Notasjon i rettingen:
|
|
- Eva Kristiansen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil R F F Rett, men med følgefeil littr Litt rett, man er inne på noe g Galt? Uforståelig/uklart MB Manglende begrunnelse DF Dårlig føring DN Dårlig notasjon FL For langt FF Følgefeil rød, krøllet strek i marg eller under tekst dette er feil Røde streker og kommentarer betyr ikke nødvendigvis at selve svaret var feil, men at begrunnelsen var mangelfull eller at føringen var dårlig Selv om dere har fått oppgaven godkjent, er det viktig å ta dette til etterretning Vær også oppmerksom på at de som har rettet kan ha oversett noe dere har gjort feil eller glemt å begrunne, slik at dere bør uansett lese gjennom dette løsningsforslaget nøye Løsningsforslaget som følger inneholder kommentarer og referanser til resultater fra boken som brukes Alt som er skrevet i svart er tilleggsforklaringer som er ment som en hjelp til dere, men som ikke kreves av en ekamensbesvarelse
2 2 Oppgave a) Hvis w i, da tilsvarer w punktet, ) i det komplekse plan, som ligger i tredje kvadrant Lengden på vektoren mellom origo og punktet, ) er w se Def I) Vinkelen ϕ mellom vektoren og den reelle aksen er gitt ved tan ϕ, dvs ϕ π/6 Dersom vi lar θ være et argument til w se Def I4), da er θ π + ϕ π + π/6 7π/6 Merknad: Enhver θ 7π/6 + k 2π for en k Z vil også være riktig, feks θ 5π/6 Derfor har vi w 2 cos7π/6) + i sin7π/6)) på polarform, eventuelt 2 e 7π 6 i om man liker denne notasjonen bedre Godt tips til å gjøre på kladd: sett prøve ved å regne ut og se om dere får det opprinnelige uttrykket for w) Tegnet inn i det komplekse plan: b) Vi har w 2 2 ) 2 cos 27π/6) + i sin 27π/6)) 2 2 ) cos4π) + i sin4π)) 2 2 ) cos 0 + i sin 0)) i) Denne notasjonen sier at e iθ cos θ + i sin θ som vi i dette kurset kan ta som en definisjon) og står nevnt i forbifarten under Remark etter De Moivres teorem i App I Fordelen er at den er mer kortfattet og at multiplikasjon av komplekse tall skrevet på polarform får formen e iθ e iϕ cos θ + i sin θ) cos ϕ + i sin ϕ) cosθ + ϕ) + i sinθ + ϕ) e iθ+ϕ), som er lett å huske siden den følger egenskapene vi er vant til at eksponensialfunksjonen oppfyller
3 c) i) i + i) i i) i i 2 i + ii) 2i 2 + 4i 2i)2 4i) 6 2i 4i + 8i i)2 4i) 2 2 4i) 2 6 2i 4i 8 2 6i i d) Skal løse ) z i Skriver høyresiden på polarform og bruker notasjonen nevnt i fotnoten på forrige side): i [ 2 cos π ) + i sin π )] 2e π 4 i 4 4 Skriver vi også z på polarform z z cos θ + i sin θ) z e θi, slik at blir ligningen ) til: eller Dette gir at dvs z z cosθ) + i sinθ)) z e θi, z cosθ) + i sinθ)) 2 [ cos π 4 z e θi 2e π 4 i z 2 og θ π 4 ) + i sin π 4 + 2πk, k 0,, 2 z 6 2 og θ π 4 + k 2π, k 0,, 2 Dermed blir de tre løsningene på formen se s A-9) z k 6 [ 2 cos π 4 + k 2π ) + i sin π 4 + k 2π )] 2) for k 0,, 2 Vi har z 0 6 2e i π 4 ) e i π 4 +k 2π ) 6 2e i π 4 ) e ik 2π ), [ cos π ) + i sin π )] i ) 4 4 i) 2 2 )]
