NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN"

Transkript

1 NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT2 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY. Innledning og definisjoner Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner definert på (delmengder av de) reelle tallene, dvs. at både definisjonsmengde og verdimengde er delmengder av de reelle tall R. For en slik funksjon f med definisjonsmengde D(f), skriver vi gjerne f : D(f) R. Husk at en funksjon f er kontinuerlig i et punkt 0 D(f) (der D(f) er definisjonsmengden til f) dersom lim f( = f( 0 ). 0 Setter vi dette sammen med den formelle definisjonen på grenseverdi får vi: Definisjon.. Funksjonen f kalles kontinuerlig i et punkt 0 D(f), hvis det til ethvert tall > 0 finnes et tall δ = δ() > 0 (som avhenger av ) slik at { } (.) D(f) og 0 < δ = f( f( 0 ) <. Vi merker at begrepet kontinuitet over er definert i enkeltstående punkter 0 i definisjonsmengden. Tallet δ vi finner, avhenger således ikke bare av, men av 0. Husk også at vi sier at f er kontinuerlig på et intervall I dersom f er kontinuerlig i alle punkter 0 I. Det betyr altså at det for ethvert punkt 0 I finnes en δ = δ(, 0 ) som oppfyller kriteriet (.2). At δ avhenger (vanligvis) av 0, ser vi i følgende eksempel: Eksempel.2. Funksjonen f( = 2 er kontinuerlig på hele intervallet I = (, ). Vi må vise at f er kontinuerlig i et vilkårlig punkt 0 I. Gitt > 0. La { } δ = min, Om 0 < δ, da vil spesielt < 0 <, slik at +2 0 < + 0 < +2 0, som medfører at + 0 < Siden vi også har at 0 < +2 0, får vi f( f( 0 ) = = < ( ) =. Noen ganger kan vi imidlertid finne en δ = δ() som gjelder for alle 0 I samtidig. Følgende eksempel viser dette: Versjon datert

2 2 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY Eksempel.3. (a) Funksjonen f( = { 2 er} kontinuerlig på intervallet [ 2,2], og samme bevis som over viser at δ = min, 5 fungerer for alle 0 I, siden { } { min, min, } når (Dette betyr at δ en vi finner for punktene 2 og 2 holder for alle andre punkter i intervallet [ 2, 2] også.) (b) Funksjonen f( = er kontinuerlig på hele intervallet I = (, ). Gitt > 0 og 0 I. La δ = 3. Om 0 < δ, da vil f( f( 0 ) = (3+5) (3 0 +5) = 3 0 < 3 3 =. Vi merker at δ en vi fant er uavhengig av punktet 0 I. De to siste eksemplene illustrerer forskjellen mellom begrepene kontinuerlig og uniformt kontinuerlig på et intervall I: en funksjon er uniformt kontinuerlig på I dersom den er kontinuerlig i ethvert punkt i I slik at det finnes en δ = δ() slik at (.2) er oppfylt for alle 0 I samtidig, dvs. slik at { } (.2), 0 I og 0 < δ = f( f( 0 ) <. For å vise symmetrien mellom og 0 bedre bytter vi dem gjerne ut med og 2 slik at den formelle definisjonen blir som følger: Definisjon.4. Funksjonen f kalles uniformt kontinuerlig på intervallet I, hvis det til ethvert tall > 0 finnes et tall δ = δ() > 0 (som avhenger av ) slik at { } (.3), 2 I og 2 < δ = f( ) f( 2 ) <. Begge funksjonene i Eksempel.3 er altså uniformt kontinuerlige på de oppgitte intervallene, siden de δ ene vi fant var uavhengige av punktene i intervallene. Fra definisjonen merker vi spesielt at en uniform kontinuerlig funksjon på et intervall I er også kontinuerlig på I, dvs. kontinuerlig i alle punkt i I. Det motsatte holder ikke, f.eks. er f( = 2 kontinuerlig på hele R = (, ), men ikke uniformt kontinuerlig der, som vi vil se i Eksempel 2.4 under. (Vi så allerede i eksempel (.3) over at δ en vi fant var avhengig av 0, men vi har strengt tatt ikke vist at det ikke kan finnes noen annen δ som er uavhengig av 0.) Bemerkning.5. Merk at begrepet uniform kontinuitet kun er definert på intervaller I og at det ikke gir mening å spørre om en funksjon er uniformt kontinuerlig i et punkt. Begrepet kontinuitet er imidlertid definert punktvis, og av den grunn kaller vi det ofte punktvis kontinuitet. Bemerkning.6. Adams definerer kun uniform kontinuitet på lukkede og begrensede intervaller (i Appendiks IV), mens vi her ser på dette mer generelt. 2. Noen viktige resultater og eksempler som involverer uniform kontinuitet Vi vil i denne seksjonen se på noen kjente og viktige resultater som omhandler begrepet uniform kontinuitet. Det første, Teorem 2., er Teorem 4 fra Appendiks 4 i Adams, og sier at begrepene kontinuitet og uniform kontinuitet er de samme på lukkede, begrensede intervaller. Dette resultatet er en helt essensiell ingrediens i beviset for at en kontinuerlig funksjon på et lukket, begrenset intervall er Riemann-

