OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34. Oppgaver til seminaret 25/08

Transkript

1 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34 Settet inneholder oppgaver fra stoffet omhandlet på forelesning uke 34, og består av seminaroppgaver, gruppeoppgaver og og obligatoriske oppgaver. Avsnittene og appendiksene viser til utg. 8 av læreboken, som er like i utg. 6-7 når ikke annet er oppgitt. Oppgaver merket S og G finnes på de neste sidene. Appendiks I: 46, 53. Avsnitt P.6: 7, 8. På settet: S.1, S.2, S.3. Oppgaver til seminaret 25/08 Disse oppgavene gjennomgås på tavle i seminaret, som finnes i to varianter, begge fredag : Rask variant, Aud. B, Allégaten 66, der oppgavene gjennomgås på 1 time (og andre time brukes på gjennomgang av oppgavene under Mer dybde fra oppgavesettet uken før); Sakte variant, Aud. A, Allégaten 66, der oppgavene gjennomgås på 2 timer. Fredag 25/08 vil det raske seminaret imidlertid kun gå 12:15-13:00. Oppgaver til gruppene uke 35 Løs disse først så disse Mer dybde Appendiks I 10, 23, 30, 41, 47, Avsnitt P.6 10, 11 23(17), 24(18), 25(19) På settet G.1, G.2 G.3, G.4, G.5, G.6 G.7, G.8, G.9, G.10 (Røde tall i parentes viser til utgavene 6 og 7 av læreboken.) Hjelp til disse oppgavene fås på gruppene uken etter de er gitt. Hver student er satt opp på en gruppe (se timeplanen). Hvis tiden ikke passer eller du ikke har fått tildelt gruppe, gå til Infosenter for realfagsstudenter og meld deg på (ny) gruppe. Husk også orakeltjenesten som går hver fredag etter seminarene, der dere kan få hjelp til oppgaver og teori. Oppgavene under Løs disse først er valgt ut slik at de behandler de forskjellige delene av pensum. Flere oppgaver av samme type finner dere i nærheten av de oppgitte oppgavene fra læreboken. Oppgavene under så disse er stort sett gamle (og gode) eksamensoppgaver fra UiB, UiO eller NTNU, som gjerne omhandler flere sider av pensum på en gang i forhold til læreboken. Skulle dere ikke få tid til alle disse oppgavene i første omgang, kan dere komme tilbake til disse senere, f.eks. ved repetisjon til eksamen. Oppgavene under Mer dybde er ment å gi en noe dypere forståelse for stoffet som er gjennomgått og bør angripes etter de andre oppgavene. De vil behandles i 2. time av det raske seminaret 1/9. For mer om Matematisk induksjon, inkl. eksempler, se Obligatoriske oppgaver Oppgavene 1 og 2 i Obligatorisk innlevering 1(innleveringsfrist mandag 18/09). 1

2 2 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34 OPPGAVE S.1 (Eksamen UiB-H02-Oppg. 1) La z 1 = i 2, z2 = i (a) Beregn z 1 + z 2 og z 1 /z 2 og skriv løsningene på formen x + iy. Tegn z 1, z 2, z 1 + z 2 og z 1 /z 2 i det komplekse planet. (b) Skriv z 1 på polar form. Regn ut z1. 4 (c) Finn alle komplekse løsninger til ligningen z = 0. OPPGAVE S.2 (Eksamen UiO) La z 1 være et komplekst tall med z = 1. Vis at z 1 er rent imaginær. z+1 Bonusspørsmål: Hvilken kjent plangeometrisk setning er en konsekvens av dette? OPPGAVE S.3 Vis ved hjelp av induksjon at n 3 n er delelig på 3 for alle naturlige tall n. OPPGAVE G.1 (Eksamen UiB-V09-Oppg. 8) (PS: For de som ikke er kjent med summenotasjonen Σ fra VGS, se på 5.1 i læreboken. Det er imidlertid ikke nødvendig for å løse oppgaven.) OPPGAVE G.2 (Bernoullis ulikhet) Vis ved hjelp av induksjon at for alle heltall n 0 gjelder (1 + x) n 1 + nx for x 1.

3 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34 3 OPPGAVE G.3 (Eksamen UiB-H04-Oppg. 1) (a) Betrakt de to komplekse tallene z = 3 + i og w = 2 i 2. Regn ut z + w og z/w. Skriv z, w og z/w på polar form. Avmerk z, w, z + w og z/w i det komplekse plan. (b) Finn alle løsningene til z 3 = 8i. OPPGAVE G.4 (Eksamen UiB-H00-Oppg. 4) på formen a + bi. (a) Skriv det komplekse tallet 2+5i 2+ 5i (b) Finn et argument og absoluttverdien (modulus) til det komplekse tallet z = 3 3i. Hva blir z 6? (c) Finn alle komplekse løsninger til ligningen z z = 0. OPPGAVE G.5 (Eksamen UiB-V99-Oppg. 3b) Løs ligningen z 2 + z = 1/4 og og merk av løsningene i det komplekse planet. Vis ved induksjon at OPPGAVE G.6 (Eksamen UiO) ( 1) n+1 n 2 n+1 n(n + 1) = ( 1) for alle heltall n 1. 2 (Med summenotasjon kan venstresiden skrives som Σ n i=1( 1) i+1 i 2.) OPPGAVE G.7 Bruk Oppgave P.6.25(19) til å konkludere at et polynom med reelle koeffisienter av odde grad alltid har en reell rot.

