I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer."

Transkript

1 Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner Definisjon 2.1 En matrise er en rektangulær tabell av tall. Tallene som forekommer i matrisen kalles komponentene til matrisen. Vi bruker ofte firkantparenteser rundt en matrise, og de betegnes normalt med stor bokstav. Eksempel 2.2 Matrisen A gitt ved A = har komponenter 7, 1, 3, 4, 2 og 1. Vi skal nå lære å regne med matriser. Legg merke til at matriser kan variere i størrelse. Størrelsen til en matrise angis ved å si hvor mange rader (horisontale linjer) og hvor mange kolonner (vertikale linjer) matrisen har. Vi skriver størrelsen som (antall rader) (antall kolonner). Matrisen A i Eksempel 2.2 er en 2 3-matrise. 21

2 Posisjonen til en komponent kan dermed angis ved å si hvilken rad og hvilken kolonne den står i (alltid rad først). I Eksempel 2.2 har tallet 2 posisjon 2,2 og tallet 4 har posisjon 2,1. Generelt kan vi skrive en m n-matrise (indeksene gir posisjon): A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a m1 a m2 a mn Noen ganger skriver vi bare A = a ij. To matriser er like hvis de har samme størrelse og hvis de er komponentvis like (alle komponentene må være like og stå på samme plass i de to matrisene). En 1 1-matrise a inneholder samme informasjon som tallet a. Så vi bestemmer oss for ikke å skille mellom disse, og skriver a = a. En n 1-matrise kalles en kolonnevektor og angis på formen x 1 x 2. x n. En 1 n-matrise kalles en radvektor og angis på formen x 1 x 2 x n. Begge disse inneholder samme informasjon som n-tuplet (x 1, x 2,..., x n ), det er bare skrivemåten som er annerledes. Vi bestemmer oss her og nå (av grunner som snart vil komme frem) for ikke å skille mellom n-tupler og 22

3 kolonnevektorer, og kan derfor skrive (x 1, x 2,..., x n ) = x 1 x 2. x n. Dette gjør vi for at formlene vi senere skal innføre skal ha en mening. Vi legger også merke til at hver av kolonnene og radene i en matrise kan tenkes på som henholdsvis kolonnevektorer og radvektorer. Analogt til definisjonene av addisjon og multiplikasjon med en konstant for n-tupler, definerer vi regneoperasjoner for matriser: Definisjon 2.3 (Addisjon av matriser) La A og B være to matriser av samme størrelse. Vi definerer summen A + B til å være matrisen vi får ved å addere komponentvis, dvs. a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a A + B = 21 a 22 a 2n... + b 21 b 22 b 2n... = a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n.... a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn Merk: Matriser av ulik størrelse kan ikke adderes. Definisjon 2.4 (Multiplikasjon med en konstant) La A være en matrise og k R en konstant. Produktet ka er matrisen vi får ved å multiplisere hver av komponentene i A med k. Subtraksjon av matriser defineres dermed tilsvarende som for addisjon; vi subtraherer komponentvis, så lenge matrisene har lik størrelse. 23

4 Eksempel 2.5 La A = matriser. Da er A 3B = = = = og B = , 1 8 9, to 3 3- en ny 3 3-matrise. Det neste skrittet er å definere multiplikasjon av matriser. Definisjonen kan kanskje virke noe merkelig ved første øyekast, men den er meget hensiktsmessig (som alt annet i matematikken). La oss først se på et eksempel: Eksempel 2.6 Det er idag mange mobilabonnementer å velge mellom, og det kommer stadig nye tilbud. Tabell 1 nedenfor viser prisene på abonnementene Nonstop og Kontant fra mobilselskapet Talatuten. Tabell 2 viser gjennomsnittsbruk av mobiltelefon i 6 måneder for fire utvalgte abonnenter hos Talatuten. Tabellene kan oppfattes som matriser, slik at kolonnene i tabell 1 naturlig hører til radene i tabell 2. 24

5 Tabell 1 Månedspris Minuttpris til mobil Minuttpris til fasttelefon Pris per SMS Pris per MMS Nonstop Kontant Tabell 2 Erik Elisabeth Arne Jørgen Antall måneder Antall minutter til mobil Antall minutter til fasttelefon Antall SMS Antall MMS Tabell 1 gir opphav til matrisen A = og tabell 2 gir opphav til matrisen B = Hvis vi nå ønsker en tabell over hvor mye Erik, Elisabeth, Arne og Jørgen må betale for hvert av de to abonnementene i 6 måneder, gitt bruken i tabell 2, slår vi sammen de to tabellene. 25

6 For eksempel for Erik og Nonstop: Vi ser at det vi har beregnet er produktet av 1. rad i A med 1. kolonne i B. Hvis vi så skal finne ut hvor mye Arne må betale for Kontant abonnement, får vi regnestykket Tilsvarende regninger gir tabellen (avrundet til hele kroner): Tabell 3 Erik Elisabeth Arne Jørgen Nonstop Kontant Tabell 3 gir opphav til matrisen som vil være produktet AB (avrundet til hele tall). Definisjon 2.7 (Multiplikasjon av matriser) La A være en m n-matrise og B en p q-matrise. Produktet AB er kun definert når n = p, dvs. når A har like mange kolonner som B har rader. Når n = p definerer vi produktet AB til å være følgende matrise: Størrelse Produktet AB er en m q matrise (den får altså like mange rader som A og like mange kolonner som B) Komponenter For å finne komponenten i i-te rad og j-te kolonne til matrisen AB, multipliserer vi komponentene i rad i fra A og kolonne j fra B komponentvis og adderer disse produktene, dvs. vi tar skalarproduktet av n-tuplene bestemt av rad i i A og kolonne j i B. Vi beregner altså 26

7 komponenten (AB) ij til matrisen AB ved (AB) ij = a i1 a i2 a in b 1j b 2j. b nj = a i1b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj. Vi bruker med andre ord radene i matrisen fra venstre og kolonnene i matrisen fra høyre, og tar skalarproduktet av disse. Det hele blir enda klarere med et eksempel (og se gjerne på Eksempel 2.6 en gang til): Eksempel 2.8 La A = og B = Da får vi (AB) 11 = = = 117 og (AB) 12 = Produktet AB regnes ut ved: = = = = = Vi ser at produktet av en 2 3-matrise og en 3 2-matrise er en 2 2-matrise. 27

8 2.2 Regneregler og noen spesielle matriser Det fins noen spesielle matriser som har egne navn. Her er noen vi kommer til å møte: En nullmatrise er en matrise der alle komponentene er 0. Den kan variere i størrelse. Vi lar O betegne en nullmatrise. For eksempel kan vi ha en 3 2-nullmatrise O = En kvadratisk matrise er en matrise der antall rader er lik antall kolonner, for eksempel en 2 2-matrise En diagonal matrise er en kvadratisk matrise der alle komponentene utenfor diagonalen (dvs. den fra venstre øvre hjørne ned til høyre nedre hjørne) er 0, for eksempel matrisen En identitetsmatrise er en diagonal matrise der alle komponentene på diagonalen er 1. Vi skriver I n for identitetsmatrisen med n rader (og dermed n kolonner) eller bare I når størrelsen er underforstått. Vi har for eksempel at 1 0 I 2 =. 0 1 En øvre triangulær matrise er en kvadratisk matrise der alle komponen- 28

9 tene under diagonalen er null. For eksempel er matrisen øvre triangulær En nedre triangulær matrise er en kvadratisk matrise der alle komponentene over diagonalen er null, som for eksempel matrisen Vi skal nå skrive opp endel regneregler for matriser. De ligner på regnereglene for reelle tall (så da får vi frisket opp dem samtidig), men med et meget viktig unntak: multiplikasjon av matriser er ikke en kommutativ operasjon, dvs. faktorenes rekkefølge spiller en viktig rolle: AB er nesten aldri lik BA (AB trenger ikke engang være definert selv om BA er det). Vi merker oss at nullmatrisen O spiller rollen til tallet 0, og identitetsmatrisen I spiller rollen til tallet 1. Teorem 2.9 (Regneregler) Anta at matrisene (gitt ved store bokstaver) har størrelse slik at operasjonene som forekommer nedenfor er definert, og la små bokstaver stå for reelle tall. Da er følgende regler oppfylt: A + B = B + A (addisjon er kommutativ) A + (B + C) = (A + B) + C (addisjon er assosiativ) A + O = O + A = A (nullmatrisen er nullelementet) A A = O (additiv invers) A(BC) = (AB)C (multiplikasjon er assosiativ) AI = IA = A (identitetsmatrisen er identitetselementet) 29