4 4 Dermed får vi, ved å bruke siste linje i 2) at z z 0 e i [ ) 2π ) 2π z0 cos + i sin ) i) 2 og i 2 2 i) + ) i ) + i + ) z 2 z 0 e i [ ) 4π ) 4π z0 cos + i sin [ π ) π )] z 0 cos i sin ) i) i 2 2 i) ) i ) + i + ) 2 2 ) ) )] 2π )] 4π Merknad: Det er enkelt å regne ut z 0, men noe mer komplisert å regne ut nøyaktige verdier for z og z 2 om man ikke gjør omskrivingen i siste linje i 2), men setter inn for k og 2 i midterste linje i 2) Det er litt trekk for å skrive løsningene kun i polarform som z 0 6 2e i π 4 ), z 6 5π i 2e 2 ), z2 6 π i 2e 2 ) uten å forenkle, selv om svaret er helt korrekt Man bør ihvertfall klare å regne ut z 0 e) Setter vi inn z, ser vi at P ) 0 Ved faktorteoremet Teorem i P6) må derfor z + z ) være faktor i polynomet z 4 + z + z + og vi finner ut feks ved polynomdivisjon) at z 4 + z + z + z + )z + ) Vi ser at z igjen er rot i z +, slik at z + z + )z 2 z + )
5 5 Røttene til z 2 z + er ved løsningsformelen for annengradsligninger gitt som z ) ± ) 2 4 ± ± i Disse, sammen med z, er de tre røttene til z +, dvs de tre tredjerøttene til ) Røttene til z 4 + z + z + er dermed: z med multiplisitet 2), z + i, z i 2 2 Faktoriseringen over C er P z) z 4 + z + z + z + ) 2 z + i )z i ) 2 2 mens faktoriseringen over R er P z) z 4 + z + z + z + ) 2 z 2 z + ) f) Vi har z + z z + z z z z + z z z 2 z + z 2 z 2 Skriver vi z + iy med, y R og y 0, siden z ikke er reell, har vi ) z + z z 2 + iy) + iy) z 2 z 2 + ) + iy z 2 ) z 2 Dette er et reellt tall hvis og bare hvis den imaginære delen y z 2 ) z 2 0, som skjer hvis og bare hvis z 2 0, siden y 0 Altså er z + reell hvis og bare z hvis z, som nettopp betyr at z ligger på enhetssirkelen Videre gir ) med z at z + z 2, og siden z, må og dermed 2 z + z 2, som vi skulle vise Merknad: Siden vi har fått oppgitt at z ikke er reell, må vi faktisk ha < <, og dermed har vi den sterkere konklusjonen at 2 < z + < 2 Plusspoeng til de z som merket seg dette
6 6 Oppgave 2 Vi regner ut S, S 2 2 2, S, S 4 4 4, slik at det er rimelig å tro at 5 4) S n nn + ) n n + for alle heltall n Vi viser nå denne formelen ved induksjon Vi har allerede regnet ut at formelen 4) stemmer for n Anta nå at formelen holder for n k, der k er et heltall slik at k Altså antar vi at 5) kk + ) k k + Da vil venstresiden i 4) for n k + kunne skrives som: 2 + [ k + )k + 2) ) k k + + k + )k + 2) kk + 2) + k + )k + 2) k 2 + 2k + k + )k + 2) k + ) 2 k + )k + 2) kk + ) ] + k + )k + 2) k + k + 2 og dette gir oss nettopp formelen 4) med n k + Vi har derfor vist at dersom 4) holder for et heltall n k, da holder 4) også for n k + Vi har dermed vist at 4) holder for alle heltall n ved induksjon Merk hvor vi brukte induksjonshypotesen 5)) Merknad: Det er viktig at det kommer klart frem at og hvor) man bruker induksjonshypotesen 5) b) Vi vil vise utsagnet 6) nn + )n + 2) er delelig på 6 for alle heltall n, ved matematisk induksjon For n sier 6) at 2 er delelig på 6, som er opplagt sant Anta nå at 6) er sant for n k, der k er et heltall slik at k, dvs at 7) kk + )k + 2) er delelig på 6
7 7 Vi vil nå vise at da må 6) også være sant for n k + Da regner vi ut k + ) k + ) + ) k + ) + 2) k + ) k + 2) k + ) k + ) k + 2) k + k + ) k + 2) k k + ) k + 2) + k + ) k + 2) Her er venstre ledd k k + ) k + 2) delelig på 6 ved induksjonshypotesen 7) Høyre ledd k + ) k + 2) inneholder faktoren k + )k + 2), som er delelig på 2, siden ett av k + og k + 2 må være partall; derfor er k + ) k + 2) delelig på 6 Altså er 6) er sant for n k + Vi har dermed vist at 6) er sant for n, og er sant for n k + dersom det er sant for n k, for et vilkårlig heltall k Ved induksjon er 6) sant for alle heltall n