NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN"

Transkript

1 NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT2 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY. Innledning og definisjoner Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner definert på (delmengder av de) reelle tallene, dvs. at både definisjonsmengde og verdimengde er delmengder av de reelle tall R. For en slik funksjon f med definisjonsmengde D(f), skriver vi gjerne f : D(f) R. Husk at en funksjon f er kontinuerlig i et punkt 0 D(f) (der D(f) er definisjonsmengden til f) dersom lim f( = f( 0 ). 0 Setter vi dette sammen med den formelle definisjonen på grenseverdi får vi: Definisjon.. Funksjonen f kalles kontinuerlig i et punkt 0 D(f), hvis det til ethvert tall > 0 finnes et tall δ = δ() > 0 (som avhenger av ) slik at { } (.) D(f) og 0 < δ = f( f( 0 ) <. Vi merker at begrepet kontinuitet over er definert i enkeltstående punkter 0 i definisjonsmengden. Tallet δ vi finner, avhenger således ikke bare av, men av 0. Husk også at vi sier at f er kontinuerlig på et intervall I dersom f er kontinuerlig i alle punkter 0 I. Det betyr altså at det for ethvert punkt 0 I finnes en δ = δ(, 0 ) som oppfyller kriteriet (.2). At δ avhenger (vanligvis) av 0, ser vi i følgende eksempel: Eksempel.2. Funksjonen f( = 2 er kontinuerlig på hele intervallet I = (, ). Vi må vise at f er kontinuerlig i et vilkårlig punkt 0 I. Gitt > 0. La { } δ = min, Om 0 < δ, da vil spesielt < 0 <, slik at +2 0 < + 0 < +2 0, som medfører at + 0 < Siden vi også har at 0 < +2 0, får vi f( f( 0 ) = = < ( ) =. Noen ganger kan vi imidlertid finne en δ = δ() som gjelder for alle 0 I samtidig. Følgende eksempel viser dette: Versjon datert

2 2 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY Eksempel.3. (a) Funksjonen f( = { 2 er} kontinuerlig på intervallet [ 2,2], og samme bevis som over viser at δ = min, 5 fungerer for alle 0 I, siden { } { min, min, } når (Dette betyr at δ en vi finner for punktene 2 og 2 holder for alle andre punkter i intervallet [ 2, 2] også.) (b) Funksjonen f( = er kontinuerlig på hele intervallet I = (, ). Gitt > 0 og 0 I. La δ = 3. Om 0 < δ, da vil f( f( 0 ) = (3+5) (3 0 +5) = 3 0 < 3 3 =. Vi merker at δ en vi fant er uavhengig av punktet 0 I. De to siste eksemplene illustrerer forskjellen mellom begrepene kontinuerlig og uniformt kontinuerlig på et intervall I: en funksjon er uniformt kontinuerlig på I dersom den er kontinuerlig i ethvert punkt i I slik at det finnes en δ = δ() slik at (.2) er oppfylt for alle 0 I samtidig, dvs. slik at { } (.2), 0 I og 0 < δ = f( f( 0 ) <. For å vise symmetrien mellom og 0 bedre bytter vi dem gjerne ut med og 2 slik at den formelle definisjonen blir som følger: Definisjon.4. Funksjonen f kalles uniformt kontinuerlig på intervallet I, hvis det til ethvert tall > 0 finnes et tall δ = δ() > 0 (som avhenger av ) slik at { } (.3), 2 I og 2 < δ = f( ) f( 2 ) <. Begge funksjonene i Eksempel.3 er altså uniformt kontinuerlige på de oppgitte intervallene, siden de δ ene vi fant var uavhengige av punktene i intervallene. Fra definisjonen merker vi spesielt at en uniform kontinuerlig funksjon på et intervall I er også kontinuerlig på I, dvs. kontinuerlig i alle punkt i I. Det motsatte holder ikke, f.eks. er f( = 2 kontinuerlig på hele R = (, ), men ikke uniformt kontinuerlig der, som vi vil se i Eksempel 2.4 under. (Vi så allerede i eksempel (.3) over at δ en vi fant var avhengig av 0, men vi har strengt tatt ikke vist at det ikke kan finnes noen annen δ som er uavhengig av 0.) Bemerkning.5. Merk at begrepet uniform kontinuitet kun er definert på intervaller I og at det ikke gir mening å spørre om en funksjon er uniformt kontinuerlig i et punkt. Begrepet kontinuitet er imidlertid definert punktvis, og av den grunn kaller vi det ofte punktvis kontinuitet. Bemerkning.6. Adams definerer kun uniform kontinuitet på lukkede og begrensede intervaller (i Appendiks IV), mens vi her ser på dette mer generelt. 2. Noen viktige resultater og eksempler som involverer uniform kontinuitet Vi vil i denne seksjonen se på noen kjente og viktige resultater som omhandler begrepet uniform kontinuitet. Det første, Teorem 2., er Teorem 4 fra Appendiks 4 i Adams, og sier at begrepene kontinuitet og uniform kontinuitet er de samme på lukkede, begrensede intervaller. Dette resultatet er en helt essensiell ingrediens i beviset for at en kontinuerlig funksjon på et lukket, begrenset intervall er Riemann-

