 4 Løsigsforslag Øvig 6..5g Ser på forholdet a + /a som er ( + )!4 + ( + ) + ( ) 4( + )! 4( + ) =!4 ( +

Detaljer

s = k k=1 dx x A n = n = lim = lim 2 arctan ( x = π arctan ( n (2k 1)!, s n = k=1

s = k k=1 dx x A n = n = lim = lim 2 arctan ( x = π arctan ( n (2k 1)!, s n = k=1 TMA400 Høst 06 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 0 9.3.30 Me vil fia det miste itervallet som me ka vera sikker på at summe s k k + 4 ligg i. Om

Detaljer

MA 1410: Analyse Uke 48, aasvaldl/ma1410 H01. Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag

MA 1410: Analyse Uke 48, aasvaldl/ma1410 H01. Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag MA 40: Aalyse Uke 48, 00 http://home.hia.o/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskole i Agder Avdelig for realfag Istitutt for matematiske fag Oppgave 8.7:. Vi har f(x) = cosh(x) = ex +e x. f(0) =. Derivasjo gir f (x)

Detaljer

8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3.

8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3. Seksjo 4. Oppgave (). Fi greseverdiee: 8 a) 4 + 4 7 b) 4 +7 5 c) + 7 4 ( ) d) 5 4 44 + 5 4 e) 5 + si() e +6 5 Løsig. Vi vil bruke samme metode som i Eksempel 4..5 fra boke i disse oppgavee. Når vi skal

Detaljer

Totalt Antall kandidater oppmeldt 1513 Antall møtt til eksamen 1421 Antall bestått 1128 Antall stryk 247 Antall avbrutt 46 % stryk og avbrutt 21%

Totalt Antall kandidater oppmeldt 1513 Antall møtt til eksamen 1421 Antall bestått 1128 Antall stryk 247 Antall avbrutt 46 % stryk og avbrutt 21% TMA4100 Høste 2007 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Kommetarer til eksame Dette dokumetet er e oppsummerig av erfarigee fra sesure av eksame i TMA4100 Matematikk

Detaljer

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008 Utvidet løsigsforslag Eksame i TMA4 Matematikk, 6/ 8 Oppgave i) Vi gjør substitusjoe u = si θ og får π/ [ u si θ cos θ dθ = u du = E ae løsigsmetode er π/ si θ cos θ dθ = π/ ] si θ dθ = 4 = 4 ( ( ) ( ))

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsigsforslag Øvig 3 Review Exercises, side 454 Vi starter med å tege e figur av e skål med va: z A(z)

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 6.05.010 REA304 Matematikk R Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer: Del 1 skal leveres

Detaljer

e n . Videre er det en alternerende følge, da annenhvert ledd er positivt og negativt. Vi ser også at n a n = lim n e n = 0. lim n n 1 n 3n 2 = lim

e n . Videre er det en alternerende følge, da annenhvert ledd er positivt og negativt. Vi ser også at n a n = lim n e n = 0. lim n n 1 n 3n 2 = lim TMA400 Høst 206 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 9 9..8 Vi er gitt følge { ( ) } {a }. e De første leddee i følge er a e, a 2 2 e 2, a e, a 4 4

Detaljer

Ma Analyse II Øving 5

Ma Analyse II Øving 5 Ma0 - Aalyse II Øvig 5 Øistei Søvik.0.0 Oppgaver 9. Determie whether the give sequece is (a) bouded (above or below), (b) positive or egative (ultimately), (c) icreasig, decreasig, or alteratig, ad (d)

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i MAT00 Matematikk I Eksamesdag: Fredag 4 jui 00 Tid for eksame: 0900 00 Oppgavesettet er på sider Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

OM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z

OM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z OM TAYLOR POLYNOMER I dette otatet, som utfyller avsitt 6. i Gullikses bok, skal vi se på Taylor polyomer og illustrere hvorfor disse er yttige. Det å berege Taylor polyomer for håd er i prisippet ikke

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsigsforslag R2 Eksame 6 Vår 04.06.202 Nebuchadezzar Matematikk.et Øistei Søvik Sammedrag De fleste forlagee som gir ut lærebøker til de videregåede skole, gir ut løsigsforslag til tidligere gitte eksameer.

