Komplekse tall: definisjon og regneregler

Transkript

1 Komplekse tall: definisjon og regneregler Eugenia Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 22. august 2011

2 Komplekse tall fra Wikipedia Et komplekst tall er tall på formen x + iy, der x og y er reelle tall og i er den imaginære enheten, med egenskapen i 2 = 1. Mengden av komplekse tall skrives vanligvis C. Denne mengden inneholder de reelle tallene R som en delmengde, og innføringen av komplekse tall gir en naturlig utviding av begrepet reelle tall. Mange assosierer komplekse tall med løsningen av andregradsligninger, som for eksempel ligningen x 2 = 1. Anvendelsesområdet er imidlertid langt videre enn dette, og komplekse tall spiller en viktig rolle i mange deler av matematisk analyse og i anvendt matematikk. Matematikk bruker en mer formell innføring av komplekse tall, basert på definisjon av operasjonene addisjon og multiplikasjon for komplekse tall.

3 Matematisk definisjon av komplekse tall Formelt er et komplekst tall z innført som et ordnet par av reelle tall (x, y), definert med to operasjoner addisjon og multiplikasjon: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + y 1 x 2 ) Et komplekst tall z = (x, y) har en realdel x = Re(z) og en imaginærdel y = Im(z). (x, y) = (x, 0) + (y, 0)(0, 1) = x + iy Dersom x = 0, sies tallet z å være rent imaginært.

4 Komplekse planet Ethvert komplekst tall (x, y) = x + iy kan representeres ved et punkt i et koordinatsystem. Den horisontale og den vertikale aksen kalles henholdsvis den reelle aksen og den imaginære aksen. Punkt på den reelle aksen tilsvarer reelle tall, punkt på den imaginære aksen tilsvarer rent imaginære tall. Komplekse tall bli inført i 16. århundre av italienske matematikerne (for å finne reelle løsninger av 3.grads ligninger). Den geometriske tolkningen av et komplekst tall ble introdusert av den norske matematikeren Caspar Wessel i Om directionens analytiske betegning, 1799.

5 Komplekse tall på normalform Normalform: z = x + iy, i 2 = 1, x = Rez, y = Imz. Operasjoner: z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2, z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ), z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ),

6 Komplekse tall på normalform Normalform: z = x + iy, i 2 = 1, x = Rez, y = Imz. Operasjoner: z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2, z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ), z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ), z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 iy 2 ) (x 2 + iy 2 )(x 2 iy 2 ).

7 Konjugerte tall, absoluttverdi Komplekskonjugerte tall z = x + iy, z = x iy, z z = x 2 + y 2 = z 2. z er absoluttverdi til et komplekst tall z. Re z = 1 (z + z), 2 Im z = 1 (z z). 2i Trekantulikheten z 1 + z 2 z 1 + z 2

8 Komplekse tall på polarform Ethvert komplekst tall z = x + iy kan representeres ved et punkt i et polarkoordinatsystem Vi har r = z og avhengig av z s kvadrant. x = r cos θ, y = r sin θ, z = r(cos θ + i sin θ) = re iθ. θ = arg z = arctan(y/x) + kπ

9 Operasjoner på polarform Komplekskonjugerte på polarform z = re iθ, z = re iθ. Multiplikasjon og divisjon på polarform De Moivres formel z 1 = r 1 e iθ 1, z 2 = r 2 e iθ 2 z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ), z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 θ 2 ). z 1 z 2 = z 1 z 2, arg z 1 z 2 = arg z 1 + arg z 2. z n = (r(cos θ + i sin θ)) n = r n (cos nθ + i sin nθ)

10 Eksamensoppgave 1 aug 2010 Finn alle løsninger av likningen z 2 + i z 1/4 = 0.

11 Eksamensoppgave 2 juni 2009 Bestem alle komplekse tall z = x + iy i det komplekse plan som tilfredstiller likheten Angi alle slike z på en figur. z + 1 i 3 = z 1 + i 3.

12 Eksamensoppgave 3, utfordring mai 2007 Vis på en figur alle komplekse tall z slik at z = z + 1. Finn løsningene til ligningen z 4 = (z + 1) 4.

13 Oppsummering Vi har lært: - definisjon og regneregler for komplekse tall; - normal- og polarformen av komplekse tall; - komplekskonjugerte. Lærebok: sider ix-xvi

14 Oppsummering Vi har lært: - definisjon og regneregler for komplekse tall; - normal- og polarformen av komplekse tall; - komplekskonjugerte. Lærebok: sider ix-xvi Neste gang: - Røtter av komplekse tall; - Andregradsligning; - Algebraens fundamentalteorem; - Kompleks eksonentialfunksjon. Lærebok: sider xvi-xxvi