Oppgavehefte om komplekse tall

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Oppgavehefte om komplekse tall"

Transkript

1 Oppgavehefte om komplekse tall Tore August Kro, 11. august Aritmetikk Eksempel 1.1 Vi skriver komplekse tall på kartesisk form z = a + ib. Tenk på i som et symbol som oppfyller alle vanlige regneregler og i tillegg i = 1. Vi kan summere, subtrahere, multiplisere, dividere, konjugere og finne absoluttverdi som vist under. a) + i) i) = + i 1 + i = 1 + i + i = 1 + 5i b) + i) i) = + i + + i = 0 + 4i = 4i. Merk at det er vanlig å skrive i stedet for + 0i, i i stedet for 0 i, 0 i stedet for 0 + 0i, + i i stedet for + 1i, og så videre. c) 1 i) + i) = + i i i = + + i i = 7 1 i d) + 7i = 7i e) 1 4i)1 + 4i) = 1 + 4i 4i 16i = = 17 Merk at når man multipliserer et komplekst tall og dets konjugerte blir svaret er reelt tall. f) i i = i)+i) i)+i) = 6+4i i i 9+6i 6i 4i = 8+i 1 = i Trikset er å utvide brøken med den konjugerte til nevneren. g) 1 5i = = = 169 = 1 Oppgave 1.1 Regn ut og skriv på kartesisk form: a) + i) + 4i b) 7 i) + 5i) c) 1 i)1 + i) d) i i) e) 4+i +i 1

2 f) + i g) +41 i) i h) i) Oppgave 1. Løs ligningen og skriv svaret på kartesisk form: a) i + z = b) iz = + 4i c) z+ z i = 4 d) i)z + 4 = + i Oppgave 1. Regn ut absoluttverdien til følgende komplekse tall: 5 + 1i, 7i, 1 i, i, 5,, ,6018i og + 4i. Oppgave 1.4 Vis at formelen zz = z gjelder for alle komplekse tall z = a + ib. Argand diagram Eksempel.1 La z = + i og w = 1 + 5i. Vi skal markere disse to komplekse tallene som punkt i det komplekse plan. Argand diagram.) w 1 5i 4 z i Avstanden mellom z og w er absoluttverdien til differansen: z w = + i) 1 + 5i) = 4 i = 4 + ) = 5

3 Eksempel. I et Argand diagram er mengden av alle punkt z som oppfyller ligningen z 1 + i) = 4 alle punkt med avstand 4 fra 1 + i), det vil si en sirkel. 4 4 Oppgave.1 Marker følgende komplekse tall som punkt i et Argand diagram: + i, 4, i og 5i. Oppgave. Finn avstanden mellom punktene: a) 1 i og + i b) 5 og i c) + i og 7 + 4i Oppgave. Lag en skisse over punktene i det kompleske plan som oppfyller følgende ligninger: a) z = b) z = 1 c) z i = z + i d) Imz + i) =. Oppgave.4 Lag en skisse av punktene i det komplekse plan som oppfyller ulikhetene: a) z < 4 b) 1 < z 1 < c) z z + i.

4 Trigonometrisk form Oppgave.1 Skriv følgende tall på trigonometrisk form: a) i b) i c) 5 + 5i d) e) i. Oppgave. Skriv følgende tall på kartesisk form og marker dem som punkt i det komplekse plan. a) cos π + i sin π) b) 5cos 7π 6 + i sin 7π 6 ) c) cos π ) + i sin π )) Oppgave. For generelle komplekse tall har man ikke eksakte verdier for argument og modulus. Bruk desimaltall for å skriv følgende komplekse tall på trigonometrisk form: a),45,1i b) + 4i c) 15,0 67,4i 4 Geometrisk tolkning av multiplikasjon Oppgave 4.1 Bruk DeMoivres formel til å regne ut følgende uttrykk: a) 1 + i) 8 b) + i) 5. c) 1 + i)009 Oppgave 4. La z = cos π 4 + i sin π 4 ) og w = cos π + i sin π ). Regn ut og skriv på trigonometrisk form. a) wz b) w z c) z w d) z5 w 4 4

