Komplekse tall og trigonometri

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Komplekse tall og trigonometri"

Transkript

1 Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger. Men kan vi ikke det, spør du? Vel, vi vet at en generell andregradslikning har løsningsformel ax + bx + c = 0 x = b ± b 4ac, (.) a men vi har ikke brukt denne formelen fullt ut. (Det i seg selv er også en god grunn til å innføre komplekse tall.) Når uttrykket b 4ac under rottegnet i (.) er negativt, har vi til nå sagt at andregradslikningen har ingen løsning. Det er fordi den ikke har noen løsninger blant de reelle tallene. Det fins imidlertid flere tall, og blant disse kan vi alltid finne løsninger på alle andregradslikninger. Disse tallene kalles komplekse tall (men ikke tenk på ordet kompleks som vanskelig!), og de vil vi trenge. I dette kapittelet skal vi innføre komplekse tall, og i den forbindelse får vi også bruk for trigonometri.. Komplekse tall Først en kort introduksjon: 6

2 Problemet vårt er altså at vi ikke kan trekke røtter av negative tall når vi jobber med reelle tall. Det fins imidlertid en løsning på dette problemet: Vi tenker oss at det fins et tall i, kalt den imaginære enheten, med egenskapen i =. (.) Eksistensen av et tall som opphøyd i andre potens gir et negativt tall vil gjøre at vi kan trekke røtter av negative tall: Hvis vi går ut ifra at vanlige regneregler gjelder fremdeles vil vi ha at (ib) = i b = ( )b = b for enhver b R. Så hvis b 0 vil det negative tallet b iallefall ha minst én kvadratrot, nemlig ib. Tall på formen ib tenker vi oss som imaginære tall. Komplekse tall blir da tall som kan skrives som summen av et reelt tall og et imaginært tall. Vi kan så regne med disse tallene på vanlig måte, bortsett fra at vi hele tiden må huske at i =. Formelt går vi frem slik: Definisjon. Et komplekst tall z er et tall som angis på formen z = a + ib der a, b R. Mengden av alle slike tall kalles de komplekse tallene og betegnes C. Eksempel. Tallet er et komplekst tall med a = z = + i og b =. Et komplekst tall a + ib skriver vi av og til på formen a + bi. Hvis a = 0 skriver vi 0 + ib = ib. Slike tall kalles som sagt imaginære dersom b 0. Hvis b = 0 skriver vi a + i0 = a. Det reelle tallet a blir dermed identifisert med det komplekse tallet a + i0. Spesielt har vi at 0 = 0 + i0. 7

3 Vi har et par navn til: Tallet a kalles gjerne realdelen til z = a + ib og skrives Re(z), mens tallet b kalles imaginærdelen til z og skrives Im(z). For eksempel er Re( + i) = og Im( + i) =. Ethvert reelt tall a er altså et komplekst tall siden a = a + 0i. Vi har dermed utvidet de reelle tallene og fått noen ekstra tall å regne med. Dette skal få stor betydning, men ikke for selve regningen. Vi skal regne akkurat som før, dvs. bruke regnereglene for reelle tall, bare vi husker at i =. Vi minner om reglene vi forholder oss til: Teorem. (Regneregler for R) La a, b og c være reelle tall. Da er følgende regler oppfylt: a + b = b + a (addisjon er kommutativ) a + (b + c) = (a + b) + c (addisjon er assosiativ) a + 0 = 0 (tallet 0 er nullelementet) a a = 0 (additiv invers) ab = ba (multiplikasjon er kommutativ) a(bc) = (ab)c (multiplikasjon er assosiativ) a = a (tallet er identitetselementet) a a = (multiplikativ invers, a 0) a(b + c) = ab + ac (multiplikasjon distribuerer over addisjon) Når vi regner med komplekse tall, bruker vi Teorem. og tenker på i som et symbol. Når vi kommer til en potens av i, bruker vi regelen i =. La oss se på de vanlige regneoperasjonene: 8

4 Eksempel.4 Vi vil summere tallene + i og 5 6i. Vi får at ( + i) + (5 6i) = i 6i = 7 i. Vi ser at vi får summen ved å summere realdelene og imaginærdelene: ( + i) + (5 6i) = 7 i, som er et nytt komplekst tall med realdel 7 og imaginærdel. Hvis vi vil multiplisere tallene gjør vi bruk av parentesregning: ( + i)(5 6i) = 0 i + 5i (i)(6i) = 0 + i 8i = 0 + i 8( ) (siden i = ) = 0 + i + 8 = 8 + i, et komplekst tall med realdel 8 og imaginærdel. La oss dividere tallene med hverandre. Hvordan får vi + i 5 6i på formen til et komplekst tall (a + ib)? Da må vi få et reelt tall i nevneren. Det gjør vi ved å bruke. kvadratsetning (også kalt konjugatsetningen) som sier at (r + s)(r s) = r s. I vårt tilfelle utvider vi brøken med faktoren 5 + 6i, slik at vi kan bruke konjugatsetningen på nevneren: ( + i)(5 + 6i) (5 6i)(5 + 6i) = ( + i)(5 + 6i) 5 (6i) VIKTIG: Siden i =, er nevneren 5 ( 6) = = 6. Telleren kan vi regne ut ved å multiplisere ut som ovenfor, og vi får ( + i)(5 + 6i) = 8 + 7i (sjekk!), dvs. + i 5 6i = 8 + 7i 6 = i, 9

5 et komplekst tall med realdel 8 6 og imaginærdel 7 6. Vi ser nå en god grunn til at vi må kunne regne med symboler: slik at vi kan regne med komplekse tall, slik at vi kan løse andregradslikninger, slik at vi kan løse differenslikninger... Generelt har vi følgende resultat om regneoperasjoner på C (du skal absolutt ikke pugge disse, men regne ut som i Eksempel.4 i hvert tilfelle): Teorem.5 La z = a + ib og w = c + id være komplekse tall. Da har vi z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) zw = (ac bd) + i(bc + ad) w z = ac+bd a +b + i ad bc a +b, dersom z 0 Bemerkning.6 Formelt er ikke dette et teorem, men faktisk selve definisjonen av regneoperasjonene for komplekse tall. Utifra disse kan man vise at Teorem. gjelder for komplekse tall også, dvs. vi kan erstatte a, b og c med komplekse tall og resultatene gjelder fortsatt. Vi legger merke til at hvis z = a + ib vil vi få z = a ib. Med trikset for dividering i Eksempel.4 kan vi også finne hva z z = a + ib = a ib (a + ib)(a ib) = a ib a + b = a a + b er når z 0: b i. (.) a + b Utregningen (.) leder oss rett over i en spesiell regneoperasjon for komplekse tall kalt konjugering (som også er grunnen til at. kvadratsetning kalles konjugatsetningen). Definisjon.7 Hvis z = a + ib er et komplekst tall, kalles a ib det konjugerte tallet til z. Vi betegner det med z, og sier at z og z er konjugerte (til hverandre). 40

6 Eksempel.8 Det konjugerte tallet til + i er + i = i. Bemerkning.9 Hvis a er et reelt tall, er a = a. Omvendt, hvis z = a + ib og z = z, er a + ib = a ib, dvs. b = b, så b = 0, og z er et reelt tall. Vi har at tallene som er lik sin egen konjugert er de reelle tallene. For reelle tall gir altså ikke konjugering noe nytt, men for komplekse tall er konjugering en nyttig operasjon, og den oppfører seg veldig pent. Vi kan for eksempel konjugere først og så bruke en av våre fire regneoperasjoner, eller bruke regneoperasjonene først og konjugere etterpå. Eksempel.0 Vi konjugerer produktet fra Eksempel.4: ( + i)(5 6i) = 8 + i = 8 i. La oss se at vi får samme svar ved å regne produktet av de konjugerte tallene: ( + i)(5 6i) = ( i)(5 + 6i) = 0 5i + i + 8 = 8 i. Vi har vist at ( + i)(5 6i) = ( + i)(5 6i). I en av oppgavene til dette kapittelet skal du få lov til å vise følgende resultat: Teorem. La z og w være komplekse tall. Da har vi z + w = z + w z w = z w zw = z w 4

7 (z/w) = z/w, der w 0 Vi merker oss videre at z + z = a + ib + (a ib) = a = Re(z), som er et reelt tall, så z + z R. (.4) Tilsvarende er z z = a + ib (a ib) = ib = i Im(z), som er et imaginært tall. Vi merker oss også at (z) = z. La oss ta fatt på grunnen til at vi innførte komplekse tall, som er å kunne løse andregradslikninger. Siden vi nå har innført i slik at i =, kan vi ta kvadratroten av, og vi skriver = i. La y R, y > 0. Da er (i y) = i y = y < 0. Vi definerer derfor kvadratroten til y ved y = i y. Med denne notasjonen viser det seg at formelen (.) for løsningene til en andregradslikning alltid er riktig, også når b 4ac < 0. Eksempel. Vi vil løse likningen z z + = 0 4

8 og setter inn i formelen (.) z = ± 4 = ± 8. Siden 8 = i 8 = i får vi z = ± i = ± i, så løsningene til likningen vår er +i og i, dvs. komplekse løsninger som er konjugerte til hverandre. Bemerkning. Vi bruker ofte z som variabel istedenfor x for å minne oss på at vi tillater komplekse løsninger. På grunn av ±-tegnet i løsningsformelen (.), ser vi at når vi får komplekse løsninger i en andregradslikning (med reelle koeffisienter), vil vi alltid få konjugerte løsninger: Teorem.4 La r være en kompleks løsning av likningen az + bz + c = 0 (der a, b, c R). Da er r også en løsning. Vi kan dermed oppsummere: Teorem.5 Når vi løser en andregradslikning az + bz + c = 0 vil ett av tre tilfeller skje: ) To ulike reelle løsninger r og r. For eksempel likningen z + z = 0 med løsninger r = og r =. ) Én reell løsning r. I dette tilfellet er andregradsuttrykket az + bz + c et fullstendig kvadrat. For eksempel likningen z z + = 0 4

9 gir (z ) = 0 og løsning r =. ) To komplekse løsninger r og r (der r ikke er reell). For eksempel z z + = 0 med løsninger r = + i og r = i. Vi skal nå nærme oss en annen måte å angi et komplekst tall på, og da skal vi få hjelp av geometrien. Vi vet at et reelt tall a kan tolkes som et punkt på tallinjen: a R Hvis vi velger ut et punkt på tallinjen som vi lar representere tallet 0, kan vi angi et reelt tall på tallinjen ved å si hvor stor avstand tallet har til 0, og på hvilken side av 0 det ligger (fortegnet til tallet). Hvordan kan vi tolke et komplekst tall geometrisk? Siden et komplekst tall er på formen a + ib, har vi to reelle tall å forholde oss til. Det tilsier at vi må bevege oss opp fra tallinjen og ut i planet. Vi beholder tallinjen med tallet 0, og tegner en ny akse vinkelrett på tallinjen i punktet 0. Vi er vant til å kalle disse aksene x- og y-aksen. Vi skal nå kalle dem den reelle aksen R og den imaginære aksen ir, og vi lar tallet a + ib svare til punktet i planet med koordinater a på den reelle aksen og b på den imaginære aksen: ir ib a + ib 0 a R 44

10 Vi kan altså tolke et komplekst tall geometrisk som et punkt i planet. Eksempel.6 Den imaginære enheten i = 0 + i tilsvarer punktet (0, ): ir i i R Tallet + i tilsvarer punktet (, ): ir i i + i R Bemerkning.7 Vi husker fra Kompendium at et -tuppel også kan tolkes som et punkt i planet, og at et -tuppel kan tenkes på som en vektor i R. Vi kan derfor også tenke på et komplekst tall a + ib som vektoren (a, b). Istedenfor å angi koordinatene på den reelle og imaginære aksen kan vi angi et komplekst tall a + ib 0 i planet ved å angi dets avstand ρ (leses ro ) fra origo, og vinkelen θ (leses teta ) som vektoren (a, b) danner med den positive reelle aksen: 45

11 ir ib ρ a + ib 0 θ a R Legg merke til at vi gjør bruk av greske bokstaver, se Tillegg E. Før vi går videre trenger vi å si litt om vinkler. For å regne med vinkler trenger vi også en hensiktsmessig måte å måle vinkler på.. Vinkler og radianer En vinkel er en form som dannes av et punkt og to stråler (kalt vinkelbein) fra punktet. Vi plasserer ofte en vinkel i et koordinatsystem ved å la punktet være origo og det ene vinkelbeinet være den positive x-aksen. Det andre vinkelbeinet er da også en stråle ut fra origo, og vi måler vinkler mot klokka: 0 θ Vi kan altså tenke på en vinkel som en sirkelbue, der vi går langs buen mot klokka (ψ leses psi ): 46

12 ψ Tradisjonelt sier vi at vinkelen som dannes når vi har gått en full sirkel måler 60. Dette har vi fra sumerne som levde ca. 000 f. Kr. Blant annet oppfant de hjulet og de brukte et 60-tallssystem. Når man skal regne med vinkler er det imidlertid et annet vinkelmål som viser seg å være mer hensiktsmessig enn grader med benevningen. Dette vinkelmålet kalles radianer og er uten benevning. (Radianer er ikke pensum i MX, så samtidig som vi innfører dette begrepet, kommer også noen resultater som dere har sett for grader.) Vinkelmålet radianer bygger på følgende observasjon: En vinkel dannes av en sirkelbue med buelengde β (leses beta ) og tilhørende radius ρ. For én og samme vinkel kan man ha (uendelig mange) sirkelbuer av ulik størrelse. Her har vi tegnet to sirkelbuer: β B ρ R Uansett hvilken av disse sirkelbuene vi bruker, er forholdet mellom buelengden og den tilhørende radiusen det samme! Dvs. at β ρ = B R 47

13 i tegningen ovenfor. Dette forholdet kalles radian og gir oss vinkelmålet vi ønsker oss. Vi måler altså en vinkel ved å ta en av sirkelbuene som vinkelen danner, og se på forholdet mellom buelengden og radiusen til sirkelbuen. Siden det ikke spiller noen rolle hvor stor sirkelbue vi bruker, dropper vi ordet sirkelbue, og bruker bare ordene buelengde og radius : radian = buelengde radius Eksempel.8 Vinkelen der forholdet mellom buelengden og radiusen er lik har vinkelmål (radian). For denne vinkelen er altså buelengden lik radiusen. Eksempel.9 Vinkelen 4.5 (radian) gir oss vinkelen der buelengde radius = 4.5, dvs. buelengden er 4.5 ganger så lang som radiusen. Det vil ca. gi oss følgende vinkel (vi merker av 4.5 radiuser langs sirkelbuen): r r r r r 0.5r Fra nå dropper vi også ordet radian, og snakker bare om et tall (uten benevning) som mål på en vinkel. Vi vet at en full sirkel med radius ρ gir buelengde β = πρ (omkretsen), så en hel sirkel gir oss vinkelen β ρ = πρ ρ = π. 48

14 Målt i grader er den samme vinkelen lik 60, så vi får følgende sammenheng mellom vinkelmålene grader og radianer: 60 = π. (.5) Bemerkning.0 Vi har nå tatt i bruk tallet π.46 i vinkelmålingen. Akkurat som radian er et forhold, er også tallet π et forhold: Uansett hvor stor en sirkel er, er forholdet mellom omkretsen og diameteren alltid det samme tallet. Dette forholdet har blitt hetende π: π = omkrets diameter. Vi kan nå bruke (.5) for å regne oss fra grader til radianer og omvendt. Eksempel. For å finne hva vinkelen lik radian (i Eksempel.8) er målt i grader, får vi regningen = π π = 60 π 57.. Generelt kan vi regne oss fra radianer til grader ved formelen (θ R) og fra grader til radianer ved (ψ R) θ = ( θ 60 π ) ψ = ψ π 60, men det er lettere å bruke sammenhengen (.5) hvis man ikke liker å huske mange formler. Eksempel. For å finne hva vinkelen 7 er målt i radianer, får vi regningen 7 = = 7 π

15 Vi legger videre merke til at vi drar med oss 60-tallssystemet inn i radianenes verden også. Mange vinkler er ekstra pene målt i radianer, i den forstand at vi kan angi dem som brøkdeler av π. Eksempel. Vi har blant annet og 0 = 60 = π = π 6, 60 = = 60 4 = π 6 = π, = π 4 = π. Fra disse finner vi flere pene vinkler, for eksempel 45 = 90 = π/ = π 4. I oppgavene skal du finne enda flere pene vinkler. Vi minner også om at vi kan finne vinkler i alle omløp. Vinkler i første omløp vil si vinkler mellom 0 og π. Positive omløp får vi ved å legge til positive heltallsmultipler av π, negative omløp får vi ved å trekke fra positive heltallsmultipler av π. På denne måten får vi at ethvert tall på tallinjen R vil gi oss en vinkel. Første omløp regnes som intervallet [0, π) (intervallet inkluderer 0, men ikke π). For å regne ut hvilken vinkel vi har i første omløp, må vi altså trekke fra/legge til positive heltallsmultipler av π til vi har en vinkel mellom 0 og π: Eksempel.4 Vi har 50π 6 = π π 6 = π 6 + 8π π 6 = 9π 6 + 8π = π + 8π, så vinkelen 50π er lik vinkelen π 6 omløp). i første omløp (der vi har trukket fra 4 50

16 . Trigonometri Fra MX husker vi at en vinkel θ tilsvarer et punkt P på enhetssirkelen (sirkelen med sentrum i origo og radius lik ) y P = (x, y) 0 θ x og vi definerer cosinus- og sinus-verdiene til en vinkel θ ved cos θ = x sin θ = y for alle θ R (siden vi nå regner θ i radianer). Det vil si at cos θ følger x-koordinaten til punktet P og sin θ følger y-koordinaten til punktet P (i alle kvadranter og omløp). Siden punktet P ligger på enhetssirkelen følger det at cos θ og sin θ, θ R. Eksempel.5 Ved å tegne ser vi at θ = 0 tilsvarer punktet P = (, 0) θ = π tilsvarer punket P = (0, ) θ = π tilsvarer punktet P = (, 0) θ = π tilsvarer punktet P = (0, ) 5

17 (tegn!). Dermed får vi følgende tabell π π θ 0 π cos θ 0 0 sin θ 0 0 Dere regnet mye med cosinus og sinus i MX, men brukte nok ofte kalkulator? Det er endel eksakte verdier (for eksempel og ) som dukker opp (spesielt) når vi regner med cosinus og sinus. Dette er fordi oppgavene vi regner gjerne ser på endel (pene) vinkler som har eksakte verdier for cosinus og sinus. Dermed vil det være lurt å kjenne igjen disse eksakte verdiene, og ikke minst å vite hvordan vi finner dem: Vi kommer veldig langt med cosinus- og sinus-verdiene til vinklenen π, π 6 4 og π. Til dette bruker vi følgende to trekanter: Trekant π 4 π 4 Trekant π 6 π Trekant er den rettvinklede likebeinede trekanten med hypotenus lik og Trekant er den halvt likesidede trekanten med hypotenus lik (sjekk vinkler og lengden til sidene!) Vi putter Trekant inn i enhetssirkelen: 5

18 π P = (, ) og får cos π 4 = sin π 4 = Vi kan nå bruke symmetri og følgende fortegnsskjema for planet y. kvadrant x 0, y 0. kvadrant x, y 0. kvadrant 4. kvadrant x x, y 0 x 0, y 0 5

19 og finne cosinus- og sinus-verdiene til π (. kvadrant), 5π 4 4 (4. kvadrant): 7π 4 (. kvadrant) og (, ) = (cos π 4, sin π 4 ) (, ) = (cos 5π 4, sin 5π 4 ) π (, ) = (cos π 4, sin π 4 ) (, ) = (cos 7π, sin 7π) 4 4 Tilsvarende kan dere gjøre med Trekant og sjekke at vi har (gjør det!) θ π 6 5π 6 7π 6 π 6 π π 4π 5π cos θ sin θ (Det kan altså være lurt å merke seg at og ) Vinkelen θ er den negative vinkelen til θ. Med vinkelen θ mener vi vinkelen som er like stor som θ, men som måles med klokka fra den positive x-aksen: 54

20 θ θ Tegn inn enhetssirkelen og overbevis deg om at cos( θ) = cos θ (.6) sin( θ) = sin θ (.7) Det fins mange flere trigonometriske sammenhenger, men vi har nå foreløpig det vi trenger..4 Polarform Vi skal nå bruke trigonometri til å gi en annen måte å presentere komplekse tall på. Et komplekst tall a + ib kan tolkes som punktet (a, b) i planet, og dette punktet kan igjen tolkes som vektoren (a, b). Vi kan nå angi det komplekse tallet a + ib ved å angi avstanden ρ fra origo, og vinkelen θ vektoren danner med den positive reelle aksen. ir ib ρ a + ib 0 θ a R 55

21 Definisjon.6 Avstanden ρ kalles modulusen, mens vinkelen θ kalles argumentet til det komplekse tallet a + ib. Vi har ρ > 0 og θ [0, π). Ved hjelp av Pythagoras setning finner vi modulusen til et komplekst tall a + ib: ρ = a + b, så ρ = a + b. (.8) For å finne argumentet θ til a + ib, bruker vi Seksjon.. Vi må bare huske at vi nå ikke er i en enhetssirkel, men på en sirkel med radius ρ, ρ > 0. Vi får dermed cos θ = a ρ (.9) sin θ = b ρ, (.0) dvs. argumentet θ er vinkelen i første omløp med cosinusverdi a ρ b (punktet ( a, b ) ligger på enhetssirkelen). ρ ρ ρ og sinusverdi Eksempel.7 For endel tall kan vi finne modulus og argument uten å regne, for eksempel er modulusen til tallet i lik, mens argumentet til i er π (se tegning i Eksempel.6). Andre tall trenger regning. Noen tall gir pene regninger, for eksempel tallet z = i gir ρ = + ( ) = 6 = 6 og (tegn og sjekk!) cos θ = = 6 sin θ = = 6 } θ = 5π. Eksempel.8 Tallet z = + i (tegning i Eksempel.6) har modulus ρ = ( ) + = = 9 = 7 56

22 og argument gitt ved og cos θ = 7 sin θ = 7 så argumentet er (kalkulator) θ.4. = 7 = 6 7, Fra (.9) og (.0) ser vi at a = ρ cos θ og b = ρ sin θ. Vi har følgende definisjon: Definisjon.9 Når vi angir et komplekst tall z ved hjelp av modulusen ρ og argumentet θ som z = ρ cos θ + iρ sin θ sier vi at z er skrevet på polarform. Når z er skrevet på formen a + ib sier vi at z er på kartesisk form. Eksempel.0 I Eksempel.7 fant vi modulus og argument til tallet z = i. Skrevet på polarform er tallet dermed z = 6 cos( 5π ) + i6 sin(5π ). Eksempel. Vi vil skrive z = 4 4i på polarform. Da finner vi modulusen ρ = 4 + ( 4) = = 4 og argumentet cos θ = 4 4 sin θ = 4 4 = = } θ = 7π 4 57

23 så polarformen til z er z = 4 cos( 7π 4 ) + i4 sin( 7π 4 ). Vi husker at det konjugerte tallet til a + ib er a ib. Hva skjer geometrisk når vi konjugerer? Det konjugerte tallet til a + ib kan tolkes som punktet (a, b), så konjugering vil tilsvare speiling om den reelle aksen: z = a + ib θ θ z = a ib Videre er modulusen til z lik modulusen til z (siden a + b = a + ( b) ) og hvis argumentet til z er θ, er argumentet til z lik θ. Eksempel. Argumentet til tallet z = i (Eksempel.7) er 5π. Dermed blir argumentet til z = + i lik 5π, og siden argumentet skal ligge i første omløp får vi 5π + π = π. (tegn og sjekk speiling!). Vi får dermed z = 6 cos( π ) + i6 sin(π ). Vi tar også med en tredje måte å skrive komplekse tall på. Denne skrivemåten vil blant annet gjøre endel formler enklere å regne med. Vi definerer først hva vi mener med uttrykket e a+ib 58

24 der e er grunntallet i den naturlige logaritmen (e.78), a, b R og i er den imaginære enheten. Når vi får inn eksponentialer har vi potensregler å følge, og de viser seg å holde for komplekse tall også, dvs. vi får: e a+ib = e a e ib. Tallet e a er et reelt tall, men hva skal vi gjøre med e ib, der eksponenten er et imaginært tall? Definisjon. Vi definerer e ib = cos b + i sin b for b R. Tallet e ib er altså det komplekse tallet med realdel cos b og imaginærdel sin b. Vi skal ikke gå nærmere inn på forklaringen rundt Definisjon., men den viser seg å være nok en fornuftig definisjon. Det kan da vises at (e ib ) n = e inb når n N. Dette betyr at (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ), (.) som kalles de Moivres formel. Hva sier formel (.)? Tallet cos θ + i sin θ er punktet P = (cos θ, sin θ) på enhetssirkelen (siden ρ = ) som tilsvarer vinkelen θ. Når vi multipliserer dette tallet med seg selv n ganger (venstresiden i (.)), sier formelen at vi får et punkt, som vi kaller P n, på enhetssirkelen (ρ er fortsatt lik ) der P n = (cos(nθ), sin(nθ)). Punktet P n tilsvarer vinkelen nθ, altså n ganger vinkelen θ. Formel (.) forteller oss dermed hvordan vi skal multiplisere punkter på enhetssirkelen med seg selv! 59

25 Eksempel.4 For n = og θ = π gir (.) at 4 (cos π 4 + i sin π 4 ) = cos( π 4 ) + i sin(π 4 ). Det gir tegningen P π 4 P π 4 P der tallet cos π 4 + i sin π 4 gir punktet P, og (cos π 4 + i sin π 4 ) gir punktet P, som gir vinkelen π 4 + π 4 + π 4 = π 4. Eksempel.5 For n = 4 og θ = π 6 gir (.) at (cos π 6 + i sin π 6 )4 = cos( π ) + i sin(π ). Tegn figur! La oss se nøyere hvorfor Definisjon. gir formelen (.): Fra Definisjon. (med θ for b) har vi (cos θ + i sin θ) n = (e iθ ) n. (.) Videre gir potensregler at (e iθ ) n = e i(nθ) (.) og vi bruker Definisjon. med nθ for b som gir e i(nθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). (.4) 60

26 Vi setter så sammen (.), (.) og (.4) og får formelen (.) (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ), som var det vi ville frem til. Vi tar nå utgangspunkt i polarformen, og får en tredje måte å skrive komplekse tall på: ρ cos θ + iρ sin θ = ρ(cos θ + i sin θ) = ρe iθ Definisjon.6 Når vi angir et komplekst tall z ved hjelp av modulusen ρ og argumentet θ som z = ρe iθ sier vi at z er skrevet på eksponentialform, også kalt kompakt polarform. Eksempel.7 Tallet z = i fra Eksempel.7 skrevet på eksponentialform er z = 6e i 5π, mens z = + i er z = 6e i π på eksponentialform. Da har vi foreløpig det vi trenger om komplekse tall til å fortsette og løse differenslikninger..5 Nå skal du kunne definisjonen av tallet i, et imaginært tall, et komplekst tall og konjugerte tall addere, subtrahere, multiplisere, dividere og konjugere komplekse tall 6

27 løse alle andregradslikninger az + bz + c = 0 der a, b, c R definisjonen av π, radian, cosinus og sinus regne med vinkler i radianer og finne eksakte verdier for cosinus og sinus til 0, π, π, π og π og tilsvarende vinkler i alle kvadranter og omløp 6 4 tolke et komplekst tall geometrisk og angi det på kartesisk form, polarform og eksponentialform forklare hva de Moivres formel sier starte en diskusjon om hvorfor kompleske tall er nyttige (du vil få flere hardtslående argumenter utover i kurset) 6

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008 Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

n-te røtter av komplekse tall

n-te røtter av komplekse tall . 29. august 2011 Eksponentialform Forrige gang så vi at e iθ = cos θ + i sin θ Dette kan vi bruke til å gjøre polarfremstillingen av komplekse tall mer kompakt: z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) = re iθ

Detaljer

Oppgavehefte om komplekse tall

Oppgavehefte om komplekse tall Oppgavehefte om komplekse tall Tore August Kro, tore.a.kro@hiof.no 11. august 009 1 Aritmetikk Eksempel 1.1 Vi skriver komplekse tall på kartesisk form z = a + ib. Tenk på i som et symbol som oppfyller

Detaljer

Et Komplekst tall på kartesisk(standard), polar(eksponentialform) og trigonometrisk form

Et Komplekst tall på kartesisk(standard), polar(eksponentialform) og trigonometrisk form Kapittel Komplekse tall.1 Kompleksetall-Oppsummering Kvadratroten av 1 må være en løsning til ligningen x = 1, om den finnes. Tallet i kalles den imaginære enheten og er det vi trenger for å definere de

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5. Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 2004. Hans Petter Hornæs Versjon per 26.10.04.

Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 2004. Hans Petter Hornæs Versjon per 26.10.04. Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 004. Hans Petter Hornæs Versjon per 6.10.04. I Matematikk 10 er en kort innføring i komplekse tall pensum. Dette er dekket i Lorentzen,

Detaljer

Kapittel 1. Funksjoner. 1.1 Definisjoner

Kapittel 1. Funksjoner. 1.1 Definisjoner Kapittel 1 Funksjoner Kurset MAT1001 dreier seg kort sagt om å lage matematiske problemer av virkeligheten og deretter løse problemene. Hittil i kurset har vi allerede møtt mange problemer, og de har så

Detaljer

Komplekse tall og Eulers formel

Komplekse tall og Eulers formel Komplekse tall og Eulers formel Harald Hanche-Olsen 2011-03-24 1. Oppvarming Jeg vil anta at leseren er kjent med komplekse tall, men vil likevel si noen ord om temaet. Naivt kan man starte med bare å

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 5. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

Forkurshefte i matematikk variant 1

Forkurshefte i matematikk variant 1 Forkurshefte i matematikk variant 1 2014 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO (Plan for kurset: se side 3) Forord Velkommen til Universitetet i Oslo (UiO), og til forkurs i matematikk! Dette

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).

Detaljer

Nicolai Kristen Solheim

Nicolai Kristen Solheim Oppgave 1. For å kunne skrive det komplekse tallet følgende endringer foretas på uttrykket. 3 3, hvor 3 og 3 på formen, hvor og, må For å kunne skrive det komplekse tallet på polarformen, må vi først finne

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 6. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter.

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter. Trekanter GeoGebra er godt egnet til å tegne trekanter og eksperimentere med dem. Vi skal nå se på hvordan vi kan tegne trekanter når vi kjenner en eller flere sider eller vinkler. Vi skal også se på hvordan

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

Skipsoffisersutdanningen i Norge. Innholdsfortegnelse. 00TM02G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå

Skipsoffisersutdanningen i Norge. Innholdsfortegnelse. 00TM02G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå Skipsoffisersutdanningen i Norge 00TM02G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå Generelt Utarbeidet av: Maritime fagskoler i Norge Godkjent av: Anne Sjøvold Versjon: 1.02 Gjelder fra: 11.08.2016

Detaljer

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan

Detaljer

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1) Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen.

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen. 5.9 Sirkellikningen Fra kapittel 4.3 vet vi at sirkelen er det geometriske stedet for de punktene som har en bestemt avstand r fra et fast punkt S. Avstanden r kaller vi radien, og punktet S kaller vi

Detaljer

Trigonometri. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi. Notat til repetisjonskurs i matematikk. Hans Petter Hornæs. E-post: hans.hornaes@hig.

Trigonometri. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi. Notat til repetisjonskurs i matematikk. Hans Petter Hornæs. E-post: hans.hornaes@hig. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon fra 2. august 2000 - Trigonometri Notat til repetisjonskurs i matematikk. Hans Petter Hornæs E-post: hans.hornaes@hig.no - Dette heftet kan brukes både

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

plassere negative hele tall på tallinje

plassere negative hele tall på tallinje Kompetansemål etter 7. trinn Tall og algebra: 1. beskrive plassverdisystemet for desimaltall, regne med positive og negative hele tall, desimaltall, brøker og prosent, og plassere dem på tallinje 2. finne

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8 10 0,0005 Oppgave (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinjen ovenfor er det merket av 1 punkter. Hvert av tallene

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene. Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn

Detaljer

Il UNIVERSITETET I AGDER

Il UNIVERSITETET I AGDER Il UNIVERSITETET I AGDER FAKULTETFOR TEKNOLOGIOG REALFAG EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: MA913 Tall og algebra Dato: 7. desember 2011 Varighet: 09.00 15.00 Antall sider inkl. forside 7 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag.

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon per. juni 004 Matematikk 0 - Matematikk for data- og grafiske fag. y x Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Forord Dette kompendiet er skrevet for faget

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007 Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk 3MX 3. juni 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver.

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/1. Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 3: Vektorer Dette kapitlet er meget spesielt og annerledes enn den matematikken

Detaljer

ÅRSPLAN. Grunnleggende ferdigheter

ÅRSPLAN. Grunnleggende ferdigheter ÅRSPLAN Skoleåret: 2015/16 Trinn: 5 Fag: Matematikk Utarbeidet av: Trine og Ulf Mnd. Kompetansemål Læringsmål (delmål) kriterier for måloppnåelse Aug Sep Okt Nov Beskrive og bruke plassverdisystemet for

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform

Detaljer

Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering

Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering Kyrkjekrinsen skole Plan for perioden: 2012-2013 Fag: Matematikk År: 2012-2013 Trinn og gruppe: 9. trinn Lærer: Torill Birkeland Uke Årshjul Geometri Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering

Detaljer

Kvadratrøtter og grønne kanarifugler-

Kvadratrøtter og grønne kanarifugler- Kvadratrøtter og grønne kanarifugler- på jakt etter rota til minus en... Kristiansand 19. februar 2004, Olav Nygaard Kvadratrot Å finne et tall som er slik at x 2 1 = 0 går greit. Hvis vi har lært at (

Detaljer

Skipsoffisersutdanningen i Norge. Innholdsfortegnelse. 00TM01G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå

Skipsoffisersutdanningen i Norge. Innholdsfortegnelse. 00TM01G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå Skipsoffisersutdanningen i Norge 00TM01G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå Generelt Utarbeidet av: Maritime fagskoler i Norge Godkjent av: Linda Gran Kalve Versjon: 2.01 Gjelder fra: 27.09.2016

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 27.01.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr 4 Hvordan du regner med bokstaver, likninger og formler (elementær algebra) Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com 1 Opplsning: Faste,

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2010. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2010. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 4.11.010 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011. 1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET Side 1 av 8

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET Side 1 av 8 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET 2016-2017 Side 1 av 8 Periode 1: UKE 33 - UKE 39 Sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker,

Detaljer

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl. 0900-100 (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

Prøveinformasjon. Høsten 2014 Bokmål

Prøveinformasjon. Høsten 2014 Bokmål Høsten 2014 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt samtidig. Del 1 skal du levere innen

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

ÅRSPLAN I MATTE 5. 7. TRINN BREIVIKBOTN SKOLE 2012-2013

ÅRSPLAN I MATTE 5. 7. TRINN BREIVIKBOTN SKOLE 2012-2013 ÅRSPLAN I MATTE 5. 7. TRINN BREIVIKBOTN SKOLE 2012-2013 Lærer: Knut Brattfjord og Hege Skogly Læreverk: Grunntall 5 a og b, 6 a og b og 7 a og b av Bakke og Bakke, Elektronisk Undervisningsforlag AS Målene

Detaljer

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets 2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...

Detaljer

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4 3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

Kapittel 1. Tallregning

Kapittel 1. Tallregning Kapittel 1. Tallregning Regning med tall er grunnlaget for mer avansert matematikk. I dette kapitlet repeteres følgende fra grunnskolen: Brøkregning Desimaltall Regning med positive og negative tall Potenser

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen 25.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen 25.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Vår 25.05.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Addisjon og. subtraksjon. Muntlig tilbake- - Bruke metoder for hoderegning, overslagsregning, skriftlig regning - Addisjon. enn

Addisjon og. subtraksjon. Muntlig tilbake- - Bruke metoder for hoderegning, overslagsregning, skriftlig regning - Addisjon. enn ÅRSPLAN I MATEMATIKK FOR 5. TRINN 2016/2017 Læreverk: Multi 5a og b Lærer: Ruben Elias Austnes Uke MÅL (K06) TEMA INNHOLD ARBEIDSFORM VURDERING - Finne verdien av et siffer HELE TALL Titallsystemet Tallinjer

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Geometri

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Geometri QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Kapittel.3 3. For eksempel: a) b) c) d) 1 e) Kapittel.4 6. 7. Denne oppgaven kan det være greit å vente med til etter

Detaljer

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel A. c) tan + sin0 + d) sin60 tan0 A. B. A y sin0 0 sin0 cos0 y 0 y cos0 C 60 D cos AD 0 6 B AD 0 cos 0 CD AD B.6 A tan60 CD BD BD BD tan60 6 AB AD

Detaljer

Generell trigonometri

Generell trigonometri 7 Generell trigonometri 7.1 et utvidede vinkelbegrepet Oppgave 7.110 Tegn vinklene i grunnstilling. a) 30 b) 120 c) 210 d) 300 Oppgave 7.111 Tegn vinklene i grunnstilling. a) 45 b) 360 c) 540 d) 720 Oppgave

Detaljer

Kapittel 7. Lengder og areal

Kapittel 7. Lengder og areal Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Trigonometri, regulære mangekanter og stjerner

Trigonometri, regulære mangekanter og stjerner Trigonometri, regulære mangekanter og stjerner Nybegynner Processing Introduksjon Nå som du kan tegne mangekanter (hvis du ikke har gjort leksjonen om mangekanter, bør du gjøre dem først), skal vi se på

Detaljer

NAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18

NAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18 NAVN: INNHOLD FORORD... 2 LÆREPLAN... 3 ALGEBRA.... 3 REGNING MED VARIABLER... 3 MONOM... 3 POLYNOM... 3 TREKKE SAMMEN UTTRYKK (addisjon/subtraksjon)... 4 MULTIPLIKASJON... 4 DIVISJON... 4 ADDISJON AV

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Side 1 av 9 Periode 1: UKE 34-UKE 39 Tema: Statistikk gjennomføre undersøkelser og bruke databaser

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (13 poeng) a) Skriv på standardform 1) 36 00 000 ) 0,034 10 b) Løs likningen x + 6x = 16 c) Løs ulikheten x x> 0 d) På tallinjen ovenfor har vi merket av 1 punkter. Hvert

Detaljer

K A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo

K A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo K A L K U L U S Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok ved Klara Hveberg Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forord Dette er en samling løsningsforslag som jeg opprinnelig

Detaljer

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6 Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene

Detaljer

Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen

Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen De følgende oppgavene er øvinger i faktorisering og multiplisering ved hjelp av konjugatsetningen /3. kvadratsetning. Gjennom oppgavene gir vi elevene

Detaljer

KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK

KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK Variant av Magnus Dehli Vigeland UNIVERSITETET I OSLO MATEMATISK INSTITUTT Innhold Oppvarming 3. Noen viktige tallmengder. Notasjon.................... 3. Mer om mengder.............................

Detaljer

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25 Side 1 av 25 INNHOLDSFORTEGNELSE INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 DEFINISJON... 4 LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG... 4 NOEN GUNNLEGGENDE GEOMETRISKE BEGREPER... 4 Punkt... 4 Linje... 4 Linjestykke... 4 Stråle...

Detaljer