3 NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET 3 integrerbar (Teorem 5 i App. IV) og er en av grunnene til at begrepet uniform kontinuitet er en del av pensum i dette kurset. Andre resultater, som Satsene 2.2 og 2.2 og Observasjon 2.4 har (med jevne mellomrom og i forskjellige varianter) blitt gitt å bevise på eksamen. Forsøk dere derfor gjerne selv på bevisene før dere leser dem. Om dere ikke kommer igang, ta en titt på kun de første linjene: de gir gjerne viktige hint som kan være nok til å fylle ut resten. De første resultatene gir tilstrekkelige betingelser for at en funksjon er uniformt kontinuerlig på et intervall. De kan altså brukes for å konkludere at en funksjon er uniformt kontinuerlig på et intervall. Teorem 2.. Dersom f er kontinuerlig på et lukket, begrenset intervall [a, b], da er f også uniformt kontinuerlig på [a,b]. Bevis. Se Adams (bevis for Teorem 4 i Appendiks IV). Sats 2.2. Anta at funksjonen f er derivérbar og at den deriverte er begrenset på intervallet I. Da er f uniformt kontinuerlig på I. Bevis. Vi har at f ( M for en konstant M, for alle I, per definisjon av begrenset. Ved Sekantsetningen ( Mean value theorem ) har vi at for alle, 2 I, så finnes en c = c(, 2 ) I (avhengig av, 2 ) slik at Dermed har vi f( ) f( 2 ) = f (c)( 2 ). (2.) f( ) f( 2 ) = f (c) 2 M 2 Gitt > 0. La δ = M. Dersom 2 < δ, da vil vi ved (2.) få at (2.2) f( ) f( 2 ) M 2 < M og vi har vist (.3). M =, Bemerkning 2.3. Det motsatte av Sats 2.2 holder ikke: f kan være uniformt kontinuerlig selv med ubegrenset derivert. Kan dere komme på et eksempel? Etter å ha tenkt litt, se fotnoten. Vi vil også få bruk for følgende to enkle observasjoner: Observasjon 2.4. Dersom f er uniformt kontinuerlig på (a,b] og [b,c), da er f også uniformt kontinuerlig på (a,c). (Dette holder også om a = eller c =.) Dette følger av at vi for gitt > 0, kan finne δ > 0 (hhv. δ 2 > 0) slik at hvis, 2 (a,b] og 2 < δ (hhv., 2 [b,c) og 2 < δ 2 ), da er f( ) f( 2 ) < 2. Dette fordi f er uniformt kontinuerlig på (a,b] og [b,c) per antagelse. La nå δ = min{δ,δ 2 } og, 2 (a,c) slik at 2 < δ. Om, 2 (a,b] eller, 2 [b,c), vet vi allerede at f( ) f( 2 ) < 2 <. Om (a,b] og 2 [b,c) (eller omvendt), da vil ved trekantulikheten f( ) f( 2 ) f( ) f(b) + f( 2 ) f(b) < =. Funksjonen f( = /3 er uniformt kontinuerlig på [,] ved Teorem 2., men f ( = 32/3 når 0.