Detaljer

E K S A M E N : FAG: Matematikk 1 MA-154 LÆRER: MORTEN BREKKE. Klasse(r): Alle Dato: 1. des 11 Eksamenstid, fra-til: 0900-1400

E K S A M E N : FAG: Matematikk 1 MA-154 LÆRER: MORTEN BREKKE. Klasse(r): Alle Dato: 1. des 11 Eksamenstid, fra-til: 0900-1400 UNIVERSITETET I AGDER Grimstad E K S A M E N : FAG: Matematikk MA-54 LÆRER: MORTEN BREKKE Klasse(r): Alle Dato:. des Eksamestid, fra-til: 0900-400 Eksamesoppgave består av følgede iklusive forside Atall

Detaljer

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004 Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2010

Eksamen REA3028 S2, Våren 2010 Eksame REA308 S, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeg) a) Deriver fuksjoee: 1) f x x lx f x x lx x x f

Detaljer

FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT

FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT Espe B. Lagelad realfagshjoret.wordpress.com espebl@hotmail.com 9.mars 06 Iledig E tallfølge er e serie med tall som kommer etter hveradre i e bestemt rekkefølge. Kvadrattallee

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 6. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler:

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 22. mai EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng, fjernundervisning

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 22. mai EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng, fjernundervisning Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL mai 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg, fjerudervisig Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig)

Detaljer

Ukeoppgaver, uke 42, i Matematikk 10, Bestemt integrasjon. 1

Ukeoppgaver, uke 42, i Matematikk 10, Bestemt integrasjon. 1 Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. Høgskole i Gjøvik Avdelig for igeiørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 2 I løpet av uke blir løsigsforslag lagt ut på emeside http://www.hig.o/toel/allmefag/emesider/rea2

Detaljer

S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene

S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene Løsiger til ilærigsoppgavee kapittel Rekker Løsiger til ilærigsoppgavee a Vi ser at differase mellom hvert ledd er 4, så vi får det este leddet ved å legge til 4 Det este leddet blir altså 6 + 4 = 0 b

Detaljer

Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN. begrunn = grunngi beregn = rekn ut

Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN. begrunn = grunngi beregn = rekn ut Høgskole i Agder Avdelig for relfg EKSAMEN Emekode: MA 410 Emev: Reell lyse Oppgver med forslg til løsiger Dto: 4. mi 000 Vrighet: 09.00-14.00 Atll sider iklusivt forside: Tilltte hjelpemidler: Alle Nyorsktekste

Detaljer

2. Bestem nullpunktene til g.

2. Bestem nullpunktene til g. Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 0. desember 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

Differensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger

Differensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker er imidlertid

Detaljer

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger Diskret Matematikk Fredag 6. ovember 015 Avsitt 8.1 i læreboka Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker

Detaljer

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10 . Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + + Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66

Detaljer

Kommentarer til oppgaver;

Kommentarer til oppgaver; Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag ..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017 TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee

Detaljer

Kapittel 10 fra læreboka Grafer

Kapittel 10 fra læreboka Grafer Forelesigsotat i Diskret matematikk torsdag 6. oktober 017 Kapittel 10 fra læreboka Grafer (utdrag) E graf er e samlig pukter (oder) og kater mellom puktee (eg. odes, vertex, edge). E graf kalles rettet

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l

Detaljer

Plan for fagdag 3. Plan: Litt om differanse- og summefølger. Sammenhengen a n a 1 n 1 i 1

Plan for fagdag 3. Plan: Litt om differanse- og summefølger. Sammenhengen a n a 1 n 1 i 1 Pla for fagdag 3 R2-18.11.10 Pla: Litt om differase- og summefølger. Sammehege a a 1 1 i 1 d i. Geometriske resoemet. Arbeidsoppgaver. Differase- og summefølger Regresjo med lommereger Differaser er ofte