c) Trinnet i beviset der vi viser at påstanden for n k medfører påstanden for n k + formelt sagt: P k) P k + )) fungerer ikke dersom k 2: dersom vi har tre linjer, l, l 2, l og de to første, l og l 2, går gjennom p og de to siste, l 2 og l, går gjennom q, så finnes kun én linje som går gjennom p og q, nemlig l 2, og vi kan ikke konkludere at p q Moralen: Når vi beviser noe ved induksjon, må beviset for at P k) P k + ) gjelde for enhver k n 0, der n 0 er det tallet der vi starter induksjonen, også for k n 0 a) Oppgave lim lim 2) + 7) 2 2) 4) lim b) lim ) + 7) lim 4 2) 4) 2) + 7) lim 4 2) 4, siden 2)+7) 2) går mot og 4 går mot 0 fra negativ side
8 8 c) lim 62 lim ) lim 2 6 ) 2 lim lim , hvor vi brukte at > 0 i overgangen ), slik at d) lim 62 lim ) lim 2 6 ) 2 lim 6 lim 2 6, 6 hvor vi brukte at < 0 i overgangen ), slik at 8) e) Vi har og dermed Dette medfører at ) cos for alle 0 ) n cos n for alle 0 n n cos ) n for alle 0 n Siden lim 0 0, gir Skviseteoremet Teorem 4 i 2) at: ) lim 0 n cos Merknad: Det er feil bruk av grensesetningeneå si at 0 noe 0, som gir null uttelling Ellers er det lett å glemme absoluttverditegn Poenget er at om man starter med ulikheten ) cos
9 9 og ganger denne med n, må man snu ulikhetene om < 0 og n er odde, for da er n negativ Man må da betrakte tilfellene < 0 og > 0 hver for seg, dvs vise de to ensidige grensene lim 0 og lim 0 + Derfor er det enklere og kortere) å starte med absoluttverditegn som i 8) a) Gitt ɛ > 0 Sett δ : ɛ 5 Hvis 0 < 2 < δ ɛ, da har vi: 5 Oppgave 4 5 ) < 5 ɛ 5 ɛ, og vi har dermed vist at lim 2 5 ) 7 b) Gitt ɛ > 0 Vi vil finne δ > 0 slik at 2 + 2) 4 < ɛ når ) < δ Vi omskriver: 2 + 2) ) 2) + 2 Hvis feks + <, da er < + <, som gir ved å subtrahere 5) at 6 < 2 < 4, som gir 2 < 6 Hvis også + < ɛ/6, da er + 2 < ɛ 6 ɛ Altså lar vi δ : min{, ɛ } 6 6 c) Gitt ɛ > 0 Vi vil finne δ > 0 slik at ) < ɛ når ) < δ ALTERNATIV I: Vi omskriver ) , hvor vi har brukt faktoriseringen fra Oppgave e) Faktoren + har vi full kontroll på ved å velge δ liten nok For å begrense antar vi først at 2 + 9) + < 2
10 0 Dette er det samme som at < + <, som igjen medfører at < <, som gir at 0) 2 < < 2 Høyre ulikhet i 0) gir, sammen med trekantulikheten, at ) < Venstre ulikhet i 0) gir 2) < 2 Ulikhetene ) og 2) gir at ) ) < Vi ser dermed at 9) medfører at < som er < ɛ hvis + < ɛ 8 Vi lar dermed { } ɛ δ : min 2, ALTERNATIV II: Vi omskriver ) ) + ) Så kan vi resonnere som i forrige alternativ: Vi antar 9), dvs + <, og utleder derfra 2), dvs < 2 Dette gir ved trekantulikheten at < Dermed er 5) + + < + 9
11 og dette siste er < ɛ hvis + < ɛ Til sammen gir altså 4) og 5) at ) < ɛ når + < min {, ɛ 2 9} Vi lar dermed { δ : min 2, ɛ } 9 ALTERNATIV III: Vi omskriver siste linje av 4) som 6) ) + + Så kan vi resonnere som i de forrige alternativene: Vi antar 9), dvs + <, og utleder derfra 2), dvs < 2, og høyre ulikhet i 0), dvs < Dette gir oss 2 at < 8 og ved trekantulikheten) at Dette gir at 7) + + < + + ) < , og dette siste er < ɛ hvis + < ɛ Til sammen gir altså 6) og 7) at ) < ɛ når + < min {, ɛ 2 5} Vi lar dermed { } δ : min 2, ɛ 5 Merknad til a)-c): Selvfølgelig finnes det andre muligheter for valg av ɛ i begge tilfellene ovenfor, så det finnes ikke et entydig rett svar Oppgave 5 a) Skjæringspunkter forekommer for der f) g), dvs vi skal vise at ligningen har en løsning i hvert av intervallene 2, ), 0, ) og, 2) Ligningen er ekvivalent med + 0,