5 5 Røtter For et kompleks tall z så kaller vi løsningene til ligningen w n = z de komplekse n te røttene til z. Antallet slike røtter er det samme som graden til ligingen, og vi nummererer røttene w 0, w 1,..., w n 1. En kan bruke de Moivres formel til å utlede en formel for n te røtter: Man skriver z på trigonometrisk form z = rcos θ + i sin θ), da er w k gitt som w k = n r cos θ + kπ + i sin θ + kπ ). n n Merk at ulike valg av argumentet θ kun resulterer i en annen nummerering av røttene. Eksempel 5.1 I dette eksempelet skal vi finne de komplekse tredjerøttene til z = 8i, og marker disse som punkt i det komplekse planet. Vi begynner med å skrive z = 8i på trigonometrisk form. Modulus finner vi som følger r = z = 0) + 8) = 64 = 8. Argumentet θ er en vinkel slik at r cos θ = 0 og r sin θ = 8. Den siste av disse gir sin θ = 1. Dermed er θ = π et argument til z. Vi skriver z på trigonometrisk form z = 8 cos π + i sin π ). Vi kaller tredjerøttene til z for w 0, w 1 og w. Modulus til en tredjerot er tredjeroten av modulus til z, mens argumentet til en tredjerot er en tredjedel av et argument til z. Vi har formelen w k = 8 π cos + kπ π + i sin + kπ Dette gir at tredjerøttene til z på trigonometrisk form er w 0 = cos π 6 + i sin π ) 6 w 1 = cos 5π 6 + i sin 5π ) 6 w = cos π + i sin π ). ). 5

6 Ved å bruke eksakte verdier for de trigonometriske funksjonene kan vi skrive tredjerøttene på formen ) w 0 = + i1 = + i ) w 1 = + i1 = + i w = 0 i) = i. Slik ligger disse tredjerøttene i det komplekse planet: 1.5 w w w Oppgave 5.1 Finn de komplekse nte røttene til z når a) z = 4 og n = 4, b) z = 8i og n =, c) z = 8 i8 og n = 4, d) z = 1 og n = 6, e) z = + i og n =, 6

7 f) z = 9 og n =. Oppgave 5. Finn alle a) kvadratrøttene til 1 + i, b) tredjerøttene til 1 + i, c) fjerderøttene til 81i, d) sjetterøttene til 64. Oppgave 5. Mange oppgaver er laget slik at røttene til et kompleks tall kan uttrykkes med eksakte verdier for argument og modulus. Generelt er det ikke slik. Da kan man bruke desimaltall for agrument og modulus i stedet. a) Finn tredjerøttene til 1 + i og skriv svaret både på trigonometrisk form med desimaltall og på kartesisk form som desimaltall. Bruk kartesisk form til w 1 og regn ut w1. Hvor stor avrundingsfeil har du? b) Finn femterøttene til 4+7i og skriv svaret både på trigonometrisk form med desimaltall og på kartesisk form som desimaltall. 6 Ligninger Oppgave 6.1 Finn alle komplekse løsninger for den ukjente z: a) z = 5 + 1i b) z = + i c) 7 + 4i)z = 75. d) z + 1)z + + i) = 0 f) z z i = 0. Oppgave 6. La z være et ukjent komplekst tall. Løs ligningene ved annengradsformelen, og sjekk svarene. a) z + z + = 0 b) z z + 1 = 0 c) z i)z + 1 4i) = 0. 7

8 7 Blandede oppgaver Oppgave 7.1 Dersom a og b er positive reelle tall, så vet vi at ab = a b. Drøft om den samme formelen kan sies å gjelde for komplekse tall z og w, d.v.s. zw = z w? Hva med tilfellet z = 1 og w = 1? Oppgave 7. Utled ved hjelp av DeMoivres formel at cosθ) = cos θ cos θ sin θ. Hva er den tilsvarende formelen for sinθ)? Oppgave 7. Vis at summen av de n ulike nte røttene til et kompleks tall er w 0 + w w n 1 = 0. Hint: Det finnes et tall ζ slik at w k = ζ k w 0.) 8

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 I dette kapittelet har mange av oppgavene et mindre teoretisk preg enn i de foregående kapitlene, og jeg regner derfor med at lærebokas eksempler og fasit

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Komplekse tall og trigonometri

Komplekse tall og trigonometri Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.