Detaljer

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.3. Integrasjonstesten 3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av

Detaljer

Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 21.05.2013 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: 5 timar: Del 1 skal leverast i etter 2 timar. Del 2 skal leverast

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag 7. jauar 7 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 4. desember 6 Hjelpemidler: - To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Emeav: Matematikk for IT Eksamestid: 9. 3. Faglærer: Christia F Heide Kalkulator

Detaljer

1 Mandag 1. februar 2010

1 Mandag 1. februar 2010 Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette

Detaljer

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:

Detaljer

Løsning eksamen R2 våren 2010

Løsning eksamen R2 våren 2010 Løsig eksame R våre 010 Oppgave 1 a) f( x) x cos3x f ( x) x cos 3x x cos 3x x cos 3x x si 3x 3x xcos 3x 3x si 3x b) 1) v v u v u 1 u x x 1 x 5 x 5 x 5xe dx 5x e 5 e dx xe e dx 5 5 1 5 5 x x x x xe e C

Detaljer

Eksamen R2, Våren 2013

Eksamen R2, Våren 2013 Eksame R2, Våre 2013 Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) f x 3cos x b) gx x 6si 7 2x c) hx 3e si3x Oppgave 2 (4 poeg) Bestem itegralet a) variabelskifte 2x dx x 4 2 ved å bruke b) delbrøkoppspaltig

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 008 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett

Detaljer

ECON240 Statistikk og økonometri

ECON240 Statistikk og økonometri ECON240 Statistikk og økoometri Arild Aakvik, Istitutt for økoomi 1 Mellomregig MKM Model: Y i = a i + bx i + e i MKM-estimator for b: b = = Xi Y i 1 Xi Yi Xi 1 ( X i ) 2 (Xi X)(Y i Ȳi) (Xi X) 2 hvor vi

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:

Detaljer

Øvinger uke 46 løsninger

Øvinger uke 46 løsninger Øviger uke 6 løsiger Oppgave Verdie av determiate er avgjørede for atall løsiger. ed e parameter i oppgave løer det seg å bestemme determiate først og fie ut for hvilke parameterverdier determiate er ull.

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statistikk og økoomi, våre 07 Obligatorisk oppgave 6 Løsigsforslag Oppgave E terig kastes 0 gager, og det registreres hvor mage 6-ere som oppås i løpet av disse 0 kastee. Vi ka kalle atall 6-ere i løpet

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

Forelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling

Forelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling STAT (V6) Statistikk Metoder Yushu.Li@uib.o Forelesig 4 og 5 Trasformasjo, Weibull-, logormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordelig. Oppsummerig til Forelesig og..) Momet (momet about 0) og setral momet

Detaljer

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x

Detaljer

SIF53 Matemati Esame gir = 4 =:5 (legde νa delitervallee) og deleutee x =,x =:5, x =,x 3 =:5 ogx 4 =. Med f(x) = +x 4 fνar vi tabelle: x : :5 :

SIF53 Matemati Esame gir = 4 =:5 (legde νa delitervallee) og deleutee x =,x =:5, x =,x 3 =:5 ogx 4 =. Med f(x) = +x 4 fνar vi tabelle: x : :5 : SIF53 Matemati Esame 8..999 Norges teis-aturvitesaelige uiversitet Istitutt for matematise fag Lsigsforslag X = ( ) : Diverget. X = ( ) X ( ) : Absolutt overget. = : Betiget overget. (i) (ii) x! x! x(e

Detaljer

Kulas posisjon etter 0, 1, 2, 3 og 4 sekund

Kulas posisjon etter 0, 1, 2, 3 og 4 sekund Total rullelegde i løpet av ett sekud: L Total rullelegde i løpet av to sekud: 4 L Total rullelegde i løpet av tre sekud: 9 L Total rullelegde i løpet av fire sekud: 6 L SYSTEM HER? Kulas posisjo etter