12 2 altså er -verdiene til skjæringspunktene lik nullpunktene til funksjonen h) + Merk at h er kontinuerlig overalt et polynom) Vi har h 2) h ) h0) h) h2) Ved skjæringssetningen Intermediate-Value Theorem, Teorem 9 i 4) må funksjonen h ha et nullpunkt i hvert av intervallene 2, ), 0, ) og, 2) I utgangspunktet sier skjæringssetningen at h har nullpunkt i de lukkede intervallene [ 2, ], [0, ] og [, 2], men vi regnet nettopp ut alle funksjonsverdier i endepunktene og fant at h 0 der, så nullpunktene må ligge i de åpne intervallene) Følgelig har de to grafene skjæringspunkter i hvert av disse tre intervallene Merknad: Her får man MB dersom man enten glemmer å påpeke at h er kontinuerlig eller glemmer å nevne skjæringssetningen b) Spørsmålet om grafene til f og g kan skjære hverandre i flere enn de tre punktene ovenfor er ekvivalent med spørsmålet om funksjonen h kan ha flere enn de tre nullpunktene ovenfor ALTERNATIV I: 2 Hvis vi kaller de tre nullpunktene ovenfor for r, r 2, r, da sier faktorteoremet Teorem i P6) at r ) r 2 ) r ) er en faktor i polynomet h Likeledes, hvis h hadde hatt et fjerde nullpunkt r 4, ville faktorteoremet gitt at r ) r 2 ) r ) r 4 ) er en faktor i polynomet h Dette er umulig, siden h har grad Så svaret er NEI PS: Siden h har grad, og koeffisienten foran høyeste potens av er, har vi at h) r ) r 2 ) r ) ALTERNATIV II, ved Rolles Teorem i i utg 6): Vi har h ) 2 2 ), slik at h er derivérbar overalt og h har kun to nullpunkter, nemlig ± Rolles teorem eventuelt sekantsetningen/ Mean Value Theorem ) gir at mellom to vilkårlige nullpunkter til h, si a og b, så finnes en c slik at h c) ha) hb) 0, altså finnes et nullpunkt til h Dersom h hadde hatt fire nullpunkter eller mer, ville altså h hatt tre nullpunkter eller mer, hvilket ikke er tilfelle Så svaret er NEI ALTERNATIV III, ved funksjonsdrøfting i i utg 6): Vi har h ) 2 2 ), slik at h ) > 0 på, ) og på, ), og h ) < 0 på, ) Derfor er h strengt monoton, dvs strengt voksende eller strengt avtagende, på hvert av de tre intervallene, ], [, ] og [, ) ved Teorem 2 Dette er det alternativet jeg tenkte dere skulle bruke, siden de to andre nedenunder bruker pensum gjennomgått uke 8 I lærebokens språk er strengt voksendeincreasing og strengt avtagendedecreasing i Def 6 i i utg 6)
13 2 i i utg 6)), og kan derfor anta samme verdi kun én gang innenfor hvert av disse tre intervallene dvs hvis a b, så er ha) hb) innenfor hvert av disse tre intervallene) Altså kan h ha høyst ett nullpunkt innenfor hvert av disse tre intervallene, til sammen høyst tre nullpunkt Så svaret er NEI c) At grafene har felles tangentlinjer i et skjærings)punkt betyr at grafenes tangentlinjer må ha samme stigning i punktet, dvs at f ) g ), eller ekvivalent h ) 0 Men h ) 2 2 ) har nøyaktig to nullpunkt, nemlig ±, som ikke er noen av skjæringspunktene til grafene Så svaret er NEI Oppgave 6 a) Per definisjon av kontinuitet har vi at Vi har f0) per definisjon og f er kontinuerlig i 0 lim 0 f) f0) lim f) lim cos )) , ved grensesetningene og grensen vi beregnet i Oppgave e) Derfor konkluderer vi med at f er kontinuerlig i 0 b) Per definisjon av derivérbarhet