4 4 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY Observasjon 2.5. Dersom f er uniformt kontinuerlig på et intervall I, da er f også uniformt kontinuerlig på ethvert delintervall J I. Dette følger direkte fra definisjonen av uniform kontinuitet. Eksempel 2.6. Både Teorem 2. og Sats 2.2 kan brukes til å vise at funksjonen f( = 2 er uniformt kontinuerlig på ethvert begrenset intervall I. Et begrenset intervall I er på formen [a,b], (a,b), [a,b) eller (a,b] for a,b R. Vi har selvfølgelig at f ( = 2 ma{2a,2b} for alle I, slik at den deriverte er begrenset og f( = 2 er uniformt kontinuerlig ved Sats 2.2. På den annen side, ved Teorem 2., er f( = 2 uniformt kontinuerlig på [a,b] og er derfor uniformt kontinuerlig på delmengden I [a,b] ved Observasjon 2.5. Eksempel 2.7. Funksjonen ( f( = 2 sin er uniformt kontinuerlig på (0, ). Her( kan ) vi ikke bruke Teorem 2., men vi bruker Sats 2.2. I tillegg bruker vi at sinθ sin < for alle. (Dette er bevist i beviset for at lim θ 0 θ = i Adams, Teorem 8 i 2.5: ( ) her vises nemlig ulikheten cosθ < sinθ θ < ; dette gir sinθ θ <, som gir sin < ved å sette inn θ = /.) Vi får da at: ( f ( ) ( sin ) ( + cos ) ( = 2 sin cos 2 < 2 + = 3, og f er uniformt kontinuerlig ved Sats 2.2. Eksempel 2.8. Noen ganger må vi kombinere flere resultater og tenke litt lurt for å avgjøre spørsmål om uniform kontinuitet. Det gjelder f.eks. om vi skal vise at funksjonen ( f( = sin er uniformt kontinuerlig på (0, ). Her kan vi ikke bruke Teorem 2. direkte, og heller ikke Sats 2.2 direkte, siden ( f ( = sin ( cos ikke er begrenset. Merk at problemet oppstår når 0. Om, har vi nemlig ( f ( = sin ( ) ( sin ) + cos ( ) cos + = 2, og vi kan konkludere fra Sats 2.2 at f er uniformt kontinuerlig på [, ). Hva med intervallet (0,]? Vi merker at lim f( = 0 0 ved Skviseteoremet. Dette betyr at funksjonen { ( ) sin når 0 F( = 0 når = 0.