Detaljer

4_Komplekse_tall.odt tg. Kap.4 Komplekse tall

4_Komplekse_tall.odt tg. Kap.4 Komplekse tall 4_Komplekse_tall.odt 04.09.015 tg Kap.4 Komplekse tall e i π +1=0 Innledning... Egenskaper...4 Geometrisk form...5 Regneregler...6 Lengde og argument...8 Polar form...9 Eksponentform - Eulers formel...1

Detaljer

n-te røtter av komplekse tall

n-te røtter av komplekse tall . 29. august 2011 Eksponentialform Forrige gang så vi at e iθ = cos θ + i sin θ Dette kan vi bruke til å gjøre polarfremstillingen av komplekse tall mer kompakt: z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) = re iθ

Detaljer

Et Komplekst tall på kartesisk(standard), polar(eksponentialform) og trigonometrisk form

Et Komplekst tall på kartesisk(standard), polar(eksponentialform) og trigonometrisk form Kapittel Komplekse tall.1 Kompleksetall-Oppsummering Kvadratroten av 1 må være en løsning til ligningen x = 1, om den finnes. Tallet i kalles den imaginære enheten og er det vi trenger for å definere de

Detaljer

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41/TMA415 Matematikk 4M/4N Vår 1 Løsningsforslag Øving 1 Skriv om følgende trigonometriske funksjoner til fourierrekker ved

Detaljer

Komplekse tall: definisjon og regneregler

Komplekse tall: definisjon og regneregler Komplekse tall: definisjon og regneregler Eugenia Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 22. august 2011 Komplekse tall fra Wikipedia Et komplekst tall er tall på formen x + iy, der x og y er

Detaljer

At z + w og zw er reelle betyr at deres imaginrdeler er lik null, det vil si at b + d 0 ad + bc 0 Den frste ligningen gir b d. Setter vi dette inn i d

At z + w og zw er reelle betyr at deres imaginrdeler er lik null, det vil si at b + d 0 ad + bc 0 Den frste ligningen gir b d. Setter vi dette inn i d Lsningsforslag til utvalgte ogaver i kaittel I dette kaittelet har mange av ogavene et mindre teoretisk reg enn i de foregaende kaitlene, og jeg regner derfor med at lrebokas eksemler og fasit er dekkende

Detaljer

Løsningsforslag. a) i. b) (1 i) 2. e) 1 i 3 + i LF: a) Tallet er allerede på kartesisk form. På polar form er tallet gitt ved

Løsningsforslag. a) i. b) (1 i) 2. e) 1 i 3 + i LF: a) Tallet er allerede på kartesisk form. På polar form er tallet gitt ved Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Mandag 3. august 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag Uttrykk følgende komplekse tall både

Detaljer

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5. Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, H-06

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, H-06 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT, H-6. ( poeng) Det komplekse tallet z har polarkoordinater r = 4, θ = π 4. Da er z lik: + i + i + i i + i Riktig svar: c) + i Begrunnelse: z = r(cos θ + i sin

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34 Avsnittene (og appendiksene) viser til utgave 8 av læreboken, som er like i utgavene 7 og 6 når ikke annet er oppgitt. Gruppene starter opp i uke 35. Hver student er satt

Detaljer

Komplekse tall og Eulers formel

Komplekse tall og Eulers formel Komplekse tall og Eulers formel Harald Hanche-Olsen 2011-03-24 1. Oppvarming Jeg vil anta at leseren er kjent med komplekse tall, men vil likevel si noen ord om temaet. Naivt kan man starte med bare å

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34. Oppgaver til seminaret 25/08

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34. Oppgaver til seminaret 25/08 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34 Settet inneholder oppgaver fra stoffet omhandlet på forelesning uke 34, og består av seminaroppgaver, gruppeoppgaver og og obligatoriske oppgaver. Avsnittene og appendiksene

Detaljer

Nicolai Kristen Solheim

Nicolai Kristen Solheim Oppgave 1. For å kunne skrive det komplekse tallet følgende endringer foretas på uttrykket. 3 3, hvor 3 og 3 på formen, hvor og, må For å kunne skrive det komplekse tallet på polarformen, må vi først finne

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG. Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk form som a + bi og på polar form som re iθ (r 0 og 0 θ < 2π). a) 2 + 3i.