har vi at f0 + h) f0) f er derivérbar i 0 lim h 0 h fh) f0) h + 2 h + h2 cos h) h eksisterer og den deriverte f 0) er lik denne grensen, om den eksisterer) Her er h 0, slik at ) Dermed er fh) f0) lim h 0 h 2 + h cos h )) lim h h cos h , ved grensesetningene og grensen vi beregnet i Oppgave e) Derfor konkluderer vi med at f er derivérbar i 0, med f 0) 2 Merknad: Det er en typisk feil å derivére funksjonen utenfor 0 og så si at den deriverte av er null Dette er bare tull og gir null uttelling
14 4 For funksjoner der uttrykket endres i et punkt, må man bruke definisjon av derivert og ikke derivasjonsregler, som forutsetter at funksjonen har samme uttrykk i en omegn om punktet At f er kontinuerlig i 0 betyr at Oppgave 7 lim f) f 0 ) 0 Kombinert med den formelle definisjonen av grenseverdi ɛ-δ-definisjonen ) betyr dette at til enhver ɛ > 0, finnes en δ δɛ) slik at f) f 0 ) < ɛ når 0 < 0 < δɛ) Ulikheten til venstre er trivielt oppfylt også når 0, slik at vi får at f) f 0 ) < ɛ når 0 < δɛ) Dette holder for enhver ɛ, med varierende δɛ) For ɛ f 0 ) > 0, betyr dette at det finnes en δ δf 0 )) slik at 8) f) f 0 ) < f 0 ) når 9) 0 < δ Dette siste er ekvivalent med at 20) 0 δ, 0 + δ), som er en omegn om 0 Dessuten har vi at 8) er ekvivalent med: f 0 ) < f) f 0 ) < f 0 ) 0 < f) < 2f 0 ) Som oppsummering har vi funnet en δ-omegn 0 δ, 0 + δ) om 0 som er slik at f) > 0 når 0 δ, 0 + δ) Andreas Leopold Knutsen
Notasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerNOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN
NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT2 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY. Innledning og definisjoner Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner
DetaljerFinne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017
Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 4. oktober 2017 Problem og hovedidé Problem: Finn løsning(er) r på en ligning
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 I dette kapittelet har mange av oppgavene et mindre teoretisk preg enn i de foregående kapitlene, og jeg regner derfor med at lærebokas eksempler og fasit
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
DetaljerEKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte
DetaljerDeleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2008
TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus
DetaljerANDREAS LEOPOLD KNUTSEN
NOTAT OM FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Dette notatet inneholder ikke noe nytt pensum i kurset MAT112 i forhold til læreboken
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 8/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn
DetaljerFunksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017
Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 11. Oktober 2017 Strengt voksende funksjon (Def. 6 i Ÿ2.8) f er strengt voksende på intervallet I dersom x 1 < x 2 i I = f (x 1 ) < f (x 2
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34. Oppgaver til seminaret 25/08
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34 Settet inneholder oppgaver fra stoffet omhandlet på forelesning uke 34, og består av seminaroppgaver, gruppeoppgaver og og obligatoriske oppgaver. Avsnittene og appendiksene