5 NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET 5 er kontinuerlig på hele R, og lik f( om 0. (Vi sier at F er en kontinuerlig utvidelse av f.) Ved Teorem 2. er F uniformt kontinuerlig på [0,], og følgelig også på (0, ] (ved Observasjon 2.5). Siden F = f på (0, ], er f uniformt kontinuerlig på (0,]. Siden f er uniformt kontinuerlig på begge intervallene (0,] og [, ), er f uniformt kontinuerlig på (0, ) (ved Observasjon 2.4). På samme måte kan vi vise at f er uniformt kontinuerlig på (,0). De to neste resultatene gir nødvendige betingelser for at en funksjon skal være uniformt kontinuerlig på et intervall, dvs. at de gir egenskaper som en uniformt kontinuerlig funksjon må ha. De kan derfor brukes for å konkludere at en funksjon som ikke oppfyller disse kravene ikke er uniformt kontinuerlig på et intervall. Spesielt interessant er det første teoremet: husk at en kontinuerlig funksjon på et lukket, begrenset intervall er begrenset der ved Begrensningsteoremet ( Boundedness Theorem ) (Teorem 5 i Appendiks III i Adams). Fjerner vi betingelsen om at intervallet skal være lukket, gjelder ikke Begrensningsteoremet: tenk f.eks. på den kontinuerlige funksjonen f( = / på det begrensede intervallet (0, ]. En uniformt kontinuerlig funksjon er imidlertid alltid begrenset på et begrenset intervall, selv om intervallet ikke skulle være lukket. Dette følger fra neste teorem: Teorem 2.9. Dersom f er uniformt kontinuerlig på et begrenset intervall I, da er f også begrenset på I. Bevis. At I er begrenset, betyr at I er på formen [a,b], (a,b], [a,b) eller (a,b), med a,b R. Velg en hvilken som helst > 0, f.eks. =. Siden f er uniformt kontinuerlig, finnes en δ > 0 slik at f( ) f( 2 ) < = når, 2 I og 2 < δ. Del I opp i N like store delintervaller I,...,I N, der N er så stor at bredden på intervallene er b a N < δ. (Det holder med N slik at N > b a δ.) La z i være midtpunktet i I i. (Vi kan regne ut at z i = a+(i 2 )b a N.) For hver i og I i, er z i < δ, og vi har derfor f( = f( f(z i )+f(z i ) f( f(z i ) + f(z i ) + f(z i ). Da må, for I, f( +ma i N { f(z i ) } Sett M := ma i N { f(z i ) }. Da er f( M +. Bemerkning 2.0. Merk at en ekvivalent formulering av teoremet er: Dersom f er ubegrenset på et begrenset intervall I, da er f ikke uniformt kontinuerlig på I. Dette er grunnen til at teoremet kan brukes til å vise at en funksjon ikke er uniformt kontinuerlig på et intervall. Bemerkning 2.. Det motsatte av teoremet holder ikke, selv for kontinuerlige funksjoner: f kan være kontinuerlig og begrenset på et begrenset intervall I uten ( ) å være uniformt kontinuerlig der. Et eksempel på dette er funksjonen f( = sin på (0,), se Eksempel 3. nedenunder.

6 6 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY Det neste resultatet er svært enkelt og kan i motsetning til Teorem 2.9 også brukes til å vise at en funksjon ikke er uniformt kontinuerlig på et ubegrenset intervall: Sats 2.2. Hvis det for hver h > 0 er slik at f(+h) f( er ubegrenset på I, så er f ikke uniformt kontinuerlig på I. Bevis. Dette følger direkte av definisjonen på uniform kontinuitet. Eksempel 2.3. Funksjonen f( = er ikke uniformt kontinuerlig på (0,), ved Teorem 2.9, siden den ikke er begrenset der. Men vi kan også bruke Sats 2.2 til å vise at f( = ikke er uniformt kontinuerlig på (0,): Vi regner ut f(+h) f( = +h h =, (+h) som ikke er begrenset for noen h > 0 for (0,), siden h lim =, 0 (+h) og derfor kan ikke f( = være uniformt kontinuerlig på (0,). (Funksjonen er ei heller uniformt kontinuerlig på noe begrenset intervall (0, a), (a, 0) eller på (0, ) eller (,0).) Hva med intervallet I = (, )? Er f uniformt kontinuerlig her? Tenk litt og se så på fotnoten. 2 Eksempel 2.4. Funksjonen f( = 2 er ikke uniformt kontinuerlig på [0, ). Her er intervallet ikke begrenset, så vi kan ikke bruke Teorem 2.9. Vi kan imidlertid bruke Sats 2.2. Vi har nemlig at f(+h) f( = (+h) 2 2 = 2h+h 2, som ikke er begrenset for noen h > 0, siden lim 2h+h 2 =, slik at f( = 2 ikke er uniformt kontinuerlig på [0, ) ved Sats 2.2. Funksjonen f( = 2 er heller ikke uniformt kontinuerlig på noe annet ubegrenset intervall. 3. Noen flere eksempler Vi avslutter med tre litt mer krevende eksempler, der ingen av resultatene over er tilstrekkelige for å avgjøre spørsmålet om uniform kontinuitet og vi må enten bruke definisjonen direkte eller tenke litt lurt. Eksempel 3.. Funksjonen ( f( = sin er ikke uniformt kontinuerlig på (0,). En funksjon er ikke uniformt kontinuerlig på et intervall I hvis og bare hvis betingelsen i definisjonen ikke er oppfylt: dette betyr at det finnes en > 0 slik at 2 Ja, f( = er uniformt kontinuerlig på (, ), ved Sats 2.2, siden f ( = 2 < for >.