3 NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET 3 integrerbar (Teorem 5 i App. IV) og er en av grunnene til at begrepet uniform kontinuitet er en del av pensum i dette kurset. Andre resultater, som Satsene 2.2 og 2.2 og Observasjon 2.4 har (med jevne mellomrom og i forskjellige varianter) blitt gitt å bevise på eksamen. Forsøk dere derfor gjerne selv på bevisene før dere leser dem. Om dere ikke kommer igang, ta en titt på kun de første linjene: de gir gjerne viktige hint som kan være nok til å fylle ut resten. De første resultatene gir tilstrekkelige betingelser for at en funksjon er uniformt kontinuerlig på et intervall. De kan altså brukes for å konkludere at en funksjon er uniformt kontinuerlig på et intervall. Teorem 2.. Dersom f er kontinuerlig på et lukket, begrenset intervall [a, b], da er f også uniformt kontinuerlig på [a,b]. Bevis. Se Adams (bevis for Teorem 4 i Appendiks IV). Sats 2.2. Anta at funksjonen f er derivérbar og at den deriverte er begrenset på intervallet I. Da er f uniformt kontinuerlig på I. Bevis. Vi har at f ( M for en konstant M, for alle I, per definisjon av begrenset. Ved Sekantsetningen ( Mean value theorem ) har vi at for alle, 2 I, så finnes en c = c(, 2 ) I (avhengig av, 2 ) slik at Dermed har vi f( ) f( 2 ) = f (c)( 2 ). (2.) f( ) f( 2 ) = f (c) 2 M 2 Gitt > 0. La δ = M. Dersom 2 < δ, da vil vi ved (2.) få at (2.2) f( ) f( 2 ) M 2 < M og vi har vist (.3). M =, Bemerkning 2.3. Det motsatte av Sats 2.2 holder ikke: f kan være uniformt kontinuerlig selv med ubegrenset derivert. Kan dere komme på et eksempel? Etter å ha tenkt litt, se fotnoten. Vi vil også få bruk for følgende to enkle observasjoner: Observasjon 2.4. Dersom f er uniformt kontinuerlig på (a,b] og [b,c), da er f også uniformt kontinuerlig på (a,c). (Dette holder også om a = eller c =.) Dette følger av at vi for gitt > 0, kan finne δ > 0 (hhv. δ 2 > 0) slik at hvis, 2 (a,b] og 2 < δ (hhv., 2 [b,c) og 2 < δ 2 ), da er f( ) f( 2 ) < 2. Dette fordi f er uniformt kontinuerlig på (a,b] og [b,c) per antagelse. La nå δ = min{δ,δ 2 } og, 2 (a,c) slik at 2 < δ. Om, 2 (a,b] eller, 2 [b,c), vet vi allerede at f( ) f( 2 ) < 2 <. Om (a,b] og 2 [b,c) (eller omvendt), da vil ved trekantulikheten f( ) f( 2 ) f( ) f(b) + f( 2 ) f(b) < =. Funksjonen f( = /3 er uniformt kontinuerlig på [,] ved Teorem 2., men f ( = 32/3 når 0.

