1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser"

Transkript

1 MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks. bli en god fotballspiller eller håndballspiller, må en stadig øve for å bli bedre. Slik er det også for matematikken. Vi må stadig terpe på ting eller detaljer for å bli god i faget. Det er ikke alltid nok å være talentfull. Med en viss regneferdighet og ved å mestre hjelpemidler, som lommeregner med grafisk vindu, ligger alt til rette for en behagelig «matematikkreise». Vanlige tall angir faste mengder. 80 betyr f.eks. det samme hver gang vi bruker tallet. I mange tilfeller bruker vi tallstørrelser som ikke er faste, men som varierer. Disse størrelsene kaller vi for variabler. I dagliglivet er det mange størrelser som varierer. Eksempelvis kan vi nevne rente på lån/innskudd, lønn/inntekt, valutakurser, priser på forbruksvarer og mange andre ting. Bokstavregning er regning med uttrykk som inneholder variabler. Vi har f.eks. at arealet, A, av en sirkel kan skrives A ¼ pr 2 der r står for radius i sirkelen og p ¼ 3,14. Eksempel ¼ 3 2 ð¼ 9Þ 3 þ 3 ¼ 2 3 ð¼ 6Þ a a ¼ a 2 a þ a ¼ 2 a ¼ 2a I eksemplet ovenfor har vi en viktig basis for regning videre. Det er viktig å se når vifår a 2,ognårvifår2a, ogat2a betyr 2 a. 9

2 Eksempel 2 2ð3 þ 4Þ ¼2 7 ¼ 14 eller ð2 3 þ 2 4Þ ¼6 þ 8 ¼ 14 2ða þ 4Þ ¼ð2 a þ 2 4Þ ¼2a þ 8 I dette eksemplet ser du at ða þ 4Þ ikke kan trekkes sammen til 4a. 4 a betyr det firedobbelte av tallet a, mens a þ 4 betyr at vi skal legge 4 til tallet a. Hvis f.eks. a ¼ 5vilða þ 4Þ bli ð5 þ 4Þ ¼9, mens 4a vil bli 4 5 ¼ 20. Har vi et tall foran en parentes, uttrykker parentesen en multiplikasjon, og vi multipliserer da med hvert tall inne i parentesen. Eksempel 3 3aða þ 2Þþ2ða þ 1Þ ¼ð3a 2 þ 6aÞþð2a þ 2Þ ¼ 3a 2 þ 6a þ 2a þ 2 ¼ 3a 2 þ 8a þ 2 Her ser vi at 3a a ¼ 3 a a ¼ 3a 2. Dessuten betyr 3a 2 det dobbelte av 3a. 3a er det samme som a þ a þ a. Det dobbelte av 3a er selvfølgelig 6a. Når vi trekker sammen ledd, må vi summere de som er «like», dvs. at 3a 2 þ 6a ikke kan trekkes sammen. 6a þ 2a er «like» ledd og blir til sammen 8a. Eksempel 4 eller ð2 þ 3Þð1 þ 2Þ ¼5 3 ¼ 15 ð2 1 þ 2 2 þ 3 1 þ 3 2Þ ¼2 þ 4 þ 3 þ 6 ¼ 15 ða þ 3Þð1 þ aþ ¼ða 1 þ a a þ 3 1 þ 3 aþ ¼ða þ a 2 þ 3 þ 3aÞ ¼ a 2 þ 4a þ 3 Her har vi to parenteser som skal multipliseres med hverandre. For å forstå framgangsmåten og se at denne fører til riktig resultat, bruker vi først et talleksempel. Iførste parentes er 2 þ 3 lik 5, i andre parentes er 1 þ 2 lik 3. Her betyr det at uttrykkene i parentesene skal ganges med hverandre, dvs. 5 3 ¼

3 MATEMATIKK: 1 Algebra Men det er ikke alltid vi kan trekke sammen inne i parentesene på denne måten, så en alternativ måte å regne ut parentesene på er vist. Poenget er at når to parenteser skal ganges med hverandre, må hvert tall i den ene parentesen multipliseres med hvert tall i den andre parentesen. Vi kan legge merke til at 2 er byttet ut med a, dvs. a ¼ 2. Hvis vi bytter ut a med 2 i svaret ða 2 þ 4a þ 3Þ, fårvi Er svaret uventet? Regning med negative tall Eksempel þ 4 2 þ 3 ¼ 4 þ 8 þ 3 ¼ 15: 5 3 ¼ 2 Dette kan også skrives 5 þð 3Þ ¼5 3 ¼ 2. Når vi skal trekke fra et tall, er det det samme som å legge til et minustall. Vi ser også at når vi løser opp en parentes (fjerner parentesen) og det står pluss (þ) foran, beholder vi fortegnet i parentesen. Eksempel ¼ 30 Dette kan skrives 100 ðþ70þ ¼ ¼ 30. Hvis vi sammenlikner med foregående eksempel, ser vi her at minustegnet har kommet foran parentesen. Når viåpner parentesen, vil fortegnet inne i parentesen bli forandret (fra þ til ). Etter de siste to eksemplene kan vi konkludere med at * Når det står pluss foran en parentes og vi åpner denne, vil fortegnene inne i parentesen bli beholdt. * Når det står minus foran en parentes og vi åpner denne, vil fortegnene inne i parentesen bli forandret. Eksempel 7 3 ð 1Þ ¼ þð 3Þ ¼ 3 3 ð1þ ¼ ðþ3þ ¼ 3 3ð 1Þ ¼ ð 3Þ ¼þ3 ð 3Þð 1Þ ¼þ3 11

4 Viktige kommentarer til eksempel 7: * Når det står et tall foran en parentes, multipliserer vi det positive tallet inn i parentesen og lar fortegnet stå utenfor. Deretter åpner vi parentesen. Hvis det står pluss foran, beholder vi fortegnet. Hvis det står minus foran, bytter vi fortegnet. * Ved multiplikasjon/divisjon gjelder at like fortegn gir pluss og ulike fortegn gir minus: þþ¼þ og ¼þ þ ¼ og þ¼ Oppgave 1 Multipliser og trekk sammen uttrykket 3ða þ 2Þða 3Þ 2ða 1Þ ð3a 2 16Þ og gjør svaret så enkelt som mulig. Kontroller utregningen ved å sette inn a = 2. Løsningsforslag 3ða 2 3a þ 2a 6Þ ð2a 2Þ ð3a 2 16Þ ¼ð3a 2 9a þ 6a 18Þ ð2a 2Þ ð3a 2 16Þ ¼ 3a 2 9a þ 6a 18 2a þ 2 3a 2 þ 16 ¼ 5a Ved kontroll må vi alltid sette inn samme tall både i det opprinnelige uttrykket og i svaret. Kontroll av uttrykket: 3ð2 þ 2Þð2 3Þ 2ð2 1Þ ð Þ ¼ 3 4 ð 1Þ 2 1 ð3 4 16Þ ¼ 12 ð 1Þ 2 ð 4Þ ¼ 12 2 þ 4 ¼ 10 Kontroll av svaret: 5 2 ¼ 10. Konklusjon Vi fikk samme tall når vi satte inn 2 både i uttrykket og i svaret. Da er det stor sannsynlighet for at vi har regnet riktig, men 100 % sikker kan vi ikke være på grunn av faren for dobbeltfeil. Legg merke til fortegnsregler, oppløsning av parenteser og at 3a 2 betyr 3 a 2. ð3 2 2 kan ikke regnes som 6 2 ). 12