7 NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET 7 det ikke finnes noen δ = δ() som oppfyller (.3). Omformulert får vi: f er ikke uniformt kontinuerlig på I hvis og bare hvis det finnes en > 0 slik at for enhver δ > 0, så vil det finnes, 2 I slik at (3.) 2 < δ og f( ) f( 2 ). (I praksis betyr dette at vi kan finne punktpar vilkårlig nær hverandre, men slik at avstanden mellom funksjonsverdiene holder seg større eller lik et gitt tall. Hvordan finner vi slike punktpar? For funksjoner som har grafer som svinger mye, som i dette eksempelet, kan vi lete etter par av -verdier som gir toppene og bunnene.) I vårt konkrete tilfelle merker vi at ( ) ) (3.2) sin sin( = 2 2 om = π 2 +2πn og = 3π πn, for et heltall n, som gir 2 (3.3) = π(4n+) og 2 2 = π(4n+3). Vi får 2 2 = π(4n+) 2 4 = π(4n+3) π(4n+)(4n+3) og dette er < δ om 4 (3.4) πδ < (4n+)(4n+3) = 6n2 +6n+3. Dermed, gitt en δ > 0, kan vi velge et stort nok heltall n slik at (3.4) er oppfylt, og la og 2 være som i (3.3). Da vil (3.2) være oppfylt og (3.) vil være oppfylt for = 2. Følgelig er f ikke uniformt kontinuerlig på (0,). Eksempel 3.2. Funksjonen f( = cos er ikke uniformt kontinuerlig på (, ). Igjen bruker vi kriteriet fra Eksempel 3. over: f er ikke uniformt kontinuerlig på I hvis og bare hvis det finnes en > 0 slik at for enhver δ > 0, så vil det finnes, 2 I slik at (3.5) 2 < δ og f( ) f( 2 ). Vi tar = (men resonnementet vil også fungere for andre ). La δ > 0 være gitt. Velg h slik at 0 < h < min{δ,π}. Da er sinh > 0. La (3.6) = π 2 +2nπ og 2 = +h for et heltall n. Da vil cos = 0 og sin = og f( 2 ) f( ) = f( +h) f( ) = ( +h)cos( +h) cos = ( +h)(cos cosh sin sinh) cos ( π ) = 2 +2πn+h sinh > 2πnsinh

8 8 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY og dette er dersom (3.7) n 2πsinh (hvor vi har brukt at sinh > 0). Velg derfor et heltall n som tilfredsstiller (3.7) og h slik at 0 < h < min{δ,π} og la, 2 være som i (3.6). Da vil 2 = h < δ og f( ) f( 2 ), slik at(3.5) vil være oppfylt for =. Følgelig er f ikke uniformt kontinuerlig på (, ). Eksempel 3.3. Funksjonen f( = sine er uniformt kontinuerlig på [, ). Vi kan ikke bruke Sats 2.2, siden f ( = e cose sine 2 e er ubegrenset (siden lim = ), og vi kan heller ikke bruke Teorem 2. direkte. Gitt > 0. Siden lim f( = 0 (ved Skviseteoremet), vil det per definisjon finnes en R > 0 slik at Derfor har vi at f( < 3 når R. (3.8) f( ) f( 2 ) f( ) + f( 2 ) < < når, 2 [R, ). Hvis R, er vi derfor allerede ferdige. Om R >, da observerer vi at f er uniformt kontinuerlig på [,R] ved Teorem 2., slik at det finnes en δ > 0 slik at (3.9) f( ) f( 2 ) < 3 når, 2 [,R] og 2 < δ. Om [,R], 2 [R, ) og 2 < δ, da vil også R < δ, slik at f( ) f( 2 ) = f( ) f(r)+f(r) f( 2 ) f( ) f(r) + f(r) + f( 2 ) < = og vi er ferdige, ved å kombinere med (3.8) og (3.9). Merk at kjerneobservasjonen i dette eksemplet var at lim f( = 0. Argumentasjonen i dette eksemplet vil fungere på lignende måte for enhver funksjon f slik at grensen lim f( eksisterer. Matematisk institutt, Universitetet i Bergen, Johannes Brunsgate 2, 5008 Bergen.

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 28. august 2009 Definisjon 1.1. En delmengde A R kalles oppad begrenset dersom det finnes et tall b R slik at b x

Detaljer

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter

Detaljer

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sinθ = 3

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sinθ = 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.7 99 Vi deriverer to ganger: = A 1 cos(ln) B1 sin(ln) = A 1 cos(ln) A 1 sin(ln)+b 1 sin(ln) B 1 cos(ln)

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Dag Normann Universitetet i Oslo Matematisk Institutt Boks 1053 - Blindern 0316 Oslo 13. mars 2007 I dette notatet skal vi gi et bevis for ekvivalensen

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

Mål og innhold i Matte 1

Mål og innhold i Matte 1 Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 15. november 2013 på Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 27 848 Eksamensdato:. august 2014 Eksamenstid (fra

Detaljer

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009 Løsningsforslag eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I høsten 9 OPPGAVE (a) Vi har w = + ( ) =. I et komplekse plan ligger w i 4. kvarant og vinkelen θ mellom tallet og en relle aksen har tan θ =, vs. at

Detaljer

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Begreper i analyse. Olav Nygaard

Begreper i analyse. Olav Nygaard Begreper i analyse Olav Nygaard 27. april 2007 Litt om dette heftet Analyse er et sentralt emne, nesten uansett hvilke retninger en vil studere i matematikk. I dette heftet har jeg plukka ut noen temaer

Detaljer

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36 MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

Kontinuerlige stokastiske variable.

Kontinuerlige stokastiske variable. Kontinuerlige stokastiske variable. I forelesning har vi sett på en kontinuerlig stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet f() =2 og sannsynlighetsfunksjon F () = 2 for. Der hadde jeg et reint regneteknisk

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen MAT1100 Pensum fra Kalkulus KAP3 KOMPLEKSE TALL 3.1

Detaljer

Potensrekker. Binomialrekker

Potensrekker. Binomialrekker Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

Derivasjonen som grenseverdi

Derivasjonen som grenseverdi Gitt graf. Start/stopp. Fra sekant til tangent. Veien til formelen for den deriverte til funksjon f i et punkt Animasjonens jem: ttp://ome.ia.no/~cornelib/animasjon/ matematikk/mate-online-at/ablgrenz/

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014 Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet

Detaljer

Sannsynlighetsbegrepet

Sannsynlighetsbegrepet Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen

Detaljer

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall. MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto

Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 005 SØK 00- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr : OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5000000000 0,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningen 6 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningen lg( 3) 0 Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. sin 2 x cos 2 x = 0, x [0, 2π) 1 cos 2 x cos 2 x = 0 2 cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 2 1 2

Høgskolen i Oslo og Akershus. sin 2 x cos 2 x = 0, x [0, 2π) 1 cos 2 x cos 2 x = 0 2 cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 2 1 2 Innlevering i DAFE/ELFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 31. januar klokka 14:00 Antall oppgaver: 3 Løsningsforslag Oppgave 1 Løs disse likningene ved regning, og oppgi svarene eksakt: a) Vi kan for

Detaljer

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.

Detaljer

MA3002 Generell topologi

MA3002 Generell topologi Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: Richard Williamson, (735) 90154 MA3002 Generell topologi Lørdag 1. juni 2013 Tid:

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Turingmaskiner en kortfattet introduksjon. Christian F Heide

Turingmaskiner en kortfattet introduksjon. Christian F Heide 13. november 2014 Turingmaskiner en kortfattet introduksjon Christian F Heide En turingmaskin er ikke en fysisk datamaskin, men et konsept eller en tankekonstruksjon laget for å kunne resonnere omkring

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

Generelle opplysninger om eksamen i 1T. I vurderingsveiledning fra Utdanningsdirektoratet finner vi blant annet dette:

Generelle opplysninger om eksamen i 1T. I vurderingsveiledning fra Utdanningsdirektoratet finner vi blant annet dette: Forord Generelle opplysninger om eksamen i 1T I vurderingsveiledning fra Utdanningsdirektoratet finner vi blant annet dette: Eksamensordning Eksamen varer fem timer og er todelt. Del 1 og del 2 av eksamensoppgaven

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten

Detaljer

TOPOLOGI. Dan Laksov

TOPOLOGI. Dan Laksov Forum för matematiklärare TOPOLOGI Dan Laksov Institutionen för Matematik, 2009 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Topologi Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare. Høst

Detaljer

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4 Oppsummeringsproblemer som utgangspunkt til ekstraforelesninger i uke 48 i emnet MAT111, høsten 2008 Problem 1 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at x 4 1 x 1 x + 1 = 4. Problem 2

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

NTNU. TMA4105 Matematik 2 våren 2011. Maple-øving 1. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple01 1.

NTNU. TMA4105 Matematik 2 våren 2011. Maple-øving 1. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple01 1. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematik 2 våren 2011 Maple-øving 1 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid med maksimalt

Detaljer

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK.

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. Som foreleser/øvingslærer for diverse grunnkurs i matematikk ved realfagstudiet på NTNU har jeg prøvd å skaffe meg en viss oversikt over de nye studentenes

Detaljer

SØK400 våren 2002, oppgave 7 v/d. Lund

SØK400 våren 2002, oppgave 7 v/d. Lund SØK400 våren 2002, oppgave 7 v/d. Lund (a) Spillet er vist i figur 1 på siste side. Legg merke til at når det ikke er et endelig antall handlingsalternativ, men valget gjøres innenfor en kontinuerlig mengde,

Detaljer

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2015

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2015 Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2015 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Mandag 27. mai 2015 kl.

Detaljer

Taylor- og Maclaurin-rekker

Taylor- og Maclaurin-rekker Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =

Detaljer

K A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo

K A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo K A L K U L U S Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok ved Klara Hveberg Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forord Dette er en samling løsningsforslag som jeg opprinnelig

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X.

Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X. Om Fargelegging av Kart og Grafer i Planet Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X. 1. Firefargeteoremet Et

Detaljer

Forelesning 21 torsdag den 30. oktober

Forelesning 21 torsdag den 30. oktober Forelesning 21 torsdag den 30. oktober 5.12 Mersenne-primtall Merknad 5.12.1. Nå kommer vi til å se på et fint tema hvor kvadratisk gjensidighet kan benyttes. Terminologi 5.12.2. La n være et naturlig

Detaljer

Fjerdegradsfunksjoner og det gylne snitt

Fjerdegradsfunksjoner og det gylne snitt Svein Haugerudbråten, Christoph Kirfel Fjerdegradsfunksjoner og det gylne snitt Matematikkfagets plass i norsk skole blir av mange begrunnet med dets nytteverdi for samfunnet Men sammen med dette har faget

Detaljer

Enkle generiske klasser i Java

Enkle generiske klasser i Java Enkle generiske klasser i Java Oslo, 7/1-13 Av Stein Gjessing, Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Del 1: Enkle pekere Før vi tar fatt på det som er nytt i dette notatet, skal vi repetere litt

Detaljer

Matematikk R1 Oversikt

Matematikk R1 Oversikt Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac

Detaljer

Emne 12 Mengdelære. ( bokstaven g er ikke et element i mengden B ) Betyr: B er mengden av alle positive oddetall.

Emne 12 Mengdelære. ( bokstaven g er ikke et element i mengden B ) Betyr: B er mengden av alle positive oddetall. Emne 12 Mengdelære En mengde er en samling elementer. Mengden er veldefinert hvis vi entydig kan avgjøre om et vilkårlig element tilhører mengden eller ikke. Mengder på listeform. Endelige mengder:, Uendelige

Detaljer

KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK

KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK Variant av Magnus Dehli Vigeland UNIVERSITETET I OSLO MATEMATISK INSTITUTT Innhold Oppvarming 3. Noen viktige tallmengder. Notasjon.................... 3. Mer om mengder.............................