4 4 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY Observasjon 2.5. Dersom f er uniformt kontinuerlig på et intervall I, da er f også uniformt kontinuerlig på ethvert delintervall J I. Dette følger direkte fra definisjonen av uniform kontinuitet. Eksempel 2.6. Både Teorem 2. og Sats 2.2 kan brukes til å vise at funksjonen f( = 2 er uniformt kontinuerlig på ethvert begrenset intervall I. Et begrenset intervall I er på formen [a,b], (a,b), [a,b) eller (a,b] for a,b R. Vi har selvfølgelig at f ( = 2 ma{2a,2b} for alle I, slik at den deriverte er begrenset og f( = 2 er uniformt kontinuerlig ved Sats 2.2. På den annen side, ved Teorem 2., er f( = 2 uniformt kontinuerlig på [a,b] og er derfor uniformt kontinuerlig på delmengden I [a,b] ved Observasjon 2.5. Eksempel 2.7. Funksjonen ( f( = 2 sin er uniformt kontinuerlig på (0, ). Her( kan ) vi ikke bruke Teorem 2., men vi bruker Sats 2.2. I tillegg bruker vi at sinθ sin < for alle. (Dette er bevist i beviset for at lim θ 0 θ = i Adams, Teorem 8 i 2.5: ( ) her vises nemlig ulikheten cosθ < sinθ θ < ; dette gir sinθ θ <, som gir sin < ved å sette inn θ = /.) Vi får da at: ( f ( ) ( sin ) ( + cos ) ( = 2 sin cos 2 < 2 + = 3, og f er uniformt kontinuerlig ved Sats 2.2. Eksempel 2.8. Noen ganger må vi kombinere flere resultater og tenke litt lurt for å avgjøre spørsmål om uniform kontinuitet. Det gjelder f.eks. om vi skal vise at funksjonen ( f( = sin er uniformt kontinuerlig på (0, ). Her kan vi ikke bruke Teorem 2. direkte, og heller ikke Sats 2.2 direkte, siden ( f ( = sin ( cos ikke er begrenset. Merk at problemet oppstår når 0. Om, har vi nemlig ( f ( = sin ( ) ( sin ) + cos ( ) cos + = 2, og vi kan konkludere fra Sats 2.2 at f er uniformt kontinuerlig på [, ). Hva med intervallet (0,]? Vi merker at lim f( = 0 0 ved Skviseteoremet. Dette betyr at funksjonen { ( ) sin når 0 F( = 0 når = 0.

5 NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET 5 er kontinuerlig på hele R, og lik f( om 0. (Vi sier at F er en kontinuerlig utvidelse av f.) Ved Teorem 2. er F uniformt kontinuerlig på [0,], og følgelig også på (0, ] (ved Observasjon 2.5). Siden F = f på (0, ], er f uniformt kontinuerlig på (0,]. Siden f er uniformt kontinuerlig på begge intervallene (0,] og [, ), er f uniformt kontinuerlig på (0, ) (ved Observasjon 2.4). På samme måte kan vi vise at f er uniformt kontinuerlig på (,0). De to neste resultatene gir nødvendige betingelser for at en funksjon skal være uniformt kontinuerlig på et intervall, dvs. at de gir egenskaper som en uniformt kontinuerlig funksjon må ha. De kan derfor brukes for å konkludere at en funksjon som ikke oppfyller disse kravene ikke er uniformt kontinuerlig på et intervall. Spesielt interessant er det første teoremet: husk at en kontinuerlig funksjon på et lukket, begrenset intervall er begrenset der ved Begrensningsteoremet ( Boundedness Theorem ) (Teorem 5 i Appendiks III i Adams). Fjerner vi betingelsen om at intervallet skal være lukket, gjelder ikke Begrensningsteoremet: tenk f.eks. på den kontinuerlige funksjonen f( = / på det begrensede intervallet (0, ]. En uniformt kontinuerlig funksjon er imidlertid alltid begrenset på et begrenset intervall, selv om intervallet ikke skulle være lukket. Dette følger fra neste teorem: Teorem 2.9. Dersom f er uniformt kontinuerlig på et begrenset intervall I, da er f også begrenset på I. Bevis. At I er begrenset, betyr at I er på formen [a,b], (a,b], [a,b) eller (a,b), med a,b R. Velg en hvilken som helst > 0, f.eks. =. Siden f er uniformt kontinuerlig, finnes en δ > 0 slik at f( ) f( 2 ) < = når, 2 I og 2 < δ. Del I opp i N like store delintervaller I,...,I N, der N er så stor at bredden på intervallene er b a N < δ. (Det holder med N slik at N > b a δ.) La z i være midtpunktet i I i. (Vi kan regne ut at z i = a+(i 2 )b a N.) For hver i og I i, er z i < δ, og vi har derfor f( = f( f(z i )+f(z i ) f( f(z i ) + f(z i ) + f(z i ). Da må, for I, f( +ma i N { f(z i ) } Sett M := ma i N { f(z i ) }. Da er f( M +. Bemerkning 2.0. Merk at en ekvivalent formulering av teoremet er: Dersom f er ubegrenset på et begrenset intervall I, da er f ikke uniformt kontinuerlig på I. Dette er grunnen til at teoremet kan brukes til å vise at en funksjon ikke er uniformt kontinuerlig på et intervall. Bemerkning 2.. Det motsatte av teoremet holder ikke, selv for kontinuerlige funksjoner: f kan være kontinuerlig og begrenset på et begrenset intervall I uten ( ) å være uniformt kontinuerlig der. Et eksempel på dette er funksjonen f( = sin på (0,), se Eksempel 3. nedenunder.

6 6 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY Det neste resultatet er svært enkelt og kan i motsetning til Teorem 2.9 også brukes til å vise at en funksjon ikke er uniformt kontinuerlig på et ubegrenset intervall: Sats 2.2. Hvis det for hver h > 0 er slik at f(+h) f( er ubegrenset på I, så er f ikke uniformt kontinuerlig på I. Bevis. Dette følger direkte av definisjonen på uniform kontinuitet. Eksempel 2.3. Funksjonen f( = er ikke uniformt kontinuerlig på (0,), ved Teorem 2.9, siden den ikke er begrenset der. Men vi kan også bruke Sats 2.2 til å vise at f( = ikke er uniformt kontinuerlig på (0,): Vi regner ut f(+h) f( = +h h =, (+h) som ikke er begrenset for noen h > 0 for (0,), siden h lim =, 0 (+h) og derfor kan ikke f( = være uniformt kontinuerlig på (0,). (Funksjonen er ei heller uniformt kontinuerlig på noe begrenset intervall (0, a), (a, 0) eller på (0, ) eller (,0).) Hva med intervallet I = (, )? Er f uniformt kontinuerlig her? Tenk litt og se så på fotnoten. 2 Eksempel 2.4. Funksjonen f( = 2 er ikke uniformt kontinuerlig på [0, ). Her er intervallet ikke begrenset, så vi kan ikke bruke Teorem 2.9. Vi kan imidlertid bruke Sats 2.2. Vi har nemlig at f(+h) f( = (+h) 2 2 = 2h+h 2, som ikke er begrenset for noen h > 0, siden lim 2h+h 2 =, slik at f( = 2 ikke er uniformt kontinuerlig på [0, ) ved Sats 2.2. Funksjonen f( = 2 er heller ikke uniformt kontinuerlig på noe annet ubegrenset intervall. 3. Noen flere eksempler Vi avslutter med tre litt mer krevende eksempler, der ingen av resultatene over er tilstrekkelige for å avgjøre spørsmålet om uniform kontinuitet og vi må enten bruke definisjonen direkte eller tenke litt lurt. Eksempel 3.. Funksjonen ( f( = sin er ikke uniformt kontinuerlig på (0,). En funksjon er ikke uniformt kontinuerlig på et intervall I hvis og bare hvis betingelsen i definisjonen ikke er oppfylt: dette betyr at det finnes en > 0 slik at 2 Ja, f( = er uniformt kontinuerlig på (, ), ved Sats 2.2, siden f ( = 2 < for >.