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler 500+ er x

DEL 1. Uten hjelpemidler 500+ er x DEL 1 Ute hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeg) 500 = + 8 er a) Vis at de deriverte til fuksjoe ( ) O O ( ) = 500+ 16 b) Deriver fuksjoee 1) f( ) = l( ) ) g( ) = e c) Vi har gitt polyomfuksjoe f( ) = 1 + 15

Detaljer

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 14. februar 2012 Funksjonsrekker En rekke på formen fn(x) der fn er en funksjon, kalles en n=1 funksjonsrekke. For alle

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: STK11 Sasylighetsregig og statistisk modellerig. LØSNINGSFORSLAG Eksamesdag: Fredag 9. jui 217. Tid for eksame: 9. 13.. Oppgavesettet

Detaljer

KOMPLEKSE TALL KARL K. BRUSTAD

KOMPLEKSE TALL KARL K. BRUSTAD KOMPLEKSE TALL KARL K BRUSTAD 1 Defiisjoer og otasjo Defiisjo 1 Et kompleks tall er et objekt på forme x + i der x og er reelle tall og kalles heholdsvis realdele og imagiærdele til det komplekse tallet

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 6 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable og ormaldelige Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsdeliger) Vi har til å sett på diskrete

Detaljer

TMA4245 Statistikk Vår 2015

TMA4245 Statistikk Vår 2015 TMA4245 Statistikk Vår 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 12, blokk II Oppgave 1 Kari har ylig kjøpt seg e y bil. Nå øsker hu å udersøke biles besiforbruk

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable ÅMA Saslighetsregig med statistikk, våre K. 3 Diskrete tilfeldige variable Noe viktige saslighetsmodeller Noe viktige saslighetsmodeller ( Sas.modell : å betr det klasse/te sas.fordelig.) Biomisk modell

Detaljer

S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til kapitteltesten i læreboka

S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til kapitteltesten i læreboka S kapittel Rekker Løsiger til kapittelteste i læreboka A a Det femte og sjette eiffeltallet ser slik ut: b De fire første leddee er det bare å telle opp:,5,9,4 For å komme til este ledd, legger vi til,

Detaljer

Bokmål OPPGAVE 1. a) Deriver funksjonene: b) Finn integralene ved regning: c) Løs likningen ved regning, og oppgi svaret som eksakte verdier: + =

Bokmål OPPGAVE 1. a) Deriver funksjonene: b) Finn integralene ved regning: c) Løs likningen ved regning, og oppgi svaret som eksakte verdier: + = OPPGAVE a) Deriver fuksjoee: ) f ( x) = 3six+ cosx ) gx ( ) = six cosx b) Fi itegralee ved regig: ) ) e 3e x d x l xd x Tips: l xdx= l xdx c) Løs likige ved regig, og oppgi svaret som eksakte verdier:

Detaljer

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG)

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG) Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig

Detaljer

Detaljert løsningsveiledning til ECON1310 seminaroppgave 9, høsten der 0 < t < 1

Detaljert løsningsveiledning til ECON1310 seminaroppgave 9, høsten der 0 < t < 1 Detaljert løsigsveiledig til ECON30 semiaroppgave 9, høste 206 Dee løsigsveiledige er mer detaljert e det et fullgodt svar på oppgave vil være, og mer utfyllede e e valig fasit. De er met som e guide til

Detaljer

Eksamen i Matematikk desember, Løsningsforslag. . Det gir iht tabell ( nr.[22] ): G(s) = 3

Eksamen i Matematikk desember, Løsningsforslag. . Det gir iht tabell ( nr.[22] ): G(s) = 3 Høgskole i Gjøvik Avdelig for Tekologi Eksame i Maemaikk 5. desember Løsigsforslag OPPGAVE a) f () e si() Aleraiv s 8s Seer: g () si( ). De gir ih abell ( r.[] ): G(s) (s + ) (s + 9) Har a: f () e g().

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling Side1av4 HØGSKOLEN I NARVIK Istitutt for data-, elektro-, og romtekologi Siviligeiørstudiet EL/RT LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital sigalbehadlig Tid: Fredag 06.03.2008, kl: 09:00-12:00 Tillatte

Detaljer

Fagdag 2-3mx 24.09.07

Fagdag 2-3mx 24.09.07 Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.

Detaljer

3. Beregning av Fourier-rekker.

3. Beregning av Fourier-rekker. Forelesigsoaer i maemaikk. 3. Beregig av 3.. Formlee for Fourier-koeffisieee. Vi går re på sak: a f være e sykkevis koiuerlig fuksjo med periode p. De uedelige rigoomeriske rekka cos( ) si ( ) a + a +

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f f ) g e 4 4 4 g e e 4 g e e g e

Detaljer

Eksamen 26.05.2010. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 26.05.2010. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 6.05.010 REA304 Matematikk R Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på del 1: Hjelpemiddel på del : Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar: Del 1 skal leverast

Detaljer

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1 Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor

Detaljer

OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER

OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG Tallfølge i f) rektageltallee. Her er de eksplisitte formele R = ( +1) eller R = +. Dette er e adregradsfuksjo. I figurtallsammeheg forutsetter vi at de legste side er (øyaktig)

Detaljer

Oppgavesettet har 11 punkter, 1ab, 2abc, 3, 4, 5ab og 6ab, som teller likt ved bedømmelsen.

Oppgavesettet har 11 punkter, 1ab, 2abc, 3, 4, 5ab og 6ab, som teller likt ved bedømmelsen. NTNU Istitutt for matematiske fag SIF53 Matematikk 4N eksame 453 Løsigsforslag Oppgavesettet har pukter, ab, abc, 3, 4, 5ab og 6ab, som teller likt ved bedømmelse a Vi har h(t = t e (t τ f(τ dτ = e t f(t

Detaljer

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians Hypotesetestig / iferes (kap ) Itroduksjo Populasjo og utvalg Statistisk iferes Utvalgsfordelig (samplig distributio) Utvalgsfordelige til gjeomsittet Itroduksjo Vi øsker å få iformasjo om størrelsee i

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. mai 8 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig). Hjelemidler:

Detaljer

Forelesning Moment og Momentgenererende funksjoner

Forelesning Moment og Momentgenererende funksjoner ushu.li@uib.o Forelesig + 3 Momet og Mometgeererede fuksjoer 1. Oppsummerig til Forelesig 1 1.1) Fuksjoe av S.V: hvis variabele er e fuksjo (trasformasjo) av S.V. : g( ), da er også e S.V.: til ethvert

Detaljer

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke Oversikt, del 5 Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler (styrke, dimesjoerig,...

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 12, blokk II I dee siste øvige fokuserer vi på lieær regresjo, der vi har kjete kovariater

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: ST 105 - Iførig i pålitelighetsaalyse Eksamesdag: 8. desember 1992 Tid til eksame: 0900-1500 Tillatte hjelpemidler: Rottma: "Matematische

Detaljer

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03).

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03). LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA440, DESEMBER 006 OPPGAVE 1 Ata at sa porøsitet er r. Målig med utstyret gir da X (x; r, 0,03). a) ( ) X r P(X > r) P 0,03 > 0 P(Z > 0) 0,5. ( X r P(X r > 0,05) P 0,03

Detaljer

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe av

Detaljer

Integrasjon. October 14, 2014. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon

Integrasjon. October 14, 2014. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon Deprtmet of Mthemticl Scieces, NTNU, Norwy Octoer 14, 2014 Forelesig 01.10.2014, 5.1, 5.2 Summer Arel uder grfe til e fuksjo som greseverdi til e summe Sigm otsjo L m og være heltll og m og l f være e

Detaljer

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2: Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2

Detaljer

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort?

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort? ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. Kofidesitervall Notat til STK1110 Ørulf Borga, Igrid K. Glad og Aders Rygh Swese Matematisk istitutt, Uiversitetet i Oslo August 2007 Formål E valig metode for å agi usikkerhete til et estimat er å berege

Detaljer

Estimering 2. -Konfidensintervall

Estimering 2. -Konfidensintervall Estimerig 2 -Kofidesitervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesigsotatee. Dersom forsøket gjetas mage gager vil (1 α)100% av itervallee [ ˆΘ L, ˆΘ U ] ieholde de ukjete parametere θ (som er

Detaljer

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu.

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu. ytt NR. 005. årgag FX-8ES NY CASIO tekisk / viteskapelig lommereger med aturlig tallvidu. Det er å mer e 5 år side kalkulatore for alvor ble tatt i bruk i orsk matematikk-udervisig, og de viteskapelige

Detaljer

Løsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n

Løsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Tirsdag. februar 203 kl. 0:30 Antall oppgaver: 9 Løsningsforslag Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen

Detaljer

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon Tidligere sett på KLMED8004 Medisisk statistikk Del I, høst 008 Estimerig Hvorda kjete sasylighetsfordeliger (biomialfordelig, ormalfordelig) med kjete populasjosparametrer (forvetig, varias osv.) ka gi

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 8 LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA440/TMA445 STATISTIKK 0. august 005 Oppgave Smeltepuktsbestemmelse a) Vi jobber i dette

Detaljer

Matematikk for IT. Oblig 7 løsningsforslag. 16. oktober

Matematikk for IT. Oblig 7 løsningsforslag. 16. oktober Matematikk for IT Oblig 7 løsigsforslag. oktober 7..8 a) Vi skal dae kodeord som består av sifree,,,, 7. odeordet er gldig dersom det ieholder et like atall (partall) -ere. Dee løses på samme måte som..:

Detaljer

EKSAMEN I FAG FASTE STOFFERS FYSIKK 2 Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Fredag 16. januar 1998 Tid:

EKSAMEN I FAG FASTE STOFFERS FYSIKK 2 Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Fredag 16. januar 1998 Tid: Side av 4 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for fysikk Faglig kotakt uder eksae: Nav: Ola Huderi Tlf.: 934 EKSAMEN I FAG 74435 - FASTE STOFFERS FYSIKK Fakultet for fysikk, iforatikk og

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 19 des. 2014 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 28. oktober 2010 2 Fremdriftplan I går 7.7 Uegentlige integraler 8.1 Følger I dag

Detaljer

Oversikt, del 5. Vi har sett på styrkefunksjon for ensidige tester. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke

Oversikt, del 5. Vi har sett på styrkefunksjon for ensidige tester. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke Hypotesetestig, del 4 oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Oversikt, del 5 Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler styrke, dimesjoerig,...

Detaljer

Matematikk for IT. Prøve 2. Onsdag 21. oktober 2015

Matematikk for IT. Prøve 2. Onsdag 21. oktober 2015 Matematikk for IT Prøve Osdag. oktober 5 Løsigsforslag 6. oktober 5 Oppgave Gitt følgede slutig: Hvis fakturae ble sedt forrige madag så fikk du pegee i går. Du fikk pegee i går. Derfor ble fakturae sedt

Detaljer

Oppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre.

Oppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre. EKSAMEN I: ÅMA110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK VARIGHET: 4 TIMER DATO: 28. AUGUST 2010 BOKMÅL TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER

Detaljer

Signifikante sifre = alle sikre pluss ett siffer til

Signifikante sifre = alle sikre pluss ett siffer til Sigifikate siffer og stadardavvik behadles i kap. Disse to emee skal vi ta for oss i dag. Kofidesgreser behadles i kap 4. Dette skal vi ta for oss i osdag. Presetasjo av aalysedata ka gjøres på følgede

Detaljer