Detaljer

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1 Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem

Detaljer

Uke 4: z-transformasjonen

Uke 4: z-transformasjonen Uke 4: z-transformasjonen Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/26 Dagens temaer z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra

Detaljer

Matematikk 15 V-2008

Matematikk 15 V-2008 Matematikk 5 V-008 Løsningsforslag til øving 9 OPPGVE Husk at N = {alle naturlige tall} = {0,,,,... }, Z = {alle heltall} = {...,,, 0,,,,... }, R = {alle reelle tall} og = {alle komplekse tall} = { z :

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Forord Dette kompendiet dekker analysedelen av pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på anvendelser av teorien enn på

Detaljer

Repetisjon i Matematikk 1, 4. desember 2013: Komplekse tall og Derivasjon 1

Repetisjon i Matematikk 1, 4. desember 2013: Komplekse tall og Derivasjon 1 Repetisjon i Mtemtikk, 4. desember 0: Komplekse tll og Derivsjon Komplekse tll. Regn ut og skriv på normlform i 5 + i b 8 i 7 + 5i c 5 + i 6 i. Regn ut og skriv på normlform d 4 i + i e i 5 + 4i eiπ 6

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger.

Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Kalkulus 1 Grenser Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Vi sier at funksjonen f(x) har en grense f(a)

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

3.4 Geometriske steder

3.4 Geometriske steder 3.4 Geometriske steder Geometriske steder er punkter eller punktmengder som følger visse kriterier; dvs. ligger på bestemte steder i forhold til andre punkter eller punktmengder. Av disse kan man definere

Detaljer

Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )

Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 ) For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s

Detaljer

Eksamen 30.11.2010. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 30.11.2010. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 30.11.010 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del

Detaljer

En studentassistents perspektiv på ε δ

En studentassistents perspektiv på ε δ En studentassistents perspektiv på ε δ Øistein Søvik 16. november 2015 5 y ε 4 3 ε 2 1 1 δ 1 δ 2 x Figur 1: Illustrerer grenseverdien lim x 1 2x + 1. Innledning I løpet av disse korte sidene skal vi prøve

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel A. c) tan + sin0 + d) sin60 tan0 A. B. A y sin0 0 sin0 cos0 y 0 y cos0 C 60 D cos AD 0 6 B AD 0 cos 0 CD AD B.6 A tan60 CD BD BD BD tan60 6 AB AD

Detaljer

Eksamen 31.05.2011. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 31.05.2011. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 31.05.011 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del skal leverast

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL)

EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-0001 Brukerkurs i matematikk. Dato : Tirsdag 6. desember 2011. Tid : 09.00-13.00. Sted: : Adm. bygget, Aud. max. eller B154. Tillatte hjelpemidler : Alle

Detaljer

Vi kan finne formler som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Det er den rekursive formelen. gir oss gir oss alle tallene a

Vi kan finne formler som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Det er den rekursive formelen. gir oss gir oss alle tallene a Tallfølger, figurtall, algebra (utgave beregnet for GLU1-7). Av Geir Martinussen, Høgskolen i Oslo og Akershus (Se også: http://www.matematikk.org/uopplegg.html?tid=114140 ) Tallfølger er en nyttig ressurs

Detaljer

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 12.-13. mai 2010 Introduksjon Begin with the end in mind - The 7 Habits of Highly Effective People (Stephen R. Covey)

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 27.01.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

3. Løs oppgavene ved hjelp av likning a. Summen av tre tall som følger etter hverandre er 51. Hvilke tre tall er det?

3. Løs oppgavene ved hjelp av likning a. Summen av tre tall som følger etter hverandre er 51. Hvilke tre tall er det? Likninger av første grad med en ukjent 1. Løs følgende likninger x 3 + 4x a. + = 16 2x 7 2 x 1 x + 3 b. + 2 = 0 x x 2 1 1 1 c. (2x + 3) (3 4x) = (4x 7) 3 2 6 d. 2 x + 3( 2 x) = 3 2. Lag en likning som

Detaljer

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 1 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 1 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016 Versjon 01/15 NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 1 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016 Profesjons- og yrkesmål Dette studiet er beregnet for lærere på ungdomstrinnet som

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål Eksempeloppgave 008 REA04 Matematikk R Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer:

Detaljer