LØSNINGSFORSLAG. Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk form som a + bi og på polar form som re iθ (r 0 og 0 θ < 2π). a) 2 + 3i. Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag. februar 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: LØSNINGSFORSLAG Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk

Detaljer

Første utkast til et notat for MA1102 våren Kom gjerne med tilbakemeldinger! Målsetningen med dette avsnittet er å motivere Eulers formel

Første utkast til et notat for MA1102 våren Kom gjerne med tilbakemeldinger! Målsetningen med dette avsnittet er å motivere Eulers formel Første utkast til et notat for MA110 våren 009. Kom gjerne med tilbakemeldinger! 1 Komplekse tall Målsetningen med dette avsnittet er å motivere Eulers formel e iθ = cosθ +i sinθ (1) og se litt hvordan

Detaljer

Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 2004. Hans Petter Hornæs Versjon per 26.10.04.

Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 2004. Hans Petter Hornæs Versjon per 26.10.04. Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 004. Hans Petter Hornæs Versjon per 6.10.04. I Matematikk 10 er en kort innføring i komplekse tall pensum. Dette er dekket i Lorentzen,

Detaljer

K A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo

K A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo K A L K U L U S Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok ved Klara Hveberg Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forord Dette er en samling løsningsforslag som jeg opprinnelig

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Løsningsforslag til øving 1

Løsningsforslag til øving 1 Høgskolen i Gjøvik Avd. for tekn., øk. og ledelse Matematikk 5 Løsningsforslag til øving Exercise (a), (c) - j yim() j - - - 0 xre() Merk! I oppgaven skal vi merke av punktene (angitt med ), men de komplekse

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 00 Oppgave Evaluerer grensen cos( ) 0 ( sin( ) ) 0 6 0 6 5 0 sin( ) 0 sin( ) = Har brukt l Hôpitals regel (derivert teller og nevner hver for seg) i første og tredje overgang.

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 9. oktober 205 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark, formelsamling.

Detaljer

I = (x 2 2x)e kx dx. U dv = UV V du. = x 1 1. k ekx x 1 ) = x k ekx 2x dx. = x2 k ekx 2 k. k ekx 2 k I 2. k ekx 2 k 1

I = (x 2 2x)e kx dx. U dv = UV V du. = x 1 1. k ekx x 1 ) = x k ekx 2x dx. = x2 k ekx 2 k. k ekx 2 k I 2. k ekx 2 k 1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 6..4 Vi skal evaluere det ubestemte integralet I = ( e k. Vi starter med å dele opp integralet

Detaljer

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

SIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag

SIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag SIF5003 Matematikk, 5. desember 200 Oppgave For den første grensen får vi et /-uttrykk, og bruker L Hôpitals regel markert ved =) : lim 0 + ln ln sin 0 + cos sin 0 + cos sin ) =. For den andre får vi et

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 15. oktober 004 Tid for eksamen: 11:00 13:00 Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 5. juni 3 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Notat om trigonometriske funksjoner

Notat om trigonometriske funksjoner Notat om trigonometriske funksjoner Dette notatet ble først skrevet for MA000 våren 005 av Ole Jacob Broch. Dette er en noe omarbeidet versjon skrevet høsten 0. Radianer Anta at en vinkel A er gitt, f.eks

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +

Detaljer

Formelsamling Kalkulus

Formelsamling Kalkulus Formelsamling Kalkulus Martin Alexander Wilhelmsen December 8, 009 En liten formelsamling for MAT00 ved UiO. Vennligst meld fra om feil til martinaw@student.matnat.uio.no. Dette dokumentet er publisert

Detaljer

8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3.

8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3. Seksjo 4. Oppgave (). Fi greseverdiee: 8 a) 4 + 4 7 b) 4 +7 5 c) + 7 4 ( ) d) 5 4 44 + 5 4 e) 5 + si() e +6 5 Løsig. Vi vil bruke samme metode som i Eksempel 4..5 fra boke i disse oppgavee. Når vi skal

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03 Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(

Detaljer

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave Høgskolen i Bergen Formelsmling for ingeniørutdnningen FOA5 høsten 6 fellespensum. 3.utgve Funksjoner. Elementære regneregler og funksjoner: y = y, ( ) =, y y =,, =, = ) = ) = = log = ln ln c) ln y = y

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Løsningsforslag midtveiseksamen Mat 1100

Løsningsforslag midtveiseksamen Mat 1100 Løsningsforslag midtveiseksamen Mat 00 Høsten 202 Oppgave : Riktig svaralternativ er C Vi får r = 2 2 +( 2 3) 2 = 4+4 3= 6 = 4. Videre ser vi (tegn figur) at argumentet til z vil være 60 mer enn 80, dvs.