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 9/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar
DetaljerOppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09
Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerLøysingsforslag Eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 2016
Løysingsforslag Eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 26 OPPGÅVE Det komplekse talet z = 3 i tilsvarar punktet eller vektoren Rez, Imz) = 3, ) i det komplekse planet, som
DetaljerEn (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
DetaljerFunksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016
Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Andreas Leopold Knutsen 11. oktober 2016 Den deriverte f Newton-kvotienten f (x+h) f (x) h er stigningen til sekantlinjen gjennom punktene (x, f (x)) og (x + h, f
DetaljerLøsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, H-06
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT, H-6. ( poeng) Det komplekse tallet z har polarkoordinater r = 4, θ = π 4. Da er z lik: + i + i + i i + i Riktig svar: c) + i Begrunnelse: z = r(cos θ + i sin
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerLøsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03
Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39. Oppgaver til seminaret 29/9
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39 Avsnitt 3.1: 9, 23, 34 Avsnitt 3.3: 48, 61 Avsnitt 3.4: 1, 2, 9 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 29/9 Oppgaver til gruppene uke 40 Løs disse først så disse Mer dybde
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 14. oktober 2016 Tid for eksamen: 13.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,
DetaljerKomplekse tall. Kapittel 2. Den imaginære enheten. Operasjoner på komplekse tall
Kapittel Komplekse tall Oppfinnelsen av nye tallsystemer henger gjerne sammen med polynomligninger x + 4 0 har ingen positiv løsning, selv om koeffisientene er positive tall Vi må altså inn med negative
DetaljerDAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.
Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 I kapittel 5 har mange av oppgavene et mer teoretisk preg enn du er vant til fra skolematematikken, og jeg har derfor lagt vekt på å lage løsningsforslag
DetaljerLøsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03
Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(
DetaljerOPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG
LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I torsdag 5.desember 20 kl. 09:00-4:00 OPPGAVE a Modulus: w = 2 + 3 2 = 2. Argument
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 38 Oppgaver til seminaret 22/9 (Tall i blått angir utgave 6, tall i rødt angir utgave 7.) Avsn. 2.7: 15(11), 21(31)(27) Avsn. 2.8: 5, 17(2.8.13)(2.6.13) Avsn. 2.10: 12, 29, 39
DetaljerLøsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009
Løsningsforslag eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I høsten 9 OPPGAVE (a) Vi har w = + ( ) =. I et komplekse plan ligger w i 4. kvarant og vinkelen θ mellom tallet og en relle aksen har tan θ =, vs. at
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 9. oktober 205 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark, formelsamling.