10 A(B + C) = AB + AC (multiplikasjon distribuerer over addisjon) (B + C)A = BA + CA a(b + C) = ab + ac (a + b)c = ac + bc a(bc) = (ab)c a(bc) = (ab)c = B(aC) Siden vi har definert addisjon av matriser komponentvis, vil vi få oppfylt de kjente regnereglene for addisjon. Det følger fra at de allerede er oppfylt for reelle tall. Eksempel 2.10 For å vise regelen A+B = B+A, innfører vi komponentene til matrisene ved å sette A = a ij og B = b ij. Da er A + B = a ij + b ij = a ij + b ij (addisjon komponentvis) = b ij + a ij (regel for reelle tall) = b ij + a ij (addisjon komponentvis) = B + A. For multiplikasjon bruker vi radene i matrisen fra venstre og kolonnene i matrisen fra høyre, og da er det ingen grunn til at regelen AB = BA, som jo gjelder for reelle tall, skal gjelde for matriser: Eksempel 2.11 La A = og B = Da er AB = = , 30

11 mens BA = = I en av oppgavene blir du bedt om å vise (iallefall etpar) av reglene. 2.3 Anvendelse: Binære matriser og søkevektorer La oss se litt nærmere på hvordan matriser hjelper oss til å holde styr på store datamengder og sammenhenger mellom dataene. Da vil vi også se hvorfor matrisemultiplikasjonen vi har definert er hensiktsmessig. For virkelig å se nytteverdien, skulle vi gjerne ha sett på et eksempel med en matrise av størrelse for eksempel , men siden vi skal regne for hånd, og ikke bruke datamaskin (det kommer i andre kurs), holder vi oss til en 3 6-matrise. Dette eksemplet kan virke noe oppkonstruert, men det vil hjelpe oss med å se noe av nytteverdien av matriser. Vi velger oss ut et cateringfirma som tilbyr tre typer smørbrød med R1 roastbeef, salat, agurk R2 ost, tomat R3 egg, salat, tomat Det er tilsammen seks ingredienser (i tillegg til brød og smør) som også må numreres K1 roastbeef K2 ost K3 egg K4 salat 31

12 K5 tomat K6 agurk Numrene hjelper oss til oppslag i cateringfirmaets database. Vi kan nå sette opp en matrise A der radene svarer til smørbrødene og kolonnene til ingrediensene (alt i rekkefølgen vi har nummerert dem). Vi lar komponentene i matrisen være 0 og 1, avhengig av om ingrediensene fins i smørbrødet eller ikke. For eksempel vil komponenten i posisjon 1, 2 være 0 siden ingrediens 2 (ost) ikke fins i smørbrød 1. Dette gir A = Matrisen A kalles en binær matrise i henhold til følgende definisjon: Definisjon 2.12 En matrise der alle komponentene enten er 0 eller 1 kalles en binær matrise. Dette eksempelet kan gjerne gjøres mye større: Tenk på en bedrift med mange ulike produkter og overlappende ingredienser, eller et laboratorium med mange produkter og kjemikalier. Eller tenk enda større: en søkemaskin på nettet som skal holde styr på alle ordene i alle dokumenttitlene som fins. For eksempel inneholder smørbrødet Norges Volleyballforbund ingrediensene Norge, volleyball og forbund. Da får man store binære matriser. Slike matriser kalles dokument-term-matriser. Det naturlige i disse situasjonene er at man søker etter produkter med visse ingredienser. La oss gå tibake til 3 6-matrisen A og søke etter et smørbrød med ingrediensene ost, salat, tomat og agurk (som sagt, et noe konstruert eksempel). Dette vil svare til å utføre følgende matrisemultiplikasjon (kommentarer følger):. 32

13 = Kommentarer: Vi har seks ingredienser, så 6-tuppelet som svarer til de ingrediensene vi søker er (0, 1, 0, 1, 1, 1), med 1 på plassene som tilsvarer nummereringen til ingrediensene vi søker (passer veldig fint å bruke tupler, ikke sant?). På matriseform blir dette en kolonnevektor (vi har jo valgt kolonner fremfor rader). En binær vektor som angir hva vi søker etter kalles en søkevektor. Vi multipliserer matrisen A (3 6) med søkevektoren (6 1) fra høyre, og får en svarvektor (3 1). Svarvektoren forteller oss at alle smørbrødene inneholder to av ingrediensene vi søker, men at vi ikke får full klaff på søket vårt. (Siden vi søkte på fire ingredienser, er full klaff å få et 4-tall i en av komponentene i svarvektoren.) Dette blir nyttig når vi søker på nettet og svarene våre rangeres. Vi kan gjøre flere ting ved hjelp av matrisemultiplikasjon. For eksempel kan vi få en oversikt over hvor mange ingredienser de ulike produktene har til felles. For smørbrødene har vi følgende regning: = Vi multipliserer altså A med matrisen der A er snudd, dvs. vi beregner AA T der A T er definert som følger: 33