Detaljer

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis,

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer

OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG

OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I torsdag 5.desember 20 kl. 09:00-4:00 OPPGAVE a Modulus: w = 2 + 3 2 = 2. Argument

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Forberedelseskurs i matematikk

Forberedelseskurs i matematikk Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger

Detaljer

NTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28.

NTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28. NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren 2011 Maple-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid

Detaljer

Hans Petter Hornæs,

Hans Petter Hornæs, Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Tall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31,

Tall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31, Tall SKOLEPROSJEKT MAT400 - VÅR 204 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM Date: March 3, 204. 2. Innledning Vårt skoleprosjekt omhandler ulike konsepter innenfor det matematiske området

Detaljer

Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03

Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 vår 2013

TMA4105 Matematikk 2 vår 2013 TMA4105 Matematikk vår 013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavene er fra læreboka Merk: I løsningene til alle oppgavene fra seksjon

Detaljer

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x =

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x = Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 1. desember 014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 8 (0 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Kvadratrøtter og grønne kanarifugler-

Kvadratrøtter og grønne kanarifugler- Kvadratrøtter og grønne kanarifugler- på jakt etter rota til minus en... Kristiansand 19. februar 2004, Olav Nygaard Kvadratrot Å finne et tall som er slik at x 2 1 = 0 går greit. Hvis vi har lært at (

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11 Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x

Detaljer

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra:

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra: Kartlegging / vurdering av nivå Begynn året med et kort kurs i tall-lære og matematiske symboler. Deretter kartlegging som plasserer elevene i nivågruppe. De som kan dette, jobber med tekstoppgaver / problemløsning.

Detaljer

SIF5003 Matematikk 1, 6. desember 2000 Løsningsforslag

SIF5003 Matematikk 1, 6. desember 2000 Løsningsforslag SIF53 Matematikk 1, 6. desember 2 Oppgave 1 Dreid om y aksen: iv). Dreid om x = 1: iii). Oppgave 2 Om bredden på rektanglet er 2x og høyden er y finner vi for det ukjente arealet A og den kjente omkretsen

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene til funksjonen

Detaljer

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde

Detaljer

Dagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling

Dagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling Dagens mål Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 IF2310 - Digital bildebehandling Ole Marius Hoel Rindal, slides av Andreas Kleppe Dagens mål Forstå

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111 Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner

Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2010 Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har

Detaljer

Målark 1. Kapittel 1 God start. Navn: Delmål Kan Må arbeide mer med. TUSEN MILLIONER 6A Målark. Kunne forskjellen på siffer og tall

Målark 1. Kapittel 1 God start. Navn: Delmål Kan Må arbeide mer med. TUSEN MILLIONER 6A Målark. Kunne forskjellen på siffer og tall Målark 1 Kapittel 1 God start Kunne forskjellen på siffer og tall Kunne plassverdiene for hele tall i titallsystemet Kunne plassverdiene for desimaltall Vite hva desimaltegnet betyr Kunne stille opp og

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 10 10.6.3 La f (x, y) = x 2 y 4x 2 4y der (x, y) R 2. Finn alle

Detaljer

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z KOMPLEKSE TALL. Innledning og definisjoner Mengden av komplekse tall danner en utvidelse av den reelle tallmengden. Denne utvidelsen skjer ved at vi innfører en ny størrelse (et tall) i som er slik at

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i Kalkulus. Øyvind Ryan

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i Kalkulus. Øyvind Ryan Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i Kalkulus Øyvind Ryan. november 4 Innhold Kapittel 3 Seksjon.................................. 3 Seksjon.................................. 3 Seksjon.4.................................

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning.

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Stavanger,. oktober 3 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE5 Signalbehandling, 3. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 4. Frekvensrespons for system.....................

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)

EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven

Detaljer

Brøk Vi på vindusrekka

Brøk Vi på vindusrekka Brøk Vi på vindusrekka Brøken... 2 Teller og nevner... 3 Uekte brøk... 5 Blanda tall... 6 Desimalbrøk... 8 Pluss/minus... 9 Multiplikasjon... 11 Likeverdige brøker... 12 Utviding... 13 Forkorting... 14

Detaljer

Forelesning Matematikk 4N

Forelesning Matematikk 4N Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. september 2006 2 Komplekse fourier rekker (10.5) Målet med denne leksjonen er vise hvordan man skrive fourier rekkene på kompleks

Detaljer

Arbeidsoppgaver i vektorregning

Arbeidsoppgaver i vektorregning Arbeidsoppgaver i vektorregning Fagdag 17.03.2016 Løsningsskisser! God arbeidsinnsats på disse oppgavene vil som vanlig gi stor gevinst på prøven 18.03.16! Hva man bør kunne etter å ha gjort disse arbeidsoppgavene:

Detaljer

Kompleks eksponentialform. Eulers inverse formler. Eulers formel. Polar til kartesisk. Kartesisk til polar. Det komplekse signalet

Kompleks eksponentialform. Eulers inverse formler. Eulers formel. Polar til kartesisk. Kartesisk til polar. Det komplekse signalet Komplekse tall Vi definerer det komplekse tallet z C. Komplekse eksponentialer og fasorer Det komplekse planet Kartesisk og polar form Komplekse eksponentiale signaler Roterende fasor Addisjon av fasorer

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 2: Funksjoner (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 16. august, 2012 Eksponentialfunksjoner Eksponentialfunksjoner Definisjon: Eksponentialfunksjon En

Detaljer

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup Brukerveiledning for webapplikasjonen Mathemateria 01.02.2015 Terje Kolderup Innhold Brukerveiledning for webapplikasjonen...1 Mathemateria...1 Introduksjon...3 Typisk eksempel og bryterstyring...3 Innlogging...4

Detaljer

Fasit til Flervariabelanalyse med lineær algebra

Fasit til Flervariabelanalyse med lineær algebra Fasit til Flervariabelanalyse med lineær algebra Advarsel: Arbeidet med denne fasiten har gått fortere enn det burde, og feilprosenten er nok litt høyere enn vanlig. Finner du feil eller lurer på om noe

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1 Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:

Detaljer

FINNE n-te RØTTER AV KOMPLEKSE TALL

FINNE n-te RØTTER AV KOMPLEKSE TALL FINNE -TE RØTTER AV KOMPLEKSE TALL SHIRIN FALLAHI OG ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Vi utdyper det som står helt i slutte av Appediks I i læreboke etter Example 7. Ata at vi vil fie alle -te røttee til et gitt

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET Side 1 av 8

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET Side 1 av 8 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET 2016-2017 Side 1 av 8 Periode 1: UKE 33 - UKE 39 Sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker,

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

Tall og tallregning. 1.1 Tall. 1.2 Regnerekkefølge. Oppgave Marker disse intervallene på ei tallinje. a) [2, 5 b) 3, 4] c) 2, 2 d) 0, 1

Tall og tallregning. 1.1 Tall. 1.2 Regnerekkefølge. Oppgave Marker disse intervallene på ei tallinje. a) [2, 5 b) 3, 4] c) 2, 2 d) 0, 1 Tall og tallregning. Tall Oppgave.0 Sett inn eller i de tomme rutene. {,, 0,, }, {,,, } {,, 0,, } {,, 0, } Oppgave. Skriv disse intervallene med matematiske symboler og tegn dem inn på tallinjer. Alle

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

Skoleprosjekt Algebra Mat4010

Skoleprosjekt Algebra Mat4010 Skoleprosjekt Algebra Mat4010 Narve Elling Johnsen 27. mars 2014 1 Innhold 1 Annengradsligninger Vi sier ofte at annengrads ligninger har enten to, en eller ingen reelle løsninger. Vi kan bruke abc formelen

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R2

Manual for wxmaxima tilpasset R2 Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Oppgavesett med fasit

Oppgavesett med fasit TIL ENT3R ELEVENE Oppgavesett med fasit Tommy Odland Sist oppdatert: 1. november 2013 http://is.gd/ent3rknarvik http://tommyodland.com/ent3r 1 INNHOLD 1 Om dette dokumentet 3 1.1 Formål og oppbygging..................................

Detaljer

Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering

Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir

Detaljer

Løsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n

Løsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Tirsdag. februar 203 kl. 0:30 Antall oppgaver: 9 Løsningsforslag Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07 Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver

Detaljer

Løsning, Trippelintegraler

Løsning, Trippelintegraler Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler Løsning, rippelintegraler Oppgave a) b) c) 6 x + + ) d d dx x + +/) d dx x) d d dx x + + /] d dx x + /+/] dx x +6)dx 8 6 d ) ) d xdx 6 ) ) ) d d xdx 6 8

Detaljer

Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering

Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med

Detaljer