5 MATEMATIKK: 1 Algebra Legg merke til at 3ða þ 2Þða 3Þ ikke kan skrives som ð3a þ 6Þð3a 9Þ. Vi multipliserer ut parentesene først. 1.2 Kvadratsetningene I enkelte sammenhenger dukker uttrykk som ðx 2Þ 2, ða þ bþ 2 osv. opp. For slike uttrykk kan vi gjøre utregningen mer rasjonell. F.eks. skrives kvadratet av 3 som 3 2 og betyr 3 3 (9). ðx 2Þ 2 kan skrives som ðx 2Þðx 2Þ, ogða þ bþ 2 kan skrives som ða þ bþða þ bþ. Første kvadratsetning ða þ bþ 2 ¼ða þ bþða þ bþ ¼a a þ a b þ a b þ b b ¼ a 2 þ 2 a b þ b 2 ¼ a 2 þ 2ab þ b 2 Denne setningen kaller vi første kvadratsetning: ða þ bþ 2 ¼ a 2 þ 2ab þ b 2 Verbalt kan denne setningen uttrykkes slik: Kvadratet av summen av to tall, ða þ bþ 2, finner vi ved å ta kvadratet av det første tallet (a 2 ), legge til det dobbelte produktet av de to tallene (2 a b) og legge til kvadratet av det siste tallet (b 2 ). Eksempel 8 eller ðx þ 4Þ 2 ¼ x 2 þ 2 x 4 þ 4 2 ¼ x 2 þ 8x þ 16 ðx þ 4Þ 2 ¼ x 2 þ 8x þ 16 Vi har her brukt første kvadratsetning. Kontroller resultatet ved å regne ut ðx þ 4Þðx þ 4Þ. Andre kvadratsetning ða bþ 2 ¼ða bþða bþ ¼ a 2 a b a b þ b 2 ¼ a 2 2 a b þ b 2 13

6 Sammenlikn med utregningen ovenfor! Denne setningen kalles andre kvadratsetning: ða bþ 2 ¼ a 2 2ab þ b 2 Den andre kvadratsetningen (formelen) likner svært mye på den første kvadratsetningen. Men her skal vi finne kvadratet av differansen mellom to tall. Prøv å uttrykke setningen verbalt! Eksempel 9 ðy 5Þ 2 ¼ y 2 2 y 5 þ 5 2 ¼ y 2 10y þ 25 Vi har her brukt regelen for andre kvadratsetning. «Mellomregningen» blir etter hvert unødvendig. Tredje kvadratsetning ða þ bþða bþ ¼a 2 a b þ a b b 2 ¼ a 2 b 2 Denne setningen kaller vi for tredje kvadratsetning (konjugatsetningen). Vi kaller den for konjugatsetningen fordi det ikke er en «vanlig» kvadratsetning. Snur vi på utregningen, ser vi at vi får differansen mellom to kvadrattall: ða þ bþða bþ ¼a 2 b 2 Eksempel 10 eller ðx 7Þðx þ 7Þ ¼x ¼ x 2 49 ðx 7Þðx þ 7Þ ¼x 2 49 Det kan være lett å blande de tre kvadratsetningene. Eksempelvis kan det nevnes at ðx þ 5Þ 2 lett blir til x 2 þ 25 og ikke x 2 þ 10x þ 25 som er riktig. Derfor kan det være nyttig som kontroll å sette opp parentesuttrykket to ganger og multiplisere ut på vanlig måte. 14

7 MATEMATIKK: 1 Algebra Oppgave 2 ðx þ 2Þ 2 ðx 3Þ 2 2ðx 1Þðx þ 1Þ Regn ut, og trekk sammen. Gjør svaret så enkelt som mulig. Kontroller utregningen ved å sette inn x ¼ 3. Løsningsforslag ðx 2 þ 4x þ 4Þ ðx 2 6x þ 9Þ 2ðx 2 1Þ ¼ x 2 þ 4x þ 4 x 2 þ 6x 9 ð2x 2 2Þ ¼ x 2 þ 4x þ 4 x 2 þ 6x 9 2x 2 þ 2 ¼ 2x 2 þ 10x 3 Kontroll x ¼ 3 i oppgaven: ð3 þ 2Þ 2 ð3 3Þ 2 2ð3 1Þð3 þ 1Þ ¼ ¼ 9 x ¼ 3 i svaret: þ ¼ 18 þ 30 3 ¼ 9 Vi fikk samme svar ved å sette inn x ¼ 3både i den opprinnelig oppgaven og i det forenklede svaret. Legg merke til at første, andre og tredje kvadratsetning kom på rekke og rad i oppgaven. Alternativ løsningsmåte er å multiplisere ut parentesene på vanlig måte: ðx þ 2Þðx þ 2Þ ðx 3Þðx 3Þ 2ðx 1Þðx þ 1Þ ¼ðx 2 þ 2x þ 2x þ 4Þ ðx 2 3x 3x þ 9Þ 2ðx 2 þ x x 1Þ ¼ x 2 þ 2x þ 2x þ 4 x 2 þ 3x þ 3x 9 2x 2 2x þ 2x þ 2 ¼ 2x 2 þ 10x 3 NB! Vi multipliserte med 2 og åpnet siste parentes direkte! 2ðx 2 þ x x 1Þ ¼ ð2x 2 þ 2x 2x 2Þ ¼ 2x 2 2x þ 2x þ 2 Oppgave 3 Regn ut følgende uttrykk, og gjør svaret så enkelt som mulig: ðx 2yÞ 2 þðx þ yþð2x yþ 3ðy xþ 2 15

8 Løsningsforslag ðx 2 4xy þ 4y 2 Þþð2x 2 xy þ 2xy y 2 Þ 3ðy 2 2xy þ x 2 Þ ¼ x 2 4xy þ 4y 2 þ 2x 2 xy þ 2xy y 2 3y 2 þ 6xy 3x 2 ¼ 3xy NB! x y ¼ xy Her kan vi også kontrollere utregningen ved å velge en x-verdi og en y-verdi, f.eks. x ¼ 2ogy ¼ 3. Vi setter inn i oppgaven: ð2 2 3Þ 2 þð2 þ 3Þð2 2 3Þ 3ð3 2Þ 2 ¼ð 4Þ 2 þð5þð1þ 3ð1Þ 2 ¼ 16 þ 5 3 ¼ 18 Vi setter inn i svaret: ¼ 18. Svaret blir det samme. 1.3 Brøkregning Brøker er tall som ligger mellom de hele tallene. Desimaltall er en bestemt type brøk der nevneren er et multiplum av 10. Desimaltallene blir også kalt for desimalbrøker. En brøk er også et forhold mellom to størrelser eller en divisjon mellom de samme størrelsene. Hvis det er 12 jenter og 16 gutter i en klasse, er forholdet mellom antall jenter og gutter ð12 : 16Þ ¼ ¼ 3 4 : Dette betyr at det er 3 jenter per 4 gutter 3 4 ¼ 0,75. Forholdet mellom antall gutter og jenter er selvfølgelig omvendt 4 3 ¼ 1,3333 ¼ En brøk består aventeller («topp») ogennevner («nederst»). I brøken 3 4 er 3 teller og 4 nevner. Uttrykket kaller vi et «blandet tall» fordi uttrykket er satt sammen av et helt tall og en brøk. Uttrykket betyr egentlig 1 þ 1 3 og omgjøres til 4 3 ibrøkregningen 1 ¼ 3 3 og 1 þ 1 3 ¼ 3 3 þ 1 3 ¼ Addisjon og subtraksjon av brøker Hvis vi legger sammen en 1 2 time og en 1 4 time (et kvarter), vil dette utgjøre 3 4 time. Regnestykket vil se slik ut: 1 2 þ 1 4 ¼ 2 4 þ 1 4 ¼ 2 þ 1 ¼

9 MATEMATIKK: 1 Algebra Her ser vi at 1 2 er gjort om til 2 4, og at vi har lagt sammen tellerne og beholdt fellesnevner. Vi kan ikke legge sammen tellerne og nevnerne hver for seg, for da vil vi få 2 6 som er det samme som 1 3 (20 minutter). Regel: Når vi skal addere og subtrahere brøker, må vi gjøre alle brøkene til brøker med felles nevner. Deretter summerer/trekker vi fra tellerne og beholder fellesnevner. Som fellesnevner velger vi det minste tallet som alle nevnerne går opp i. Sagt på en annen måte: Vi finner minste felles multiplum når vi skal finne fellesnevneren. Når vigjør om 1 2 til 2 4, sier vi at vi utvider brøken. Vi multipliserer teller og nevner med 2, men verdien av brøken er den samme 1 2 ¼ 4 2. Oppgave 4 Trekk sammen brøkene og gjør svaret så enkelt som mulig: 1 3 þ Løsningsforslag Fellesnevner for 3, 4 og 6 er 12. Merk at fellesnevneren aldri kan være mindre enn den største nevneren. Her må vi utvide de tre brøkene og gjøre om til 12-deler: 4 12 þ ¼ 4 þ 9 10 ¼ ¼ 1 4 Forklaring þ ¼ 4 12 þ ¼ 3 12 ¼ 1 4 I den første brøken har vi ganget teller og nevner med 4, i den andre har vi ganget teller og nevner med 3, og i den tredje brøken har vi ganget teller og nevner med 2. Da vi trakk sammen tellerne, fikk vi 3, dvs. svaret ble 3 12.Men 3 12 kan forenkles til 1 4. I dette tilfellet sier vi at vi har forkortet brøken (dividert teller og nevner med 3). Å utvide en brøk: Vi multipliserer teller og nevner med samme tall. Å forkorte en brøk: Vi dividerer teller og nevner med samme tall. NB! Når vi utvider eller forkorter en brøk, vil verdien av brøken være den samme som før operasjonen. 17

10 Multiplikasjon av brøker Å multiplisere 1 2 med 2 er det samme som å finne det dobbelte av 1 2. Svaret er derfor lik ¼ ¼ ¼ 2 2 ¼ 1 Når vi multipliserer en brøk med et helt tall, ganger vi det hele tallet inn i telleren og beholder nevneren. Eksempel ¼ ¼ 12 5 ¼ Vi kan kontrollere at dette er riktig ved å skrive 0,6 i stedet for 3 5 (3 : 5 ¼ 0,6). 12 0,6 4 ¼ 2,4 og ¼ 12 : 5 ¼ 2,4 5 Når vi skal multiplisere to eller flere brøker med hverandre, kan vi «tenke» som ovenfor. Eksempel ¼ 0,6 0,5 ¼ 0,3 2 Når vi multipliserer med 1 2, er det det samme som å finne halvparten av tallet. 0,3 blir da et rimelig svar. 0,3 kan også skrives som Vi kan komme fram til det samme svaret på følgende måte: ¼ ¼ 3 10 Regel: Når vi skal multiplisere brøker, multipliserer vi teller med teller og nevner med nevner. («Teller gange teller over nevner gange nevner».) Eksempel ¼ ¼ ¼ 8 35 Før utregningen kunne vi ha forkortet teller og nevner med 3 (felles faktor). Da ville vi ha fått 8 35 direkte: 18

11 MATEMATIKK: 1 Algebra ¼ ¼ 8 35 Her må vi passe på så vi ikke multipliserer både teller og nevner med det hele tallet 3. For å unngå denne feilen kan vi gjøre hele tall om til 1- deler, f.eks. 3 ¼ 3 1. Da ville utregningen ovenfor ha blitt slik: ¼ ¼ ¼ Divisjon av brøker Når vi skal dele en halv pizza på to personer og begge skal ha en like stor del, vil de åpenbart få en firedel av en hel pizza hver, dvs. 1 2 : 2 ¼ 1 4. Har du to liter vann som du skal fylle over i halvlitermål, må du fylle fire stykker, dvs. 2 : 1 2 ¼ 4. Ut fra disse to eksemplene kan vi lage en regel: 1 2 : 2 ¼ ¼ 1 4 eller 1 2 : 2 1 ¼ ¼ ¼ 1 4 Deler vi en brøk med et helt tall, kan vi gjøre dette ved å gange det hele tallet inn i nevneren. Alternativt kan vi gjøre om det hele tallet til en brøk (1-deler) og så snu den og multiplisere: 2 : 1 2 ¼ 2 1 : 1 2 ¼ ¼ ¼ 4 1 ¼ 4 Regel: Når vi deler en brøk med en annen brøk, snur vi den bakerste brøken og multipliserer deretter teller med teller og nevner med nevner. Eksempel 14 a) 3 5 : 7 8 ¼ ¼ ¼ b) 3 þ 2 : ¼ þ 6 15 a b : c d ¼ a b d c ¼ a d b c ¼ ad bc : 4 5 ¼ ¼ ¼ ¼ 4 3 I eksempel b) er det lurest å summere de to brøkene inne i parentesen før vi deler med 4 5.Når vi legger sammen brøker må vi finne fellesnevner (her 15). Etter at vi har regnet ut og fått et «endelig svar», måvi 19

12 sjekke om det er mulig å forenkle svaret, dvs. å forkorte brøken. Legg merke til at vi i dette eksemplet kunne ha forkortet før vi multipliserte brøkene: ¼ ¼ ¼ Brudne brøker Hvis teller og/eller nevner i en brøk selv er en brøk, kaller vi dette for en brudden brøk. Vi har indirekte regnet med brudden brøk ovenfor. 1 2 : 2 kan skrives som Derfor skriver vi ofte om en brudden brøk til en divisjon mellom to brøker. Eksempel a) 4 ¼ : 4 5 ¼ ¼ b) 4 þ þ 6 ¼ þ þ 6 ¼ ¼ 39 8 : 13 7 ¼ ¼ Her har vi forkortet teller og nevner med 13. Oppgave 5 Trekk sammen, og gjør svaret så enkelt som mulig: a) x 3 15 þ 2x þ 1 5 b) x þ 2 1 2x 4 8 c) a þ b a b Løsningsforslag a) Fellesnevner her er 15. Det er lurt å sette tellerne i parentes. ðx 3Þ ð2x þ 1Þ3 ðx 3Þþð6x þ 3Þ þ ¼ ¼ x 3 þ 6x þ 3 ¼ 7x

13 MATEMATIKK: 1 Algebra b) Fellesnevner er 8. Vi setter tellerne i parentes. x þ 2 1 2x ¼ 4 8 ¼ ðx þ 2Þ2 ð1 2xÞ ð2x þ 4Þ ð1 2xÞ ¼ x þ 4 1 þ 2x 8 ¼ 4x þ 3 8 NB! Svaret kan ikke forkortes. De to leddene i teller har ingen felles faktor. c) Fellesnevner: a b ¼ ab. Vi setter tellerne i parentes. 1 ¼ 1 1 og ba ¼ ab. ða þ 1Þb a b 1 ab ð2 bþa ðab þ bþ ab ð2a abþ ¼ 1 ab b a ab ¼ ¼ ab þ b ab 2a þ ab ab 2a þ ab þ b ab Merk: Hvis det står minus ( ) foran en brøk der teller består av to eller flere ledd, har det lett for å bli fortegnsfeil. Derfor bruker vi å sette tellerne i parentes (se eksemplene b og c). 1.4 Faktorisering Å faktorisere et tall eller uttrykk vil si å splitte opp tallet/uttrykket i så små faktorer som mulig. Tallet skal kunne skrives som produktet av disse faktorene. Vi kan f.eks. skrive 8 ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Når et tall er faktorisert, kan vi også finne hvilke tall som går opp i tallet. Alle tall som kan skrives som et produkt av to eller flere av faktorene, går opp i det faktoriserte tallet. (De enkelte faktorene selv går selvsagt også opp i tallet.) Dette kan vi benytte oss av når vi skal finne fellesnevneren for brøker eller minste felles multiplum. Ta f.eks. brøker med nevnerne 2, 6, 8, 12 og 15. Vi faktoriserer nevnerne: 21

14 2 ¼ 2 6 ¼ ¼ ¼ ¼ 3 5 Fellesnevneren på faktorisert form må inneholde alle disse produktene. Vi må altså ha med tre 2-ere for å få med 8, da har vi nok 2-ere til å danne alle de andre nevnerne med 2 som faktor. Vi må i tillegg ha med en 3-er for å danne 12; den samme 3-eren kan vi bruke til å danne 15. For å danne 15 må vi også ha med faktoren 5. Fellesnevneren blir da ¼ 120. Uttrykk som 2a þ 6oga 2 2a kan også faktoriseres. Oppgaven blir da å lage parentesuttrykk; dvs. det motsatte av å multiplisere ut og løse opp parenteser. 2a þ 6 ¼ 2 a þ 2 3 ¼ 2ða þ 3Þ Vi har her satt den faktoren som er felles for de to leddene, utenfor parentesen. a 2 2a ¼ a a 2 a ¼ aða 2Þ a er felles faktor for de to leddene og settes utenfor parentesen. Vi kan også faktorisere uttrykk som a 2 9. De to leddene har ingen felles faktor. Men snur vi på den tredje kvadratsetningen (konjugatsetningen), får vi: a 2 b 2 ¼ða bþða þ bþ: Uttrykket a 2 9 kan skrives a a ¼ða 3Þða þ 3Þ Her ser vi at b ¼ 3. Faktorisering av tall/uttrykk er sentralt i brøkregning og når vi skal gjøre uttrykk enklere. Eksempel 16 x ¼ a2 9 a 3 ¼ ða 3Þða þ 3Þ a 3 ¼ a þ 3 Det er åpenbart at «svaret» ða þ 3Þ er enklere enn a2 9 a 3. 22

15 MATEMATIKK: 1 Algebra 1.5 Tallinje En tallinje brukes for å vise tallenes posisjon i forhold til hverandre. Et termometer er et eksempel på en tallinje Mellom to påfølgende hele tall på tallinjen er det uendelig mange tall. Vi kan nevne at tallene 1,1, 1,2,..., 1,9 er desimaltall (desimalbrøker) som ligger mellom 1 og 2 på tallinjen. Desimaltallene kan skrives som vanlige brøker. Desimaltallet 1,1 kan skrives som 1,1 ¼ 1 þ 1 10 ¼ þ 1 10 ¼ ,325 ¼ 1 þ 3 10 þ þ ¼ þ þ þ ¼ ¼ ,99, 1,075 og 1, er eksempler på andre desimaltall (brøker) som ligger mellom 1 og 2 på tallinjen. Alle hele tall og brøker kaller vi for rasjonale tall. Mellom 1 og pffiffi 2 ligger det også andre tall som vi ikke kan skrive som brøker, f.eks. 3 ¼ 1, Her har vi bare tatt med noen få desimaler. Prikkene betyr at vi kan ha mange flere desimaler. Et tall som vi ikke kan skrive som et helt tall eller en brøk, kaller vi et irrasjonalt tall. Ordet rasjonal kommer av det latinske ordet ratio, som betyr fornuft og/eller forhold. Vi kan da si at irrasjonal betyr ikke fornuft/ikke et forhold. Ivår sammenheng kan vi knytte rasjonal til forhold. En brøk har vi tidligere kalt et forhold. Alle rasjonale og irrasjonale tall kaller vi for reelle tall. Ivåre oppgaver regner vi bare med reelle tall. Vi kaller mengden av alle reelle tall for p R. ffiffiffiffiffiffi De tallene som ikke er reelle, kaller vi imaginære tall. 4 ¼ 2i er et eksempel på en imaginær løsning. Vi sier at vi ikke kan ta kvadratroten av et negativt tall det har ingen mening for oss. 23