7 NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET 7 det ikke finnes noen δ = δ() som oppfyller (.3). Omformulert får vi: f er ikke uniformt kontinuerlig på I hvis og bare hvis det finnes en > 0 slik at for enhver δ > 0, så vil det finnes, 2 I slik at (3.) 2 < δ og f( ) f( 2 ). (I praksis betyr dette at vi kan finne punktpar vilkårlig nær hverandre, men slik at avstanden mellom funksjonsverdiene holder seg større eller lik et gitt tall. Hvordan finner vi slike punktpar? For funksjoner som har grafer som svinger mye, som i dette eksempelet, kan vi lete etter par av -verdier som gir toppene og bunnene.) I vårt konkrete tilfelle merker vi at ( ) ) (3.2) sin sin( = 2 2 om = π 2 +2πn og = 3π πn, for et heltall n, som gir 2 (3.3) = π(4n+) og 2 2 = π(4n+3). Vi får 2 2 = π(4n+) 2 4 = π(4n+3) π(4n+)(4n+3) og dette er < δ om 4 (3.4) πδ < (4n+)(4n+3) = 6n2 +6n+3. Dermed, gitt en δ > 0, kan vi velge et stort nok heltall n slik at (3.4) er oppfylt, og la og 2 være som i (3.3). Da vil (3.2) være oppfylt og (3.) vil være oppfylt for = 2. Følgelig er f ikke uniformt kontinuerlig på (0,). Eksempel 3.2. Funksjonen f( = cos er ikke uniformt kontinuerlig på (, ). Igjen bruker vi kriteriet fra Eksempel 3. over: f er ikke uniformt kontinuerlig på I hvis og bare hvis det finnes en > 0 slik at for enhver δ > 0, så vil det finnes, 2 I slik at (3.5) 2 < δ og f( ) f( 2 ). Vi tar = (men resonnementet vil også fungere for andre ). La δ > 0 være gitt. Velg h slik at 0 < h < min{δ,π}. Da er sinh > 0. La (3.6) = π 2 +2nπ og 2 = +h for et heltall n. Da vil cos = 0 og sin = og f( 2 ) f( ) = f( +h) f( ) = ( +h)cos( +h) cos = ( +h)(cos cosh sin sinh) cos ( π ) = 2 +2πn+h sinh > 2πnsinh

8 8 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY og dette er dersom (3.7) n 2πsinh (hvor vi har brukt at sinh > 0). Velg derfor et heltall n som tilfredsstiller (3.7) og h slik at 0 < h < min{δ,π} og la, 2 være som i (3.6). Da vil 2 = h < δ og f( ) f( 2 ), slik at(3.5) vil være oppfylt for =. Følgelig er f ikke uniformt kontinuerlig på (, ). Eksempel 3.3. Funksjonen f( = sine er uniformt kontinuerlig på [, ). Vi kan ikke bruke Sats 2.2, siden f ( = e cose sine 2 e er ubegrenset (siden lim = ), og vi kan heller ikke bruke Teorem 2. direkte. Gitt > 0. Siden lim f( = 0 (ved Skviseteoremet), vil det per definisjon finnes en R > 0 slik at Derfor har vi at f( < 3 når R. (3.8) f( ) f( 2 ) f( ) + f( 2 ) < < når, 2 [R, ). Hvis R, er vi derfor allerede ferdige. Om R >, da observerer vi at f er uniformt kontinuerlig på [,R] ved Teorem 2., slik at det finnes en δ > 0 slik at (3.9) f( ) f( 2 ) < 3 når, 2 [,R] og 2 < δ. Om [,R], 2 [R, ) og 2 < δ, da vil også R < δ, slik at f( ) f( 2 ) = f( ) f(r)+f(r) f( 2 ) f( ) f(r) + f(r) + f( 2 ) < = og vi er ferdige, ved å kombinere med (3.8) og (3.9). Merk at kjerneobservasjonen i dette eksemplet var at lim f( = 0. Argumentasjonen i dette eksemplet vil fungere på lignende måte for enhver funksjon f slik at grensen lim f( eksisterer. Matematisk institutt, Universitetet i Bergen, Johannes Brunsgate 2, 5008 Bergen.

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43. Oppgaver til seminaret 28/10

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43. Oppgaver til seminaret 28/10 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43 Avsn. 5.1: 41 Avsn. 5.3: 3, 7 Avsn. 5.4: 13, 31, 37 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 28/10 Oppgaver til gruppene uke 44 Merknad: Oppgavene under skal kunne løses uten

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag : OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 9/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN

ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN NOTAT OM FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Dette notatet inneholder ikke noe nytt pensum i kurset MAT112 i forhold til læreboken

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 8 Oppgaver fra boken: 10.1 : 13, 14, 18 10.2 : 15, 18, 32 10.3

Detaljer

Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse 1 Bokmål Fredag 10. oktober 2008 Kl

Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse 1 Bokmål Fredag 10. oktober 2008 Kl Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Faglig kontakt: Heidi Dahl Telefon: 735 98141 Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse

Detaljer

Analysedrypp IV: Metriske rom

Analysedrypp IV: Metriske rom Analysedrypp IV: Metriske rom Vi har tidligere sett at begreper som konvergens og kontinuitet har med avstand å gjøre at f er kontinuerlig i punktet a, betyr f. eks. at det for enhver ɛ > 0, finnes en

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 28. august 2009 Definisjon 1.1. En delmengde A R kalles oppad begrenset dersom det finnes et tall b R slik at b x

Detaljer

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38 Oppgaver til seminaret 23/9 (Tall i blått angir utgave 6, tall i rødt angir utgave 7.) Avsn. 2.7: 15(11), 21(31)(27) Avsn. 2.8: 5, 17(2.8.13)(2.6.13) Avsn. 2.10: 12, 29, 39

Detaljer

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sinθ = 3

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sinθ = 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.7 99 Vi deriverer to ganger: = A 1 cos(ln) B1 sin(ln) = A 1 cos(ln) A 1 sin(ln)+b 1 sin(ln) B 1 cos(ln)

Detaljer

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1 Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon

Detaljer

Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,

Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, Grunnleggende notasjon ℕ,, 3, 4, 5, 6, ℤ, 3,,, 0,,, 3, ℝ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 ℚ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑎 𝑎, ℤ, 0 Induksjonsprinsippet Anta at for hver 𝑛 ℕ har vi gitt et utsagn 𝑃. Anta videre at vi vet at følgende

Detaljer

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte

Detaljer

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00 Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte

Detaljer

Analysedrypp II: Kompletthet

Analysedrypp II: Kompletthet Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig

Detaljer

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Andreas Leopold Knutsen 11. oktober 2016 Den deriverte f Newton-kvotienten f (x+h) f (x) h er stigningen til sekantlinjen gjennom punktene (x, f (x)) og (x + h, f

Detaljer

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 I kapittel 5 har mange av oppgavene et mer teoretisk preg enn du er vant til fra skolematematikken, og jeg har derfor lagt vekt på å lage løsningsforslag

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart Forelesning 3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart Forelesning 3 Tema Logikk Definisjoner og Teoremer Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)

Detaljer

Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der

Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Mange strever med ɛ-δ-argumenter. Det er flere grunner til dette: Noen har problemer med å forstå den underliggende tankegangen, mens andre sliter med de grunnleggende

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier

Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier 1 Fremdriftplan Siste uke Kap. 1 Funksjoner 2.1-2.2 Grenseverdier I dag 2.3 Den formelle definisjonen av grenseverdi 2.4 Ensidige grenser og grenser i uendelig 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter

Detaljer

Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner

Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner 1 Fremdriftplan I går 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner I dag 1.3 Trigonometriske funksjoner 1.4 Eksponentialfunksjoner 1.5 Omvendte funksjoner, logaritmiske funksjoner, inverse

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)

Detaljer

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a

Detaljer

Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik:

Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik: Funksjoner La A og B være to mengder. En funksjon f fra A til B betegnes med f: A -> B og er en tilordning (regel) som til ethvert element a A tilordner ett og bare ett element b B. Elementet b kalles

Detaljer

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen

Detaljer

Logaritmer og eksponentialfunksjoner

Logaritmer og eksponentialfunksjoner Logaritmer og eksponentialfunksjoner Harald Hanche-Olsen og Marius Irgens 20-02-02 Dette notatet ble først laget for MA02 våren 2008. Denne versjonen er omskrevet for MA02 våren 20. Du vil oppdage at mange

Detaljer

Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik:

Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik: Funksjoner La A og B være to mengder. En funksjon f fra A til B betegnes med f: A -> B og er en tilordning (regel) som til ethvert element a A tilordner ett og bare ett element b B. Elementet b kalles

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Løsningsforslag, eksamen MA0/MA60 07.2.09 Oppgave La f() = e 4 2 2 8. a) Finn alle ekstremalpunktene til funksjonen

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Dag Normann Universitetet i Oslo Matematisk Institutt Boks 1053 - Blindern 0316 Oslo 13. mars 2007 I dette notatet skal vi gi et bevis for ekvivalensen

Detaljer

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)

Detaljer

= (2 6y) da. = πa 2 3

= (2 6y) da. = πa 2 3 TMA45 Matematikk Vår 7 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete ourse.

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03 Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(

Detaljer

OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG

OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I torsdag 5.desember 20 kl. 09:00-4:00 OPPGAVE a Modulus: w = 2 + 3 2 = 2. Argument

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34 Avsnittene (og appendiksene) viser til utgave 8 av læreboken, som er like i utgavene 7 og 6 når ikke annet er oppgitt. Gruppene starter opp i uke 35. Hver student er satt

Detaljer

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = = til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin

Detaljer

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-15 Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns

Detaljer

SIF5003 Matematikk 1, 6. desember 2000 Løsningsforslag

SIF5003 Matematikk 1, 6. desember 2000 Løsningsforslag SIF53 Matematikk 1, 6. desember 2 Oppgave 1 Dreid om y aksen: iv). Dreid om x = 1: iii). Oppgave 2 Om bredden på rektanglet er 2x og høyden er y finner vi for det ukjente arealet A og den kjente omkretsen

Detaljer

Dagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling

Dagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling Dagens mål Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 IF2310 - Digital bildebehandling Ole Marius Hoel Rindal, slides av Andreas Kleppe Dagens mål Forstå

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998 Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

I = (x 2 2x)e kx dx. U dv = UV V du. = x 1 1. k ekx x 1 ) = x k ekx 2x dx. = x2 k ekx 2 k. k ekx 2 k I 2. k ekx 2 k 1

I = (x 2 2x)e kx dx. U dv = UV V du. = x 1 1. k ekx x 1 ) = x k ekx 2x dx. = x2 k ekx 2 k. k ekx 2 k I 2. k ekx 2 k 1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 6..4 Vi skal evaluere det ubestemte integralet I = ( e k. Vi starter med å dele opp integralet

Detaljer

MAT Grublegruppen Uke 37

MAT Grublegruppen Uke 37 MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i

Detaljer

Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11)

Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11) Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11) Knut Mørken 22. november 2004 Vi har tidligere i kurset sett litt på numerisk derivasjon

Detaljer

INDUKSJONSPRINSIPPET MAT111 - H16

INDUKSJONSPRINSIPPET MAT111 - H16 INDUKSJONSPRINSIPPET MAT - H ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN. Matematisk induksjon I læreboken står kun en liten trudelutt om matematisk induksjon i margen på side 0 (side 09 i utg. 7, side 08 i utg. ). Det er

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

x 2 + y 2 z 2 = c 2 x 2 + y 2 = c 2 z 2,

x 2 + y 2 z 2 = c 2 x 2 + y 2 = c 2 z 2, TMA45 Matematikk 2 Vår 25 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Esse Calculus: A Complete

Detaljer

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3. TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

Forelesning 1 mandag den 18. august

Forelesning 1 mandag den 18. august Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet

Detaljer

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t

Detaljer

Mål og innhold i Matte 1

Mål og innhold i Matte 1 Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 15. november 2013 på Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n

Detaljer

Oblig 1 - MAT Oppgave 1. Fredrik Meyer. Vi lar α > 1 og x 1 > α. Vi definerer en følge (x n ) ved. x n+1 = α + x n 1 + x n.

Oblig 1 - MAT Oppgave 1. Fredrik Meyer. Vi lar α > 1 og x 1 > α. Vi definerer en følge (x n ) ved. x n+1 = α + x n 1 + x n. Oblig 1 - MAT2400 Fredrik Meyer 1 Oppgave 1 Vi lar α > 1 og x 1 > α. Vi definerer en følge (x n ) ved Lemma 1 (a). x n > 1 n N x n+1 = α + x n = x n + α x2 n Bevis. Siden α > 1 er α + x n >, så 1 = 1+xn

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 27 848 Eksamensdato:. august 2014 Eksamenstid (fra

Detaljer

Løsningsforslag til 1. obligatorisk oppgave i Diskret matematikk, høsten 2016

Løsningsforslag til 1. obligatorisk oppgave i Diskret matematikk, høsten 2016 Løsningsforslag til 1. obligatorisk oppgave i Diskret matematikk, høsten 2016 Oppgave 1 a) b) r = p q p q s = p q q p q p t = p q p q c) Vi ser av sannehetsverditabellen at uttrykkene (p q) r og p (q r)

Detaljer

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 TMA4105 Notat om skalarfelt Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 Innhold 1 Grenseverdier og kontinuitet 2 2 Derivasjon av skalarfelt 5 2.1 Partiellderivert og gradient..................................

Detaljer

Forelesning Matematikk 4N

Forelesning Matematikk 4N Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41/TMA415 Matematikk 4M/4N Vår 1 Løsningsforslag Øving 1 Skriv om følgende trigonometriske funksjoner til fourierrekker ved

Detaljer

Forord Dette er en samling lsningsforslag som jeg opprinnelig utarbeidet til gruppeundervisningen i kurset MAT00A ved Universitetet i Oslo hsten 2000.

Forord Dette er en samling lsningsforslag som jeg opprinnelig utarbeidet til gruppeundervisningen i kurset MAT00A ved Universitetet i Oslo hsten 2000. K A L K U L U S Lsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrms lrebok ved Klara Hveberg Matematisk institutt Universitetet i Oslo Copyright c 2006 Klara Hveberg Forord Dette er en samling lsningsforslag

Detaljer

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma

Detaljer

Formelsamling Kalkulus

Formelsamling Kalkulus Formelsamling Kalkulus Martin Alexander Wilhelmsen December 8, 009 En liten formelsamling for MAT00 ved UiO. Vennligst meld fra om feil til martinaw@student.matnat.uio.no. Dette dokumentet er publisert

Detaljer

1 Mandag 1. februar 2010

1 Mandag 1. februar 2010 Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette

Detaljer

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009 Løsningsforslag eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I høsten 9 OPPGAVE (a) Vi har w = + ( ) =. I et komplekse plan ligger w i 4. kvarant og vinkelen θ mellom tallet og en relle aksen har tan θ =, vs. at

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/

Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/ Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 10 10.6.3 La f (x, y) = x 2 y 4x 2 4y der (x, y) R 2. Finn alle

Detaljer

Mål og innhold i Matte 1

Mål og innhold i Matte 1 Mål og innhold i Institutt for matematiske fag på 19. oktober 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise

Detaljer

Sekventkalkyle for utsagnslogikk

Sekventkalkyle for utsagnslogikk Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet

Detaljer

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:

Detaljer

Mål og innhold i Matte 1

Mål og innhold i Matte 1 Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 1. november 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise hva

Detaljer

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.

Detaljer

Forelesning 9 mandag den 15. september

Forelesning 9 mandag den 15. september Forelesning 9 mandag den 15. september 2.6 Største felles divisor Definisjon 2.6.1. La l og n være heltall. Et naturlig tall d er den største felles divisoren til l og n dersom følgende er sanne. (1) Vi

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y

Detaljer