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 1. oktober 2005. Tid for eksamen: 9:00 11:00. Oppgavesettet er på
DetaljerLØSNINGSFORSLAG. Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk form som a + bi og på polar form som re iθ (r 0 og 0 θ < 2π). a) 2 + 3i.
Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag. februar 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: LØSNINGSFORSLAG Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)
DetaljerGrunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,
Grunnleggende notasjon ℕ,, 3, 4, 5, 6, ℤ, 3,,, 0,,, 3, ℝ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 ℚ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑎 𝑎, ℤ, 0 Induksjonsprinsippet Anta at for hver 𝑛 ℕ har vi gitt et utsagn 𝑃. Anta videre at vi vet at følgende
DetaljerMA oppsummering så langt
MA1101 - oppsummering så langt Torsdag 29. september 2005 http://www.math.ntnu.no/emner/ma1101/2005h/ MA1101- oppsummering så langt p.1/21 Pensum til semesterprøven Kapittel P Kapittel 1 Kapittel 2: avsnittene
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38 Oppgaver til seminaret 23/9 (Tall i blått angir utgave 6, tall i rødt angir utgave 7.) Avsn. 2.7: 15(11), 21(31)(27) Avsn. 2.8: 5, 17(2.8.13)(2.6.13) Avsn. 2.10: 12, 29, 39
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Løsningsforslag, eksamen MA0/MA60 07.2.09 Oppgave La f() = e 4 2 2 8. a) Finn alle ekstremalpunktene til funksjonen
DetaljerKontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte
DetaljerLøsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04
Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +
DetaljerForelesning 10 MA0003, Tirsdag 18/ Asymptoter og skissering av grafer Bittinger:
Forelesning 0 MA000, Tirsdag 8/9-0 Asymptoter og skissering av grafer Bittinger:.-. Asymptoter Definisjon. La f være en funksjon. Vi sier at linjen l() = a + b er en skrå asymptote for f dersom minst ett
DetaljerLøsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1
Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Mandag 5. desember 2011. Tid for eksamen: 9:00 13:00. Oppgavesettet er på
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 8 Oppgaver fra boken: 10.1 : 13, 14, 18 10.2 : 15, 18, 32 10.3
DetaljerUnderveiseksamen i MAT-INF 1100, 17. oktober 2003 Tid: Oppgave- og svarark
Underveiseksamen i MAT-INF 1100, 17. oktober 003 Tid: 9.00 11.00 Kandidatnummer: De 15 første oppgavene teller poeng hver, de siste 5 teller 4 poeng hver. Den totale poengsummen er altså 50. Det er 5 svaralternativer
DetaljerLøsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse 1 Bokmål Fredag 10. oktober 2008 Kl
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Faglig kontakt: Heidi Dahl Telefon: 735 98141 Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse
Detaljervære en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A
MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t
DetaljerNotater fra forelesning i MAT1100 mandag
Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a
DetaljerLøsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å
DetaljerLøsningsforslag. a) i. b) (1 i) 2. e) 1 i 3 + i LF: a) Tallet er allerede på kartesisk form. På polar form er tallet gitt ved
Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Mandag 3. august 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag Uttrykk følgende komplekse tall både
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43. Oppgaver til seminaret 28/10
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43 Avsn. 5.1: 41 Avsn. 5.3: 3, 7 Avsn. 5.4: 13, 31, 37 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 28/10 Oppgaver til gruppene uke 44 Merknad: Oppgavene under skal kunne løses uten
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 15. oktober 004 Tid for eksamen: 11:00 13:00 Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar
DetaljerEksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse Faglig kontakt under eksamen: Kari Hag Tlf: 48 30 19 88 Eksamensdato: 15. oktober 018 Eksamenstid (fra til): 17:30 19:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerINDUKSJONSPRINSIPPET MAT111 - H16
INDUKSJONSPRINSIPPET MAT - H ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN. Matematisk induksjon I læreboken står kun en liten trudelutt om matematisk induksjon i margen på side 0 (side 09 i utg. 7, side 08 i utg. ). Det er
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: Torsdag 10 januar 2008 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 6
