Lineære likningssystemer

Transkript

1 Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så må løses. I lineær algebra studerer vi spesielt systemer av lineære likninger og deres løsninger. For eksempel kan problemet med å finne et tall slik at π ganger tallet er 12 gjøres om til en likning ved å kalle tallet vi vil finne for x. Problemet blir nå å finne x der x oppfyller likningen πx = 12. I likningsspråket kalles x en variabel (den ukjente i problemet vi vil løse). Vi må også kunne behandle likninger med flere variable, eller problemer med flere ukjente om man vil: For eksempel kan vi tenke på fire tall slik at summen av dem er 12. Hvis vi kaller de ukjente tallene for x 1, x 2, x 3 og x 4, blir problemet vårt gjort om til likningen x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 12. Begge likningene vi har sett til nå er eksempler på lineære likninger. Definisjon 1.1 La n N. En (reell) lineær likning i n variable (eller ukjente) x 1, x 2,..., x n er en likning på formen a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b 1

2 der a 1, a 2,..., a n og b er (reelle) konstanter. Tallene a 1, a 2,..., a n kalles koeffisientene til likningen. Matematikk er den mest eksakte vitenskapen vi har. Og uten definisjonene klarer vi oss ikke lenge. De sier nemlig nøyaktig hva vi mener med de ulike begrepene vi jobber med. For at vi skal kalle en likning lineær, kan vi kun ha ledd der vi ganger variablene med konstanter (også kalt skalarer) og i tillegg har vi lov til å ta summer av slike ledd. Lineære likninger inneholder dermed ikke produkter eller røtter av variablene, og variablene er heller ikke argumenter for for eksempel trigonometriske, logaritmiske eller eksponentiale funksjoner. Dette vil videre si at problemer der for eksempel ordet produkt dukker opp, slik som Finn to tall slik at produktet er 5 ikke vil gi opphav til lineære likninger. Areal- og volum-problemer er andre eksempler som involverer produkter av de ukjente. Eksempel 1.2 Likningen 5x1 + x 2 3x 3 = 0 er en lineær likning i x 1, x 2 og x 3 fordi den er på formen a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 = b der a 1, a 2, a 3 og b er reelle konstanter (a 1 = 5, a 2 = 1, a 3 = 3 og b = 0). Likningen 4x 1 x 2 + 4x 3 + x 3 4 = x 1 er ikke lineær, siden vi har leddet x 3 4 som ikke er på formen a 4 x 4 for en reell konstant a Vektorer og n-tupler Før vi går løs på løsninger og anvendelser av lineære likninger, skal vi definere noen begreper. Definisjon 1.3 La n være et naturlig tall. Et n-tuppel, skrevet x = (x 1,..., x n ), er n tall ordnet i en bestemt rekkefølge. 2

3 Eksempel 1.4 Tallene 1, 2, 3 og 4 kan danne flere 4-tupler. Når vi skriver 4-tuppelet (1, 3, 2, 4) har vi bestemt at 1 er det første tallet, 3 er det andre, 2 det tredje og 4 det fjerde tallet. Et 1-tuppel (x 1 ) gir oss et tall, dvs. geometrisk får vi et punkt på tallinjen R. Et 2-tuppel (x 1, x 2 ) gir oss et punkt i planet (skrives R 2 ), som er 2- dimensjonalt. Matematikere er ikke redde for å generalisere, og snakker gjerne om det n-dimensjonale rommet R n. Det er mengden av alle n-tupler, dvs. R n = {(x 1,..., x n ): x i R} som leses R i n-te er lik mengden av n-tupler x 1 opp til x n der x i -ene er elementer i R. Vi må kunne regne med n-tupler, og addisjon av n-tupler og multiplikasjon av n-tupler med konstanter (de lineære regneoperasjonene) skal gi oss nye n-tupler. Det bringer oss til følgende definisjon. Definisjon 1.5 La x = (x 1,..., x n ) og y = (y 1,..., y n ) være to n-tupler og la a være en konstant i R. Vi definerer x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ); ax = (ax 1,..., ax n ). Vi kan ikke addere et m-tuppel og et n-tuppel hvis m n. Eksempel 1.6 La x = (5, 3, 8, 2) og y = (7, 6, 1, 0). Da er x 1y 2 = (5, 3, 8, 2) 1 (7, 6, 1, 0) 2 = (5, 3, 8, 2) + ( 7, 3, 1, 0) 2 2 = ( 3 2, 0, 15 2, 2), som er et nytt 4-tuppel. Vi har bruk for å kunne multiplisere n-tupler også. Det er flere måter å gjøre dette på, og vi skal se på følgende produkt: 3

4 Definisjon 1.7 La x = (x 1,..., x n ) og y = (y 1,..., y n ) være to n-tupler. Vi definerer skalarproduktet av x og y som x y = x 1 y x n y n. Vi ser at skalarproduktet ikke gir oss noe nytt n-tuppel, men et tall (en skalar, derav navnet). Eksempel 1.8 La x = (5, 3, 8, 2) og y = (7, 6, 1, 0). Da er x y = (5, 3, 8, 2) (7, 6, 1, 0) = ( 2) 0 = = 61, så skalarproduktet av to 4-tupler gir oss et 1-tuppel (ett tall) i R. For dere som har møtt vektorer før, vil nok regningene med n-tupler virke litt kjente. I 2MX lærte dere å regne med vektorer i planet, og at en vektor er et rett linjestykke med en retning. En vektor i planet (R 2 ) kan sees på som et 2-tuppel. Forklaring: En vektor i R 2 skrives gjerne x = [x 1, x 2 ], mens 2-tuppelet skrives x = (x 1, x 2 ). Geometrisk kan 2-tuppelet x tegnes som et punkt i R 2. Dette punktet gir oss en vektor x ved at vi tegner linjestykket fra origo ut til punktet x og følger retningen fra origo langs linjestykket. Omvendt, hvis vi har en vektor x i planet, parallellforskyver vi linjestykket slik at startpunktet på linjestykket i forhold til retningen blir liggende i origo. Da vil endepunktet på linjestykket gi oss punktet x. Her er en figur til forklaringen: x x = (x 1, x 2 ) 2 x 0 x 1 4

5 Ved å bruke analogien til 2-tupler vil vi tenke på n-tupler som vektorer i R n. Noen ganger er det mest hensiktsmessig å bruke ordet tuppel (når vi fokuserer på mengder av ordnede tall), mens andre ganger (faktisk veldig ofte) vil ordet vektor dukke opp. Vi skal møte søkevektorer, svarvektorer, egenvektorer, kolonnevektorer og radvektorer. De kunne godt hatt navn søketuppel osv. Vi tar også med at vektoren (eventuelt tuppelet) 0 = (0,..., 0) kalles nullvektoren. 1.3 Løsningsmengde og parameterfremstilling Hvordan løser vi lineære likninger? Hvordan finner vi x i likningen πx = 12? Den som leter, den finner, og blant tallene våre finner vi at x = 12 passer inn π i likningen. Det finnes ingen andre tall som oppfyller likningen. Altså var det tallet 12 vi tenkte på i starten av kapittelet. Dette er forøvrig diameteren i π en sirkel med omkrets 12. Hva med løsningen av likningen x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 12? (1.1) La oss først definerer hva vi mener med en løsning av en lineær likning: Definisjon 1.9 En løsning av en lineær likning a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b er et n-tuppel (s 1, s 2,..., s n ) slik at likningen er oppfylt når vi setter x 1 = s 1, x 2 = s 2,..., x n = s n. Mengden av alle løsninger kalles løsningsmengden, eller den generelle løsningen, til likningen. Eksempel 1.10 For likningen πx = 12 er løsningsmengden { 12 } siden likningen er oppfylt når vi setter x = 12 og det er den eneste løsningen. π π 5

6 Bemerkning 1.11 Bruken av {}-parentesene i eksemplet skyldes at vi snakker om en løsningsmengde. Når vi kun har én løsning, kan de gjerne droppes. Hva med de fire tallene hvorav summen er 12 i likning (1.1)? Her har vi flere løsninger. For eksempel er 4-tuppelet (1, 1, 1, 9) en løsning, siden likningen er oppfylt når vi setter x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1 og x 4 = 9. Videre har vi løsninger ( 5, 5, 11, 1), ( 1, 3, 7, 3) osv. Vi kan faktisk fortsette i det 2 2 uendelige med å finne løsninger. Hvordan kan vi presentere mengden av alle disse løsningene? La oss bestemme oss for at tallet x 1 er s 1. Vi tenker på s 1 som et symbol som kan anta alle verdier i R. Dette symbolet kalles en parameter. På denne måten kvitter vi oss med variabelen x 1 og har redusert likningen (1.1) til x 2 + x 3 + x 4 = 12 s 1. Nå leter vi etter tre tall slik at summen av dem er 12 s 1. Hvis for eksempel s 1 = 3, så er (1, 1, 7), (3, 3, 3) og ( 5, 7, 3) eksempler på løsninger. Vi har 2 2 fortsatt ikke sagt hvordan vi kan holde orden på alle disse løsningene. For det første skal vi jo finne x 2, x 3 og x 4. I tillegg kan vi velge hvilken verdi vi vil for s 1. Vi innfører en parameter for x 2 også, så kvitter vi oss med en variabel til. La parameteren s 2 erstatte x 2. Da har vi redusert likning (1.1) videre til x 3 + x 4 = 12 s 1 s 2. Fortsatt har vi samme problem som ovenfor: vi kan velge hvilke verdier vi vil for s 1 og s 2, og vi har fortsatt to variable igjen i likningen. Siden vi har to variable igjen, er det ikke usannsynlig at det hjelper å kvitte seg med enda en av dem. Så vi gir oss ikke, og innfører parameteren s 3 for x 3. Dermed er likningen (1.1) redusert til x 4 = 12 s 1 s 2 s 3. Vi kan fortsatt velge hvilke verdier vi vil for de tre parameterne, men når vi har gjort det, vet vi også hva x 4 er, dvs. vi har ikke noen ukjente igjen, men 6

7 bare parametere. Dermed kan vi presentere løsningsmengden til likningen (1.1): {(s 1, s 2, s 3, 12 s 1 s 2 s 3 ): s 1, s 2, s 3 R}. (1.2) Definisjon 1.12 Denne måten å presentere løsningsmengden til en likning på kalles en parameterfremstilling av løsningsmengden. Alternativt skriver vi at løsningsmengden (1.2) består av alle (x 1, x 2, x 3, x 4 ) slik at (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (s 1, s 2, s 3, 12 s 1 s 2 s 3 ) der s 1, s 2, s 3 R. Vi får altså alle løsninger av (1.1) ved å velge forskjellige verdier for s 1, s 2 og s 3. Dette gir uendelig mange løsninger. For eksempel kan vi velge s 1 = 1, s 2 = 1, s 3 = 1, som gir oss 4-tuplet (1, 1, 1, 9). Generelt ser vi at alle 4-tupler (s 1, s 2, s 3, 12 s 1 s 2 s 3 ) passer inn i likningen x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 12 siden s 1 + s 2 + s 3 + (12 s 1 s 2 s 3 ) = 12. Bemerkning 1.13 En parameter er også en variabel, men den varierer innenfor hvert enkelt problem vi studerer. Det er altså en forskjell på en variabel og en parameter annet enn at den ene heter x og den andre heter s. Vi kan tenke på en parameter som en variabel som har fått en spesiell rolle. Vi vil treffe både varible og parameter utover i kurset, og vil påpeke parameternes rolle i de ulike problemene vi studerer. Eksempel 1.14 For å finne løsningsmengden til likningen 5x 1 + 3x 2 = 15, løser vi ut for en av variablene, og erstatter denne med en parameter (vi har en likning med to ukjente, og har ikke nok informasjon til å finne bare en løsning): x 1 = x 2 7

8 Ved å sette x 2 = s 2 får vi at løsningsmengden er {(3 3 5 s 2, s 2 ): s 2 R}. (1.3) Vi ser at vi startet med en likning med to variable (der vi bruker x-navn ), men for å presentere løsningen av likningen trenger vi bare én parameter (til dette bruker vi s-navn ). Bemerkning 1.15 Det fins uendelig mange parameterfremstillinger for én og samme mengde dersom mengden er uendelig stor. Eksempel 1.16 I Eksempel 1.14 kan vi løse ut for x 2 istedenfor x 1. Da får vi x 2 = x 1. Vi setter x 1 = s 1. En annen parameterfremstilling av løsningsmengden blir da {(s 1, s 1): s 1 R}. (1.4) Hvis vi har veldig lyst, kan vi lage andre parameterfremstillinger ved å multiplisere parameteren med en konstant, og dermed få uendelig mange parameterfremstillinger. For eksempel er en tredje mulighet å multiplisere s 1 i (1.4) med 3, dvs. sette x 1 = 3s 1. Da får vi {(3s 1, 5 5s 1 ): s 1 R}. (1.5) Parameterfremstillingene (1.3), (1.4) og (1.5) er alle eksempler på fremstillinger av samme mengde. Hvis det skulle spille noen rolle, hvilken skal vi velge? Vi vet at en mengde av 2-tupler gir oss punkter i planet R 2. Hvis vi fremstiller løsningsmengden geometrisk, får vi i dette tilfellet en linje (uendelig mange punkter) i (x 1, x 2 )-planet med stigningstall 5 og skjæringspunkt 3 med x 2 -aksen i punktet (0, 5). For å få frem dette tydeligst mulig, ser vi at parameterfremstillingen (1.4) kan være mest hensiktsmessig siden her er x- koordinaten en parameter, og likningen for linja leses av i y-koordinaten uten noe mer regning. 8

9 Vi minner om at dere har hatt om parameterfremstillinger av rette linjer i 2MX. 1.4 Lineære likningssystemer Akkurat som vi kan ha mange ukjente størrelser i problemet vårt, kan vi også ha flere opplysninger som gir oss ulike sammenhenger mellom de ukjente størrelsene. For eksempel kan vi ha fire tall slik at summen er 12, og i tillegg får vi vite at det ene tallet er dobbelt så stort som summen av de andre tre tallene. Dette kan vi gjøre om til likningene { L 1 : x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 12 (1.6) L 2 : x 1 = 2(x 2 + x 3 + x 4 ). Jo flere ekstra opplysninger vi har, jo flere likninger skal variablene oppfylle. Vi får dermed det vi kaller et likningssystem, og vi bruker en {-parentes for å samle likningene i systemet. Definisjon 1.17 En endelig mengde av lineære likninger i variablene x 1, x 2,..., x n kalles et lineært likningssystem i n variable. En løsning av et lineært likningssystem er et n-tuppel (s 1, s 2,..., s n ) slik at alle likningene i systemet er oppfylt når vi setter x 1 = s 1, x 2 = s 2,..., x n = s n. Mengden av alle løsninger kalles løsningsmengden, eller den generelle løsningen, til likningssystemet. Likningssystemene kan bli ganske kompliserte når vi har mange variable som avhenger av hverandre. Her er et eksempel: Eksempel 1.18 Vi studerer trafikken i et veinettverk mellom to punkter A og B, se figur nedenfor (en bydel i London kanskje?). Hver time kommer k biler inn til punkt A og etter hvert kommer alle de k bilene ut i punkt B. Bydelen har enveiskjørte gater, slik pilene viser, og mellom punktene A og B har vi 8 veibiter, delt opp av 3 knutepunkt C, D og E. La x i være trafikkstrømmen (målt i antall biler per time) langs veibit i. 9

10 k A x 1 x 2 D E x 5 x 8 B k x 3 x 4 x 7 C x 6 Vi kan nå sette opp lineære likninger som sier hvordan trafikken på de ulike veibitene avhenger av hverandre (siden dette er et problem som bare vil involvere summering av variable). Sammenhengene mellom veibitene er gitt av knutepunktene, og siden det er 5 knutepunkt, får vi 5 likninger: A : B : x 1 + x 2 + x 3 = k x 6 + x 7 + x 8 = k C : x 3 = x 4 + x 6 D : x 4 = x 5 + x 7 E : x 1 + x 2 + x 5 = x 8 Vi ønsker å løse dette systemet, og vi skal straks se på løsningsmetoder, både i dette og i det neste kapittelet. Du skal løse dette systemet i en av oppgavene. Kanskje bør man lage et knutepunkt til for at trafikken skal flyte bedre? Vi tar med en liten bemerkning om begrepet parameter. Størrelsen k i dette problemet kalles også en parameter, siden den har en spesiell rolle og vil variere innenfor dette problemet (den vil for eksempel variere alt etter hvilken tid på døgnet det er snakk om). Vi kan fort forestille oss at trafikken i London kan gi store likningssystemer. Eller hva med verdensøkonomien? Da kan man også sette opp kompliserte (men ofte lineære) avhengighetsforhold mellom sektorer som jordbruk, fiskeindustri, oljeindustri osv. Les (for eksempel på nettet) om Wassily Leontief, som fikk Nobelprisen i økonomi i Han drev nettopp med lineære sammenhenger innenfor store økonomiske enheter. I denne sammenhengen må vi nevne at den første Nobelprisen i økonomi (1969) gikk til nordmannen Ragnar Frisch (delt med Jan Tinbergen fra Ned- 10

11 erland), som også studerte likningssystemer, av lineære likninger og differensog differensiallikninger (de tre typene likninger vi lærer om i MAT1001!). På 1930-tallet ble disse studiene brukt til å planlegge den økonomiske politikken i Norge. Frisch har vært meget viktig for norsk økonomi. 1.5 Løsningsmetoder Vi skal løse likningssystemet (1.6), og se hvilken forskjell den ekstra opplysningen (likning L 2 ) gir oss i forhold til løsningen av likning (1.1). Vi minner om addisjonsmetoden og substitusjonsmetoden siden tankegangen her blir viktig videre: Addisjonsmetoden (Også kalt eliminasjonsmetoden.) Her eliminerer vi en eller flere av variablene i likningssystemet ved å multiplisere en av likningene i systemet med en passende konstant og legge dette multiplumet til en eller flere av de andre likningene (vi adderer likninger). Vi har systemet (1.6): { L 1 : x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 12 L 2 : x 1 2x 2 2x 3 2x 4 = 0 Vi kan nå velge hvilken variabel vi vil prøve å eliminere først, så det gjelder å få et overblikk over systemet som skal løses, og å være lur. Hvis vi legger 2 L 1 til L 2, får vi 2 L 1 : 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 24 L 2 : x 1 2x 2 2x 3 2x 4 = 0 3x 1 = 24 Dermed har vi eliminert tre av variablene, og sitter igjen med én likning i én variabel. Løsningen av likningen 3x 1 = 24 er x 1 = 8. Altså har vi funnet at tallet som er dobbelt så stort som summen av de tre andre tallene må være 8. Hva med de tre andre tallene? Vi har funnet at x 1 må være 8, så 11

12 likningssystemet er nå redusert til { L 1 : x 2 + x 3 + x 4 = 4 L 2 : 2x 2 2x 3 2x 4 = 8. La oss fortsette med addisjonsmetoden. Hvis vi legger 2 L 1 til L 2, får vi utsagnet 0 = 0, noe som utvilsomt er riktig. Utsagnet 0 = 0 forteller oss at vi i realiteten kun har én likning, siden begge likningene sier det samme. Vi trenger altså ikke den ekstra opplysningen L 2 gir oss, for den gir oss akkurat samme informasjon som likning L 1. Dermed vil likningssystemet vårt bare bestå av L 1 : x 2 + x 3 + x 4 = 4, dvs. vi har tre tall slik at summen er 4. Da har vi redusert det opprinnelige problemet til et problem av samme type som likning (1.1), og igjen innfører vi parametere for to av variablene. Dermed blir løsningen av likningssystemet (1.6) (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (8, s 2, s 3, 4 s 2 s 3 ) der s 2, s 3 R. Vi har fortsatt uendelig mange løsninger, siden vi kan velge hvilke verdier vi vil for både s 2 og s 3 (vi kunne godt ha kalt parameterne for s 1 og s 2 eller noe annet, men det er oversiktlig å følge indekseringen i variablene). Den ekstra opplysningen vi fikk (likning L 2 ) har gjort at vi ikke har så stor frihet når det gjelder å finne løsninger. For eksempel er (1, 1, 1, 9) ikke lenger en løsning, mens (8, 2, 1, 1) er en løsning (ved å velge s 2 = 2 og s 3 = 1). Systemet vi ser på har altså løsninger. Vi sier at likningssystemet er konsistent, dvs. at det gir mening. 12

13 Definisjon 1.19 Et lineært likningssystem kalles konsistent hvis det har minst én løsning. Et lineært system som ikke har noen løsninger kalles inkonsistent. Hadde det for eksempel stått 5 istedenfor 4 i L 1, hadde vi fått utsagnet 0 = 2, som er galt. Da ville systemet vært inkonsistent, dvs. systemet har ingen løsninger. Det betyr at hvis vi innfører en tilleggsopplysning som sier at summen av de andre tre tallene er 5, så har vi ikke noen løsninger av problemet. Substitusjonsmetoden Når vi bruker denne metoden løser vi ut for en av variablene i en av likningene og bytter ut (substituerer) denne variabelen med uttrykket vi får i alle de andre likningene. La oss se på systemet (1.6) igjen: { L 1 : x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 12 L 2 : x 1 2x 2 2x 3 2x 4 = 0 Vi kan velge hvilken variabel vi ønsker å bytte ut. Det er forøvrig her det matematiske talentet gjerne kommer inn (så lenge vi har en oppskrift går ting greit, men når vi skal ta valg er det noen valg som er bedre enn andre, da de ofte er tidsbesparende og/eller elegante!). Vi velger å bruke L 2, som gir x 1 = 2x 2 +2x 3 +2x 4. Bytter vi ut x 1 i L 1, får vi likningen 3x 2 + 3x 3 + 3x 4 = 12, som er det samme som likningen x 2 +x 3 +x 4 = 4. Vi kan videre sette inn 4 for x 2 +x 3 +x 4 i L 1, og får at x 1 = 8. Dermed har vi redusert likningssystemet til akkurat de samme likningene som ved å bruke addisjonsmetoden, og vi får (naturligvis) samme svar. Vi ser at så lenge vi ikke har nok informasjon til å bestemme en nøyaktig løsning på problemet vårt, for eksempel når vi har flere variable enn vi har likninger, må vi innføre parametere for å presentere den generelle løsningen til problemet. 13

14 Bemerkning 1.20 Hvis vi reduserer systemet vårt til én likning med n variable, må vi innføre n 1 parametere. Disse kan vi fritt velge verdier for, og når vi har gjort det, er verdien til den siste variabelen bestemt. Hvilke av de n 1 variablene som skal erstattes med en parameter, kan vi velge fritt. Dessuten kan vi manipulere med parameterne alt etter hvordan vi ønsker at løsningene skal se ut (lovlige manipuleringer er å multiplisere med konstanter og summere parametere). La oss løse et likningssystem med tre likninger og tre ukjente (der vi forøvrig ikke kommer til å trenge en parameter i løsningene fordi vi får nøyaktig én løsning): Eksempel 1.21 Vi vil løse systemet L 1 : x 1 + x 2 + 2x 3 = 9 L 2 : 2x 1 + 4x 2 3x 3 = 1 L 3 : 3x 1 + 6x 2 5x 3 = 0. Strategien er å bruke en av likningene til å eliminere en variabel fra de to andre likningene (eliminere samme variabel fra begge), slik at vi får frem et system med to likninger og to ukjente. Vi velger å bruke L 1 til å eliminere x 1 fra L 2 og L 3. Det kan enten gjøres ved substitusjonsmetoden ved å erstatte x 1 med 9 x 2 2x 3, eller ved addisjonsmetoden der vi legger 2 L 1 til L 2 og 3 L 1 til L 3. Vi velger den siste metoden, og får systemet: L 1 : x 1 + x 2 + 2x 3 = 9 L 2 : 2x 2 7x 3 = 17 L 3 : 3x 2 11x 3 = 27 Dette likningssystemet vil ha de samme løsningene som vårt opprinnelige system (vi har bare brukt likningene som systemet oppfyller til å forenkle systemet). Nå utgjør L 2 og L 3 et system av to likninger med to ukjente, og vi bruker addisjonsmetoden (eller substitusjonsmetoden) til å eliminere x 2. Vi utfører 14

15 operasjonene 3 L 2 og 2 L 3: L 1 : x 1 + x 2 + 2x 3 = 9 L 2 : 6x x 3 = 51 L 3 : 6x 2 22x 3 = 54 (Vi har fortsatt ikke forandret på løsningsmengden ved å gjøre dette.) Vi legger så sammen L 2 og L 3 og får x 3 = 3, dvs. x 3 = 3. Så kan vi nøste oss bakover: Vi setter inn x 3 = 3 i for eksempel L 3 : 6x 2 22x 3 = 54 og får 6x 2 = , dvs. x 2 = 2. Vi setter så inn x 2 = 2 og x 3 = 3 i L 1 : x 1 + x 2 + 2x 3 = 9, og får x 1 = 9 2 6, dvs. x 1 = 1. Likningssystemet vi startet med har altså nøyaktig én løsning, nemlig (x 1, x 2, x 3 ) = (1, 2, 3). Vi skal snart se hvordan vi kan løse større likningssystemer ved å sette addisjonsmetoden inn i et større maskineri. Bemerkning 1.22 Merk at vi har brukt x 1, x 2, x 3,... x n som navn på variablene våre, men så lenge vi kun har systemer med opptil tre (eventuelt fire) variable kaller vi de ofte x, y og z (og eventuelt w). 15

16 1.6 Geometriske løsninger Vi har sett hvordan vi kan løse lineære likningssystemer algebraisk. En løsning er et n-tuppel, der n er antall variable i systemet. Vi vet at et 1-tuppel kan tolkes som et punkt på tallinjen og et 2-tuppel som et punkt i planet. Et 3-tuppel gir oss et punkt i rommet R 3. På denne måten kan vi visualisere løsningene, og se for oss hva som skjer. La oss se litt nærmere på hvordan likningssystemene kan løses geometrisk. Bemerkning 1.23 Vår geometriske visualiseringsevne stopper etter tre dimensjoner (rommet R 3 ). Vi kan derfor kun se for oss løsningsmengden til systemer med opptil tre variable. Hver likning i et lineært likningssystem med opptil tre variable representerer en lineær figur i rommet. Lineære figurer er punkter, linjer og plan. (Tegn gjerne tegninger mens du leser videre, og vær stø på hånden hvis du ikke har linjal. Vi skal ikke ha noen krumning på figurene.) Én likning med én variabel (f.eks. πx = 12) har som geometrisk løsningsmengde ett punkt på talllinjen R (dvs. én løsning). Én likning med to variable (f.eks. 5x + 3y = 15) har en linje i R 2 (dvs. uendelig mange løsninger) som sin geometriske løsningsmengde. Den generelle likningen for en linje skrives ofte på formen y = ax + b (som vi får ved å flytte y alene på venstresiden), der a er stigningstallet til linja, og b er y-verdien der linja skjærer y-aksen. Én likning med tre variable (f.eks. 4x+2y+z = 10) har som geometrisk løsningsmengde et plan i rommet R 3 (dvs. uendelig mange løsninger). Den generelle likningen for et plan er ax + by + cz = d der a, b, c og d er reelle tall (og der a, b, c ikke alle er 0). (Prøv å overbevise deg om dette ved å sette hver av variablene lik 0, for eksempel x = 0 gir by + cz = d, som er en linje i (y, z)-planet. På den måten, 16

17 ved å sette sammen mange linjer, får vi et plan. Vi skal imidlertid ikke studere plan nærmere her, for oss er det viktigste å vite at lineære likninger i tre variable gir oss plan.) Og hvis du lurer: Én likning med n variable der n 4 (f.eks. 3x 1 + 4x 2 7x 3 + 8x 4 x 5 = 1) gir oss et (n 1)-dimensjonalt plan (vi trenger n 1 parametere) i det n-dimensjonale rommet R n. Men det kan vi altså ikke forestille oss. Imidlertid får vi fortsatt uendelig mange løsninger. Når vi skal løse et likningssystem, skal vi oppfylle flere likninger på en gang. Det betyr geometrisk å finne alle skjæringspunktene mellom de lineære figurene likningene representerer. To likninger med to variable: Geometrisk løsningsmengde er skjæringspunktene mellom to linjer. Vi har tre alternativer: linjene er parallelle (ingen løsning) linjene skjærer hverandre i ett punkt (én løsning) linjene faller sammen (uendelig mange løsninger) Illustrasjon: Tre likninger med to variable: Geometrisk løsningsmengde er skjæringspunktene mellom tre linjer. Se Oppgave 3. Fire likninger med to variable, fem likninger med to variable, osv. (Utforsk!) To likninger med tre variable: Geometrisk løsningsmengde er skjæringspunktene mellom to plan. Igjen har vi tre alternativer: 17

18 planene er parallelle (ingen løsning) planene skjærer hverandre i en linje (uendelig mange løsninger) planene faller sammen (uendelig mange løsninger) Vi ser også geometrisk at når vi har flere variable enn vi har likninger, er det umulig å få kun én løsning! I dette tilfellet ser vi for eksempel at to plan ikke kan skjære hverandre i bare ett punkt. Tre likninger med tre variable: Geometrisk løsningsmengde er skjæringspunktene mellom tre plan i rommet: 18

19 a) Tre parallelle plan. Ingen løsning (ingen felles punkter). b) To parallelle plan og et skjærende tredje plan. Ingen løsning (ingen felles punkter). c) Tre plan uten felles skjæringspunkter. Ingen løsning (ingen felles punkter). d) Tre sammenfallende plan. Uendelig mange løsninger (et felles plan). e) Tre plan som skjærer i en felles rett linje. Uendelig mange løsninger (en felles rett linje). f) Tre plan som skjærer i ett punkt. Én løsning (ett felles punkt). g) Et plan parallelt med to sammenfallende plan. Ingen løsning (ingen felles punkter). h) To sammenfallende plan og et skjærende tredje plan. Uendelig mange løsninger (en felles rett linje). Dere må gjerne utforske fire likninger med tre variable, fem likninger med tre variable osv. 1.7 Et viktig resultat Vi oppsummerer observasjonene våre i et viktig resultat: Teorem 1.24 Et lineært likningssystem har enten ingen, én eller uendelig mange løsninger. For å vise dette resultatet, må vi vise at hvis vi har mer enn én løsning, så får vi uendelig mange løsninger (og ikke bare to eller tre). Geometrisk er det ikke så vanskelig å overbevise seg selv om at dette resultatet må stemme: Lineære figurer vil alltid skjære hverandre ingen, én eller uendelig mange ganger, siden figurene ikke har noen krumning. (Hvis for eksempel to linjer skjærer hverandre i to punkter, må de falle sammen i alle punkter.) 19

20 Algebraisk blir beviset mest elegant når vi har innført matriser, for da får vi en ryddig måte å holde orden på alle likningene og variablene. Bemerkning 1.25 Noen sier en entydig løsning istedenfor én løsning. Du kan blant annet treffe dette i gamle eksamensoppgaver. 1.8 Nå skal du kunne definisjonene av (dvs. hva matematikere mener med): lineære likninger, lineære likningssystem og løsningsmengden av slike, vektorer, n-tupler og skalarprodukt av vektorer, samt konsistent likningssystem regne med vektorer og n-tupler parameterfremstille løsningsmengden til et lineært likningssystem løse lineære likningssystemer ved hjelp av addisjonsmetoden og substitusjonsmetoden tolke løsningene av lineære likningssystemer i 2 og 3 dimensjoner geometrisk fortelle til alle interesserte at et lineært likningssystem kan ha enten ingen, én eller uendelig mange løsninger, og gi en geometrisk forklaring på hvorfor 20