4 4 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34 OPPGAVE G.8 (Eksamen UiO) (a) Finn alle komplekse løsninger av ligningen (1 + z) 5 = (1 z) 5, for eksempel uttrykt ved w = e 2πi/5 = cos (2π/5) + i sin (2π/5). (b) Finn alle komplekse løsninger av ligningen (1 + z) n = (1 z) n, der n er et gitt naturlig tall. (c) Vis at løsningene i (b) alle ligger på en rett linje i det komplekse planet. OPPGAVE G.9 (Eksamen UiO) Anta at w = 1+ti, der t er reell. 1 ti (a) Vis at når t varierer, så ligger w på en sirkel S i det komplekse plan. (b) Vis at argumentvinkelen θ til w er bestemt ved tan(θ/2) = t. OPPGAVE G.10 Tårnet i Hanoi eller Brahmas Tårn er et matematisk spill som sies å ha blitt oppfunnet av den franske matematikeren Édouard Lucas i Spillet består av tre pinner og en rekke runde skiver med et hull i midten. Skivene er av varierende bredde, og kan plasseres i en hvilken som helst av de tre pinnene. Spillet starter med alle diskene plassert over en pinne, ordnet etter størrelse, med den minste øverst, som vist i figuren nedenunder. Spillet går ut på å flytte alle skivene til en annen pinne, etter følgende regler: Bare én skive av gangen kan flyttes. Flyttingen foregår ved at den øverste skiven fra en av pinnene flyttes til en annen pinne og legges på toppen av andre skiver som allerede er der. Ingen skive kan plasseres over en mindre skive. Hensikten med spillet er å få flyttet alle skivene fra en pinne til en annen med så få flyttinger som mulig.

5 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34 5 I denne oppgaven skal vi regne ut minste antall flyttinger F (n) når vi starter med n 1 ringer. (a) Vis at vi har F (n) = 2F (n 1) + 1 for n 2. (Dette kalles en rekursjonsformel.) (b) Bruk formelen i (a) og matematisk induksjon til å vise at F (n) = 2 n 1. (c) Spillet tar utgangspunkt i følgende gamle legende, som finnes i flere varianter: Ved jordens begynnelse plasserte guden Brahma tre stolper i et tempel i Benares i India, verdens midtpunkt. På en av stolpene plasserte han 64 gullskiver, med den største nederst, og så ble skivene mindre og mindre oppover stolpen. Rundt år 3500 f.kr. fikk munkene i byen i oppgave av guden å flytte alle ringene fra en stolpe til en annen ved å følge reglene gitt over. Når oppgaven var fullført skulle verden gå under og bli til støv. Hvis vi antar at munkene klarer å flytte en skive i sekundet og aldri gjør noen feil, hvor lang tid vil det da ta før verden går under? Om dere ønsker, kan dere spille på denne vevsiden Fasit/hint på neste side

6 6 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34 Fasit og hint til oppgavene For fasit/løsningsforslag til gamle eksamensoppgaver fra UiB, se vevsiden Oppgave G.2: Se fullstendig løsningsforlag neste side. Oppgave G.7: Oppgave P.6.25(19) sier at alle ikke-relle røtter forekommer i par (z og dens kompleks konjugerte z). Faktorteoremet (Teorem 1 i P.6) gir at det må forekomme minst én reell rot. Oppgave G.8: (a) wk 1, k = 1, 2, 3, 4, 5. (b) wk w k n 1, k = 1, 2,..., n, w +1 wn+1 k n = e 2πi/n = cos (2π/n) + i sin (2π/n). Oppgave G.10. (a) Kall pinnen hvor de n skivene er for A og de to andre for B og C. Anta at vi vil flytte alle skivene fra A og C. For å flytte n skiver fra pinne A til pinne C, bruk følgende strategi: Flytt n 1 skiver fra A til B. Dette etterlater én skive alene på A, den største skiven. Flytt den største skiven fra A til C. Flytt de n 1 skivene som er på B over til C slik at de plasseres oppå den største skiven. Overbevis deg selv om at dette er strategien med minst antall flyttinger og bruk dette til å utlede formelen. (c) Det ville ta munkene minst = sekunder, som er ca. 580 milliarder år. Til sammenligning mener forskere at universet er mellom 12 og 16 milliarder år gammelt.

7 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34 7 Vi viser ulikheten Løsningsforslag Oppgave G.2 (1) (1 + x) n 1 + nx for x 1. for alle heltall n 0 ved induksjon og kontrollerer først at den er riktig for n = 0. Setter vi inn n = 0 i (1) får vi 1 = (1 + x) 0 (1 + 0 x) = 1 for x 1, som er (åpenbart) riktig. Anta så at ulikheten holder for et heltall k 0, dvs. vi antar at (2) (1 + x) k 1 + kx for x 1. Multipliserer vi begge sidene av (2) med x + 1 (som er ikkenegativ siden x 1, slik at vi ikke må snu ulikhetstegnet), får vi: og ved hjelp av dette får vi: (1 + x) k+1 (1 + kx)(1 + x) (1 + x) k+1 (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx (k + 1)x, som viser at (1) er riktig for n = k + 1. Ved induksjon følger Bernoullis ulikhet for alle heltall n 0. LYKKE TIL! Andreas Leopold Knutsen