14 Definisjon 2.13 La A være en m n-matrise. Vi definerer den transponerte matrisen til A til å være n m-matrisen der radene i A utgjør kolonnene og kolonnene i A utgjør radene, og skriver denne A T. I de situasjonene vi ser på her, kalles gjerne AA T for dokument-dokumentmatrisen. Den blir alltid kvadratisk av størrelse n n der n er antall produkter. I vårt smørbrød-eksempel ser vi at produktet AA T blir en 3 3-matrise siden vi har tre smørbrød-typer. Tallene på diagonalen i dokument-dokument-matrisen sier hvor mange ingredienser hvert av smørbrødene består av. Matrisen er symmetrisk om diagonalen, siden det at to ting har noe felles er kommutativt (a har noe til felles med b hvis og bare hvis b har noe til felles med a). Tallet 1 i posisjonene 1, 3 og 3, 1 i matrisen AA T i vårt eksempel angir for eksempel at smørbrød nr 1 og smørbrød nr 3 har én ingrediens felles. Igjen, alt dette er spesielt nyttig i større sammenhenger. Vi fortsetter nå med mer matriseteori. 2.4 Determinanten til en matrise Determinanten til en matrise er et spesielt tall som kan regnes ut fra matrisen. Vi skal få god bruk for determinanten litt senere. Vi begynner med å se hvordan vi kan regne ut dette tallet. For det første: det er kun kvadratiske matriser som har en determinant. Vi starter med en 1 1-matrise. Dette er bare et tall og determinanten til et tall ønsker vi at bare skal være tallet selv. Vi får altså ikke noe nytt. Hva når matrisen er 2 2? Definisjon 2.14 (Determinanten til en 2 2-matrise) La A være matrisen a 11 a 12 A = a 21 a 22 Vi definerer determinanten til A som tallet a 11 a 22 a 21 a 12. Determinanten skrives gjerne det(a), og en annen skrivemåte er å erstatte matriseparente- 34

15 sene med vertikale streker, det(a) = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12. Eksempel = = 6. Vi kan definere determinanten til en n n-matrise for n 3 også: Definisjon 2.16 (Determinanten til en n n-matrise) det a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n.... a m1 a m2 a m3 a mn = a 11 det M 1 a 12 det M 2 + a 13 det M 3 + ( 1) n+1 a 1n det M n der M i er den (n 1) (n 1)-matrisen som fremkommer når vi stryker rad 1 og kolonne i. Eksempel = = = 1( ) 2( ) + 3( ) = 1(45 48) 2(36 42) + 3(32 35) = 1 ( 3) 2 ( 6) + 3 ( 3) = 0. 35

16 Det fins diverse (forenklende) metoder for å regne ut determinanter. Disse er nyttig når determinantene er store. Man pleier uansett aldri å regne ut større determinanter enn 3 3 for hånd. Datamaskinene tar seg av de determinantene som er større. 2.5 Matriselikninger Matriser kan brukes til å løse likninger. Eksempel 2.18 Jeg tenker på en matrise slik at ganger matrisen er lik 9 1. Hvilken matrise tenker jeg på? Nå er den ukjente en matrise, og det første vi må gjøre er å finne størrelsen på den. Siden vi skal gange med en 3 3-matrise og få en 3 1-matrise, må den ukjente være en 3 1-matrise, og vi kaller de ukjente komponentene x, y og z. Oversetter vi problemet til matematikk, får vi dermed likningen x y Hvis vi multipliserer ut venstresiden får vi x + y + 2z 2x + 4y 3z 3x + 6y 5z z = =

