Komplekse tall og trigonometri

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Komplekse tall og trigonometri"

Transkript

1 Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger. Men kan vi ikke det, spør du? Vel, vi vet at en generell andregradslikning har løsningsformel ax + bx + c = 0 x = b ± b 4ac, (.) a men vi har ikke brukt denne formelen fullt ut. (Det i seg selv er også en god grunn til å innføre komplekse tall.) Når uttrykket b 4ac under rottegnet i (.) er negativt, har vi til nå sagt at andregradslikningen har ingen løsning. Det er fordi den ikke har noen løsninger blant de reelle tallene. Det fins imidlertid flere tall, og blant disse kan vi alltid finne løsninger på alle andregradslikninger. Disse tallene kalles komplekse tall (men ikke tenk på ordet kompleks som vanskelig!), og de vil vi trenge. I dette kapittelet skal vi innføre komplekse tall, og i den forbindelse får vi også bruk for trigonometri.. Komplekse tall Først en kort introduksjon: 6

2 Problemet vårt er altså at vi ikke kan trekke røtter av negative tall når vi jobber med reelle tall. Det fins imidlertid en løsning på dette problemet: Vi tenker oss at det fins et tall i, kalt den imaginære enheten, med egenskapen i =. (.) Eksistensen av et tall som opphøyd i andre potens gir et negativt tall vil gjøre at vi kan trekke røtter av negative tall: Hvis vi går ut ifra at vanlige regneregler gjelder fremdeles vil vi ha at (ib) = i b = ( )b = b for enhver b R. Så hvis b 0 vil det negative tallet b iallefall ha minst én kvadratrot, nemlig ib. Tall på formen ib tenker vi oss som imaginære tall. Komplekse tall blir da tall som kan skrives som summen av et reelt tall og et imaginært tall. Vi kan så regne med disse tallene på vanlig måte, bortsett fra at vi hele tiden må huske at i =. Formelt går vi frem slik: Definisjon. Et komplekst tall z er et tall som angis på formen z = a + ib der a, b R. Mengden av alle slike tall kalles de komplekse tallene og betegnes C. Eksempel. Tallet er et komplekst tall med a = z = + i og b =. Et komplekst tall a + ib skriver vi av og til på formen a + bi. Hvis a = 0 skriver vi 0 + ib = ib. Slike tall kalles som sagt imaginære dersom b 0. Hvis b = 0 skriver vi a + i0 = a. Det reelle tallet a blir dermed identifisert med det komplekse tallet a + i0. Spesielt har vi at 0 = 0 + i0. 7

3 Vi har et par navn til: Tallet a kalles gjerne realdelen til z = a + ib og skrives Re(z), mens tallet b kalles imaginærdelen til z og skrives Im(z). For eksempel er Re( + i) = og Im( + i) =. Ethvert reelt tall a er altså et komplekst tall siden a = a + 0i. Vi har dermed utvidet de reelle tallene og fått noen ekstra tall å regne med. Dette skal få stor betydning, men ikke for selve regningen. Vi skal regne akkurat som før, dvs. bruke regnereglene for reelle tall, bare vi husker at i =. Vi minner om reglene vi forholder oss til: Teorem. (Regneregler for R) La a, b og c være reelle tall. Da er følgende regler oppfylt: a + b = b + a (addisjon er kommutativ) a + (b + c) = (a + b) + c (addisjon er assosiativ) a + 0 = 0 (tallet 0 er nullelementet) a a = 0 (additiv invers) ab = ba (multiplikasjon er kommutativ) a(bc) = (ab)c (multiplikasjon er assosiativ) a = a (tallet er identitetselementet) a a = (multiplikativ invers, a 0) a(b + c) = ab + ac (multiplikasjon distribuerer over addisjon) Når vi regner med komplekse tall, bruker vi Teorem. og tenker på i som et symbol. Når vi kommer til en potens av i, bruker vi regelen i =. La oss se på de vanlige regneoperasjonene: 8

4 Eksempel.4 Vi vil summere tallene + i og 5 6i. Vi får at ( + i) + (5 6i) = i 6i = 7 i. Vi ser at vi får summen ved å summere realdelene og imaginærdelene: ( + i) + (5 6i) = 7 i, som er et nytt komplekst tall med realdel 7 og imaginærdel. Hvis vi vil multiplisere tallene gjør vi bruk av parentesregning: ( + i)(5 6i) = 0 i + 5i (i)(6i) = 0 + i 8i = 0 + i 8( ) (siden i = ) = 0 + i + 8 = 8 + i, et komplekst tall med realdel 8 og imaginærdel. La oss dividere tallene med hverandre. Hvordan får vi + i 5 6i på formen til et komplekst tall (a + ib)? Da må vi få et reelt tall i nevneren. Det gjør vi ved å bruke. kvadratsetning (også kalt konjugatsetningen) som sier at (r + s)(r s) = r s. I vårt tilfelle utvider vi brøken med faktoren 5 + 6i, slik at vi kan bruke konjugatsetningen på nevneren: ( + i)(5 + 6i) (5 6i)(5 + 6i) = ( + i)(5 + 6i) 5 (6i) VIKTIG: Siden i =, er nevneren 5 ( 6) = = 6. Telleren kan vi regne ut ved å multiplisere ut som ovenfor, og vi får ( + i)(5 + 6i) = 8 + 7i (sjekk!), dvs. + i 5 6i = 8 + 7i 6 = i, 9

5 et komplekst tall med realdel 8 6 og imaginærdel 7 6. Vi ser nå en god grunn til at vi må kunne regne med symboler: slik at vi kan regne med komplekse tall, slik at vi kan løse andregradslikninger, slik at vi kan løse differenslikninger... Generelt har vi følgende resultat om regneoperasjoner på C (du skal absolutt ikke pugge disse, men regne ut som i Eksempel.4 i hvert tilfelle): Teorem.5 La z = a + ib og w = c + id være komplekse tall. Da har vi z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) zw = (ac bd) + i(bc + ad) w z = ac+bd a +b + i ad bc a +b, dersom z 0 Bemerkning.6 Formelt er ikke dette et teorem, men faktisk selve definisjonen av regneoperasjonene for komplekse tall. Utifra disse kan man vise at Teorem. gjelder for komplekse tall også, dvs. vi kan erstatte a, b og c med komplekse tall og resultatene gjelder fortsatt. Vi legger merke til at hvis z = a + ib vil vi få z = a ib. Med trikset for dividering i Eksempel.4 kan vi også finne hva z z = a + ib = a ib (a + ib)(a ib) = a ib a + b = a a + b er når z 0: b i. (.) a + b Utregningen (.) leder oss rett over i en spesiell regneoperasjon for komplekse tall kalt konjugering (som også er grunnen til at. kvadratsetning kalles konjugatsetningen). Definisjon.7 Hvis z = a + ib er et komplekst tall, kalles a ib det konjugerte tallet til z. Vi betegner det med z, og sier at z og z er konjugerte (til hverandre). 40

6 Eksempel.8 Det konjugerte tallet til + i er + i = i. Bemerkning.9 Hvis a er et reelt tall, er a = a. Omvendt, hvis z = a + ib og z = z, er a + ib = a ib, dvs. b = b, så b = 0, og z er et reelt tall. Vi har at tallene som er lik sin egen konjugert er de reelle tallene. For reelle tall gir altså ikke konjugering noe nytt, men for komplekse tall er konjugering en nyttig operasjon, og den oppfører seg veldig pent. Vi kan for eksempel konjugere først og så bruke en av våre fire regneoperasjoner, eller bruke regneoperasjonene først og konjugere etterpå. Eksempel.0 Vi konjugerer produktet fra Eksempel.4: ( + i)(5 6i) = 8 + i = 8 i. La oss se at vi får samme svar ved å regne produktet av de konjugerte tallene: ( + i)(5 6i) = ( i)(5 + 6i) = 0 5i + i + 8 = 8 i. Vi har vist at ( + i)(5 6i) = ( + i)(5 6i). I en av oppgavene til dette kapittelet skal du få lov til å vise følgende resultat: Teorem. La z og w være komplekse tall. Da har vi z + w = z + w z w = z w zw = z w 4

7 (z/w) = z/w, der w 0 Vi merker oss videre at z + z = a + ib + (a ib) = a = Re(z), som er et reelt tall, så z + z R. (.4) Tilsvarende er z z = a + ib (a ib) = ib = i Im(z), som er et imaginært tall. Vi merker oss også at (z) = z. La oss ta fatt på grunnen til at vi innførte komplekse tall, som er å kunne løse andregradslikninger. Siden vi nå har innført i slik at i =, kan vi ta kvadratroten av, og vi skriver = i. La y R, y > 0. Da er (i y) = i y = y < 0. Vi definerer derfor kvadratroten til y ved y = i y. Med denne notasjonen viser det seg at formelen (.) for løsningene til en andregradslikning alltid er riktig, også når b 4ac < 0. Eksempel. Vi vil løse likningen z z + = 0 4

8 og setter inn i formelen (.) z = ± 4 = ± 8. Siden 8 = i 8 = i får vi z = ± i = ± i, så løsningene til likningen vår er +i og i, dvs. komplekse løsninger som er konjugerte til hverandre. Bemerkning. Vi bruker ofte z som variabel istedenfor x for å minne oss på at vi tillater komplekse løsninger. På grunn av ±-tegnet i løsningsformelen (.), ser vi at når vi får komplekse løsninger i en andregradslikning (med reelle koeffisienter), vil vi alltid få konjugerte løsninger: Teorem.4 La r være en kompleks løsning av likningen az + bz + c = 0 (der a, b, c R). Da er r også en løsning. Vi kan dermed oppsummere: Teorem.5 Når vi løser en andregradslikning az + bz + c = 0 vil ett av tre tilfeller skje: ) To ulike reelle løsninger r og r. For eksempel likningen z + z = 0 med løsninger r = og r =. ) Én reell løsning r. I dette tilfellet er andregradsuttrykket az + bz + c et fullstendig kvadrat. For eksempel likningen z z + = 0 4

9 gir (z ) = 0 og løsning r =. ) To komplekse løsninger r og r (der r ikke er reell). For eksempel z z + = 0 med løsninger r = + i og r = i. Vi skal nå nærme oss en annen måte å angi et komplekst tall på, og da skal vi få hjelp av geometrien. Vi vet at et reelt tall a kan tolkes som et punkt på tallinjen: a R Hvis vi velger ut et punkt på tallinjen som vi lar representere tallet 0, kan vi angi et reelt tall på tallinjen ved å si hvor stor avstand tallet har til 0, og på hvilken side av 0 det ligger (fortegnet til tallet). Hvordan kan vi tolke et komplekst tall geometrisk? Siden et komplekst tall er på formen a + ib, har vi to reelle tall å forholde oss til. Det tilsier at vi må bevege oss opp fra tallinjen og ut i planet. Vi beholder tallinjen med tallet 0, og tegner en ny akse vinkelrett på tallinjen i punktet 0. Vi er vant til å kalle disse aksene x- og y-aksen. Vi skal nå kalle dem den reelle aksen R og den imaginære aksen ir, og vi lar tallet a + ib svare til punktet i planet med koordinater a på den reelle aksen og b på den imaginære aksen: ir ib a + ib 0 a R 44

10 Vi kan altså tolke et komplekst tall geometrisk som et punkt i planet. Eksempel.6 Den imaginære enheten i = 0 + i tilsvarer punktet (0, ): ir i i R Tallet + i tilsvarer punktet (, ): ir i i + i R Bemerkning.7 Vi husker fra Kompendium at et -tuppel også kan tolkes som et punkt i planet, og at et -tuppel kan tenkes på som en vektor i R. Vi kan derfor også tenke på et komplekst tall a + ib som vektoren (a, b). Istedenfor å angi koordinatene på den reelle og imaginære aksen kan vi angi et komplekst tall a + ib 0 i planet ved å angi dets avstand ρ (leses ro ) fra origo, og vinkelen θ (leses teta ) som vektoren (a, b) danner med den positive reelle aksen: 45

11 ir ib ρ a + ib 0 θ a R Legg merke til at vi gjør bruk av greske bokstaver, se Tillegg E. Før vi går videre trenger vi å si litt om vinkler. For å regne med vinkler trenger vi også en hensiktsmessig måte å måle vinkler på.. Vinkler og radianer En vinkel er en form som dannes av et punkt og to stråler (kalt vinkelbein) fra punktet. Vi plasserer ofte en vinkel i et koordinatsystem ved å la punktet være origo og det ene vinkelbeinet være den positive x-aksen. Det andre vinkelbeinet er da også en stråle ut fra origo, og vi måler vinkler mot klokka: 0 θ Vi kan altså tenke på en vinkel som en sirkelbue, der vi går langs buen mot klokka (ψ leses psi ): 46

12 ψ Tradisjonelt sier vi at vinkelen som dannes når vi har gått en full sirkel måler 60. Dette har vi fra sumerne som levde ca. 000 f. Kr. Blant annet oppfant de hjulet og de brukte et 60-tallssystem. Når man skal regne med vinkler er det imidlertid et annet vinkelmål som viser seg å være mer hensiktsmessig enn grader med benevningen. Dette vinkelmålet kalles radianer og er uten benevning. (Radianer er ikke pensum i MX, så samtidig som vi innfører dette begrepet, kommer også noen resultater som dere har sett for grader.) Vinkelmålet radianer bygger på følgende observasjon: En vinkel dannes av en sirkelbue med buelengde β (leses beta ) og tilhørende radius ρ. For én og samme vinkel kan man ha (uendelig mange) sirkelbuer av ulik størrelse. Her har vi tegnet to sirkelbuer: β B ρ R Uansett hvilken av disse sirkelbuene vi bruker, er forholdet mellom buelengden og den tilhørende radiusen det samme! Dvs. at β ρ = B R 47

13 i tegningen ovenfor. Dette forholdet kalles radian og gir oss vinkelmålet vi ønsker oss. Vi måler altså en vinkel ved å ta en av sirkelbuene som vinkelen danner, og se på forholdet mellom buelengden og radiusen til sirkelbuen. Siden det ikke spiller noen rolle hvor stor sirkelbue vi bruker, dropper vi ordet sirkelbue, og bruker bare ordene buelengde og radius : radian = buelengde radius Eksempel.8 Vinkelen der forholdet mellom buelengden og radiusen er lik har vinkelmål (radian). For denne vinkelen er altså buelengden lik radiusen. Eksempel.9 Vinkelen 4.5 (radian) gir oss vinkelen der buelengde radius = 4.5, dvs. buelengden er 4.5 ganger så lang som radiusen. Det vil ca. gi oss følgende vinkel (vi merker av 4.5 radiuser langs sirkelbuen): r r r r r 0.5r Fra nå dropper vi også ordet radian, og snakker bare om et tall (uten benevning) som mål på en vinkel. Vi vet at en full sirkel med radius ρ gir buelengde β = πρ (omkretsen), så en hel sirkel gir oss vinkelen β ρ = πρ ρ = π. 48

14 Målt i grader er den samme vinkelen lik 60, så vi får følgende sammenheng mellom vinkelmålene grader og radianer: 60 = π. (.5) Bemerkning.0 Vi har nå tatt i bruk tallet π.46 i vinkelmålingen. Akkurat som radian er et forhold, er også tallet π et forhold: Uansett hvor stor en sirkel er, er forholdet mellom omkretsen og diameteren alltid det samme tallet. Dette forholdet har blitt hetende π: π = omkrets diameter. Vi kan nå bruke (.5) for å regne oss fra grader til radianer og omvendt. Eksempel. For å finne hva vinkelen lik radian (i Eksempel.8) er målt i grader, får vi regningen = π π = 60 π 57.. Generelt kan vi regne oss fra radianer til grader ved formelen (θ R) og fra grader til radianer ved (ψ R) θ = ( θ 60 π ) ψ = ψ π 60, men det er lettere å bruke sammenhengen (.5) hvis man ikke liker å huske mange formler. Eksempel. For å finne hva vinkelen 7 er målt i radianer, får vi regningen 7 = = 7 π

15 Vi legger videre merke til at vi drar med oss 60-tallssystemet inn i radianenes verden også. Mange vinkler er ekstra pene målt i radianer, i den forstand at vi kan angi dem som brøkdeler av π. Eksempel. Vi har blant annet og 0 = 60 = π = π 6, 60 = = 60 4 = π 6 = π, = π 4 = π. Fra disse finner vi flere pene vinkler, for eksempel 45 = 90 = π/ = π 4. I oppgavene skal du finne enda flere pene vinkler. Vi minner også om at vi kan finne vinkler i alle omløp. Vinkler i første omløp vil si vinkler mellom 0 og π. Positive omløp får vi ved å legge til positive heltallsmultipler av π, negative omløp får vi ved å trekke fra positive heltallsmultipler av π. På denne måten får vi at ethvert tall på tallinjen R vil gi oss en vinkel. Første omløp regnes som intervallet [0, π) (intervallet inkluderer 0, men ikke π). For å regne ut hvilken vinkel vi har i første omløp, må vi altså trekke fra/legge til positive heltallsmultipler av π til vi har en vinkel mellom 0 og π: Eksempel.4 Vi har 50π 6 = π π 6 = π 6 + 8π π 6 = 9π 6 + 8π = π + 8π, så vinkelen 50π er lik vinkelen π 6 omløp). i første omløp (der vi har trukket fra 4 50

16 . Trigonometri Fra MX husker vi at en vinkel θ tilsvarer et punkt P på enhetssirkelen (sirkelen med sentrum i origo og radius lik ) y P = (x, y) 0 θ x og vi definerer cosinus- og sinus-verdiene til en vinkel θ ved cos θ = x sin θ = y for alle θ R (siden vi nå regner θ i radianer). Det vil si at cos θ følger x-koordinaten til punktet P og sin θ følger y-koordinaten til punktet P (i alle kvadranter og omløp). Siden punktet P ligger på enhetssirkelen følger det at cos θ og sin θ, θ R. Eksempel.5 Ved å tegne ser vi at θ = 0 tilsvarer punktet P = (, 0) θ = π tilsvarer punket P = (0, ) θ = π tilsvarer punktet P = (, 0) θ = π tilsvarer punktet P = (0, ) 5

17 (tegn!). Dermed får vi følgende tabell π π θ 0 π cos θ 0 0 sin θ 0 0 Dere regnet mye med cosinus og sinus i MX, men brukte nok ofte kalkulator? Det er endel eksakte verdier (for eksempel og ) som dukker opp (spesielt) når vi regner med cosinus og sinus. Dette er fordi oppgavene vi regner gjerne ser på endel (pene) vinkler som har eksakte verdier for cosinus og sinus. Dermed vil det være lurt å kjenne igjen disse eksakte verdiene, og ikke minst å vite hvordan vi finner dem: Vi kommer veldig langt med cosinus- og sinus-verdiene til vinklenen π, π 6 4 og π. Til dette bruker vi følgende to trekanter: Trekant π 4 π 4 Trekant π 6 π Trekant er den rettvinklede likebeinede trekanten med hypotenus lik og Trekant er den halvt likesidede trekanten med hypotenus lik (sjekk vinkler og lengden til sidene!) Vi putter Trekant inn i enhetssirkelen: 5

18 π P = (, ) og får cos π 4 = sin π 4 = Vi kan nå bruke symmetri og følgende fortegnsskjema for planet y. kvadrant x 0, y 0. kvadrant x, y 0. kvadrant 4. kvadrant x x, y 0 x 0, y 0 5

19 og finne cosinus- og sinus-verdiene til π (. kvadrant), 5π 4 4 (4. kvadrant): 7π 4 (. kvadrant) og (, ) = (cos π 4, sin π 4 ) (, ) = (cos 5π 4, sin 5π 4 ) π (, ) = (cos π 4, sin π 4 ) (, ) = (cos 7π, sin 7π) 4 4 Tilsvarende kan dere gjøre med Trekant og sjekke at vi har (gjør det!) θ π 6 5π 6 7π 6 π 6 π π 4π 5π cos θ sin θ (Det kan altså være lurt å merke seg at og ) Vinkelen θ er den negative vinkelen til θ. Med vinkelen θ mener vi vinkelen som er like stor som θ, men som måles med klokka fra den positive x-aksen: 54

20 θ θ Tegn inn enhetssirkelen og overbevis deg om at cos( θ) = cos θ (.6) sin( θ) = sin θ (.7) Det fins mange flere trigonometriske sammenhenger, men vi har nå foreløpig det vi trenger..4 Polarform Vi skal nå bruke trigonometri til å gi en annen måte å presentere komplekse tall på. Et komplekst tall a + ib kan tolkes som punktet (a, b) i planet, og dette punktet kan igjen tolkes som vektoren (a, b). Vi kan nå angi det komplekse tallet a + ib ved å angi avstanden ρ fra origo, og vinkelen θ vektoren danner med den positive reelle aksen. ir ib ρ a + ib 0 θ a R 55

21 Definisjon.6 Avstanden ρ kalles modulusen, mens vinkelen θ kalles argumentet til det komplekse tallet a + ib. Vi har ρ > 0 og θ [0, π). Ved hjelp av Pythagoras setning finner vi modulusen til et komplekst tall a + ib: ρ = a + b, så ρ = a + b. (.8) For å finne argumentet θ til a + ib, bruker vi Seksjon.. Vi må bare huske at vi nå ikke er i en enhetssirkel, men på en sirkel med radius ρ, ρ > 0. Vi får dermed cos θ = a ρ (.9) sin θ = b ρ, (.0) dvs. argumentet θ er vinkelen i første omløp med cosinusverdi a ρ b (punktet ( a, b ) ligger på enhetssirkelen). ρ ρ ρ og sinusverdi Eksempel.7 For endel tall kan vi finne modulus og argument uten å regne, for eksempel er modulusen til tallet i lik, mens argumentet til i er π (se tegning i Eksempel.6). Andre tall trenger regning. Noen tall gir pene regninger, for eksempel tallet z = i gir ρ = + ( ) = 6 = 6 og (tegn og sjekk!) cos θ = = 6 sin θ = = 6 } θ = 5π. Eksempel.8 Tallet z = + i (tegning i Eksempel.6) har modulus ρ = ( ) + = = 9 = 7 56

22 og argument gitt ved og cos θ = 7 sin θ = 7 så argumentet er (kalkulator) θ.4. = 7 = 6 7, Fra (.9) og (.0) ser vi at a = ρ cos θ og b = ρ sin θ. Vi har følgende definisjon: Definisjon.9 Når vi angir et komplekst tall z ved hjelp av modulusen ρ og argumentet θ som z = ρ cos θ + iρ sin θ sier vi at z er skrevet på polarform. Når z er skrevet på formen a + ib sier vi at z er på kartesisk form. Eksempel.0 I Eksempel.7 fant vi modulus og argument til tallet z = i. Skrevet på polarform er tallet dermed z = 6 cos( 5π ) + i6 sin(5π ). Eksempel. Vi vil skrive z = 4 4i på polarform. Da finner vi modulusen ρ = 4 + ( 4) = = 4 og argumentet cos θ = 4 4 sin θ = 4 4 = = } θ = 7π 4 57

23 så polarformen til z er z = 4 cos( 7π 4 ) + i4 sin( 7π 4 ). Vi husker at det konjugerte tallet til a + ib er a ib. Hva skjer geometrisk når vi konjugerer? Det konjugerte tallet til a + ib kan tolkes som punktet (a, b), så konjugering vil tilsvare speiling om den reelle aksen: z = a + ib θ θ z = a ib Videre er modulusen til z lik modulusen til z (siden a + b = a + ( b) ) og hvis argumentet til z er θ, er argumentet til z lik θ. Eksempel. Argumentet til tallet z = i (Eksempel.7) er 5π. Dermed blir argumentet til z = + i lik 5π, og siden argumentet skal ligge i første omløp får vi 5π + π = π. (tegn og sjekk speiling!). Vi får dermed z = 6 cos( π ) + i6 sin(π ). Vi tar også med en tredje måte å skrive komplekse tall på. Denne skrivemåten vil blant annet gjøre endel formler enklere å regne med. Vi definerer først hva vi mener med uttrykket e a+ib 58

24 der e er grunntallet i den naturlige logaritmen (e.78), a, b R og i er den imaginære enheten. Når vi får inn eksponentialer har vi potensregler å følge, og de viser seg å holde for komplekse tall også, dvs. vi får: e a+ib = e a e ib. Tallet e a er et reelt tall, men hva skal vi gjøre med e ib, der eksponenten er et imaginært tall? Definisjon. Vi definerer e ib = cos b + i sin b for b R. Tallet e ib er altså det komplekse tallet med realdel cos b og imaginærdel sin b. Vi skal ikke gå nærmere inn på forklaringen rundt Definisjon., men den viser seg å være nok en fornuftig definisjon. Det kan da vises at (e ib ) n = e inb når n N. Dette betyr at (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ), (.) som kalles de Moivres formel. Hva sier formel (.)? Tallet cos θ + i sin θ er punktet P = (cos θ, sin θ) på enhetssirkelen (siden ρ = ) som tilsvarer vinkelen θ. Når vi multipliserer dette tallet med seg selv n ganger (venstresiden i (.)), sier formelen at vi får et punkt, som vi kaller P n, på enhetssirkelen (ρ er fortsatt lik ) der P n = (cos(nθ), sin(nθ)). Punktet P n tilsvarer vinkelen nθ, altså n ganger vinkelen θ. Formel (.) forteller oss dermed hvordan vi skal multiplisere punkter på enhetssirkelen med seg selv! 59

25 Eksempel.4 For n = og θ = π gir (.) at 4 (cos π 4 + i sin π 4 ) = cos( π 4 ) + i sin(π 4 ). Det gir tegningen P π 4 P π 4 P der tallet cos π 4 + i sin π 4 gir punktet P, og (cos π 4 + i sin π 4 ) gir punktet P, som gir vinkelen π 4 + π 4 + π 4 = π 4. Eksempel.5 For n = 4 og θ = π 6 gir (.) at (cos π 6 + i sin π 6 )4 = cos( π ) + i sin(π ). Tegn figur! La oss se nøyere hvorfor Definisjon. gir formelen (.): Fra Definisjon. (med θ for b) har vi (cos θ + i sin θ) n = (e iθ ) n. (.) Videre gir potensregler at (e iθ ) n = e i(nθ) (.) og vi bruker Definisjon. med nθ for b som gir e i(nθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). (.4) 60

26 Vi setter så sammen (.), (.) og (.4) og får formelen (.) (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ), som var det vi ville frem til. Vi tar nå utgangspunkt i polarformen, og får en tredje måte å skrive komplekse tall på: ρ cos θ + iρ sin θ = ρ(cos θ + i sin θ) = ρe iθ Definisjon.6 Når vi angir et komplekst tall z ved hjelp av modulusen ρ og argumentet θ som z = ρe iθ sier vi at z er skrevet på eksponentialform, også kalt kompakt polarform. Eksempel.7 Tallet z = i fra Eksempel.7 skrevet på eksponentialform er z = 6e i 5π, mens z = + i er z = 6e i π på eksponentialform. Da har vi foreløpig det vi trenger om komplekse tall til å fortsette og løse differenslikninger..5 Nå skal du kunne definisjonen av tallet i, et imaginært tall, et komplekst tall og konjugerte tall addere, subtrahere, multiplisere, dividere og konjugere komplekse tall 6

27 løse alle andregradslikninger az + bz + c = 0 der a, b, c R definisjonen av π, radian, cosinus og sinus regne med vinkler i radianer og finne eksakte verdier for cosinus og sinus til 0, π, π, π og π og tilsvarende vinkler i alle kvadranter og omløp 6 4 tolke et komplekst tall geometrisk og angi det på kartesisk form, polarform og eksponentialform forklare hva de Moivres formel sier starte en diskusjon om hvorfor kompleske tall er nyttige (du vil få flere hardtslående argumenter utover i kurset) 6

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008 Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

n-te røtter av komplekse tall

n-te røtter av komplekse tall . 29. august 2011 Eksponentialform Forrige gang så vi at e iθ = cos θ + i sin θ Dette kan vi bruke til å gjøre polarfremstillingen av komplekse tall mer kompakt: z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) = re iθ

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 I dette kapittelet har mange av oppgavene et mindre teoretisk preg enn i de foregående kapitlene, og jeg regner derfor med at lærebokas eksempler og fasit

Detaljer

Komplekse tall: definisjon og regneregler

Komplekse tall: definisjon og regneregler Komplekse tall: definisjon og regneregler Eugenia Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 22. august 2011 Komplekse tall fra Wikipedia Et komplekst tall er tall på formen x + iy, der x og y er

Detaljer

Notat om trigonometriske funksjoner

Notat om trigonometriske funksjoner Notat om trigonometriske funksjoner Dette notatet ble først skrevet for MA000 våren 005 av Ole Jacob Broch. Dette er en noe omarbeidet versjon skrevet høsten 0. Radianer Anta at en vinkel A er gitt, f.eks

Detaljer

Oppgavehefte om komplekse tall

Oppgavehefte om komplekse tall Oppgavehefte om komplekse tall Tore August Kro, tore.a.kro@hiof.no 11. august 009 1 Aritmetikk Eksempel 1.1 Vi skriver komplekse tall på kartesisk form z = a + ib. Tenk på i som et symbol som oppfyller

Detaljer

4_Komplekse_tall.odt tg. Kap.4 Komplekse tall

4_Komplekse_tall.odt tg. Kap.4 Komplekse tall 4_Komplekse_tall.odt 04.09.015 tg Kap.4 Komplekse tall e i π +1=0 Innledning... Egenskaper...4 Geometrisk form...5 Regneregler...6 Lengde og argument...8 Polar form...9 Eksponentform - Eulers formel...1

Detaljer

Trigonometriske funksjoner (notat til MA0003)

Trigonometriske funksjoner (notat til MA0003) Trigonometriske funksjoner (notat til MA0003) 0. mars 2005 Radianer Gitt et punkt A på en sirkel med radius og sentrum O. La punktet P v flytte seg fra punktet A slik at det beveger seg langs en sirkelbue

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Et Komplekst tall på kartesisk(standard), polar(eksponentialform) og trigonometrisk form

Et Komplekst tall på kartesisk(standard), polar(eksponentialform) og trigonometrisk form Kapittel Komplekse tall.1 Kompleksetall-Oppsummering Kvadratroten av 1 må være en løsning til ligningen x = 1, om den finnes. Tallet i kalles den imaginære enheten og er det vi trenger for å definere de

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5. Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Løsningsforslag. a) i. b) (1 i) 2. e) 1 i 3 + i LF: a) Tallet er allerede på kartesisk form. På polar form er tallet gitt ved

Løsningsforslag. a) i. b) (1 i) 2. e) 1 i 3 + i LF: a) Tallet er allerede på kartesisk form. På polar form er tallet gitt ved Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Mandag 3. august 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag Uttrykk følgende komplekse tall både

Detaljer

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5. Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41/TMA415 Matematikk 4M/4N Vår 1 Løsningsforslag Øving 1 Skriv om følgende trigonometriske funksjoner til fourierrekker ved

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier

Detaljer

Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 2004. Hans Petter Hornæs Versjon per 26.10.04.

Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 2004. Hans Petter Hornæs Versjon per 26.10.04. Komplekse tall Forelesningsnotat til Matematikk 10 ved HiG, høst 004. Hans Petter Hornæs Versjon per 6.10.04. I Matematikk 10 er en kort innføring i komplekse tall pensum. Dette er dekket i Lorentzen,

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Forberedelseskurs i matematikk

Forberedelseskurs i matematikk Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger

Detaljer

Kapittel 1. Funksjoner. 1.1 Definisjoner

Kapittel 1. Funksjoner. 1.1 Definisjoner Kapittel 1 Funksjoner Kurset MAT1001 dreier seg kort sagt om å lage matematiske problemer av virkeligheten og deretter løse problemene. Hittil i kurset har vi allerede møtt mange problemer, og de har så

Detaljer

Løsningsforslag til øving 1

Løsningsforslag til øving 1 Høgskolen i Gjøvik Avd. for tekn., øk. og ledelse Matematikk 5 Løsningsforslag til øving Exercise (a), (c) - j yim() j - - - 0 xre() Merk! I oppgaven skal vi merke av punktene (angitt med ), men de komplekse

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 5. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

PENSUMLISTE TIL MATEMATIKKTENTAMEN 2. juni

PENSUMLISTE TIL MATEMATIKKTENTAMEN 2. juni PNSUMS MAMAKKNAMN 2. juni Del 1: Prøver deg i det regnetekniske. Føres direkte på arket. ngen hjelpemidler er tillatt. kke kladd på oppgavearket, det får du eget ark til. De oppgavene med regnerute, fører

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer?

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Rektangler b Areal = l b l m m = m m = 6 m Kvadrat s Areal = s s = s s m m = m = 9

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Komplekse tall og Eulers formel

Komplekse tall og Eulers formel Komplekse tall og Eulers formel Harald Hanche-Olsen 2011-03-24 1. Oppvarming Jeg vil anta at leseren er kjent med komplekse tall, men vil likevel si noen ord om temaet. Naivt kan man starte med bare å

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

SALG > KOSTNAD når mer enn 100 produkt selges. Virksomheten går da med overskudd.

SALG > KOSTNAD når mer enn 100 produkt selges. Virksomheten går da med overskudd. SALG > KOSTNAD y = 20x Salg y = 0 000 Kostnad 20x > 0 000 SALG > KOSTNAD mer enn 00 produkt selges. Virksomheten går da med overskudd. Slik kan ulikheter løses grafisk En ulikhet består av en venstre side,

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x =

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x = Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 1. desember 014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 8 (0 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Forkurshefte i matematikk variant 1

Forkurshefte i matematikk variant 1 Forkurshefte i matematikk variant 1 2014 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO (Plan for kurset: se side 3) Forord Velkommen til Universitetet i Oslo (UiO), og til forkurs i matematikk! Dette

Detaljer

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Våren 2009

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Våren 2009 Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Våren 2009 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta

Detaljer

Tall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31,

Tall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31, Tall SKOLEPROSJEKT MAT400 - VÅR 204 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM Date: March 3, 204. 2. Innledning Vårt skoleprosjekt omhandler ulike konsepter innenfor det matematiske området

Detaljer

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:

Detaljer

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter.

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter. Trekanter GeoGebra er godt egnet til å tegne trekanter og eksperimentere med dem. Vi skal nå se på hvordan vi kan tegne trekanter når vi kjenner en eller flere sider eller vinkler. Vi skal også se på hvordan

Detaljer

Nicolai Kristen Solheim

Nicolai Kristen Solheim Oppgave 1. For å kunne skrive det komplekse tallet følgende endringer foretas på uttrykket. 3 3, hvor 3 og 3 på formen, hvor og, må For å kunne skrive det komplekse tallet på polarformen, må vi først finne

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1) Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 6. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8 10 0,0005 Oppgave (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinjen ovenfor er det merket av 1 punkter. Hvert av tallene

Detaljer

Kompleks eksponentialform. Eulers inverse formler. Eulers formel. Polar til kartesisk. Kartesisk til polar. Det komplekse signalet

Kompleks eksponentialform. Eulers inverse formler. Eulers formel. Polar til kartesisk. Kartesisk til polar. Det komplekse signalet Komplekse tall Vi definerer det komplekse tallet z C. Komplekse eksponentialer og fasorer Det komplekse planet Kartesisk og polar form Komplekse eksponentiale signaler Roterende fasor Addisjon av fasorer

Detaljer

At z + w og zw er reelle betyr at deres imaginrdeler er lik null, det vil si at b + d 0 ad + bc 0 Den frste ligningen gir b d. Setter vi dette inn i d

At z + w og zw er reelle betyr at deres imaginrdeler er lik null, det vil si at b + d 0 ad + bc 0 Den frste ligningen gir b d. Setter vi dette inn i d Lsningsforslag til utvalgte ogaver i kaittel I dette kaittelet har mange av ogavene et mindre teoretisk reg enn i de foregaende kaitlene, og jeg regner derfor med at lrebokas eksemler og fasit er dekkende

Detaljer

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen.

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen. 5.9 Sirkellikningen Fra kapittel 4.3 vet vi at sirkelen er det geometriske stedet for de punktene som har en bestemt avstand r fra et fast punkt S. Avstanden r kaller vi radien, og punktet S kaller vi

Detaljer

MATEMATIKK HALVÅRSPLAN 7. TRINN HØSTEN 2017

MATEMATIKK HALVÅRSPLAN 7. TRINN HØSTEN 2017 UKE MATEMATIKK HALVÅRSPLAN 7. TRINN HØSTEN 2017 TEMA KAPITTEL 1 «TALL» 33 Arbeidsrutiner Tall 34 Titallsystemet / Desimaltall/Tekstoppgaver 35 Addisjon og subtraksjon / BLÅ: LÆRINGSSTØTTENDE PRØVE 36 Negative

Detaljer

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan

Detaljer

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a

Detaljer

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

Skipsoffisersutdanningen i Norge. Innholdsfortegnelse. 00TM02G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå

Skipsoffisersutdanningen i Norge. Innholdsfortegnelse. 00TM02G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå Skipsoffisersutdanningen i Norge 00TM02G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå Generelt Utarbeidet av: Maritime fagskoler i Norge Godkjent av: Anne Sjøvold Versjon: 1.02 Gjelder fra: 11.08.2016

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG. Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk form som a + bi og på polar form som re iθ (r 0 og 0 θ < 2π). a) 2 + 3i.

LØSNINGSFORSLAG. Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk form som a + bi og på polar form som re iθ (r 0 og 0 θ < 2π). a) 2 + 3i. Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag. februar 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: LØSNINGSFORSLAG Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk

Detaljer

plassere negative hele tall på tallinje

plassere negative hele tall på tallinje Kompetansemål etter 7. trinn Tall og algebra: 1. beskrive plassverdisystemet for desimaltall, regne med positive og negative hele tall, desimaltall, brøker og prosent, og plassere dem på tallinje 2. finne

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker.

Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker. Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

99 matematikkspørsma l

99 matematikkspørsma l 99 matematikkspørsma l TALL 1. Hva er et tall? Et tall er symbol for en mengde. Et tall forteller om antallet i en mengde. 5 sauer eller 5 epler eller 5.. 2. Hvilket siffer står på eneplassen i tallet

Detaljer

Il UNIVERSITETET I AGDER

Il UNIVERSITETET I AGDER Il UNIVERSITETET I AGDER FAKULTETFOR TEKNOLOGIOG REALFAG EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: MA913 Tall og algebra Dato: 7. desember 2011 Varighet: 09.00 15.00 Antall sider inkl. forside 7 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Oppgavesett med fasit

Oppgavesett med fasit TIL ENT3R ELEVENE Oppgavesett med fasit Tommy Odland Sist oppdatert: 1. november 2013 http://is.gd/ent3rknarvik http://tommyodland.com/ent3r 1 INNHOLD 1 Om dette dokumentet 3 1.1 Formål og oppbygging..................................

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver.

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/1. Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 3: Vektorer Dette kapitlet er meget spesielt og annerledes enn den matematikken

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten?

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? Oppgave 1 Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? A 43 B 59 C 55 D 67 E 91 Hvilke linjestykker er en del av omkretsen til den store

Detaljer

MAT Grublegruppen Notat 9

MAT Grublegruppen Notat 9 MAT1100 - Grublegruppen Notat 9 Jørgen O. Lye Gruppeteori Oppvarmingseksempel La oss som vanlig ta en historisk vinkling. En klassisk måte grupper (som jeg straks skal denere) oppstod er gjennom å lete

Detaljer

ÅRSPLAN. Grunnleggende ferdigheter

ÅRSPLAN. Grunnleggende ferdigheter ÅRSPLAN Skoleåret: 2015/16 Trinn: 5 Fag: Matematikk Utarbeidet av: Trine og Ulf Mnd. Kompetansemål Læringsmål (delmål) kriterier for måloppnåelse Aug Sep Okt Nov Beskrive og bruke plassverdisystemet for

Detaljer

Trigonometri. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi. Notat til repetisjonskurs i matematikk. Hans Petter Hornæs. E-post: hans.hornaes@hig.

Trigonometri. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi. Notat til repetisjonskurs i matematikk. Hans Petter Hornæs. E-post: hans.hornaes@hig. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon fra 2. august 2000 - Trigonometri Notat til repetisjonskurs i matematikk. Hans Petter Hornæs E-post: hans.hornaes@hig.no - Dette heftet kan brukes både

Detaljer

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Våren 2009

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Våren 2009 Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Våren 2009 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta

Detaljer

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene. Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk 3MX 3. juni 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Funksjoner (kapittel 1)

Funksjoner (kapittel 1) Ukeoppgaver, uke 34 og 35, i Matematikk 0, Funksjoner og grenser. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 34 og 35 Funksjoner (kapittel ) Oppgave Figuren til øyre viser

Detaljer

6.8 Anvendelser av indreprodukter

6.8 Anvendelser av indreprodukter 6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner

Detaljer

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN

ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN Espen B. Langeland realfagshjornet.wordpress.com espenbl@hotmail.com 9.mars 017 Dagens artikkel omhandler annengradsligninger, og deres grafer parabler. 1 Annengradsligninger

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved

Detaljer

Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering

Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering Kyrkjekrinsen skole Plan for perioden: 2012-2013 Fag: Matematikk År: 2012-2013 Trinn og gruppe: 9. trinn Lærer: Torill Birkeland Uke Årshjul Geometri Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering

Detaljer

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga

Detaljer