16 Vi skiller mellom ulike skrivemåter: h1, 2i, ½1, 2Š, h1, 2Š, ½1; 2i og f1, 2g: h1, 2i er et åpent intervall og betyr alle tall fra 1 til 2 (1 og 2 er ikke med): ½1, 2Š er et lukket intervall og betyr alle tall fra og med 1 til og med 2(1 og 2 er med): h1, 2Š er et halvåpent intervall og betyr alle tall fra 1 til og med 2(1er ikke med): ½1, 2i er et halvåpent intervall og betyr alle tall fra og med 1 til 2(2er ikke med): Skrivemåten f1, 2g betyr bare tallene 1 og 2, og er ikke et intervall I oppgaver med funksjoner ( f ) står det ofte D f ¼ R nfag; D f ¼ha; bi; x 2½a; bš; osv. D f står for definisjonsmengden til funksjonen f og uttrykker hvilke verdier funksjonen gjelder for. Symbolet 2 betyr «tilhører» og har ellers samme betydning som D f. 24

Regning med variabler

Regning med variabler Regning med variabler???? (x y) (x y) Hvordan kan Herman regne ut uttrykket på tavla? Når vi skal regne ut bokstavuttrykk med parenteser, må vi løse opp parentesene først. Hvis det står et tall eller et

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Brøk Vi på vindusrekka

Brøk Vi på vindusrekka Brøk Vi på vindusrekka Brøken... 2 Teller og nevner... 3 Uekte brøk... 5 Blanda tall... 6 Desimalbrøk... 8 Pluss/minus... 9 Multiplikasjon... 11 Likeverdige brøker... 12 Utviding... 13 Forkorting... 14

Detaljer

Forberedelseskurs i matematikk

Forberedelseskurs i matematikk Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger

Detaljer

Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen

Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen De følgende oppgavene er øvinger i faktorisering og multiplisering ved hjelp av konjugatsetningen /3. kvadratsetning. Gjennom oppgavene gir vi elevene

Detaljer

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent MATEMATIKK: 2 Likninger 2 Likninger 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent Ulike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolen brukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempel

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter.

En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter. Algebra Variabel Konstant trekke sammen Algebra er bokstavregning. Det er et verktöy som forenkler regneoperasjonene i forskjellige omrôder av matematikken. Bokstavene er symboler for tall og skal behandles

Detaljer

Tillegg til kapittel 2 Grunntall 9

Tillegg til kapittel 2 Grunntall 9 18.09.2013 Kvadratsetningene Tillegg til kapittel 2 Grunntall 9 Nytt læringsmål i revidert læreplan 2013 Mål for det du skal lære: kunne bruke kvadratsetningene til å multiplisere to parentesuttrykk Bjørn

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logaritmer 9.1 Potenser Regneregler 2 3 ¼ 2 2 2 Vi kaller 2 3 for en potens. 2 kaller vi for potensens grunntall og 3 for eksponenten. En potens er per definisjon produktet av like store tall.

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Kapittel 1. Tallregning

Kapittel 1. Tallregning Kapittel 1. Tallregning Regning med tall er grunnlaget for mer avansert matematikk. I dette kapitlet repeteres følgende fra grunnskolen: Brøkregning Desimaltall Regning med positive og negative tall Potenser

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr Hvordan du regner med brøk Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com Opplysning: Et helt tall er delelig på et annet helt tall hvis svaret

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Kapittel 1. Tallregning

Kapittel 1. Tallregning Kapittel 1. Tallregning Mål for Kapittel 1, Tallregning. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere

Detaljer

Ronny Kjelsberg. Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk

Ronny Kjelsberg. Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk Ronny Kjelsberg Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk Contents Hvordan bli en BRØKREGNER på en, to, tre:. EN: Basics................................ Hva er

Detaljer

FAKTA. Likeverdige bröker: BrÖker som har samme verdi. 1 2 = 2 4 = 3 6 = 4 8 = 5

FAKTA. Likeverdige bröker: BrÖker som har samme verdi. 1 2 = 2 4 = 3 6 = 4 8 = 5 FAKTA Likeverdige bröker: BrÖker som har samme verdi. 2 = 2 = 6 = 8 = 0 0 utvide en brök: utvide en brök betyr Ô multiplisere teller og nevner med det samme tallet. BrÖken forandrer da ikke verdi. = 2

Detaljer

NAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18

NAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18 NAVN: INNHOLD FORORD... 2 LÆREPLAN... 3 ALGEBRA.... 3 REGNING MED VARIABLER... 3 MONOM... 3 POLYNOM... 3 TREKKE SAMMEN UTTRYKK (addisjon/subtraksjon)... 4 MULTIPLIKASJON... 4 DIVISJON... 4 ADDISJON AV

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

En divisor til et heltall N er et heltall som går opp i N. Både 1 og N regnes blant divisorene til N.

En divisor til et heltall N er et heltall som går opp i N. Både 1 og N regnes blant divisorene til N. Oppgave 1 Hvilket av disse tallene er ikke heltall? 11! 12345678910 11 11! 11! 11! 11! 11! A B C D E 20 21 22 23 24 Hva må være oppfylt for at brøkene i løsningsalternativene skal bli hele tall? Hvilke

Detaljer

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup Brukerveiledning for webapplikasjonen Mathemateria 01.02.2015 Terje Kolderup Innhold Brukerveiledning for webapplikasjonen...1 Mathemateria...1 Introduksjon...3 Typisk eksempel og bryterstyring...3 Innlogging...4

Detaljer

Tall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31,

Tall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31, Tall SKOLEPROSJEKT MAT400 - VÅR 204 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM Date: March 3, 204. 2. Innledning Vårt skoleprosjekt omhandler ulike konsepter innenfor det matematiske området

Detaljer

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og enheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene 1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen

Detaljer

Innledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Innledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Innledning Mål for opplæringen er at eleven skal kunne løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner, både ved regning

Detaljer

Utfordringer med tall

Utfordringer med tall Utfordringer med tall e følgende oppgavene er øvinger for å utdype tallforståelse. e første fem oppgavene handler om faktorer og faktorisering. I de to siste handler det om å vurdere størrelsen av tall

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator

Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator Enkel kalkulator... 3 Regneuttrykk uten parenteser... 3 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 3 Negative tall... 4 Regneuttrykk med parenteser... 5 Brøk... 5 Blandet

Detaljer

Prosent- og renteregning

Prosent- og renteregning FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra

Detaljer

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Sensurveiledning Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Figuren viser hvordan en nettside forklarer en metode for addisjon og

Detaljer

Brøker med samme verdi

Brøker med samme verdi Kapittel 7 Brøk Mål for det du skal lære: regne om mellom blandet tall og uekte brøk forkorte og utvide brøker, finne fellesnevner regne om mellom brøk og desimaltall ordne brøker etter størrelse og plassere

Detaljer

Eksempel på læringsstrategi i fag: Loop fra øving til læring

Eksempel på læringsstrategi i fag: Loop fra øving til læring Eksempel på læringsstrategi i fag: Loop fra øving til læring Når man jobber inn nytt stoff gjennom å gjøre oppgaver i arbeidsboken, kan man introdusere lek-aktige spill, som for eksempel loop. Loopen blir

Detaljer

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011. 1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset

Detaljer

Dette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10.

Dette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10. SAMMENDRAG Dette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10. Hvis du trenger mer trening utover oppgavene i Nummer 10, finner du ekstra oppgaver

Detaljer

Regning med tall og bokstaver

Regning med tall og bokstaver Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG TALL OG TALLREGNING

INNHOLD SAMMENDRAG TALL OG TALLREGNING SAMMENDRAG TALL OG TALLREGNING INNHOLD TALL OG TALLREGNING... 2 PLASSVERDISYSTEMET... 2 PLASSERING PÅ TALLINJE... 2 UTVIDET FORM... 3 REGNESTRATEGIER... 3 DELELIGHETSREGLER... 3 SKRIFTLIG REGNING... 4

Detaljer

Kjennetegn på måloppnåelse TALL OG ALGEBRA. Kunne plassverdisystemet for hele- og desimaltall

Kjennetegn på måloppnåelse TALL OG ALGEBRA. Kunne plassverdisystemet for hele- og desimaltall MATEMATIKK 6.trinn KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne: VURDERINGSKRITERIER Kjennetegn på måloppnåelse TALL OG ALGEBRA Elevene skal: Beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltall.

Detaljer

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...

Detaljer

Addisjon og subtraksjon av brøker finne fellesnevner

Addisjon og subtraksjon av brøker finne fellesnevner side 1 Detaljert eksempel om Addisjon og subtraksjon av brøker finne fellesnevner Dette er et forslag til undervisningsopplegg der elevene skal finne fellesnevner ved hjelp av addisjon og subtraksjon av

Detaljer

8 Likninger med to ukjente rette linjer

8 Likninger med to ukjente rette linjer 8 Likninger med to ukjente rette linjer 8. Likninger med to ukjente Per vil teste kameratens matematiske kunnskaper. Han forteller at han har ni mnter med en samlet verdi på 40 kroner i lommeboken sin.

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Oppgavesett med fasit

Oppgavesett med fasit TIL ENT3R ELEVENE Oppgavesett med fasit Tommy Odland Sist oppdatert: 1. november 2013 http://is.gd/ent3rknarvik http://tommyodland.com/ent3r 1 INNHOLD 1 Om dette dokumentet 3 1.1 Formål og oppbygging..................................

Detaljer

Vi bruker desimaltall for Ô oppgi verdiene mellom de hele tallene. Tall med komma kaller vi desimaltall, og sifrene bak komma kaller vi desimaler.

Vi bruker desimaltall for Ô oppgi verdiene mellom de hele tallene. Tall med komma kaller vi desimaltall, og sifrene bak komma kaller vi desimaler. 196 FAKTA De naturlige tallene bestôr av ett eller ere sifre: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...Alle de hele positive tallene kaller vi naturlige tall, og tallmengden kaller vi N. NÔr vi tar med 0 og

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator for elever

Verktøyopplæring i kalkulator for elever Verktøyopplæring i kalkulator for elever Innholdsfortegnelse Enkel kalkulator... 2 Kalkulator med brøk og parenteser... 7 GeoGebra som kalkulator... 11 H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 1 Enkel kalkulator

Detaljer

Ein konstant er eit symbol med ein fast verdi. 2 og er eksempel pô konstantar.

Ein konstant er eit symbol med ein fast verdi. 2 og er eksempel pô konstantar. Algebra Variabel Konstant dra saman Algebra er bokstavrekning. Det er eit verktöy som forenklar rekneoperasjonane innanfor eire omrôde av matematikken. Bokstavane er symbol for tal og skal handterast som

Detaljer

Men han kan også først finne ut hvor mange kasser han har solgt og deretter regne ut hvor mange epler det blir.

Men han kan også først finne ut hvor mange kasser han har solgt og deretter regne ut hvor mange epler det blir. 3.0 Variabler Peder har en stor eplehage og selger epler i hele kasser. En dag selger han 3 kasser og den neste 5 kasser. Han vil finne ut hvor mange epler han har solgt til sammen når det er 50 epler

Detaljer

Forkurshefte i matematikk variant 1

Forkurshefte i matematikk variant 1 Forkurshefte i matematikk variant 1 2014 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO (Plan for kurset: se side 3) Forord Velkommen til Universitetet i Oslo (UiO), og til forkurs i matematikk! Dette

Detaljer

Et slikt pizzastykke utgjør en firedel av hele pizzaen. En firedel skriver vi slik:

Et slikt pizzastykke utgjør en firedel av hele pizzaen. En firedel skriver vi slik: Kapittel Brøk Det er en god egenskap å være villig til å dele med andre, for eksempel hvis du deler den pizzaen du hadde gledet deg til å spise, med tre venner som uventet stikker innom. Dersom alle skal

Detaljer

ÅRSPLAN MATEMATIKK 7. TRINN 2016/17

ÅRSPLAN MATEMATIKK 7. TRINN 2016/17 ÅRSPLAN MATEMATIKK 7. TRINN 2016/17 Uke Tema Læringsmål Lærestoff Metoder 34 36 God start Kunne avgjøre hvilken nevner brøken har ut fra oppdeling av helheten Kunne avgjøre hvilken brøk som er størst ut

Detaljer

Tallregning Vi på vindusrekka

Tallregning Vi på vindusrekka Tallregning Vi på vindusrekka Addisjon... 2 Addisjon: Oppstilling... 3 Addisjon med minnetall... 4 Addisjon med desimaltall... 5 Subtraksjon... 6 Subtraksjon uten låning... 7 Subtraksjon med låning...

Detaljer

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag.

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon per. juni 004 Matematikk 0 - Matematikk for data- og grafiske fag. y x Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Forord Dette kompendiet er skrevet for faget

Detaljer

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6 Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene

Detaljer

Posisjonsystemet FRA A TIL Å

Posisjonsystemet FRA A TIL Å Posisjonsystemet FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til posisjonsystemet P - 2 2 Grunnleggende om posisjonsystemet P - 2 3 Titallsystemet P - 3 4 Posisjonsystemet

Detaljer

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator

Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator... 1 Enkel kalkulator... 2 Regneuttrykk uten parenteser... 2 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 2 Negative tall... 3 Regneuttrykk

Detaljer

Ordliste matematikk. Addere (addisjon) Areal. Divisjon. Addere er å "legge sammen" tall.

Ordliste matematikk. Addere (addisjon) Areal. Divisjon. Addere er å legge sammen tall. Ordliste matematikk Addere (addisjon) Addere er å "legge sammen" tall. Regnetegnet for addisjon er +. 3+4 er en addisjon. Summen er 7. Tallene som adderes kalles ledd. Areal Areal er et mål for hvor stor

Detaljer

INNHOLD. Emne 4 Matematikken rundt oss... 120. Emne 3 Brøk, prosent og promille... 6. Faktasider...101 Repetisjonsoppgaver...106 Avtaltoppgaver...

INNHOLD. Emne 4 Matematikken rundt oss... 120. Emne 3 Brøk, prosent og promille... 6. Faktasider...101 Repetisjonsoppgaver...106 Avtaltoppgaver... Black plate (4,) INNHOLD Emne Brøk, prosent og promille... 6 Brøk... 8 Navn på brøker... 8 Likeverdige brøker... Utvide og forkorte brøker... 4 Addisjon og subtraksjon av brøker med like nevnere... 8 Å

Detaljer

1P Tall og algebra. Tall og algebra Vg1P (utdrag)

1P Tall og algebra. Tall og algebra Vg1P (utdrag) 1P Tall og algebra Modul 1: Regnerekkefølgen... 2 Modul 3: Brøkregning... 4 Modul 10: Prosentregning... 9 Bildeliste... 28 1 Modul 1: Regnerekkefølgen Du går i butikken og handler ett brød og to liter

Detaljer

: og betyr det samme. Begge er divisjonstegn. 1 pizza eller 1 : 4 = 4. 1 pizza : 4 = 1 teller brøkstrek 4 nevner

: og betyr det samme. Begge er divisjonstegn. 1 pizza eller 1 : 4 = 4. 1 pizza : 4 = 1 teller brøkstrek 4 nevner Kapittel BRØK pizza : pizza eller : teller brøkstrek nevner : og betyr det samme. Begge er divisjonstegn. Ofte bruker vi divisjonstegnet : når mange eller mye skal fordeles på et visst antall, og brøkstrek

Detaljer

Addisjon og. subtraksjon. Muntlig tilbake- - Bruke metoder for hoderegning, overslagsregning, skriftlig regning - Addisjon. enn

Addisjon og. subtraksjon. Muntlig tilbake- - Bruke metoder for hoderegning, overslagsregning, skriftlig regning - Addisjon. enn ÅRSPLAN I MATEMATIKK FOR 5. TRINN 2016/2017 Læreverk: Multi 5a og b Lærer: Ruben Elias Austnes Uke MÅL (K06) TEMA INNHOLD ARBEIDSFORM VURDERING - Finne verdien av et siffer HELE TALL Titallsystemet Tallinjer

Detaljer

löse likninger gôr ut pô Ô nne den ukjente verdien som gjör at venstresiden blir lik höyresiden.

löse likninger gôr ut pô Ô nne den ukjente verdien som gjör at venstresiden blir lik höyresiden. Likning En likning inneholder alltid et likhetstegn og minst e n ukjent. Den ukjente kaller vi som regel eller y, men alle bokstavene i alfabetet kan brukes. löse likninger gôr ut pô Ô nne den ukjente

Detaljer

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og formler MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene tolke, bearbeide, vurdere

Detaljer

Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter.

Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter. Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter. Dersom man ofte ikke er intressert i å finne eksakte løsninger kun sikkre interval, er ulikheter

Detaljer

ADDISJON FRA A TIL Å

ADDISJON FRA A TIL Å ADDISJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til addisjon 2 2 Grunnleggende om addisjon 3 3 Ulike tenkemåter 4 4 Hjelpemidler i addisjoner 9 4.1 Bruk av tegninger

Detaljer

E.1: Lage et uttrykk som viser sammenhengen mellom to variabler hvor nødvendige opplysninger gis eksplisitt E.2: Faktorisere flerleddet

E.1: Lage et uttrykk som viser sammenhengen mellom to variabler hvor nødvendige opplysninger gis eksplisitt E.2: Faktorisere flerleddet 1. november 2013 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 NIVÅ A: POSITIVE UTTRYKK MED SAMME VARIABEL... 5 NIVÅ B: TREKKE SAMMEN POSITIVE OG NEGATIVE UTTRYKK, INNSETTING AV POSITIVE VERDIER...

Detaljer

Årsplan i Matematikk 7. trinn

Årsplan i Matematikk 7. trinn Årsplan i Matematikk 7. trinn 2016-2017 Tidspunkt Kompetansemål: (punkter fra K-06) Delmål: Arbeidsmetode: Vurderingsmetode: Tall og tallforståelse Uke 34-35/36 Brøk Uke 36-39 Kunne beskrive plassverdisystemet

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET Side 1 av 8

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET Side 1 av 8 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET 2016-2017 Side 1 av 8 Periode 1: UKE 33 - UKE 39 Sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker,

Detaljer

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger

Detaljer

Sensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013

Sensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013 Sensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013 Oppgave 1 a) =2 = 5 2 =5 2 = = 25 4 = 25 8 Full uttelling gis for arealet uttrykt over. Avrundinger gis noe uttelling. b) DC blir 5 cm og bruk av

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

ÅRSPLAN for skoleåret 2015 /-2016 i Matematikk

ÅRSPLAN for skoleåret 2015 /-2016 i Matematikk ÅRSPLAN for skoleåret 2015 /-2016 i Matematikk Faglærer: Nina Gausdal Fagbøker/lærestoff: Grunntall 6a og 6b Uke 35-36 Læreplanmål (kunnskapsløftet) Delmål Tema/emne Addere tall med addere to tall ved

Detaljer

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5. Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med

Detaljer

Mer om likninger og ulikheter

Mer om likninger og ulikheter Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere

Detaljer

Oppsummering Faktor 1 3

Oppsummering Faktor 1 3 Oppsummering Faktor 1 3 Tall og algebra Naturlige tall Naturlige tall er hele tall som er større enn 0. 1 2 3 4 5 6... Vi kan skrive naturlige tall på utvidet form. 1234 = 1 1000 + 2 100 + 3 10 + 4 1 Partall

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

Spill om kort 1) Førstemann som har samlet inn et avtalt antall kort (f.eks 10 stk) uansett tema og vanskegrad, har vunnet.

Spill om kort 1) Førstemann som har samlet inn et avtalt antall kort (f.eks 10 stk) uansett tema og vanskegrad, har vunnet. Spillevarianter Basis spillevarianter er presentert i elevboka, Tema B tall side 54. Her finner du også spillebrettet. I elevboka er spillet knyttet til desimaltall, men ved bruk av spillekortene kan man

Detaljer

Oppsummering Faktor 1 3

Oppsummering Faktor 1 3 Faktor 1 Tall og algebra Naturlige tall Naturlige tall er hele tall som er større enn 0. 1 2 4 5 6... Vi kan skrive naturlige tall på utvidet form. 124 = 1 1000 + 2 100 + 10 + 4 1 Partall og oddetall Partall

Detaljer

Matematikk fellesfag veiledning til læreplanene

Matematikk fellesfag veiledning til læreplanene Matematikk fellesfag veiledning til læreplanene Denne veiledningen gir praktiske eksempler på hvordan du som lærer kan arbeide med læreplanene i matematikk fellesfag og matematikk 2P/2T. Veiledning Publisert:

Detaljer

Brøk-, desimalog prosentplater 1 = 1:7 = 0,143 0,143 100 = 14,3% = 1:24 = 0,042 0,042 100 = 4,2%

Brøk-, desimalog prosentplater 1 = 1:7 = 0,143 0,143 100 = 14,3% = 1:24 = 0,042 0,042 100 = 4,2% Brøk-, desimalog prosentplater = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0,0 0,0 00 =,% = : = 0,0 0,0 00

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr 4 Hvordan du regner med bokstaver, likninger og formler (elementær algebra) Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com 1 Opplsning: Faste,

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

ÅRSPLAN. Grunnleggende ferdigheter

ÅRSPLAN. Grunnleggende ferdigheter ÅRSPLAN Skoleåret: 2015/16 Trinn: 5 Fag: Matematikk Utarbeidet av: Trine og Ulf Mnd. Kompetansemål Læringsmål (delmål) kriterier for måloppnåelse Aug Sep Okt Nov Beskrive og bruke plassverdisystemet for

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a

Detaljer

Matematisk førstehjelp

Matematisk førstehjelp Matematisk førstehjelp Brøk prosent desimaltall Brynhild Farbrot Foosnæs Matematisk kompetanse Kunnskapsløftet Kompetansemål Ferdigheter Forståelse Anvendelse Kunnskapsløftet Kompetansemål Ferdigheter:

Detaljer

Kapittel 1 Tall og tallregning

Kapittel 1 Tall og tallregning Kapittel 1 Tall og tallregning Enkel kalkulator I en del situasjoner er tallregningen så tidkrevende at det kan være fornuftig å bruke kalkulator. I andre situasjoner kan vi bruke kalkulatoren til å kontrollere

Detaljer

Lag det tallet. Mål. Gjennomføring. Utstyr: Kortstokk. Organisering: 3-4 elever spiller sammen. Spillets gang:

Lag det tallet. Mål. Gjennomføring. Utstyr: Kortstokk. Organisering: 3-4 elever spiller sammen. Spillets gang: Lag det tallet Mål Generelt: Vurdere tallstørrelser og forståelse for hva de ulike regneoperasjonene gjør med tallene. Eksperimentering med tall og øvelse i hoderegning. Spesielt: Prioritering av regnearter.

Detaljer

Kapittel 2. Algebra. Kapittel 2. Algebra Side 29

Kapittel 2. Algebra. Kapittel 2. Algebra Side 29 Kapittel. Algebra Algebra kalles populært for bokstavregning. Det er ikke mye algebra i Matematikk P-Y. Det viktigste er å kunne løse enkle likninger og regne med formler. Kapittel. Algebra Side 9 1. Forenkling

Detaljer

(K06) TEMA INNHOLD ARBEIDSFORM VURDERING

(K06) TEMA INNHOLD ARBEIDSFORM VURDERING HALVÅRSPLAN I MATEMATIKK FOR 6. TRINN 2016-2017 Læreverk: Multi 6a Lærer: Anita Nordland Uke MÅL (K06) TEMA INNHOLD ARBEIDSFORM VURDERING 34-39 - Finne verdien av et siffer avhengig av hvor i tallet det

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 2: Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-14 16:45) Kapittel

Detaljer

Løsningsforslag. a) i. b) (1 i) 2. e) 1 i 3 + i LF: a) Tallet er allerede på kartesisk form. På polar form er tallet gitt ved

Løsningsforslag. a) i. b) (1 i) 2. e) 1 i 3 + i LF: a) Tallet er allerede på kartesisk form. På polar form er tallet gitt ved Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Mandag 3. august 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag Uttrykk følgende komplekse tall både

Detaljer

Lokal læreplan Sokndal skole. Fag: Matematikk Trinn: 5.trinn Lærebok: Grunntall 5A og 5B

Lokal læreplan Sokndal skole. Fag: Matematikk Trinn: 5.trinn Lærebok: Grunntall 5A og 5B Lokal læreplan Sokndal skole Fag: Matematikk Trinn: 5.trinn Lærebok: Grunntall 5A og 5B Uke Tema Komp.mål (direkte fra læreplanen) Læringsmål Uke 34 42? Uke 42-46 Repetisj on tidligere tema. Forbere dende

Detaljer

Innhold. 1 Innledning. Søk SØK. Du er her: Forside Læring og trivsel Læreplanverket Matematikk fellesfag - veiledning til læreplaner.

Innhold. 1 Innledning. Søk SØK. Du er her: Forside Læring og trivsel Læreplanverket Matematikk fellesfag - veiledning til læreplaner. Søk SØK SØK MENY Du er her: Forside Læring og trivsel Læreplanverket Matematikk fellesfag - veiledning til læreplaner Innhold 1 Innledning 2 Fagets egenart 3 Yrkesretting av fellesfaget matematikk 4 Praktiske

Detaljer

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner. Faktor. Regelhefte. Bokmål

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner. Faktor. Regelhefte. Bokmål Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner Faktor Regelhefte Bokmål Bruken av heftet Bruken av heftet Faktor Regelhefte inneholder en oppsummering av lærestoffet fra 8. til 10. trinn. Regelheftet

Detaljer

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Regning med positive og negative tall 2 Regnerekkefølge og parenteser 3 Potenser 4 Algebra 5 Brøkregning 6 Ligninger 7 Ulikheter

Detaljer

Dette er en FORELØBIG versjon fra 13. juni 2001, for korrektur og kommentarer!

Dette er en FORELØBIG versjon fra 13. juni 2001, for korrektur og kommentarer! MATEMATIKK Dette er en FORELØBIG versjon fra 3. juni 00, for korrektur og kommentarer! Det har tatt adskillig mer tid å skrive dette enn antatt. Noen konsekvenser av dette: Kapittel 8, lineær algebra,

Detaljer

Komplekse tall og trigonometri

Komplekse tall og trigonometri Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.

Detaljer