17 Når to matriser er like, er de komponentvis like, dvs. vi får likningssystemet x + y + 2z = 9 2x + 4y 3z = 1 3x + 6y 5z = 0. Virker det kjent? Ta en titt på Eksempel Siden løsningen i dette eksempelet var (x, y, z) = (1, 2, 3), er matrisen jeg tenker på matrisen Hvordan vi finner denne matrisen ved hjelp av matriseregning skal vi lære i neste kapittel. En likning av matriser av tilsvarende type som i dette eksempelet gir altså opphav til de kjente lineære likningssystemene fra Kapittel 1! Hvis vi starter med et lineært likningssystem, så kan vi sette opp en likning av matriser (bare jobb motsatt vei i eksempelet ovenfor). Det viser seg at ved å jobbe med matrisen, får vi en veldig ryddig måte å løse lineære likningssystemer på. Nettopp dette skal vi gjøre i neste kapittel. 2.6 Nå skal du kunne definisjonene av: matrise, kolonnevektor, nullmatrise, kvadratisk matrise, diagonal matrise, identitetsmatrise, øvre triangulær matrise, nedre triangulær matrise, binær matrise, søkevektor, transponert matrise og determinanten til en matrise regne med matriser, spesielt multiplisere matriser og regne ut determinanten til en matrise forklare hvordan matriser kan brukes til å holde styr på store datamengder overbevise alle interesserte om at det er en sammenheng mellom matriser og lineære likningssystemer 37

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

Elementær Matriseteori

Elementær Matriseteori Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start

Detaljer

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Øving 2 Matrisealgebra

Øving 2 Matrisealgebra Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)

Detaljer

Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner

Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2010 Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

1 Gauss-Jordan metode

1 Gauss-Jordan metode Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

Matriser og Kvadratiske Former

Matriser og Kvadratiske Former Eivind Eriksen Matriser og Kvadratiske Former 15 mars 2012 Handelshøyskolen BI Innhold 1 Matriser og vektorer 1 11 Matriser 1 12 Matriseaddisjon 2 13 Matrisesubtraksjon 3 14 Skalarmultiplikasjon 3 15

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015 Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise

Detaljer

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009 Inverse matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September, 2009 Inverse 2 2 matriser En 2 2 matrise [ ] a b A = c d er inverterbar hvis og bare hvis ad bc 0, og da er [ ] A 1 1 d b

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 23.08.2015 Fjerde utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er løsing av linære likningsystem enkelt, men det blir fort veldig

Detaljer

Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser

Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A = er c d det(a) = a b c d = ad bc. 1 Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A =

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7. MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Matriser og vektorrom

Matriser og vektorrom Matriser og vektorrom Dan Laksov Notater for gymnaset Del av et prosjekt år 2000 støttet av: Carl Tryggers Stifelse og Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon 2 Januar 2001 Matematiska Institutionen

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

Komplekse tall og trigonometri

Komplekse tall og trigonometri Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.

Detaljer

Øving 3 Determinanter

Øving 3 Determinanter Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er

Detaljer

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b) Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1

Detaljer

En rekke av definisjoner i algebra

En rekke av definisjoner i algebra En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Forberedelseskurs i matematikk

Forberedelseskurs i matematikk Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk

Lineær algebra. H. Fausk Lineær algebra H. Fausk 11.02.2016 Sjuende utkast Flere lineære likninger som samtidig skal oppfylles kalles lineære likningssystem. I prinsippet er løsing av lineære likningsystem enkelt, det benytter

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer

Tom Lindstrøm og Klara Hveberg. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm og Klara Hveberg. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Tilleggskapitler til Kalkulus 3 utgave Universitetsforlaget, Oslo 3 utgave Universitetsforlaget AS 2006 1 utgave 1995 2 utgave 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8

Detaljer

LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1

LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1 LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1 Vi fortsetter studiet av (MKS): minimum kost nettverk strøm problemet. Har nå en algoritme for beregning av x for gitt spenntre T Skal forklare

Detaljer

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z KOMPLEKSE TALL. Innledning og definisjoner Mengden av komplekse tall danner en utvidelse av den reelle tallmengden. Denne utvidelsen skjer ved at vi innfører en ny størrelse (et tall) i som er slik at

Detaljer

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6 Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Matriser og vektorrom

Matriser og vektorrom Matriser og vektorrom Dan Laksov & Roy Skjelnes Notater for et gymnaskurs Skrevet som en del av et prosjekt år 2000-2006 støttet av: Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon VII-II Juli 2009 Matematiska

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk

Lineær algebra. H. Fausk Lineær algebra H. Fausk 04.02.2016 Sjuende utkast Lineære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er løsing av lineære likningsystem enkelt, det benytter bare de

Detaljer

b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden

b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden Avsnitt. Oppgave Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen a) 7 går opp i 68 siden 68 7 b)

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av

Detaljer

Prosent- og renteregning

Prosent- og renteregning FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november 2014 1 Lineære likningssystemer

Detaljer

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer: 5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.

