Notasjon i rettingen:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Notasjon i rettingen:"

Transkript

1 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil R F F Rett, men med følgefeil littr Litt rett, man er inne på noe g Galt? Uforståelig/uklart MB Manglende begrunnelse DF Dårlig føring DN Dårlig notasjon FL For langt FF Følgefeil rød, krøllet strek i marg eller under tekst dette er feil Røde streker og kommentarer betyr ikke nødvendigvis at selve svaret var feil, men at begrunnelsen var mangelfull eller at føringen var dårlig Selv om dere har fått oppgaven godkjent, er det viktig å ta dette til etterretning Vær også oppmerksom på at de som har rettet kan ha oversett noe dere har gjort feil eller glemt å begrunne, slik at dere bør uansett lese gjennom dette løsningsforslaget nøye Løsningsforslaget som følger inneholder kommentarer og referanser til resultater fra boken som brukes Alt som er skrevet i svart er tilleggsforklaringer som er ment som en hjelp til dere, men som ikke kreves av en ekamensbesvarelse

2 2 Oppgave a) Hvis w i, da tilsvarer w punktet, ) i det komplekse plan, som ligger i tredje kvadrant Lengden på vektoren mellom origo og punktet, ) er w se Def I) Vinkelen ϕ mellom vektoren og den reelle aksen er gitt ved tan ϕ, dvs ϕ π/6 Dersom vi lar θ være et argument til w se Def I4), da er θ π + ϕ π + π/6 7π/6 Merknad: Enhver θ 7π/6 + k 2π for en k Z vil også være riktig, feks θ 5π/6 Derfor har vi w 2 cos7π/6) + i sin7π/6)) på polarform, eventuelt 2 e 7π 6 i om man liker denne notasjonen bedre Godt tips til å gjøre på kladd: sett prøve ved å regne ut og se om dere får det opprinnelige uttrykket for w) Tegnet inn i det komplekse plan: b) Vi har w 2 2 ) 2 cos 27π/6) + i sin 27π/6)) 2 2 ) cos4π) + i sin4π)) 2 2 ) cos 0 + i sin 0)) i) Denne notasjonen sier at e iθ cos θ + i sin θ som vi i dette kurset kan ta som en definisjon) og står nevnt i forbifarten under Remark etter De Moivres teorem i App I Fordelen er at den er mer kortfattet og at multiplikasjon av komplekse tall skrevet på polarform får formen e iθ e iϕ cos θ + i sin θ) cos ϕ + i sin ϕ) cosθ + ϕ) + i sinθ + ϕ) e iθ+ϕ), som er lett å huske siden den følger egenskapene vi er vant til at eksponensialfunksjonen oppfyller

3 c) i) i + i) i i) i i 2 i + ii) 2i 2 + 4i 2i)2 4i) 6 2i 4i + 8i i)2 4i) 2 2 4i) 2 6 2i 4i 8 2 6i i d) Skal løse ) z i Skriver høyresiden på polarform og bruker notasjonen nevnt i fotnoten på forrige side): i [ 2 cos π ) + i sin π )] 2e π 4 i 4 4 Skriver vi også z på polarform z z cos θ + i sin θ) z e θi, slik at blir ligningen ) til: eller Dette gir at dvs z z cosθ) + i sinθ)) z e θi, z cosθ) + i sinθ)) 2 [ cos π 4 z e θi 2e π 4 i z 2 og θ π 4 ) + i sin π 4 + 2πk, k 0,, 2 z 6 2 og θ π 4 + k 2π, k 0,, 2 Dermed blir de tre løsningene på formen se s A-9) z k 6 [ 2 cos π 4 + k 2π ) + i sin π 4 + k 2π )] 2) for k 0,, 2 Vi har z 0 6 2e i π 4 ) e i π 4 +k 2π ) 6 2e i π 4 ) e ik 2π ), [ cos π ) + i sin π )] i ) 4 4 i) 2 2 )]

4 4 Dermed får vi, ved å bruke siste linje i 2) at z z 0 e i [ ) 2π ) 2π z0 cos + i sin ) i) 2 og i 2 2 i) + ) i ) + i + ) z 2 z 0 e i [ ) 4π ) 4π z0 cos + i sin [ π ) π )] z 0 cos i sin ) i) i 2 2 i) ) i ) + i + ) 2 2 ) ) )] 2π )] 4π Merknad: Det er enkelt å regne ut z 0, men noe mer komplisert å regne ut nøyaktige verdier for z og z 2 om man ikke gjør omskrivingen i siste linje i 2), men setter inn for k og 2 i midterste linje i 2) Det er litt trekk for å skrive løsningene kun i polarform som z 0 6 2e i π 4 ), z 6 5π i 2e 2 ), z2 6 π i 2e 2 ) uten å forenkle, selv om svaret er helt korrekt Man bør ihvertfall klare å regne ut z 0 e) Setter vi inn z, ser vi at P ) 0 Ved faktorteoremet Teorem i P6) må derfor z + z ) være faktor i polynomet z 4 + z + z + og vi finner ut feks ved polynomdivisjon) at z 4 + z + z + z + )z + ) Vi ser at z igjen er rot i z +, slik at z + z + )z 2 z + )

5 5 Røttene til z 2 z + er ved løsningsformelen for annengradsligninger gitt som z ) ± ) 2 4 ± ± i Disse, sammen med z, er de tre røttene til z +, dvs de tre tredjerøttene til ) Røttene til z 4 + z + z + er dermed: z med multiplisitet 2), z + i, z i 2 2 Faktoriseringen over C er P z) z 4 + z + z + z + ) 2 z + i )z i ) 2 2 mens faktoriseringen over R er P z) z 4 + z + z + z + ) 2 z 2 z + ) f) Vi har z + z z + z z z z + z z z 2 z + z 2 z 2 Skriver vi z + iy med, y R og y 0, siden z ikke er reell, har vi ) z + z z 2 + iy) + iy) z 2 z 2 + ) + iy z 2 ) z 2 Dette er et reellt tall hvis og bare hvis den imaginære delen y z 2 ) z 2 0, som skjer hvis og bare hvis z 2 0, siden y 0 Altså er z + reell hvis og bare z hvis z, som nettopp betyr at z ligger på enhetssirkelen Videre gir ) med z at z + z 2, og siden z, må og dermed 2 z + z 2, som vi skulle vise Merknad: Siden vi har fått oppgitt at z ikke er reell, må vi faktisk ha < <, og dermed har vi den sterkere konklusjonen at 2 < z + < 2 Plusspoeng til de z som merket seg dette

6 6 Oppgave 2 Vi regner ut S, S 2 2 2, S, S 4 4 4, slik at det er rimelig å tro at 5 4) S n nn + ) n n + for alle heltall n Vi viser nå denne formelen ved induksjon Vi har allerede regnet ut at formelen 4) stemmer for n Anta nå at formelen holder for n k, der k er et heltall slik at k Altså antar vi at 5) kk + ) k k + Da vil venstresiden i 4) for n k + kunne skrives som: 2 + [ k + )k + 2) ) k k + + k + )k + 2) kk + 2) + k + )k + 2) k 2 + 2k + k + )k + 2) k + ) 2 k + )k + 2) kk + ) ] + k + )k + 2) k + k + 2 og dette gir oss nettopp formelen 4) med n k + Vi har derfor vist at dersom 4) holder for et heltall n k, da holder 4) også for n k + Vi har dermed vist at 4) holder for alle heltall n ved induksjon Merk hvor vi brukte induksjonshypotesen 5)) Merknad: Det er viktig at det kommer klart frem at og hvor) man bruker induksjonshypotesen 5) b) Vi vil vise utsagnet 6) nn + )n + 2) er delelig på 6 for alle heltall n, ved matematisk induksjon For n sier 6) at 2 er delelig på 6, som er opplagt sant Anta nå at 6) er sant for n k, der k er et heltall slik at k, dvs at 7) kk + )k + 2) er delelig på 6

7 7 Vi vil nå vise at da må 6) også være sant for n k + Da regner vi ut k + ) k + ) + ) k + ) + 2) k + ) k + 2) k + ) k + ) k + 2) k + k + ) k + 2) k k + ) k + 2) + k + ) k + 2) Her er venstre ledd k k + ) k + 2) delelig på 6 ved induksjonshypotesen 7) Høyre ledd k + ) k + 2) inneholder faktoren k + )k + 2), som er delelig på 2, siden ett av k + og k + 2 må være partall; derfor er k + ) k + 2) delelig på 6 Altså er 6) er sant for n k + Vi har dermed vist at 6) er sant for n, og er sant for n k + dersom det er sant for n k, for et vilkårlig heltall k Ved induksjon er 6) sant for alle heltall n c) Trinnet i beviset der vi viser at påstanden for n k medfører påstanden for n k + formelt sagt: P k) P k + )) fungerer ikke dersom k 2: dersom vi har tre linjer, l, l 2, l og de to første, l og l 2, går gjennom p og de to siste, l 2 og l, går gjennom q, så finnes kun én linje som går gjennom p og q, nemlig l 2, og vi kan ikke konkludere at p q Moralen: Når vi beviser noe ved induksjon, må beviset for at P k) P k + ) gjelde for enhver k n 0, der n 0 er det tallet der vi starter induksjonen, også for k n 0 a) Oppgave lim lim 2) + 7) 2 2) 4) lim b) lim ) + 7) lim 4 2) 4) 2) + 7) lim 4 2) 4, siden 2)+7) 2) går mot og 4 går mot 0 fra negativ side

8 8 c) lim 62 lim ) lim 2 6 ) 2 lim lim , hvor vi brukte at > 0 i overgangen ), slik at d) lim 62 lim ) lim 2 6 ) 2 lim 6 lim 2 6, 6 hvor vi brukte at < 0 i overgangen ), slik at 8) e) Vi har og dermed Dette medfører at ) cos for alle 0 ) n cos n for alle 0 n n cos ) n for alle 0 n Siden lim 0 0, gir Skviseteoremet Teorem 4 i 2) at: ) lim 0 n cos Merknad: Det er feil bruk av grensesetningeneå si at 0 noe 0, som gir null uttelling Ellers er det lett å glemme absoluttverditegn Poenget er at om man starter med ulikheten ) cos

9 9 og ganger denne med n, må man snu ulikhetene om < 0 og n er odde, for da er n negativ Man må da betrakte tilfellene < 0 og > 0 hver for seg, dvs vise de to ensidige grensene lim 0 og lim 0 + Derfor er det enklere og kortere) å starte med absoluttverditegn som i 8) a) Gitt ɛ > 0 Sett δ : ɛ 5 Hvis 0 < 2 < δ ɛ, da har vi: 5 Oppgave 4 5 ) < 5 ɛ 5 ɛ, og vi har dermed vist at lim 2 5 ) 7 b) Gitt ɛ > 0 Vi vil finne δ > 0 slik at 2 + 2) 4 < ɛ når ) < δ Vi omskriver: 2 + 2) ) 2) + 2 Hvis feks + <, da er < + <, som gir ved å subtrahere 5) at 6 < 2 < 4, som gir 2 < 6 Hvis også + < ɛ/6, da er + 2 < ɛ 6 ɛ Altså lar vi δ : min{, ɛ } 6 6 c) Gitt ɛ > 0 Vi vil finne δ > 0 slik at ) < ɛ når ) < δ ALTERNATIV I: Vi omskriver ) , hvor vi har brukt faktoriseringen fra Oppgave e) Faktoren + har vi full kontroll på ved å velge δ liten nok For å begrense antar vi først at 2 + 9) + < 2

10 0 Dette er det samme som at < + <, som igjen medfører at < <, som gir at 0) 2 < < 2 Høyre ulikhet i 0) gir, sammen med trekantulikheten, at ) < Venstre ulikhet i 0) gir 2) < 2 Ulikhetene ) og 2) gir at ) ) < Vi ser dermed at 9) medfører at < som er < ɛ hvis + < ɛ 8 Vi lar dermed { } ɛ δ : min 2, ALTERNATIV II: Vi omskriver ) ) + ) Så kan vi resonnere som i forrige alternativ: Vi antar 9), dvs + <, og utleder derfra 2), dvs < 2 Dette gir ved trekantulikheten at < Dermed er 5) + + < + 9

11 og dette siste er < ɛ hvis + < ɛ Til sammen gir altså 4) og 5) at ) < ɛ når + < min {, ɛ 2 9} Vi lar dermed { δ : min 2, ɛ } 9 ALTERNATIV III: Vi omskriver siste linje av 4) som 6) ) + + Så kan vi resonnere som i de forrige alternativene: Vi antar 9), dvs + <, og utleder derfra 2), dvs < 2, og høyre ulikhet i 0), dvs < Dette gir oss 2 at < 8 og ved trekantulikheten) at Dette gir at 7) + + < + + ) < , og dette siste er < ɛ hvis + < ɛ Til sammen gir altså 6) og 7) at ) < ɛ når + < min {, ɛ 2 5} Vi lar dermed { } δ : min 2, ɛ 5 Merknad til a)-c): Selvfølgelig finnes det andre muligheter for valg av ɛ i begge tilfellene ovenfor, så det finnes ikke et entydig rett svar Oppgave 5 a) Skjæringspunkter forekommer for der f) g), dvs vi skal vise at ligningen har en løsning i hvert av intervallene 2, ), 0, ) og, 2) Ligningen er ekvivalent med + 0,

12 2 altså er -verdiene til skjæringspunktene lik nullpunktene til funksjonen h) + Merk at h er kontinuerlig overalt et polynom) Vi har h 2) h ) h0) h) h2) Ved skjæringssetningen Intermediate-Value Theorem, Teorem 9 i 4) må funksjonen h ha et nullpunkt i hvert av intervallene 2, ), 0, ) og, 2) I utgangspunktet sier skjæringssetningen at h har nullpunkt i de lukkede intervallene [ 2, ], [0, ] og [, 2], men vi regnet nettopp ut alle funksjonsverdier i endepunktene og fant at h 0 der, så nullpunktene må ligge i de åpne intervallene) Følgelig har de to grafene skjæringspunkter i hvert av disse tre intervallene Merknad: Her får man MB dersom man enten glemmer å påpeke at h er kontinuerlig eller glemmer å nevne skjæringssetningen b) Spørsmålet om grafene til f og g kan skjære hverandre i flere enn de tre punktene ovenfor er ekvivalent med spørsmålet om funksjonen h kan ha flere enn de tre nullpunktene ovenfor ALTERNATIV I: 2 Hvis vi kaller de tre nullpunktene ovenfor for r, r 2, r, da sier faktorteoremet Teorem i P6) at r ) r 2 ) r ) er en faktor i polynomet h Likeledes, hvis h hadde hatt et fjerde nullpunkt r 4, ville faktorteoremet gitt at r ) r 2 ) r ) r 4 ) er en faktor i polynomet h Dette er umulig, siden h har grad Så svaret er NEI PS: Siden h har grad, og koeffisienten foran høyeste potens av er, har vi at h) r ) r 2 ) r ) ALTERNATIV II, ved Rolles Teorem i i utg 6): Vi har h ) 2 2 ), slik at h er derivérbar overalt og h har kun to nullpunkter, nemlig ± Rolles teorem eventuelt sekantsetningen/ Mean Value Theorem ) gir at mellom to vilkårlige nullpunkter til h, si a og b, så finnes en c slik at h c) ha) hb) 0, altså finnes et nullpunkt til h Dersom h hadde hatt fire nullpunkter eller mer, ville altså h hatt tre nullpunkter eller mer, hvilket ikke er tilfelle Så svaret er NEI ALTERNATIV III, ved funksjonsdrøfting i i utg 6): Vi har h ) 2 2 ), slik at h ) > 0 på, ) og på, ), og h ) < 0 på, ) Derfor er h strengt monoton, dvs strengt voksende eller strengt avtagende, på hvert av de tre intervallene, ], [, ] og [, ) ved Teorem 2 Dette er det alternativet jeg tenkte dere skulle bruke, siden de to andre nedenunder bruker pensum gjennomgått uke 8 I lærebokens språk er strengt voksendeincreasing og strengt avtagendedecreasing i Def 6 i i utg 6)

13 2 i i utg 6)), og kan derfor anta samme verdi kun én gang innenfor hvert av disse tre intervallene dvs hvis a b, så er ha) hb) innenfor hvert av disse tre intervallene) Altså kan h ha høyst ett nullpunkt innenfor hvert av disse tre intervallene, til sammen høyst tre nullpunkt Så svaret er NEI c) At grafene har felles tangentlinjer i et skjærings)punkt betyr at grafenes tangentlinjer må ha samme stigning i punktet, dvs at f ) g ), eller ekvivalent h ) 0 Men h ) 2 2 ) har nøyaktig to nullpunkt, nemlig ±, som ikke er noen av skjæringspunktene til grafene Så svaret er NEI Oppgave 6 a) Per definisjon av kontinuitet har vi at Vi har f0) per definisjon og f er kontinuerlig i 0 lim 0 f) f0) lim f) lim cos )) , ved grensesetningene og grensen vi beregnet i Oppgave e) Derfor konkluderer vi med at f er kontinuerlig i 0 b) Per definisjon av derivérbarhet har vi at f0 + h) f0) f er derivérbar i 0 lim h 0 h fh) f0) h + 2 h + h2 cos h) h eksisterer og den deriverte f 0) er lik denne grensen, om den eksisterer) Her er h 0, slik at ) Dermed er fh) f0) lim h 0 h 2 + h cos h )) lim h h cos h , ved grensesetningene og grensen vi beregnet i Oppgave e) Derfor konkluderer vi med at f er derivérbar i 0, med f 0) 2 Merknad: Det er en typisk feil å derivére funksjonen utenfor 0 og så si at den deriverte av er null Dette er bare tull og gir null uttelling

14 4 For funksjoner der uttrykket endres i et punkt, må man bruke definisjon av derivert og ikke derivasjonsregler, som forutsetter at funksjonen har samme uttrykk i en omegn om punktet At f er kontinuerlig i 0 betyr at Oppgave 7 lim f) f 0 ) 0 Kombinert med den formelle definisjonen av grenseverdi ɛ-δ-definisjonen ) betyr dette at til enhver ɛ > 0, finnes en δ δɛ) slik at f) f 0 ) < ɛ når 0 < 0 < δɛ) Ulikheten til venstre er trivielt oppfylt også når 0, slik at vi får at f) f 0 ) < ɛ når 0 < δɛ) Dette holder for enhver ɛ, med varierende δɛ) For ɛ f 0 ) > 0, betyr dette at det finnes en δ δf 0 )) slik at 8) f) f 0 ) < f 0 ) når 9) 0 < δ Dette siste er ekvivalent med at 20) 0 δ, 0 + δ), som er en omegn om 0 Dessuten har vi at 8) er ekvivalent med: f 0 ) < f) f 0 ) < f 0 ) 0 < f) < 2f 0 ) Som oppsummering har vi funnet en δ-omegn 0 δ, 0 + δ) om 0 som er slik at f) > 0 når 0 δ, 0 + δ) Andreas Leopold Knutsen

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN

NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT2 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY. Innledning og definisjoner Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner

Detaljer

Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017

Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017 Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 4. oktober 2017 Problem og hovedidé Problem: Finn løsning(er) r på en ligning

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 I dette kapittelet har mange av oppgavene et mindre teoretisk preg enn i de foregående kapitlene, og jeg regner derfor med at lærebokas eksempler og fasit

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen

Detaljer

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00 Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte

Detaljer

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2008

TMA4100 Matematikk1 Høst 2008 TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus

Detaljer

ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN

ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN NOTAT OM FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Dette notatet inneholder ikke noe nytt pensum i kurset MAT112 i forhold til læreboken

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag : OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 8/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar

Detaljer

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017 Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 11. Oktober 2017 Strengt voksende funksjon (Def. 6 i Ÿ2.8) f er strengt voksende på intervallet I dersom x 1 < x 2 i I = f (x 1 ) < f (x 2

Detaljer

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34. Oppgaver til seminaret 25/08

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34. Oppgaver til seminaret 25/08 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34 Settet inneholder oppgaver fra stoffet omhandlet på forelesning uke 34, og består av seminaroppgaver, gruppeoppgaver og og obligatoriske oppgaver. Avsnittene og appendiksene

Detaljer

Løysingsforslag Eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 2016

Løysingsforslag Eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 2016 Løysingsforslag Eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 26 OPPGÅVE Det komplekse talet z = 3 i tilsvarar punktet eller vektoren Rez, Imz) = 3, ) i det komplekse planet, som

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag : OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 9/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, H-06

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, H-06 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT, H-6. ( poeng) Det komplekse tallet z har polarkoordinater r = 4, θ = π 4. Da er z lik: + i + i + i i + i Riktig svar: c) + i Begrunnelse: z = r(cos θ + i sin

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Andreas Leopold Knutsen 11. oktober 2016 Den deriverte f Newton-kvotienten f (x+h) f (x) h er stigningen til sekantlinjen gjennom punktene (x, f (x)) og (x + h, f

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)

Detaljer

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5. Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med

Detaljer

Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03

Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 I kapittel 5 har mange av oppgavene et mer teoretisk preg enn du er vant til fra skolematematikken, og jeg har derfor lagt vekt på å lage løsningsforslag

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 14. oktober 2016 Tid for eksamen: 13.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03 Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(

Detaljer

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009 Løsningsforslag eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I høsten 9 OPPGAVE (a) Vi har w = + ( ) =. I et komplekse plan ligger w i 4. kvarant og vinkelen θ mellom tallet og en relle aksen har tan θ =, vs. at

Detaljer

OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG

OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I torsdag 5.desember 20 kl. 09:00-4:00 OPPGAVE a Modulus: w = 2 + 3 2 = 2. Argument

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39. Oppgaver til seminaret 29/9

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39. Oppgaver til seminaret 29/9 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39 Avsnitt 3.1: 9, 23, 34 Avsnitt 3.3: 48, 61 Avsnitt 3.4: 1, 2, 9 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 29/9 Oppgaver til gruppene uke 40 Løs disse først så disse Mer dybde

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 9. oktober 205 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark, formelsamling.

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 38 Oppgaver til seminaret 22/9 (Tall i blått angir utgave 6, tall i rødt angir utgave 7.) Avsn. 2.7: 15(11), 21(31)(27) Avsn. 2.8: 5, 17(2.8.13)(2.6.13) Avsn. 2.10: 12, 29, 39

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG. Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk form som a + bi og på polar form som re iθ (r 0 og 0 θ < 2π). a) 2 + 3i.

LØSNINGSFORSLAG. Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk form som a + bi og på polar form som re iθ (r 0 og 0 θ < 2π). a) 2 + 3i. Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag. februar 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: LØSNINGSFORSLAG Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon

Detaljer

Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,

Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, Grunnleggende notasjon ℕ,, 3, 4, 5, 6, ℤ, 3,,, 0,,, 3, ℝ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 ℚ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑎 𝑎, ℤ, 0 Induksjonsprinsippet Anta at for hver 𝑛 ℕ har vi gitt et utsagn 𝑃. Anta videre at vi vet at følgende

Detaljer

MA oppsummering så langt

MA oppsummering så langt MA1101 - oppsummering så langt Torsdag 29. september 2005 http://www.math.ntnu.no/emner/ma1101/2005h/ MA1101- oppsummering så langt p.1/21 Pensum til semesterprøven Kapittel P Kapittel 1 Kapittel 2: avsnittene

Detaljer

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Mandag 5. desember 2011. Tid for eksamen: 9:00 13:00. Oppgavesettet er på

Detaljer

INDUKSJONSPRINSIPPET MAT111 - H16

INDUKSJONSPRINSIPPET MAT111 - H16 INDUKSJONSPRINSIPPET MAT - H ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN. Matematisk induksjon I læreboken står kun en liten trudelutt om matematisk induksjon i margen på side 0 (side 09 i utg. 7, side 08 i utg. ). Det er

Detaljer

Løsningsforslag. a) i. b) (1 i) 2. e) 1 i 3 + i LF: a) Tallet er allerede på kartesisk form. På polar form er tallet gitt ved

Løsningsforslag. a) i. b) (1 i) 2. e) 1 i 3 + i LF: a) Tallet er allerede på kartesisk form. På polar form er tallet gitt ved Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Mandag 3. august 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag Uttrykk følgende komplekse tall både

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +

Detaljer

Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse 1 Bokmål Fredag 10. oktober 2008 Kl

Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse 1 Bokmål Fredag 10. oktober 2008 Kl Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Faglig kontakt: Heidi Dahl Telefon: 735 98141 Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse

Detaljer

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38 Oppgaver til seminaret 23/9 (Tall i blått angir utgave 6, tall i rødt angir utgave 7.) Avsn. 2.7: 15(11), 21(31)(27) Avsn. 2.8: 5, 17(2.8.13)(2.6.13) Avsn. 2.10: 12, 29, 39

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: Torsdag 10 januar 2008 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 6

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Løsningsforslag, eksamen MA0/MA60 07.2.09 Oppgave La f() = e 4 2 2 8. a) Finn alle ekstremalpunktene til funksjonen

Detaljer

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1 Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 8 Oppgaver fra boken: 10.1 : 13, 14, 18 10.2 : 15, 18, 32 10.3

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 15. oktober 004 Tid for eksamen: 11:00 13:00 Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

Slides til 4.1 og 4.2: Eksempler på feil i induksjonsbevis. Andreas Leopold Knutsen

Slides til 4.1 og 4.2: Eksempler på feil i induksjonsbevis. Andreas Leopold Knutsen Slides til 4.1 og 4.2: Eksempler på feil i induksjonsbevis Andreas Leopold Knutsen February 9, 2010 Eks. 1: Finn feilen Fibonaccitallene F 1, F 2, F 3,... er denert rekursivt ved: F 0 = 0, F 1 = 1, og

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43. Oppgaver til seminaret 28/10

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43. Oppgaver til seminaret 28/10 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43 Avsn. 5.1: 41 Avsn. 5.3: 3, 7 Avsn. 5.4: 13, 31, 37 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 28/10 Oppgaver til gruppene uke 44 Merknad: Oppgavene under skal kunne løses uten

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Komplekse tall: definisjon og regneregler

Komplekse tall: definisjon og regneregler Komplekse tall: definisjon og regneregler Eugenia Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 22. august 2011 Komplekse tall fra Wikipedia Et komplekst tall er tall på formen x + iy, der x og y er

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34 Avsnittene (og appendiksene) viser til utgave 8 av læreboken, som er like i utgavene 7 og 6 når ikke annet er oppgitt. Gruppene starter opp i uke 35. Hver student er satt

Detaljer

4_Komplekse_tall.odt tg. Kap.4 Komplekse tall

4_Komplekse_tall.odt tg. Kap.4 Komplekse tall 4_Komplekse_tall.odt 04.09.015 tg Kap.4 Komplekse tall e i π +1=0 Innledning... Egenskaper...4 Geometrisk form...5 Regneregler...6 Lengde og argument...8 Polar form...9 Eksponentform - Eulers formel...1

Detaljer

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430 MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i fag MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I Høst 2008

Løsningsforslag til eksamen i fag MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I Høst 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 9 Løsningsforslag til eksamen i fag MA111/MA611 Grunnkurs i analyse I Høst 2 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

n-te røtter av komplekse tall

n-te røtter av komplekse tall . 29. august 2011 Eksponentialform Forrige gang så vi at e iθ = cos θ + i sin θ Dette kan vi bruke til å gjøre polarfremstillingen av komplekse tall mer kompakt: z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) = re iθ

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1 Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:

Detaljer

Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier

Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier 1 Fremdriftplan Siste uke Kap. 1 Funksjoner 2.1-2.2 Grenseverdier I dag 2.3 Den formelle definisjonen av grenseverdi 2.4 Ensidige grenser og grenser i uendelig 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2017

Matematikk for IT, høsten 2017 Matematikk for IT, høsten 017 Oblig 5 Løsningsforslag 0. september 017 Oppgave 1 (eksamen desember 013) Gitt følgende logiske utsagn: ( p ( p q)) Benytt lovene i logikk til å finne hvilket av følgende

Detaljer

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 24 Løsningsforslag Øving 9 4.3.4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet (Maclaurinpolynomet)

Detaljer

SALG > KOSTNAD når mer enn 100 produkt selges. Virksomheten går da med overskudd.

SALG > KOSTNAD når mer enn 100 produkt selges. Virksomheten går da med overskudd. SALG > KOSTNAD y = 20x Salg y = 0 000 Kostnad 20x > 0 000 SALG > KOSTNAD mer enn 00 produkt selges. Virksomheten går da med overskudd. Slik kan ulikheter løses grafisk En ulikhet består av en venstre side,

Detaljer

Notat om trigonometriske funksjoner

Notat om trigonometriske funksjoner Notat om trigonometriske funksjoner Dette notatet ble først skrevet for MA000 våren 005 av Ole Jacob Broch. Dette er en noe omarbeidet versjon skrevet høsten 0. Radianer Anta at en vinkel A er gitt, f.eks

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).

Detaljer

Sekventkalkyle for utsagnslogikk

Sekventkalkyle for utsagnslogikk Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44. Oppgaver til seminaret 4/11

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44. Oppgaver til seminaret 4/11 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 Avsn. 5.5: 19, 41, 47 Avsn. 5.6: 9, 17, 47 Avsn. 5.7: 15 På settet: S.1, S.2. Oppgaver til seminaret 4/11 Oppgaver til gruppene uke 45 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn.

Detaljer

MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon

MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon Magnus Bakke Botnan 21. august 2012 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 1 / 14 Introduksjon Praktisk Praktisk Faglærer Magnus B. Landstad: magnus.landstad@math.ntnu.no

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 7 sider.

Detaljer

Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014

Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014 Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT, høsten 4 DEL Oppgave. 3 poeng Hvis f, y = ye y, er f y lik: A y 3 e y B y e y C e y ye y D e y y e y E e y ye y Riktig svar: D e y y e y Oppgave.

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41/TMA415 Matematikk 4M/4N Vår 1 Løsningsforslag Øving 1 Skriv om følgende trigonometriske funksjoner til fourierrekker ved

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: Løsningsforslag

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: Løsningsforslag Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: 10 + 1 Løsningsforslag 1 Hvilken av de to funksjonene vist i guren er den deriverte

Detaljer

Logaritmer og eksponentialfunksjoner

Logaritmer og eksponentialfunksjoner Logaritmer og eksponentialfunksjoner Harald Hanche-Olsen og Marius Irgens 20-02-02 Dette notatet ble først laget for MA02 våren 2008. Denne versjonen er omskrevet for MA02 våren 20. Du vil oppdage at mange

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier

Detaljer

1 Mandag 1. februar 2010

1 Mandag 1. februar 2010 Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette

Detaljer

Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03

Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De 15 første oppgavene

Detaljer

K A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo

K A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo K A L K U L U S Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok ved Klara Hveberg Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forord Dette er en samling løsningsforslag som jeg opprinnelig

Detaljer

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x

Detaljer

EKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT1100 KALKULUS

EKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT1100 KALKULUS EKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT00 KALKULUS Simon Foldvik. Oktober 207 Dette dokumentet inneholder eksempler på hvor «ting går galt» og har til hensikt å vise eksempler på hva man ikke kan konkludere. Alle

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. januar 2005. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer