Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3
|
|
- Alfhild Abrahamsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 I dette kapittelet har mange av oppgavene et mindre teoretisk preg enn i de foregående kapitlene, og jeg regner derfor med at lærebokas eksempler og fasit er dekkende for de rent regnemessige oppgavene. Jeg har derfor prioritert å lage løsningsforslag til oppgaver som tester din geometriske forståelse av de komplekse tallene oppgave 3..7 og og gir øvelse i matematisk argumentasjon oppgave , 3..1 og Du vil likevel også finne enkle eksempler på hvordan du oversetter frem og tilbake mellom kartesisk form og polarform oppgave 3..3, 3..5, og 3.3.3, hvordan du finner tredjerøtter oppgave 3.4.1, og hvordan du kan løse komplekse annengradsligninger oppgave Oppgave viser en typisk anvendelse av De Moivres formel, mens oppgave gir deg god trening i å løse en kompleks annengradsligning og uttrykke løsningen både på kartesisk og polar form. Dersom du finner noen feil eller trykkfeil i løsningsforslagene, er det fint om du gir meg beskjed på epostadressen klara@math.uio.no. Oppgave Vi skal løse de oppgitte ligningene. a iz = 3 + 4i z = 3 + 4i = i = 6i 8i i i i i = 3 i b 1 + iz + 3 = 1 i 1 + iz = i z = i 1 + i = = i + i + i i1 i 1 + i1 i = 3 + i Oppgave Anta at z + w og zw er reelle. Vi skal vise at da er enten begge tallene z og w reelle eller så er de konjugerte av hverandre. 1
2 La z = a + ib og w = c + id. Da har vi z + w = a + c + ib + d zw = ac bd + iad + bc At z + w og zw er reelle betyr at deres imaginærdeler er lik null, det vil si at b + d = 0 ad + bc = 0 Den første ligningen gir b = d. Setter vi dette inn i den andre ligningen, får vi da c = 0, som er oppfylt når d = 0 og når a = c. Hvis d = 0 har vi b = d = 0, det vil si at z og w er reelle. Hvis a = c har vi z = a + ib og w = c + id = a ib, det vil si at z og w er konjugerte. Oppgave 3..3 b Vi skal finne modulusen og argumentet til z = i. Modulusen er r = i = = 1 Argumentet er bestemt ved at og Dette betyr at cos θ = Rez r sin θ = Imz r θ = 3π = 0 = 1 1 = 1 e Vi skal finne modulusen og argumentet til z = 1 + i 3. Modulusen er Argumentet er bestemt ved at og Dette betyr at r = Rez + Imz = = cos θ = Rez r sin θ = Imz r θ = π 3 = =
3 Oppgave 3..5 Vi skal skrive de komplekse tallene på formen z = a + ib. a r = 4 og θ = π. z = rcos θ + i sin θ = 4cos π + i sin π = 40 + i = 4i b r = 1 og θ = π 4. z = 1 cos π 4 + i sin π = i 4 c r = og θ = π 6. z = cos π 6 + i sin π = i 6 = 3 + i d r = 1 og θ = 3π. z = 1 cos 3π + i sin 3π = 1 0 i = 1 i Oppgave 3..7a Gitt tallene z = cos π 1 + i sin π og w = 3 cos 5π 5π + i sin Ifølge teorem 3..3 har produktet zw modulus r = 3 = 6 og argument θ = π 1 + 5π 1 = 6π 1 = π. Altså blir zw = 6 cos π + i sin π = 6i Oppgave Vi skal skissere de oppgitte områdene i det komplekse planet. a {z : z = 1} Dette er alle punkter z som har avstand lik 1 fra origo, det vil si alle punkter på enhetssirkelen. b {z : z 1 < } Dette er alle punkter z som har avstand mindre enn fra punktet 1, 0, det vil alle punkter i det indre av en sirkel med radius om punktet 1, 0. c {z : z i } 14
4 Dette er alle punkter z som har en avstand på minst 1 fra punktet i + 1 = 1, 1, det vil si alle punkter på og utenfor en sirkel med radius 1 om punktet 1, 1. d {z : z < z i + } = {z : z < z i } Dette er alle punkter z som har kortere avstand til punktet, 0 enn til punktet i =, 1, det vil si alle punkter som ligger ekte under linjen y = 4x + 1. Dette kan vi enten se geometrisk tegn figur, eller ved følgende utregning. La z = x + iy. Kvadrerer vi den gitte ulikheten, får vi z < z i + x + y < x + + y 1 x 4x y < x + 4x y y + 1 y < 8x + 1 y < 4x + 1 Oppgave 3..1 Vi skal vise at vektorene tilsvarende de to komplekse tallene z og w står normalt på hverandre hvis og bare hvis z/w er et rent imaginært tall. Dersom z og w har argumenter θ 1 og θ henholdsvis, får z/w argument θ 1 θ. Tallet z/w er rent imaginært hvis og bare hvis argumentet er et odde multiplum av π/, det vil si θ 1 θ = k + 1π/, k Z. Men det betyr jo nettopp at z og w står normalt på hverandre, da θ 1 θ er vinkelen mellom vektorene z og w. På samme måte ser vi at z og w er parallelle hvis og bare hvis z/w er reell. At z/w er reell betyr at argumentet er et multiplum av π, det vil si θ 1 θ = kπ, k Z. Men det betyr at vektorene z og w enten peker i samme retning eller i motsatt retning, det vil si at de er parallelle. Oppgave Vi skal vise at z +w + z w = z + w. Benytter vi at zz = z, får vi: z + w + z w = z + wz + w + z wz w = z + wz + w + z wz w = zz + zw + wz + ww + zz zw wz + ww = z + w + z + w = z + w 15
5 Tegner vi et parallellogram utspent av vektorene som tilsvarer de komplekse tallene z og w, vil diagonalene i dette parallellogrammet være z + w og z w. Utregningen ovenfor viser da at summen av kvadratene til sidene i et parallellogram er lik summen av kvadratene til diagonalene. Oppgave b Vi skal skrive tallet e iπ 4 på formen a + ib. e iπ 4 = e 0 cos π +i sin π = cos π i sin π 4 = 1 1 i Oppgave b Vi skal skrive tallet z = 4 4i på formen re iθ. r = = 16 = 4 Siden Rez = Imz ser vi at θ = π 4. Altså har vi Oppgave z = 4 e π 4 i Vi skal regne ut 1 + i 804 og 3 i 173 ved hjelp av de Moivres formel. Da 1 + i har modulus og argument π i 804 = får vi cos π 4 + i sin π = 804 cos 804π 4 + i sin 804π 4 = 40 cos 01π + i sin 01π 40 = cos00π + π + i sin00π + π = 40 cos π + i sin π = 40 Og da 3 i har modulus og argument π 6 får vi 3 i 173 = cos π π i sin 6 6 = 173 cos 173π i sin 173π 6
6 = cos 173 8π + 5π 6 = 173 cos 5π 6 i sin 5π 6 = i = i i sin 8π + 5π 6 Oppgave 3.4.1b Vi skal finne alle tredjerøttene til z = i og skrive dem på formen re iθ og a + ib. z = i = e πi +πki z 1 3 = e πi 6 + πki 3 Setter vi nå etter tur k = 0, k = 1 og k =, får vi de tre tredjerøttene Oppgave w 0 = e πi 6 = cos π 6 + i sin π 6 = i w 1 = e πi 6 + πi 3 = e 3πi 6 = e πi = i w = e πi 6 + 4πi 3 = e 7πi 6 = i a Annengradsligningen z + z + 4 = 0 har løsningene det vil si z = ± = ± 1 = ± i 3 = 1 ± i 3 z 1 = 1 + i 3 z = 1 i 3 b Annengradsligningen z + iz + 5 = 0 har løsningene z = i ± i = i ± 4 17 = i ± i 6
7 det vil si = i ± i 6 z 1 = i 6 1 Oppgave z = i Ligningen z + 1 iz + 7i = 0 har løsningene z = 1 i ± 41 i 4 1 7i = 1 i ± 1 i 7i = 1 i ± 9i = 1 i ± 3 i Da i = e iπ/ har vi i = ±e iπ/4 = ± 1 1 i, slik at uttrykket ovenfor videre blir = 1 i ± i = 1 ± 3 1 i det vil si 3 z 1 = i 1 = 1 1 i z = i + 1 = + 1 i 1 Da 1 i = e iπ/4 og i 1 = e i3π/4, blir løsningene på polar form 3 z 1 = 1 e iπ/4 = 3 e iπ/4 3 z = + 1 e i3π/4 = 3 + e i3π/4 Vektoren z 1 har lengde 3 og argument π/4, og peker altså nedover i 4. kvadrant. Vektoren z har lengde 3+ og argument 3π/4, og peker altså oppover i. kvadrant tegn figur. Oppgave a Vi skal vise at i er en rot i polynomet P z = z 4 + z 3 + 4z + z + 3. P i = i 4 + i 3 + 4i + i + 3 = 1 i 4 + i + 3 = 0 b Siden i en rot i polynomet P z, vet vi ved lemma at i = i også er en rot i dette polynomet. Men det betyr at P z er delelig 18
8 med z iz + i = z + 1. Vi utfører polynomdivisjon: z 4 + z 3 + 4z + z + 3 : z + 1 = z + z + 3 z 4 + z z 3 + 3z + z + 3 z 3 + z 3z + 3 3z + 3 Det gjenstår bare å faktorisere z + z + 3: 0 z + z + 3 = 0 z = ± = ± 8 = ± i z 1 = 1 + i z = 1 i De komplekse og reelle faktoriseringene av P z blir dermed: z 4 + z 3 + 4z + z + 3 = z + iz iz + 1 iz i = z + z + 3z
At z + w og zw er reelle betyr at deres imaginrdeler er lik null, det vil si at b + d 0 ad + bc 0 Den frste ligningen gir b d. Setter vi dette inn i d
Lsningsforslag til utvalgte ogaver i kaittel I dette kaittelet har mange av ogavene et mindre teoretisk reg enn i de foregaende kaitlene, og jeg regner derfor med at lrebokas eksemler og fasit er dekkende
DetaljerOppgavehefte om komplekse tall
Oppgavehefte om komplekse tall Tore August Kro, tore.a.kro@hiof.no 11. august 009 1 Aritmetikk Eksempel 1.1 Vi skriver komplekse tall på kartesisk form z = a + ib. Tenk på i som et symbol som oppfyller
DetaljerDAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.
Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med
DetaljerK A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo
K A L K U L U S Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok ved Klara Hveberg Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forord Dette er en samling løsningsforslag som jeg opprinnelig
Detaljern-te røtter av komplekse tall
. 29. august 2011 Eksponentialform Forrige gang så vi at e iθ = cos θ + i sin θ Dette kan vi bruke til å gjøre polarfremstillingen av komplekse tall mer kompakt: z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) = re iθ
DetaljerLøsningsforslag. a) i. b) (1 i) 2. e) 1 i 3 + i LF: a) Tallet er allerede på kartesisk form. På polar form er tallet gitt ved
Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Mandag 3. august 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag Uttrykk følgende komplekse tall både
DetaljerEt Komplekst tall på kartesisk(standard), polar(eksponentialform) og trigonometrisk form
Kapittel Komplekse tall.1 Kompleksetall-Oppsummering Kvadratroten av 1 må være en løsning til ligningen x = 1, om den finnes. Tallet i kalles den imaginære enheten og er det vi trenger for å definere de
DetaljerKomplekse tall: definisjon og regneregler
Komplekse tall: definisjon og regneregler Eugenia Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 22. august 2011 Komplekse tall fra Wikipedia Et komplekst tall er tall på formen x + iy, der x og y er
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerKomplekse tall. Kapittel 2. Den imaginære enheten. Operasjoner på komplekse tall
Kapittel Komplekse tall Oppfinnelsen av nye tallsystemer henger gjerne sammen med polynomligninger x + 4 0 har ingen positiv løsning, selv om koeffisientene er positive tall Vi må altså inn med negative
DetaljerKomplekse tall og trigonometri
Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.
DetaljerTMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41/TMA415 Matematikk 4M/4N Vår 1 Løsningsforslag Øving 1 Skriv om følgende trigonometriske funksjoner til fourierrekker ved
Detaljer4_Komplekse_tall.odt tg. Kap.4 Komplekse tall
4_Komplekse_tall.odt 04.09.015 tg Kap.4 Komplekse tall e i π +1=0 Innledning... Egenskaper...4 Geometrisk form...5 Regneregler...6 Lengde og argument...8 Polar form...9 Eksponentform - Eulers formel...1
DetaljerLØSNINGSFORSLAG. Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk form som a + bi og på polar form som re iθ (r 0 og 0 θ < 2π). a) 2 + 3i.
Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag. februar 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: LØSNINGSFORSLAG Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk
DetaljerLøsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x =
Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 1. desember 014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 8 (0 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
DetaljerLøsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03
Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1
Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 5. juni 3 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34 Avsnittene (og appendiksene) viser til utgave 8 av læreboken, som er like i utgavene 7 og 6 når ikke annet er oppgitt. Gruppene starter opp i uke 35. Hver student er satt
DetaljerEKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven
DetaljerLøsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.
Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34. Oppgaver til seminaret 25/08
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34 Settet inneholder oppgaver fra stoffet omhandlet på forelesning uke 34, og består av seminaroppgaver, gruppeoppgaver og og obligatoriske oppgaver. Avsnittene og appendiksene
Detaljer( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b.
.9 til oppgavene i avsnitt.9.9. Regn ut (a) k ( i + j ), () ( i k ) ( j + 3k ), (c) ( i j + 3k ) ( 3i + j k ) a. k ( i + j ) = 0,0,,,0 = 0 + 0 + 0 = 0. ( i k ) ( j k ) ( ) + 3 =, 0, 0,,3 = 0 + 0 + 3 =
DetaljerKomplekse tall og komplekse funksjoner
KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som
DetaljerTMA4105 Matematikk 2 vår 2013
TMA4105 Matematikk vår 013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavene er fra læreboka Merk: I løsningene til alle oppgavene fra seksjon
DetaljerLøsningsforslag til øving 1
Høgskolen i Gjøvik Avd. for tekn., øk. og ledelse Matematikk 5 Løsningsforslag til øving Exercise (a), (c) - j yim() j - - - 0 xre() Merk! I oppgaven skal vi merke av punktene (angitt med ), men de komplekse
DetaljerMA1201 Lineær algebra og geometri Høst 2017
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1201 Lineær algebra og geometri Høst 2017 Løsningsforslag Øving 1 Med forbehold om feil. Kontakt gjerne mads.sandoy@ntnu.no
DetaljerNicolai Kristen Solheim
Oppgave 1. For å kunne skrive det komplekse tallet følgende endringer foretas på uttrykket. 3 3, hvor 3 og 3 på formen, hvor og, må For å kunne skrive det komplekse tallet på polarformen, må vi først finne
DetaljerLøsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, H-06
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT, H-6. ( poeng) Det komplekse tallet z har polarkoordinater r = 4, θ = π 4. Da er z lik: + i + i + i i + i Riktig svar: c) + i Begrunnelse: z = r(cos θ + i sin
DetaljerOppgave 1 OPPGAVER OG LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 6147 OG SMN 6195 KOMPLEKS ANALYSE STED: HØGSKOLEN I NARVIK. KLASSE:4EL,4RTog5ID
OPPGAVER OG LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 647 OG SMN 695 KOMPLEKS ANALYSE STED: HØGSKOLEN I NARVIK KLASSE:4EL,4RTog5ID DATO: 8 januar 004 TID: 9.00-.00 ANTALL SIDER: 0 (inklusiv formler)
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 1 Stine M. Berge 05.07.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 05.07.19 1 / 23 Introduksjon Informasjon: https://wiki.math.ntnu.no/oppfrisk/2019/start
Detaljer8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3.
Seksjo 4. Oppgave (). Fi greseverdiee: 8 a) 4 + 4 7 b) 4 +7 5 c) + 7 4 ( ) d) 5 4 44 + 5 4 e) 5 + si() e +6 5 Løsig. Vi vil bruke samme metode som i Eksempel 4..5 fra boke i disse oppgavee. Når vi skal
DetaljerNotat om trigonometriske funksjoner
Notat om trigonometriske funksjoner Dette notatet ble først skrevet for MA000 våren 005 av Ole Jacob Broch. Dette er en noe omarbeidet versjon skrevet høsten 0. Radianer Anta at en vinkel A er gitt, f.eks
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 I kapittel 5 har mange av oppgavene et mer teoretisk preg enn du er vant til fra skolematematikken, og jeg har derfor lagt vekt på å lage løsningsforslag
DetaljerTMA4120 Matematikk 4K Høst 2015
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Løsningsforslag Øving 9 hapter 13.7 La z. Logaritmen til z, ln z, er definert som tallene ln z ln
DetaljerDiagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
DetaljerMA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +
DetaljerFelt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering
Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir
DetaljerFelt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering
Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir
DetaljerKomplekse tall og Eulers formel
Komplekse tall og Eulers formel Harald Hanche-Olsen 2011-03-24 1. Oppvarming Jeg vil anta at leseren er kjent med komplekse tall, men vil likevel si noen ord om temaet. Naivt kan man starte med bare å
DetaljerLøsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, 6/
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00, 6/0-008. ( poeng) Det komplekse tallet z har polarkoordinater r =, θ = 7π 6. Da er z lik: i + i i i + i Riktig svar: c) i. Begrunnelse: z = ( cos 7π 6 + i
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene til funksjonen
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 8 5.1 9 La l og m være to parallelle linjer. Vi skal vise at det finnes ei linje
DetaljerInnlevering i matematikk Obligatorisk innlevering nr. 4 Innleveringsfrist: 21. januar 2010 kl Antall oppgaver: 4.
Innlevering i matematikk Obligatorisk innlevering nr. 4 Innleveringsfrist: 1. januar 1 kl. 14. Antall oppgaver: 4 Løsningsforslag Oppgave 1 a = [3, 1, ], b = [, 4, 7] og c = [ 4, 1, ]. a) a = 3 + ( 1)
DetaljerArbeidsoppgaver i vektorregning
Arbeidsoppgaver i vektorregning Fagdag 17.03.2016 Løsningsskisser! God arbeidsinnsats på disse oppgavene vil som vanlig gi stor gevinst på prøven 18.03.16! Hva man bør kunne etter å ha gjort disse arbeidsoppgavene:
DetaljerKomplekse tall. Kapittel 15
Kaittel 5 Komlekse tall Utgangsunktet for all regning er de naturlige tallene N = {,,3,...,} Den berømte matematikeren Leoold Kronecker formulerte dette som Gud skate de naturlige tallene, resten er menneskets
DetaljerFørste utkast til et notat for MA1102 våren Kom gjerne med tilbakemeldinger! Målsetningen med dette avsnittet er å motivere Eulers formel
Første utkast til et notat for MA110 våren 009. Kom gjerne med tilbakemeldinger! 1 Komplekse tall Målsetningen med dette avsnittet er å motivere Eulers formel e iθ = cosθ +i sinθ (1) og se litt hvordan
DetaljerLøysingsforslag for TMA4120, Øving 9
Løysingsforslag for TMA4, Øving 9 October, 6 7..5) La z = x + iy og w = a + bi. Biletet til x = c, c konstant, under mappinga w = z,erallepunktidetkomplekseplanetpåforma w = z =(c + iy) = c y +ciy, det
DetaljerEksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag
Eksamen i MAT H4: Løsningsforslag Oppgave. ( poeng) Dersom f(x, y) x sin(xy ), er f y lik: A) sin(xy ) + xy cos(xy ) B) x cos(xy ) C) x y cos(xy ) D) sin(xy ) + x y cos(xy ) E) cos(xy ) Riktig svar: C):
Detaljer12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig 1
FYS4 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig. januar 8 Her er løsningsforslag for Oblig som dreide seg om å friske opp en del grunnleggende matematikk. I tillegg finner dere til slutt et løsningsforslag
DetaljerLøsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04
Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +
DetaljerInnlevering i FORK Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 14.november 2018 kl. 10:30 Antall oppgaver: 13
Innlevering i FORK00 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag 4.november 08 kl. 0:0 Antall oppgaver: Bestem vinkelen mellom vektorene u = [, 7] og v = [4, 5]. Hva
DetaljerKomplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 2004. Hans Petter Hornæs Versjon per 26.10.04.
Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 004. Hans Petter Hornæs Versjon per 6.10.04. I Matematikk 10 er en kort innføring i komplekse tall pensum. Dette er dekket i Lorentzen,
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i MAT111
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse
DetaljerKort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100
Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 I dette notatet skal vi se litt på polynomdivisjon. Mange vil kjenne denne teknikken fra før, men etter siste læreplanomlegning er den ikke lenger pensum i
DetaljerLøsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første
DetaljerInnlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16
Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne
DetaljerLøsningsforslag. og B =
Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og
DetaljerKompleks eksponentialform. Eulers inverse formler. Eulers formel. Polar til kartesisk. Kartesisk til polar. Det komplekse signalet
Komplekse tall Vi definerer det komplekse tallet z C. Komplekse eksponentialer og fasorer Det komplekse planet Kartesisk og polar form Komplekse eksponentiale signaler Roterende fasor Addisjon av fasorer
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 4.8 1 La ABC være en trekant og E et punkt i det indre av BC. Vi skal vise
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 får du trening i å løse ulike typer differensialligninger, og her får du bruk for integrasjonsteknikkene du lærte i forrige kapittel. Men
DetaljerPrøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator
Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen
DetaljerEKSAMEN. 1 Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen. Klasser: (div) Dato: 24. mai 2004 Eksamenstid:
EKSAMEN EMNE: MA6 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen Klasser: (div) Dato: mai Eksamenstid: Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink forside): 5 Antall oppgaver: Antall vedlegg:
DetaljerKortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014
Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT, høsten 4 DEL Oppgave. 3 poeng Hvis f, y = ye y, er f y lik: A y 3 e y B y e y C e y ye y D e y y e y E e y ye y Riktig svar: D e y y e y Oppgave.
DetaljerForkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen
Detaljer2 = 4 x = x = 3000 x 5 = = 3125 x = = 5
Heldagsprøve i FO99A matematikk Dato: 7. desember 010 Tidspunkt: 09:00 14:00 Antall oppgaver 4 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator Alle svar skal grunngis. Forsøk å gi svarene
Detaljerz = a + jb Mål Komplekse tall: Sum og produkt Komplekse tall
Mål IN3190/4190 Digital signalbehandling Andreas Austeng og Stine Hverven (INF3470/4470, H18). Repetisjon av komplekse tall og trigonometri Beherske komplekse tall. Beherske trigonometriske funksjoner.
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
Detaljer( ) ( ( ) ) 2.12 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt
. til oppgaver i avsnitt... Regn ut (a) i j k, (b) j k i, (c) k ì j, (d) k j -j k -i (e) i i 0, (f) j j 0 Vektorene i, j og k danner et høyre-system, så derfor er i j k, j k i, k ì j, k j -j k -i. i i
DetaljerANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN
ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN Espen B. Langeland realfagshjornet.wordpress.com espenbl@hotmail.com 9.mars 017 Dagens artikkel omhandler annengradsligninger, og deres grafer parabler. 1 Annengradsligninger
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerK A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo
K A L K U L U S Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok ved Klara Hveberg Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forord Dette er en samling løsningsforslag som jeg opprinnelig
DetaljerMA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator.
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-1 Geometri Torsdag 4. desember 008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Bokmål Oppgave 1 Gitt et linjestykke.
DetaljerKapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer
Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil
Detaljer6 Determinanter TMA4110 høsten 2018
6 Determinanter TMA4110 høsten 2018 En matrise inneholder mange tall og dermed mye informasjon så mye at det kan være litt overveldende Vi kan kondensere ned all informasjonen i en kvadratisk matrise til
DetaljerEgenverdier for 2 2 matriser
Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 10 10.6.3 La f (x, y) = x 2 y 4x 2 4y der (x, y) R 2. Finn alle
Detaljer6.6 Anvendelser på lineære modeller
6.6 Anvendelser på lineære modeller Skal først se på lineær regresjon for gitte punkter i planet: det kan formuleres og løses som et minste kvadraters problem! I mere generelle lineære modeller er man
DetaljerMatematikk R1 Oversikt
Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac
DetaljerForelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. september 2006 2 Komplekse fourier rekker (10.5) Målet med denne leksjonen er vise hvordan man skrive fourier rekkene på kompleks
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske
DetaljerInnlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13
Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,
DetaljerLøsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K
Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
DetaljerFinn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.
Innlevering i FORK1100 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 19. oktober 2018 kl. 14:30 Antall oppgaver: 15 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt
DetaljerGeometri R1, Prøve 2 løsning
Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 90 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Gitt punktene A,, B 0, og D,6 a) Bestem koordinatene til AB og lengden til AB AB 0, 8, AB 8 68 7 A, B og D er hjørner i parallellogrammet
DetaljerObligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Først en kommentar. I læreboka møter man kjeglesnitt på standardform, som ellipser x
DetaljerLøsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T
Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y
Detaljer