Detaljer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer Skal studere matematiske modeller for strøm i nettverk. Dette har anvendelser av typen fysiske nettverk: internet, vei, jernbane, fly, telekommunikasjon,

Detaljer

LP. Leksjon 5. Kapittel 5: dualitetsteori. motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former

LP. Leksjon 5. Kapittel 5: dualitetsteori. motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former LP. Leksjon 5 Kapittel 5: dualitetsteori motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former 1 / 26 Motivasjon Til ethvert LP problem (P) er det knyttet et

Detaljer

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen MAT1100 Pensum fra Kalkulus KAP3 KOMPLEKSE TALL 3.1

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

Bytte om to rader La Matlab generere en tilfeldig (4 4)-matrise med heltallige komponenter mellom 10 og 10 ved kommandoen Vi skal underske hva som skj

Bytte om to rader La Matlab generere en tilfeldig (4 4)-matrise med heltallige komponenter mellom 10 og 10 ved kommandoen Vi skal underske hva som skj velse 2: Egenskaper ved determinanter av Klara Hveberg I denne velsen skal vi bruke Matlab til a studere hva elementre radoperasjoner gjr med determinanten til en matrise. Deretter skal vi se pa determinanten

Detaljer

Lineær uavhengighet og basis

Lineær uavhengighet og basis Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c

Detaljer

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16 Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

Forelesning 30. Kompleksitetsteori. Dag Normann mai Informasjon. Oppsummering

Forelesning 30. Kompleksitetsteori. Dag Normann mai Informasjon. Oppsummering Forelesning 30 Kompleksitetsteori Dag Normann - 14. mai 2008 Informasjon Det er lagt ut program for orakeltjenestene i MAT1030 denne våren på semestersiden. Det blir ikke ordinære gruppetimer fra og med

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

6.4 Gram-Schmidt prosessen

6.4 Gram-Schmidt prosessen 6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium 1 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT1001!

Detaljer

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK)

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) EIVIND ERIKSEN, TROND STØLEN GUSTAVSEN, AND HELGE HÜLSEN Introduksjon Dette kompendiet inneholder oppgaver med

Detaljer

Litt enkel matematikk for SOS3003

Litt enkel matematikk for SOS3003 Litt enkel matematikk for SOS3003 Erling Berge 24 Aug 2004 Erling Berge 1 Om matematikk Matematikk er ikkje vanskeleg Det er eit språk for logikken. Det er lett å lære å lese Litt vanskelegare å forstå

Detaljer

Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller

Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller Forelesningsnotat nr 5, august 2009, Steinar Holden Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller Først litt repetisjon ) Vi kan sette en felles faktor utenfor en parentes: Y ty = Y(-t) der det siste uttrykket

Detaljer

MAT1120 Plenumsregningen torsdag 26/8

MAT1120 Plenumsregningen torsdag 26/8 MAT1120 Plenumsregningen torsdag 26/8 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) August 2010 Innføring i Matlab for dere som ikke har brukt det før Vi skal lære følgende ting i Matlab: Elementære operasjoner Denere

Detaljer

Regning med tall og bokstaver

Regning med tall og bokstaver Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling

Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling Forelesningsnotater SIF839/ Grafisk databehandling Notater til forelesninger over: Kapittel 4: Geometric Objects and ransformations i: Edward Angel: Interactive Computer Graphics Vårsemesteret 22 orbjørn

Detaljer

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk Eivind Eriksen Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk 3. april 215 Handelshøyskolen BI Innhold Del I Forelesninger i ELE3719 Matematikk 1 Vektorer og vektorregning......................................

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15 Obligatorisk oppgave MAT20 H5 Innleveringsfrist: torsdag 24/09-205, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

18. (og 19.) september 2012

18. (og 19.) september 2012 Institutt for geofag Universitetet i Oslo 18. (og 19.) september 2012 Litt repetisjon: Array En array er en variabel som inneholder flere objekter (verdier) En endimensjonal array er en vektor En array

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09 MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være:

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være: Likninger og algebra Det er større sprang fra å regne med tall til å regne med bokstaver enn det vi skulle tro. Vi tror at både likninger og bokstavregning (som er den algebraen elevene møter i grunnskolen)

Detaljer

Mer lineær algebra. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium i MAT1012 Matematikk 2. Våren 2014

Mer lineær algebra. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium i MAT1012 Matematikk 2. Våren 2014 Mer lineær algebra Kompendium i MAT Matematikk Våren 4 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Dette kompendiet er skrevet til bruk i andre del av emnet MAT. I dette emnet jobber vi under

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer