Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst Hans Petter Hornæs Versjon per

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 2004. Hans Petter Hornæs Versjon per 26.10.04."

Transkript

1 Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 004. Hans Petter Hornæs Versjon per I Matematikk 10 er en kort innføring i komplekse tall pensum. Dette er dekket i Lorentzen, Hole og Lindstrøms Kalkulus med en og flere variabler, kapittel A (s ), men her følger et alternativ som er litt mindre kortfattet. 1 Komplekse tall på normalform 1.1 Det komplekse tallplan og komplekse tall på normalform Vi skal nå konstruere et tallsystem som er en utvidelse av de reelle tall. De reelle tallene R fyller opp tallinjen med tall i en naturlig forstand (uttrykt bl.a. med skjæringssetningen). For en geometrisk tolkning må vi derfor ha en mengde som er større enn bare en uendelig lang linje. Det viser seg at det er mulig, og i mange sammenhenger praktisk, å lage et slikt tallsystem der tallene tilsvarer punkter i planet. Dette tallsystemet kalles komplekse tall, og betegnes med C. Vi starter med å tegne et vanlig rettvinklet aksekors. Den horisontale aksen (x aksen) skal vi betrakte som den reelle tallinjen, og punkter på denne som reelle tall, som dermed er en delmengde av de komplekse tall. Den horisontale aksen kalles i denne sammenheng den reelle aksen, og betegnes ofte med R. Den vertikale aksen skal kalles den imaginære aksen, og betegnes med I. Det tallet som har koordinater (0, 1), altså som ligger en enhet oppover den vertikale aksen, kalles den imaginære enheten, og betegnes med j. Den imaginære enheten ble opprinnelig kalt i, og dette brukes fortsatt i de fleste bøker, blant annet i læreboka. På grunn av navnekollisjon med symbol for strømstyrke, og det at komplekse tall brukes mye i elektronikk, har elektroingeniører erstattet dette med bokstaven j, og vi følger denne notasjonen her. I Maple brukes forøvrig I som navn på dette tallet. I j j R 1j j Tall påformenbj, medb R \{0}, kalles imaginære tall, og tilsvarer punktene med koordinater (0,b) langs den imaginære aksen. Addisjon mellom komplekse tall tilsvarer addisjon med vektorer i planet. Det vil si komponentvis addisjon (som geometrisk tilsvarer parallellogramloven). Dessuten kan vi multiplisere inn reelle tall på samme måte som vi multipliserer inn skalarer i vektorer, i hver komponent. Dermed kan vi skrive tallet som tilsvarer punktet med koordinater (a, b) påformen (a, b) =(a, 0) + (0,b)=a(1, 0) + b(0, 1) = a + bj 1

2 der vi har identifisert (1, 0) med det reelle tallet 1, og skriver a 1=a, ogsattinnj for (0, 1). Dette kalles normalform for komplekse tall. For det komplekse tallet z = a + bj kalles det reelle tallet a realdelen, ogviskriverre(z) =a. Det reelle tallet b kalles imaginærdelen, ogviskriverim(z) = b. Bokstaven z brukes ofte som navn på komplekse tall. For eksempel vil tallet som tilsvarer punktet med koordinater ( 1, ) på normalform skrives z = 1+ j. VihardaRe(z) = 1 ogim(z) =. Merk at j ikke regnes med som en del av imaginærdelen. I neste figur er z = 1+j og 1 j tegnet inn, både som punkter og vektorer: 1 +j Dette planet kalles det komplekse tallplan. Vi oppsummerer så langt: I j j R 1j 1 j j Komplekse tall z C på normalform: z = a + bj (a R,b R) Realdel: Re(z) =a R, Imaginærdel: Im(z) =b R Addisjon: (a + bj)+(c + dj)=(a + c)+(b + d)j Subtraksjon: (a + bj) (c + dj)=(a c)+(b d)j (1) Det vi har gjort så langt er ikke annet enn å innføre noen nye begreper (nye navn) på vektorregning i planet R. Det som er den vesentlige utvidelsen er at vi også skal innføre multiplikasjon, og etterhvert divisjon, mellom komplekse tall. Det viser seg at det er nok å innføre en enkelt multiplikasjon for å få definert multiplikasjon mellom alle komplekse tall: j j = 1 () Dette skrives også j = 1. For alle reelle tall x er x 0, slik at vi ser fra dette at j ikke er et reelt tall. Vi sier ofte at j = 1 (selv om dette kanskje er litt upresist, da også ( j) = 1). Det er ikke slik at vi uten videre kan innføre en regel som denne. Regelen er motivert ut fra bruk av komplekse tall før det komplekse tallplan ble innført. Da innførte man (litt uformelt) et tall i = 1. Det er en viktig begrunnelse at dette fører til et system uten selvmotsigelser, og at alle vanlige regneregler for de fire regningsartene blir bevart. Disse er listet opp i avsnitt 1.5. Bevisene for disse er stort sett forholdsvis enkle, men litt omfattende, så vi vil ikke gjennomføre dette her. Det kalles også Gaussplanet, etter matematikeren Carl Friedrich Gauss ( ), men det var faktisk nordmannen Caspar Wessel, bror av forfatteren Johan Herman Wessel, som først innførte det i De komplekse tall uten denne tolkningen hadde man allerede brukt lenge, blant annet av De Moivre ( ).

3 Eksempel La oss si vi ønsker å løse. gradslikningen x +x +5=0 Innsetting i den kjente løsningsformlen for løsning av. gradslikninger gir da: ± 4 5 = ± 16 Siden vi får et negativt tall under rottegnet sier vi at vi ikke har noen reelle løsninger, oggiross ofte med det. I en del sammenhenger er det imidlertid nødvendig å bruke disse røttene likevel, og vi prøver å regne videre: = ± 16 ( 1) = ± ± 4 = = 1 ± 1 Siden vi nå har innført et tall j = 1 kan vi uttrykke disse to røttene som z 1 = 1+j og z = 1 j. Altså er røttene de to komplekse tallene vi tegnet i forrige figur! Selv om dette er meningsløse tall i noen sammenhenger, er de både nyttige og viktige i andre sammenhenger.. 1. Multiplikasjon av komplekse tall på normalform Vi skal nå se hva multiplikasjonen j = 1, sammen med vanlige regneregler for multiplikasjon (kjent fra å regne sammen polynomer) medføre for multiplikasjon mellom to komplekse tall z 1 = a + bj og z = c + dj. Først multipliserer vi hvert ledd i første parentes med hvert i andre. Deretter bytter vi litt om på rekkefølgen av leddene og faktorene, og får i første omgang: z 1 z =(a + bj)(c + dj)=ac + adj + bjc + bjdj = ac + bdj + adj + bcj Vi kan så erstatte j med 1, og dessuten sette j utenfor som felles faktor i de to siste leddene: z 1 z = ac + bd( 1) + (ad + bc)j =(ac bd)+(ad + bc)j Merk at ac bd bare består av reelle tall, slik at dette er et reelt tall. Likeledes er ad + bc et reelt tall. Dermed er siste uttrykk på normalform, og vi har multiplisert to vilkårlige komplekse tall på normalform, og endt opp med et komplekst tall på normalform. Vi oppsummerer: Multiplikasjon av komplekse tall på normalform: (a + bj)(c + dj)=(ac bd)+(ad + bc)j () Det kan være hensiktsmessig å huske denne formelen. Selv synes jeg den er lettest å huske verbalt som: Realdelen av produktet er realdel ganger realdel minus imaginærdel ganger imaginæredel. Imaginærdelen av produktet er realdel ganger imaginærdel pluss imaginærdel ganger realdel. Alternativt kan man gjennomføre utregningen som over (med tall istedenfor bokstaver), eller slå opp regelen i formelsamlinga (avsnitt 1.5, s. ). For eksempel hører løsningen av denne likningen sammen med løsningen av differensialikningen y +y +5y =0. Selv om ikke røttene er reelle er løsningsfunksjonene vanlige reelle funksjoner som finnes via de komplekse røttene. De er forøvrig alle funksjoner på formeny = C 1e x cos(x)+c e x sin(x), der x = 1 x i eksponenten skyldes ar realdelen er 1, mens foran x inne i cosinus og sinusleddet er imaginærdelen.

4 Talleksempel: La z 1 =+j så a =,b =ogz =4 j så c =4ogd = 1: ( + j)(4 j) =( 4 ( 1)) + ( ( 1) + )j =11+7j 1. Komplekskonjugert En operasjon vi ofte støter på medkompleksetallerå bevare realdelen, men å skifte fortegn på imaginærdelen. Dette kalles kompleks konjugering, og betegnes med z: Definisjon av kompleks konjugert: a + bj = a bj (4) Vi ser lett at z = z 1 er z = z 1 (da vi bytter fortegn fram og tilbake). Vi så for eksempel at de to komplekse røttene i likningen x x +5=0 var 1 +j og 1 j. Dette er et par av kompleks konjugerte tall. Det gjelder generelt at komplekse røtter i reelle polynomlikninger opptrer i komplekskonjugerte par. En viktig bruk av komplekskonjugering er å ta produktet av et tall med sin komplekskonjugerte. Vi kan bruke regneregelen for produkt (med c = a og d = b), men et alternativ er åbruke. kvadratsetning som også gjelder komplekase tall: z z =(a + bj) (a + bj) =a (bj) = a b ( 1) = a + b (5) Legg merke til at produktet a + b er et positivt reelt tall. Unntaketerhvisz =0=0+0j. Daer a + b =0 +0 =0. Denne egenskapen utnyttes blant annet i kompleks divisjon. 1.4 Divisjon av komplekse tall på normalform Når det gjelder kompleks divisjon anbefaler jeg at dere lærer metoden, framfor å huske formelen. Den baserer seg på knepetå multiplisere teller og nevner med den komplekskonjugerte av nevneren. Med dette oppnår vi at nevneren blir et reelt tall. Metoden vises med et eksempel: +5j 4 j ( + 5j)(4 + j) ( 4 5 ) + ( +5 4) = = (4 j)(4 + j) 4 + = 7+6j 5 I nevneren brukte vi multiplikasjonsregelen for tall med sin komplekskonjugerte fra forrige avsnitt. Vitsen er at dette blir et reelt tall (her 5). Merk også at det alltid blir + mellom de to kvadratene. Nå kan vi dividere realdel og imaginærdel hver for seg med nevneren, og får +5j 4 j = j Merk at nå er kvotienten på normalform, siden 7/5 og 6/5 er reelle tall. I tilegg til åværeenmetodeforfaktiskå utføre divisjonen generaliseres dette lett slik at vi kan se at z 1 /z alltid blir et komplekst tall når z 0.Detvilsiatdivisjonerdefinertgenereltfor komplekse tall. Vi kan generalisere det til formelen a + bj c + dj ac + bd bc ad = + c + d c + d j 4

5 Eksempel, lineær likning. med komplekse koeffisienter: Vi skal som eksempel se på løsningen av følgende 1. gradslikning z +1=jz 4j Vi ordner den først slik at leddene med z blir stående på venstre side og resten på høyresideav likhetstegnet: z jz = 4j 1 ( j)z = 1 4j Denne er på samme form som en reell lineær likning ax = b, bortsett fra at a og b er komplekse. Den løses på tilsvarende måte, dvs. tilsvarende x = b/a: z = 1 4j j = ( 1 4j)( + j) ( j)( + j) = (( 1) ( 4)1) + (( 1)1 + ( 4))j +1 = 9j 5 = j 1.5 Regneregler for komplekse tall Her listes opp noen grunnleggende regneregler for komplekse tall. Dette oppsummerer hva jeg legger i begrepet vanlige regneregler for de fire regningsartene. Det er temmelig rett fram å vise at de gjelder, men det blir jo litt mye regning med så mange regler. Dette taes derfor ikke med her. 1. For alle z 1 C, z C er z 1 + z C og z 1 z C Vi sier at mengden av komplekse tall er lukket under addisjon og multiplikasjon.. Vi har et tall 0 C med egenskapen z +0=z for alle z C. Vi har et tall 1 C, 1 0, med egenskapen z 1=z for alle z C. Dette er selvfølgelig de vanlige tallen 0 og 1, og de kalles additiv og multiplikativ enhet.. For alle z 1 C, z C er z 1 + z = z + z 1 og z 1 z = z z 1 Dette kalles kommutativitet av henholdsvis addisjon og multiplikasjon. 4. For alle z 1 C, z C, z C er (z 1 + z )+z = z 1 +(z + z )og(z 1 z ) z = z 1 (z z ) Dette kalles assosiativitet, og betyr at vi uten fare for misforståelse kan droppe parentesene i gjentatte addisjoner eller multiplikasjoner. 5. For alle z 1 C, z C, z C er z 1 (z + z )=z 1 z + z 1 z. Dette kalles distributivitet, og medfører regelen om at parenteser multipliseres sammen ved å multiplisere hvert ledd i første parentes med hvert ledd i andre parentes. 6. For alle z C finnes et tall z C med egenskapen z +( z) =0. Dette betyr at vi også har subtraksjon, da vi kan definere z 1 z som z 1 +( z ). 7. For alle z C, z 0, finnes et tall z 1 C med egenskapen z z 1 =1. Dette betyr at vi også har divisjon, da vi kan definere z 1/z som z 1 z 1. Fra disse reglene følger andre vanlige regneregler som for eksempel kvadratsetningene, potensregningsreglene for heltallspotenser og brøkregningsreglene. 5

6 Noen kommentarer litt utenfor pensum: Hvis vi hele vegen bytter ut C med Q (de rasjonale tallene) eller R (de reelle tallene) gjelder de samme reglene. Et tallsystem som oppfyler disse aksiomene kalles en kropp. Man kunne tenke seg en videre utvidelse, at vi definerte en multiplikasjon av vektorene i R så det ble en kropp. Det viser seg imidlertid at dette er umulig, og det er heller ikke mulig for R n for noen andre endelige tall n. Dette betyr at vi i en viss forstand er framme ved det endelige målet med kroppsutvidelser når vi har konstruert C. Man synes kanskje en komponentvis multiplikasjon hadde vært enklere enn den multiplikasjonen vi har definert for C. Da ville vi ikke fått noen kropp. Isåfallmåtte tallet 1 fra aksiom betydd punktet (1, 1), men aksiom 7 ville ikke vært oppfyllt. Hvis vi for eksempel hadde valgt z =(0, 1), ville z z 1 =(0, 1) (x, y) =(0,y), som ikke er lik (1, 1) for noen valg av x og y. Det er ikke tilfeldig at vi ikke har med noen setninger som involverer ulikheter. I motsetning til R og Q er ikke C lineært ordnet (ihvertfall ikke på noen naturlig måte som gjør at regler som f.eks a<bog c<d a + c<b+ d gjelder). 1.6 Algebraens fundamentalsetning. La P (x) =a n x n + a n 1 x n a x + a 0 være et polynom der koeffisientene a n,a n 1,...,a 1,a 0 C. Følgende setning (det noe kompliserte beviset tar vi ikke med) gjelder da: Algebraens fundamentalsetning: Det finnes et komplekst tall c slik at P (c) = 0 (6) En konsekvens av dette er at ethvert komplekst polynom kan faktoriseres i komplekse lineære faktorer: P (x) =a n (x c 1 )(x c ) (x c n ) Hvis koeffisientene a n,a n 1,...,a 1,a 0 R kommer de komplekse røttene i kompleks konjugerte par, og faktoren (x c)(x c) =x +( c c)x + c c er et irredusibelt. gradspolynom med reelle koeffisienter. Det betyr at ethvert reelt polynom kan faktoriseres i et produkt av reelle førstegrads- og irredusible andregradspolynomer. Komplekse tall påpolarform.1 Absoluttverdi (modul) og argument (polarvinkel) Vi har i forbindelse med amplitude og faseforskyvning av sinuskurver sett at et punkt i planet kan angis enten som rektangulære koordinater ((x, y) koordinater), eller som polarkoordinater. Polarkoordinater er paret bestående av R, avstanden fra origo, og θ, vinkelen linja (vektoren) fra origo til punktet danner med den positive x aksen. Dette gjelder også for komplekse tall, men vi bruker litt andre betegnelser og navn på størrelsene. Definisjon av absoluttverdi z = Re(z) +Im(z) (7) Absoluttverdien kalles også modulen til z. Absoluttverdien svarer geometrisk til lengden av linja fra 0 (origo) til punktet som representerer z i det komplekse tallplan, eller normen til vektoren [Re(z), Im(z)]. Hvis x R er også x C, sidenr C. Da svarer absoluttverdi til hvordan absoluttverdi (eller tallverdi) er definert for reelle tall. Vi har for eksempel = +0j = ( ) +0 = 9=. Vi definerer argumentet til z som vinkelen linjestykket ut til punktet z danner med den positive reelle aksen i det komplekse tallplan. Vi bruker ofte den greske bokstaven θ (eller φ) for argumentet. Argumentet gies alltid i radianer. Følgende skisse viser absoluttverdien z og argumentet θ for et komplekst tall: 6

7 z I z θ R Hvis absoluttverdien og argumentet er gitt får vi et entydig komplekst tall, men det er en viss flertydighet i hvordan vi oppgir argument, da vi kommer ut i samme retning og dermed til samme punkt i det komplekse planet om vi adderer eller subtraherer et helt antall ganger π til argumentet θ. Ved ågiz C ved å oppgi absoluttverdi og argument sier vi z er gitt på polarform (i motsetning til normalform). En skrivemåte for dette er polar ( z,θ ), for eksempel polar (, π) eller polar (11.6, 1.98). Noen bruker også skrivemåten ( z θ), for eksempel ( π).. Omregning mellom normal- og polarform Hvis z = 1 blir projeksjonen ned på den reelle aksen cos(θ), det var jo slik vi definerte cosinus geometrisk. Da blir også, fra geometrisk definisjon av sinus, projeksjonen til den imaginære aksen sin(θ). Dette er illustrert ifigurentilvenstre. Hvis z er et vilkårlig tall vil vektoren, og dermed også projeksjonen på aksene, forlenges med en faktor z (figuren til høyre): I I z sin(θ) =Im(z) 1 cos(θ) sin(θ) θ R z Re(z) = z cos(θ) θ R Siden førstekoordinaten er realdelen, og andrekoordinaten er imaginærdelen til z får vi dermed Sammenheng mellom paret (realdel, imaginærdel) og paret (absoluttverdi, argument) Re(z) = z cos(θ) (8) Im(z) = z sin(θ) Re(z) +Im(z) = z Den nederste likningen er Pytagoras eller, om vi vil, definisjonen av z. Den følger også avdetoover,men den er ofte nyttig å ha med som hjelpesetning ved siden av disse. Dette gir direkte hvordan vi regner om fra polar- til normalform. Eksempel Et komplekst tall er gitt på polarform som z = polar (, π).finnz på normalform. 7

8 Vi har da at ( ) ( Re(z) =cos π = 1 ) ( ) = 1 ogim(z) =sin π = ( ) = Siden z =Re(z)+Im(z)j er da z = 1+ j. Den omvendte vegen er litt mer komplisert. La oss de på hvordan vi regner om z = j tilpolarform. Det er forholdsvis enkelt å finne absoluttverdien: z = Re(z) +Im(z) = ( ) + = 8= 4 = For å finne argumentet er det nyttig å lage en figur. Jeg anbefaler at dere alltid gjør det, ihvertfall i faget Matematikk 10 der kalkulator ikke tillates til eksamen. Det er lett å tegne inn tallet z = +j, bare tegn punktet med koordinater (Re(z), Im(z)) = (, ), og linjestykket (vektoren) fra 0 (origo) til dette punktet: I +j j z = j () θ R Et blikk på figuren skulle være nok til åseatθ =π/4 (altså π/+π/4, som tilsvarer ). Mer formelt kan vi si at linjestykkene med hjørner i punktene (, 0),(, ), (, 0) og (0, 0) er et kvadrat, og at vektoren ut til z halverer dette kvadratet. Derfor er vinkelen den danner med f.eks. den negative reelle aksen π/4, og derfor vinkelen med den positive reelle aksen π π/4 =π/4. Hvis vi skulle regnet ut θ uten figur kunne vi brukt at Re(z) = z cos(θ) som gir = cos(θ), og tilsvarende Im(z) = z sin(θ) som gir = sin(θ). En måte å løse disse likningene på eråta Im(z) z sin θ) sin θ) = = Re(z) z cos(θ) cos(θ) =tan(θ) som for z = +j gir tan(θ) = = 1. Det må vises litt forsiktighet ved denne framgangsmåten. For det første virker den ikke om Re(z) =0, men i denne situasjonen ligger tallet på den imaginære aksen, og en figur vil raskt avgøre om θ = π/ eller θ = π/. Ellers er det naturlig å ta arcustangens, men dette fører ikke direkte til målet hvis θ ikke er i verdimengden til arctan som er intervallet ( π/,π/). I dette tilfellet får vi arctan( 1) = π/4, men dette er stikk motsatt retning av det vi vil. Dette skyldes at θ ikke er i verdimengden til arctan. Medisinen er da åsnuretningenvedå addere π, slik at vi får θ = π/4+π =π/4. Dette må gjøres hver gang Re(z) < 0. Konklusjonen er at ( z = +j = polar ), π/4 Et eksempel til, numeriske verdier. La nå z = j. En røff figur vil vise at θ er mellom π/ og0, altså innenfor definisjonsområdet til arctan. Dermed skal vi ikke korrigere med π som i forrige eksempel. (Kunne også sagt at vi ikke skal korrigere med π da Re(z) =19. > 0.) Vi bruker kalkultor eller Maple til utregningene,og finner: z = j = 19. +( 7.11) = =0.50 8

9 Videre er ( ) 7.11 θ =arctan = Kalkulatoren må være innstilt i radianer (hvis ikke må det korrigeres ved å multiplisere med omregningsfaktoren π/180). Dermed er z = j = polar (0.50, 0.541). Trigonometrisk form Siden et komplekst tall z på normalform er Re(z)+ Im(z)j, ogre(z) = z cos(θ) ogim(z) = z sin(θ),kan det også skrives z = z cos(θ)+ z sin(θ)j = r (cos(θ)+j sin(θ)) der r = z er absoluttverdien og θ er argumentet. Hvis vi skriver tallet på denne formen kalles det trigonometrisk form. På denne formen inngårr og θ, det regnes ikke sammen (da kommer vi tilbake til normalform). Tallene fra eksemplene i forrige avsnitt blir på trigonometrisk form: +j = ( ( ) ( )) cos 4 π + j sin 4 π j = 0.50 (cos (0.541) + j sin (0.541)). Det er de samme tallene som i polarformen vi uttrykker z med, så det er egentlig bare et litt annet oppsett på polarformen. Vi skal nå regne ut produktet av to komplekse tall på trigonometrisk form. La z 1 = r 1 (cos(θ 1 )+j sin(θ 1 )) og z = r (cos(θ )+j sin(θ )). Vi ommøblerer først litt på rekkefølgen av faktorene (ved å sette absoluttverdiene foran alt, og dessuten j ene etter sinusene): z 1 z = r 1 r (cos(θ 1 )+j sin(θ 1 )) (cos(θ )+j sin(θ )) = r 1 r (cos(θ 1 )+sin(θ 1 ) j)(cos(θ )+ sin(θ )j) Parentesene kan nå multipliseres med multiplikasjonregelen for komplekse tall på normalform (med a = cos(θ 1 ), b =sin(θ 1 ), c =cos(θ )ogd =sin(θ 1 )), og vi får: z 1 z = r 1 r ((cos(θ 1 )cos(θ ) sin(θ 1 )sin(θ )) + (cos(θ 1 )sin(θ )+sin(θ 1 )cos(θ )) j) Dette ser kanskje komplisert ut ved første blikk, men ved å bruke summeformlene for cosinus og sinus, cos(u + v) =cos(u)cos(v) sin(u)sin(v) ogsin(u + v) =sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v) baklengs, med u = θ 1 og v = θ, forenkles dette til: z 1 z = r 1 r (cos(θ 1 + θ )+j sin(θ 1 + θ )) (9) Legg merke til at dette er et uttrykk på trigonometrisk form, med r = r 1 r,ogargumentθ 1 +θ.detvilsi:vi multipliserer absoluttverdiene, og får absoluttverdien i produktet. Viadderer argumentene og får argumentet i produktet. Ved å skrive dette tilbake på polarform får vi Vi får en tilsvarende divisjonsregel: polar (r 1,θ 1 ) polar (r,θ )=polar(r 1 r,θ 1 + θ ) (10) r 1 (cos(θ 1 )+j sin(θ 1 )) r (cos(θ )+j sin(θ )) polar (r 1,θ 1 ) polar (r,θ ) = r 1 (cos(θ 1 θ )+j sin(θ 1 θ )) r ( ) (11) r1 = polar,θ 1 θ r 9

10 Dette vises enklest fra produktregelen, som en likning, med x som absoluttverdi og y som argument i kvotienten: polar (r 1,θ 1) = polar (x, y) polar (x, y) polar (r,θ) =polar(r1,θ1) polar (r,θ ) polar (x r,y+ θ )=polar(r 1,θ 1) som gir likningene x r = r 1 og y + θ = θ 1. Eksempel La z 1 = polar (4,π/) og z = polar (,π/6). Da er ( z 1 z = polar 4, π + π ) ( = polar 8, π ) ( ( π ) ( π )) =8 cos + j sin 6 =8(0+j 1) = 8j og ( z 1 4 = polar z, π π ) ( = polar, π ) ( ( π ) ( π )) ( ) = cos + j sin = j 1 = +j. Vi kan sammenlikne med multiplikasjon på normalform: ( ( ( π ) ( π )) ) 1 z 1 =4 cos + j sin =4 + j =+ j og ( ( π ) ( π )) ( ) z = cos + j sin = j 1 = +j Dette gir z 1 z =( 1) + ( 1+ )j =0+(+ )j =8j Forsøk selv å sjekke divisjonen på normalform..4 De Moivres formel Hvis z =1erz =cos(θ)+j sin(θ). Vi får da z = z z =(cos(θ)+j sin(θ)) (cos(θ)+j sin(θ)) cos(θ + θ)+j sin(θ + θ) =cos(θ)+j sin(θ) Denne typen multiplikasjon kan gjentas, og vi får for generelt heltall n Z: De Moivres formel (cos(θ)+j sin(θ)) n =cos(nθ)+j sin(nθ) (1) Formelen kan formelt vises ved et induksjonsbevis, og gjelder også forn = 0 og negative heltall. Hvis vi ikke begrenser oss til z =1får vi varianten z n =( z (cos(θ)+j sin(θ))) n = z n cos(nθ)+j sin(nθ) (1) som på polarform kan skrives polar (r, θ) n = polar (r n,nθ) Eksempel La z =1+j, ogviskalregneutz 0. Vi har z = 1 +1 = = 1/, og vi ser av en enkel figur at θ = π/4: 1+j θ = π/4 10

11 Dermed er z n på polarform ( ) ( 0 ( polar 1/,π/4 = polar 1/) ) 0, 0π/4 = polar ( 10, 5π ) Vi har at 10 = 104. Siden cosinus og sinus har periode π kan vi addere eller subtrahere et helt antall ganger π og få en vektor i samme retning, dvs. få det samme tallet. Vi har da at 5π tilsvarer 5π π = π. På trigonometrisk form, og etter litt regning på normalform, får vi da (1 + j) 0 = 104 (cos(π)+j sin(π)) = 104( 1+0j) = j = 104. Eksempel Vi skal nå finne alle komplekse tall z slik at z 8 = 0, som kan omformes til z = 8. Det vil si finne alle komplekse. røtter til 8. Vi ser lett at er en rot, men hvilke andre finnes? Vi løser dette ved ålaz være ukjent, og uttrykke z på polarform med ukjent r og θ. Vi har 8 = 8, og siden vektoren ligger langs den negative reelle aksen har 8 argumentθ = π. Vikan imidlertid bruke θ =π eller θ =5π, og generelt θ = π + k π der k er et heltall. Dette har betydning i denne problemstillingen. Vi regner ut den ukjente z (på polar- eller trigonometrisk form), og sammenlikner med 8på den tilsvarende formen: z = polar (r, θ) = polar ( r, θ ) = polar (8,π+kπ) Ved å sammenlikne absoluttverdiene ser vi at r =8,ogsidenr er et positivt reelt tall må vihar =. Deretter sammenlikner vi argumentene, og har at θ = π +kπ θ = π + k π. For k =0får vi da θ = π,fork =1får vi θ = π + π = π og for k =får vi θ = π +π = 5π. Hvis vi fortsetter med k =får vi θ = π +π = π +π. Siden dette er argumentet vi fikk for k =0med en ekstra runde, gir dette det samme tallet opp igjen. Tilsvarende får vi bare de komplekse tallene vi fik ved åvelgek =0,k =1ogk = opp igjen for andre k verdier, så vi blir stående igjen ped røtter. Setter det opp på trigonometrisk for og regner det om til normalform: ( ( π ) ( π )) ( ) k =0: cos + j sin = + j 1 = +j k =1: (cos(π)+j sin (π)) = ( 1+j 0) = ( ( ) ( )) ( ) 5π 5π k =: cos + j sin = + j 1 = j Kommentarer til eksemplet: Vi så at en av røttene var den reelle roten, som vi kjente fra før. De to komplekse røttene er komplekskonjugerte. Det gjelder generelt at komplekse røtter for et polynom med reelle koeffisienter kommer i komplekskonjugerte par. Siden absoluttverdien til alle røttene er, ligger de på en sirkel med radius og sentrum i 0 (origo) i det komplekse tallplan. Dessuten kommer argumentene med samme parvis innbyrdes avstand π/. Det vil si at de ligger jevnt fordelt langs sirkelen og danner hjørnene i en likesidet trekant. 11

12 Generelt vil røttene i likningen z n = a, dera C, på tilsvarende måte danne hjørnene i en regulær n kant. Hvis spesielt a =1hvilz = 1 være en av røttene, så punktene ligger på enhetssirkelen og det ene hjørnet kommer på den positvie reelle aksen. Likningen z n = 1 kalles sirkeldelingslikningen..5 Komplekse tall på eksponentialform Eksponentialfunksjonen kan defineres for komplekse tall på enentydigmåte, for eksempel via rekketeorien (Matematikk 0). Vi skal ikke gjennomføre dette her, men sette opp en viktig konsekvens av denne definisjonen: Eulers formel cos(θ)+j sin(θ) =e jθ (14) Den komplekse eksponentialfunksjonen har mange av de egenskapene vi kjenner for den reelle eksponentialfunksjonen, for eksempel e x e y = e x+y. Hvis x = jθ 1 og y = jθ betyr dette e jθ1 e jθ = e jθ1+jθ = e j(θ1+θ) Legg merke til at dette ikke er noe annet enn en produktregelen for komplekse tall (med absoluttverdi 1) på polarform, satt opp på en litt annen måte enn tidligere. Dette i seg selv er nesten nok til å begrunne hvorfor dette er den eneste fornuftige måten å definere e iθ. Ved hjelp av Eulers formel kan vi skrive z (cos(θ)+j sin(θ)) = z e jθ Ethver komplekst tall z kan altså skrivessomz = re jθ (med r = z ). Dette kalles eksponentialform. Siden parametrene er absoluttverdien r = z og argumentet θ er dette i grunnen bare en annen måte åskriveopp et komplekst tall gitt på trigonometrisk- eller polarform. For eksempel er +j = polar (, π/4 ), fra et tidligere eksempel. På eksponentialform skrives dette +j = e j π/4. Ved igjen åbrukeate x e y = e x+y gjelder får vi også framhvae z må være for et vilkårlig komplekt tall z = a + bj: e a+bj = e a e bj = e a (cos(b)+j sin(b)) For eksempel er e 5j = e (cos(5) + j sin(5)) = 7.89( j ) = j. Eksempel: I anvendelser i elektronikk og signalbehandling vil man ofte støte på eksponentialformen i en sammenheng der vi setter θ = ωt og z = R. Da tolkes kanskje R og ω som konstanter, og t som en reell variabel (tiden). Pådenmåten blir dette en funksjon fra de reelle tall inn i de komplekse tall: f(t) =Re jωt Siden z = R = konstant, får alle punkter samme absoluttverdi og ligger derfor på en sirkel med sentrum 0 og radius R i det komplekse tallplan. Bildet av dette blir da en partikkel som beveger seg rundt sirkelen med vinkelhastighet ω. Ved åidentifisereenvektorr med et punkt i planet, og videre med et komplekst tall, er dette egentlig det samme som den vektorvaluerte funksjonen r(t) =[ R cos(ωt),rsin(ωt)] som ble gjennomgått som et eksempel i forbindelse med vektorvaluerte funksjoner. En fordel med åtenkepådetsom komplekse tall er at regneregler for eksponentialfunksjonen (for eksempel potensregneregler, derivasjon og integrasjon) som vi kjenner fra den reelle eksponentialfunksajonen stort sett fortsatt gjelder. Vi kan også tenkepå Re jωt som en funksjon av ω. Dette skifte av ståsted (mellom tidsrommet og frekvensrommet ) er et viktig aspekt ved bruken av denne funksjonen i anvendelser. 1

13 Komplekse tall og Maple I Maple brukes stor I som navn på den imaginære enhet. Dette fordi bokstavene i og j ofte brukes i andre sammenhenger. Regning med komplekse tall på normalform er da rett fram: > (+*I)*(1-5*I) ; 17 7I > (+*I)/(1-5*I) ; 1 1 I Komplekse løsninger på likninger gies på normalform: > solve(x^+*x+5=0,x) ; 1+I, 1 I > solve({x+i*y=.0, I*x+5*y=1.0-I},{x,y}) ; {x = I, y = I} Kommandoen for polarform er polar. Hvis vi setter inn et tall på normalform gjøres det om til polarform: > polar(1+i), polar(-+i), polar(-.+i); ( π ) ( ( ) ) 5 1 polar,, polar, arctan + π, polar ( , ) 4 Hvis kommandoen polar gies med to reelle argumenter, oppfattes disse som absoluttverdi (modul) og argument. For å tvinge fram en omregning til normalform kan vi bruke kommandoene evalc (EVALuate to Complex number, jfr. evalf). > polar(,pi/), evalc(polar(,pi/)); ( polar, π ), 1+ I Hvis vi tar eksponentialfunksjonen til et komplekst tall med desimalverdier regnes den om til normalform av seg selv. Hvis vi derimot har gitt den med eksakte verdier eller symboler må vibrukeevalc for åfåden på normalform: > exp(.0+5.0*i), exp(x+i*y), evalc(exp(x+i*y)); I, e x+iy, e x cos(y)+ie x sin(y) Vi kan få realdelen av et komplekst tall ved kommandoen Re, og imaginærdelen med Im: > Re(+4*I), Im(+4*I), Re(polar(11,Pi/7)), Im(polar(11,Pi/7)); ( π ) ( π ), 4, 11 cos, 11 sin 7 7 Absoluttverdien (modulen) får vi ved kommandoen abs, argumentet med kommadoen argument: > abs(+4*i), argument(+4*i), abs(polar(11,pi/7)), argument(polar(11,pi/7)); ( ) 4 1 5, arctan 11, 7 π 1

14 4 Oppgaver 4.1 Normalform Oppgave 1.1 Regn sammen til normalform a) (+j)+( 1+j) ( j) b) (+j)( + j) c) (+4j)( 4j) d) j(1 + j) e) j 4 f) g) j +j h) 1 +4j 1+j j Oppgave 1. a) Finn z (på normalform) fra likningen b) Finn z (på normalform) fra likningen ( j) z = 1+j +5j 1 j z =4+j c) Finn z 1 og z (på normalform) fra likningssystemet z 1 + jz = 1 z 1 +z = j d ) Finn de komplekse tallene x og y, skrevet på normalform, som oppfyller følgende likningsystem x jy = 0 jx + y = 4j. Oppgave c var eksamensoppgave 5a i MM1, april 00 (dvs. utsatt prøve) Oppgave 1. Regn sammen til et polynom (med variabel x): (x ( 1+j)) (x ( 1 j)) 4. Polarform Oppgave.1 Gjør om til normalform: ( ) a) (cos(π/4) + j sin(π/4)) b) polar, π/4 c) cos(π/) + j sin(π/) d) 4e jπ/6 14

15 Oppgave. Finn absoluttverdi (modul, z ) ogargument(θ) for: a) 1+j b) 1 j c) 1+j d) 1 j e) 1+ j f) 1+ j g) 4j h) 15 Oppgave. Utfør følgende utregninger eksakt, og uten kalkulator: La z 1 =(cos(π/4) + j sin(π/4)) og z =4e jπ/6. a) Regn ut z 1 z,oggisvaretpå trigonometrisk og eksponentilaform. b) Finn z 1 z på normalform (du vet fra.1a og.1d hva z 1 og z er på normalform). c) Bruk svaret til å finne eksakt verdi av sin(5π/1) Oppgave.4 Utfør følgende utregninger eksakt, og uten kalkulator: La z = 1+ j. a ) Gjør om z til polarform. b) Regn ut z 10 med de Moivres formel. Svaret skal gies på polar- og trigonometrisk form. c) Regn ut z 10 på normalform. 15

16 5 Fasit Oppgave 1.1 a) (+j)+( 1+j) ( j) =(+( 1) ) + ( + 1 ( 1))j = 1+5j b) (+j)( + j) =( ) + ( + )j =1j c) (+4j)( 4j) =( ( 4)) + ( ( 4) + 4 )j =( +4 )+0j =5 d ) Enklere enn formel : j 1+j j = j 1= 1+j e) j 4 = ( j ) =( 1) =1 f) 1 +4j 4j 4j = 4j +4 = j g) j j +j ( ( 1) ( 1)) + ( ( 1) + ( 1) )j = +j +1 = 8 6j = j h) 1+j j j j j ( 1) = j j 0 = =1 j +1 1 Oppgave 1. a ) b) Dividerer begge sider med j og får z = z = 1+j j 1 j +5j = ( 1+j)( + j) ( j)( + j) = (4 + j) = ( 1 j)( 5j) ( + 5j)( 5j) ( 1 1) + ( 1 1+ )j +1 = 5+5j = j 1 + j 1 49 (4 + j) = (4 + j) = ( 49 8j) = j c) Løser ut z 1 fra første likning til z 1 =1 jz. Setter dette inn i andre likning: (1 jz )+z =j ( j)z = 1+j Dette er samme likning som a oppgaven, med løsning z = j. Setter så inn dette for å finne z 1 : z 1 =1 jz =1 j ( ) j =1+ 1 j 1 j = + 1 j d ) Fra den første likningen har vi x = jy, som kan settes inn i den andre: j jy+y = 4j y +y = 4j y = 4j Finner deretter x som x = jy = j(1 j) =j j =+j =1 j Oppgave 1. Multipliserer sammen ledd for ledd, og behandler de komplekse tallene i første omgang som enkelt ledd: (x ( 1+j)) (x ( 1 j)) = x x( 1 j) ( 1+j)x +( 1+j)( 1 j) = x [( 1 j)+( 1 j)] x +( 1+j)( 1 j) Regner sammen ( 1 j)+( 1 j) = +0j = og( 1+j)( 1 j) =1 + = 5, og setter inn dette til x ( )x +5=x +x +5 Det som er gjort her er det motsatte av å løse likningen x +x + 5 = 0, med røtter 1 ± j. Disse røttene gir opphav til faktoriseringen x +x +5=(x ( 1+j)) (x ( 1 j)). 16

17 Oppgave.1 a) ( /+j /) = + j ( b) (cos(π/4) + j sin(π/4)) = /+j / ) = 1+j c) 0+j( 1) = j ( ) d) 4(cos(π/6) + j sin(π/6)) = 4 /+j 1/ = +j Oppgave. For å finne absoluttverdi og argument (med eksakte verdier) anbefales å tegne inn tallene i det komplekse tallplan. a, b, c, d Gjør dette for oppgavene a), b), c) og d) i samme tegning: Alle fire har modul z = 1 +1 = I 1+j j 1+j 1 R 1 1 j 1 j j Vi ser at vinkelen linja ut til 1 + j danner med den positive reelle aksen er 45.Detvilsiatθ = arg(1 + j) =π/4. Fordeandreervinkleneπ/4 pluss et helt antall rette vinkler, og vi har derfor arg( 1+j) =π/4+π/ =π/4, arg( 1 j)=π/4+π =5π/4 og arg(1 j) =π/4+π/ =7π/4 e, f Både 1 + j og 1+ j har modul z = 1 + = Lager figur får å se argumentene: I 1+ j j 1+ j j z = 1 Vi gjenkjenner (forhåpentligvis) en trekant, da hypotenusen er dobbelt så langsomden korteste kateten. Derfor har vi en 60 vinkel for 1 + j. For 1+ j mangler det 60 pååvære 180,så dette er en 10 vinkel. Omregnet til radianer gir dette 1 R arg(1 + j) =π/, arg( 1+ j) =π/ 17

18 g ) h ) Tallet 4j finnes 4 enheter oppover på den imaginære aksen (tegn figur selv). Derfor er 4j =4og θ =arg(4j) =π/ Tallet 15 finnes 15 enheter til venstre på den reelle aksen (tegn figur selv). Modulen er 15 =15(Obs: Ikke 15!). Vinkelen til den positive reelle aksen er 180 (Obs: Ikke 0!), så θ =arg( 15) = π Oppgave. a) På eksponentialform er z 1 =e jπ/4, og multiplikasjonen er ( ( ) ( )) 5 5 e jπ/4 4e π/6 = 4e j(π/4+π/6) =8e j5π/1 =8 cos 1 π + j sin 1 π b) z 1 =( /+j /) = + j z =4(cos(π/6) + j sin(π/6)) = 4( /+j 1/) = +j Dette gir på normalform multiplikasjonen ( + j)( +j) =( ) + ( + )j =( 6 ) + ( 6+ )j c) Ved å sammenlikne imaginærdelene på detouttrykkeneforz 1 z finner vi ( ) 5 8sin 1 π = 6+ ( ) 5 sin 1 π = = 8 4 Oppgave.4 a ) Vi fant i oppgave.f at z = (cos(π/) + j sin(π/)). På polarform er dette polar (, ) π b) ( z 10 = polar, ) 10 π = polar ( 10, 0π/ ) Det er hensiktsmessig å bruke et mindre argument ved å trekke fra et passende antall ganger π, og siden π =6π =18π/ tilsvarer 0π/ argumentet0π/ 18π/ =π/: ( ( ) ( )) z = polar (104, π/) = 104 cos π + j sin π c ) Regner om z 10 til normalform: ( z 10 = ) + j = j 18. oktober 004, Hans Petter Hornæs 18

Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst Hans Petter Hornæs Versjon per

Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst Hans Petter Hornæs Versjon per Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 004. Hans Petter Hornæs Versjon per 6.10.04. I Matematikk 10 er en kort innføring i komplekse tall pensum. Dette er dekket i Lorentzen,

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

Komplekse tall og Eulers formel

Komplekse tall og Eulers formel Komplekse tall og Eulers formel Harald Hanche-Olsen 2011-03-24 1. Oppvarming Jeg vil anta at leseren er kjent med komplekse tall, men vil likevel si noen ord om temaet. Naivt kan man starte med bare å

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag.

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon per. juni 004 Matematikk 0 - Matematikk for data- og grafiske fag. y x Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Forord Dette kompendiet er skrevet for faget

Detaljer

Trigonometri. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi. Notat til repetisjonskurs i matematikk. Hans Petter Hornæs. E-post: hans.hornaes@hig.

Trigonometri. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi. Notat til repetisjonskurs i matematikk. Hans Petter Hornæs. E-post: hans.hornaes@hig. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon fra 2. august 2000 - Trigonometri Notat til repetisjonskurs i matematikk. Hans Petter Hornæs E-post: hans.hornaes@hig.no - Dette heftet kan brukes både

Detaljer

n-te røtter av komplekse tall

n-te røtter av komplekse tall . 29. august 2011 Eksponentialform Forrige gang så vi at e iθ = cos θ + i sin θ Dette kan vi bruke til å gjøre polarfremstillingen av komplekse tall mer kompakt: z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) = re iθ

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Separable differensiallikninger.

Separable differensiallikninger. Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 46 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver.

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/1. Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 3: Vektorer Dette kapitlet er meget spesielt og annerledes enn den matematikken

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008 Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 I dette notatet skal vi se litt på polynomdivisjon. Mange vil kjenne denne teknikken fra før, men etter siste læreplanomlegning er den ikke lenger pensum i

Detaljer

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger

Detaljer

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z KOMPLEKSE TALL. Innledning og definisjoner Mengden av komplekse tall danner en utvidelse av den reelle tallmengden. Denne utvidelsen skjer ved at vi innfører en ny størrelse (et tall) i som er slik at

Detaljer

Fasit, Implisitt derivasjon.

Fasit, Implisitt derivasjon. Ukeoppgaver, uke 8, i Matematikk, Implisitt derivasjon. 5 Fasit, Implisitt derivasjon. Oppgave Vi kaller den deriverte av y for y, og dette blir første ledd. Andre ledd må deriveres med kjerneregelen,

Detaljer

FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn

FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Vurderingskriterier vedleggsnummer Samanlikne

Detaljer

Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 15. november 2012 Hjelpemiddel: Kalkulator

Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 15. november 2012 Hjelpemiddel: Kalkulator Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 15. november 2012 Hjelpemiddel: Kalkulator Oppgave 1 a) Finn alle løsningene til likningen 10x 100 = 90x 1. b) Finn alle løsninger v til likningen slik at 0 v 4π. 2 cos

Detaljer

Regning med tall og bokstaver

Regning med tall og bokstaver Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger

Detaljer

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1 Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem

Detaljer

Sinus 1T > Tallregning og algebra

Sinus 1T > Tallregning og algebra 8 Sinus T book.indb 8 Sinus T > Tallregning og algebra 04-0- 6:7:0 Tallregning og algebra MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne regne med rotuttrykk, potenser med rasjonal eksponent og tall på standardform,

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på

Detaljer

Dette er en FORELØBIG versjon fra 13. juni 2001, for korrektur og kommentarer!

Dette er en FORELØBIG versjon fra 13. juni 2001, for korrektur og kommentarer! MATEMATIKK Dette er en FORELØBIG versjon fra 3. juni 00, for korrektur og kommentarer! Det har tatt adskillig mer tid å skrive dette enn antatt. Noen konsekvenser av dette: Kapittel 8, lineær algebra,

Detaljer

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...

Detaljer

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sinθ = 3

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sinθ = 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.7 99 Vi deriverer to ganger: = A 1 cos(ln) B1 sin(ln) = A 1 cos(ln) A 1 sin(ln)+b 1 sin(ln) B 1 cos(ln)

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO: 9. desember 0 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: HnsPetterHornæsogLrsNilsBkken

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011. 1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si

Detaljer

Forkurshefte i matematikk variant 1

Forkurshefte i matematikk variant 1 Forkurshefte i matematikk variant 1 2014 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO (Plan for kurset: se side 3) Forord Velkommen til Universitetet i Oslo (UiO), og til forkurs i matematikk! Dette

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter.

Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter. Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter. Dersom man ofte ikke er intressert i å finne eksakte løsninger kun sikkre interval, er ulikheter

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel A. c) tan + sin0 + d) sin60 tan0 A. B. A y sin0 0 sin0 cos0 y 0 y cos0 C 60 D cos AD 0 6 B AD 0 cos 0 CD AD B.6 A tan60 CD BD BD BD tan60 6 AB AD

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007 Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK.

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. Som foreleser/øvingslærer for diverse grunnkurs i matematikk ved realfagstudiet på NTNU har jeg prøvd å skaffe meg en viss oversikt over de nye studentenes

Detaljer

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene. Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan

Detaljer

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Sensurveiledning Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Figuren viser hvordan en nettside forklarer en metode for addisjon og

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014 Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet

Detaljer

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 Delkapittel 2.1 Plangeometriske algoritmer Side 1 av 7 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 2.1 Punkter, linjesegmenter og polygoner 2.1.1 Polygoner og internett HTML-sider kan ha

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,

Detaljer

En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter.

En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter. Algebra Variabel Konstant trekke sammen Algebra er bokstavregning. Det er et verktöy som forenkler regneoperasjonene i forskjellige omrôder av matematikken. Bokstavene er symboler for tall og skal behandles

Detaljer

Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Tall og algebra

Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Tall og algebra FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matte TRINN: 9.trinn Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Tall og algebra Eleven skal kunne -

Detaljer

ÅRSPLAN. Grunnleggende ferdigheter

ÅRSPLAN. Grunnleggende ferdigheter ÅRSPLAN Skoleåret: 2015/16 Trinn: 5 Fag: Matematikk Utarbeidet av: Trine og Ulf Mnd. Kompetansemål Læringsmål (delmål) kriterier for måloppnåelse Aug Sep Okt Nov Beskrive og bruke plassverdisystemet for

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr 4 Hvordan du regner med bokstaver, likninger og formler (elementær algebra) Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com 1 Opplsning: Faste,

Detaljer

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup Brukerveiledning for webapplikasjonen Mathemateria 01.02.2015 Terje Kolderup Innhold Brukerveiledning for webapplikasjonen...1 Mathemateria...1 Introduksjon...3 Typisk eksempel og bryterstyring...3 Innlogging...4

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Løsning, Oppsummering av kapittel 10.

Løsning, Oppsummering av kapittel 10. Ukeoppgaver, uke 36 Matematikk 3, Oppsummering av kapittel. Løsning, Oppsummering av kapittel. Oppgave a) = +, = + z og z =z +. b) f(,, z) = +, + z,z + så (f(, 3, ) = +3, 3+, +3=7, 3, 5 c ) Gradienten

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

1. trinn. 2. trinn 3. trinn 4. trinn 5. trinn 6. trinn 7. trinn

1. trinn. 2. trinn 3. trinn 4. trinn 5. trinn 6. trinn 7. trinn 1 Levanger kommune, læreplaner NY LÆREPLAN 2006: Matematikk Grunnleggende ferdigheter: - å kunne uttrykke seg muntlig i matematikk - å kunne uttrykke seg skriftlig i matematikk - å kunne lese i matematikk

Detaljer

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent MATEMATIKK: 2 Likninger 2 Likninger 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent Ulike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolen brukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempel

Detaljer

Ordliste matematikk. Addere (addisjon) Areal. Divisjon. Addere er å "legge sammen" tall.

Ordliste matematikk. Addere (addisjon) Areal. Divisjon. Addere er å legge sammen tall. Ordliste matematikk Addere (addisjon) Addere er å "legge sammen" tall. Regnetegnet for addisjon er +. 3+4 er en addisjon. Summen er 7. Tallene som adderes kalles ledd. Areal Areal er et mål for hvor stor

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Sensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013

Sensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013 Sensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013 Oppgave 1 a) =2 = 5 2 =5 2 = = 25 4 = 25 8 Full uttelling gis for arealet uttrykt over. Avrundinger gis noe uttelling. b) DC blir 5 cm og bruk av

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 5. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

RAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK ELEVER 2015

RAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK ELEVER 2015 RAMMER FOR MUNIG EKSAMEN I MAEMAIKK EEVER 2015 Fagkoder: MA1012, MA1014, MA1016, MA1018, MA1101,MA1105, MA1106, MA1110, REA3021, REA3023, REA3025, REA3027, REA3029 Årstrinn: Vg1, Vg2 og Vg3 Gjelder for

Detaljer

Prosent- og renteregning

Prosent- og renteregning FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Noen forhåndsdefinerte variabler......................

Detaljer

Eksakte svar brøk og kvadratrøtter

Eksakte svar brøk og kvadratrøtter Ellen Konstanse Hovik Eksakte svar brøk og kvadratrøtter Som lærer i matematikk gjennom mange år og for mange ulike grupper fra ungdomsskole via teknisk fagskole til lærerutdanning opplever jeg stadig

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM

MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings- og

Detaljer

MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra:

MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra: MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra: 1. sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker, prosent, promille og tall på standardform, uttrykke slike tall på varierte

Detaljer

Emne 11 Differensiallikninger

Emne 11 Differensiallikninger Emne 11 Differensiallikninger Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et system eller en prosess, basert på de balanselikningene vi har satt opp for prosessen. (Matematisk modellering). Vi

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Side 1 av 9 Periode 1: UKE 34-UKE 39 Tema: Statistikk gjennomføre undersøkelser og bruke databaser

Detaljer

K A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo

K A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo K A L K U L U S Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok ved Klara Hveberg Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forord Dette er en samling løsningsforslag som jeg opprinnelig

Detaljer