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34 Avsnittene (og appendiksene) viser til utgave 8 av læreboken, som er like i utgavene 7 og 6 når ikke annet er oppgitt. Gruppene starter opp i uke 35. Hver student er satt
DetaljerSlides til 4.1 og 4.2: Eksempler på feil i induksjonsbevis. Andreas Leopold Knutsen
Slides til 4.1 og 4.2: Eksempler på feil i induksjonsbevis Andreas Leopold Knutsen February 9, 2010 Eks. 1: Finn feilen Fibonaccitallene F 1, F 2, F 3,... er denert rekursivt ved: F 0 = 0, F 1 = 1, og
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerLøsningsforslag MAT102 Vår 2018
Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl 0900-1400 Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave
DetaljerKomplekse tall og komplekse funksjoner
KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
DetaljerKomplekse tall: definisjon og regneregler
Komplekse tall: definisjon og regneregler Eugenia Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 22. august 2011 Komplekse tall fra Wikipedia Et komplekst tall er tall på formen x + iy, der x og y er
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
DetaljerKrasjkurs MAT101 og MAT111
Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerFremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier
1 Fremdriftplan Siste uke Kap. 1 Funksjoner 2.1-2.2 Grenseverdier I dag 2.3 Den formelle definisjonen av grenseverdi 2.4 Ensidige grenser og grenser i uendelig 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne
Detaljer4_Komplekse_tall.odt tg. Kap.4 Komplekse tall
4_Komplekse_tall.odt 04.09.015 tg Kap.4 Komplekse tall e i π +1=0 Innledning... Egenskaper...4 Geometrisk form...5 Regneregler...6 Lengde og argument...8 Polar form...9 Eksponentform - Eulers formel...1
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1
Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:
DetaljerMAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430
MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44. Oppgaver til seminaret 4/11
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 Avsn. 5.5: 19, 41, 47 Avsn. 5.6: 9, 17, 47 Avsn. 5.7: 15 På settet: S.1, S.2. Oppgaver til seminaret 4/11 Oppgaver til gruppene uke 45 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn.
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerDen deriverte og derivasjonsregler
Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)
Detaljern-te røtter av komplekse tall
. 29. august 2011 Eksponentialform Forrige gang så vi at e iθ = cos θ + i sin θ Dette kan vi bruke til å gjøre polarfremstillingen av komplekse tall mer kompakt: z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) = re iθ
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i fag MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I Høst 2008
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 9 Løsningsforslag til eksamen i fag MA111/MA611 Grunnkurs i analyse I Høst 2 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
DetaljerPrøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03
Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De 15 første oppgavene
Detaljer= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
DetaljerMA1301 Uke 1: In(tro)duksjon
MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon Magnus Bakke Botnan 21. august 2012 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 1 / 14 Introduksjon Praktisk Praktisk Faglærer Magnus B. Landstad: magnus.landstad@math.ntnu.no
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon
Detaljer1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = x y(1 + 2 x ) = = 100 y y x ln 2 = ln 100 y y x = 1. 2 x = 1. f 1 (x) =
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten 2 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere f() +2, dvs. løse ligningen mhp.. + 2 ( + 2 ) 2 ln 2 ln ln 2 ln Vi btter om på og :
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 24 Løsningsforslag Øving 9 4.3.4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet (Maclaurinpolynomet)
DetaljerMatematikk for IT, høsten 2017
Matematikk for IT, høsten 017 Oblig 5 Løsningsforslag 0. september 017 Oppgave 1 (eksamen desember 013) Gitt følgende logiske utsagn: ( p ( p q)) Benytt lovene i logikk til å finne hvilket av følgende
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Først en kommentar. I læreboka møter man kjeglesnitt på standardform, som ellipser x
Detaljer