MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile"

Transkript

1 MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for en kropp (field på engelsk). Eksempel 1.1. Fire velkjente ringer med vanlig addisjon og multiplikasjon. Alle elementer (tall) har en additiv invers. I de tre siste ringene har alle elementer bortsett fra 0 en multiplikativ invers. Disse tre er derfor også kropper. Eksempel 1.2. Forskjellige ringer i en variabel («polynomringer»). [x] [x] [x] [x] F. eks. består [x] av alle polynomer med variabel x og heltallige koeffisienter. Polynomer kan adderes og multipliseres (og altså gi nye polynomer i den samme ringen!). Alle elementer har en additiv invers. Et polynom (av positiv grad) vil ikke ha en multiplikativ invers i noen av disse ringene. En ring er altså en mengde med elementer hvor elementene kan adderes og multipliseres slik vi gjør med tall. (En presis definisjon vil bli gitt senere i kurset.) Når vi studerer ringer vil vi både undersøk hva som er sant i alle ringer og hvordan ulike ringer forholder seg til hverandre. Grupper En gruppe er en mengde med elementer som kan settes sammen (elementene a og b gir et nytt element ab) og hvor alle elementer har en invers. Det er altså bare en operasjon, ikke to som for en ring. I grupper behøver ikke ab være lik ba. Når vi har en geometrisk figur kan vi finne symmetrier til figuren. Da får vi en gruppe av symmetrier. Eksempel 1.3. La den den geometrisk figuren være en regulær 6-kant. 6-kanten har 6 ulike speilinger og 6 ulike rotasjoner (med 60 o, 120 o, 180 o, 240 o og 360 o = 0 o. Jeg kan «sette sammen» to slike symmetrier og få en ny symmetri. F. eks. hvis jeg først tar en speiling og deretter tar en (annen) speiling vil resultatet bli det samme som om jeg bare bruker en av rotasjonene. Tar jeg først en rotasjon og så en speiling blir resultatet det samme som om jeg bare bruker en (annen) av speilingene. Vi får en multiplikasjonstabell for symmetriene til figuren. Rekkefølgen vi setter sammen symmetriene i har betydning for resultatet: Prøv to ulike speilinger! Eksempel 1.4. La den geometriske figuren være en sirkel. Da er alle rotasjonene symmetrier til sirkelen. Det er uendelig mange av dem. Denne gruppen av rotasjoner er abelsk fordi ab = ba for alle rotasjoner a og b. Eksempel 1.5. Når vi ser på løsningene til en polynomligning har disse også symmetrier ved at de kan permuteres (byttes om) på bestemte måter. Disse permutasjonene av røttene til polynomet danner en gruppe. Gruppene har altså bare en operasjon (sammensetning) og er derfor på en måte enklere enn ringer. Grupper kan allikevel virke mer eksotiske enn ringer. Vi starter med gruppene. 1

2 Anvendelser og mål for kurset Vi skal bruke teorien for grupper og ringer til å vise følgende tre resultater. Teorem (Vinkeltredeling er umulig generelt). Ikke alle vinkler kan deles i tre ved konstruksjon med passer og linjal. F. eks. kan ikke 20 o konstrueres med passer og linjal. Teorem (Dobling av kuben er umulig generelt). Fra et gitt linjestykke er det umulig å konstruere med passer og linjal et linjestykke med lengde 3 2 av det opprinnelige linjestykket. Teorem (Å kvadrere sirkelen er umulig generelt). Fra en gitt sirkel er det umulig å konstruere med passer og linjal et kvadrat med samme areal som sirkelen. Dette er de tre klassiske konstruksjonsproblemene som grekerne ikke klarte å løse. Hvorfor de ikke klarte det forklares av denne teorien. I tillegg kan man med denne matematikken vise følgende (men vi rekker ikke å gjøre det): Teorem (Niels Henrik Abel). Det finnes ingen formel for løsningene til den generelle femtegradsligningen som bare bruker de fire regneartene og rotutdragning. 2 Hva er en gruppe? Kapittel 1, avsnitt 4-5: Definisjon av gruppe, abelsk gruppe og undergruppe Stoff: Gruppe, abelsk gruppe, den generelle lineære gruppen, gruppetabell, undergruppe, karakterisering av undergruppe (5.14) Oppgaver 4: 1 8, 15 18, 23, 27, Oppgaver 5: 1 7, 8 12, 20, 22 24, 26 30, 33, 39, 40, 43, 47, 51 Først trenger vi begrepet operasjon. En operasjon på en mengde G gir for alle ordnede par av elementer a og b i G et nytt element i G som vi betegner med a b. Dette er ingenting annet enn en funksjon (avbildning) fra mengden av ordnede par G G til G. Vi skriver også : G G G Etter å ha observert gruppestrukturen i flere sammenhenger ble de abstrakte egenskapene skrevet ned på slutten av 1800-tallet. Dette er aksiomene for en gruppe: Definisjon 2.1. En gruppe er en mengde G med en operasjon som oppfyller tre betingelser. 1. (Assosiativitet) For alle elementer a, b, c i G skal a (b c) = (a b) c. 2. (Nøytralt element) Det finnes et element e i G slik at e a = a = a e for alle elementer a i G. 3. (Invers) For ethvert element a i G finnes det et element b i G slik at a b = e = b a. Vi trenger noen eksempler for bedre å forstå hva dette er. Forsøk å forstå hva de tre gruppeaksiomene sier i hvert eksempel. Disse eksemplene vil bli brukt flere ganger i kurset. Du kan tenke på dem når det kommer noe nytt. Eksempel 2.2. Eksempel 2.3., + addisjon av heltall, +, +, +, multiplikasjon av rasjonale tall 0,,, bare to elementer Eksempel , multiplikasjon av positive rasjonale tall +, 2

3 Eksempel 2.5. (Rotasjoner av planet om origo) Rot = {R θ 0 θ < 360 o } med R θ R ϕ = R θ+ϕ mod 360 o Eksempel 2.6. (Rotasjoner av planet om origo med vinkel 60 o ) Rot(60) = {R θ 0 θ < 360 o og θ et multiplum av 60 o } med R θ R ϕ = R θ+ϕ mod 360 o Hvor mange elementer har denne gruppen? Oppgave 2.7. Samme formulering, men med en annen vinkel. Er det en gruppe? Hvor mange elementer har gruppen? (a) 45 o (b) 70 o (c) 72 o (d) 10 o Definisjon 2.8. En gruppe G med operasjon er abelsk hvis a b = b a for alle elementer a og b i gruppen. Eksempel 2.9. Se på eksemplene over. Avgjør om de er abelske. Eksempel 2.10 (Den generelle linære gruppen). La GL(n, ) være alle invertible n-ganger-n-matriser med reelle tall og som matrisemultiplikasjon. Denne gruppen er ikke abelsk hvis n > 1! Hva er GL(1, )? Lemma. En gruppe har bare et nøytralt element. Bevis. La e og e være to nøytrale elementer i gruppen. Da har vi at e = e e per definisjon av at e er et nøytralt element = e per definisjon av at e er et nøytralt element Teorem ( ). La a og c være elementer i en gruppe G. Da har ligningene a x = c and y a = c alltid løsninger x og y i G og disse løsningene er entydige. Bevis for den første ligningen. (Eksistens) Vi finner en løsning på den første ligningen: La b være en invers til a i G. La x = b c, sett inn og regn ut. venstresiden: høyresiden: a (b c) = (a b) c = e c = c c (Entydighet) Anta x = f og x = g er to løsninger, dvs a f = c og a g = c som gir a f = a g Vi multipliserer ligningen med b (som vi husker var en invers til a) på venstresidene: b (a f ) = b (a g) som ved assosiativitet gir (b a) f = (b a) g og siden b a = e får vi e f = e g dvs (siden e er det nøytrale elementet) f = g Oppgave Finn en løsning for den andre ligningen! 1 Slike tall i parantes viser til resultater i læreboken 3

4 Teorem (4.17). Til hvert element i en gruppe finnes det bare en invers. Bevis. Anta a er et element i en gruppen G med inverser b og c. Dvs a b = e og a c = e Altså er x = b og x = c løsninger på ligningen a x = e. Fra forrige resultat må b = c. Notasjon Vi bruker normalt skrivemåten a 1 for inversen til a. For abelske grupper brukes ganske ofte + som operasjonstegn. Da bruker vi a for inversen til a. Oppgave La a og b være elementer i en gruppe G. Da har a og b inverser a 1 og b 1. Finn et uttrykk for inversen til elementet a b i G. Undergrupper Definisjon Gitt en gruppe G med operasjon. Da er en undergruppe av G en delmengde H av G slik at H med operasjonen blir en gruppe. Merk at dette krever at H er lukket under operasjonen. Eksempel Se på eksemplene over. Eksempel En gruppe G har alltid to undergrupper, nemlig G selv og undergruppen H = {e}, den trivielle undergruppen. Notasjon At H er en undergruppe av G skriver boken kort som H G. Hvis H i tillegg ikke er G selv (dvs H er en ekte undergruppe av G) kan man skrive H < G for å angi dette. Eksempel 2.18 (Den spesielle linære gruppen). La SL(n, ) være alle n-ganger-n-matriser med reelle tall og determinant lik 1 og som matrisemultiplikasjon. Denne gruppen er ikke abelsk hvis n > 1! Og SL(n, ) < GL(n, ). Hva er SL(1, )? Teorem (5.14). En delmengde H av en gruppe G med operasjon er en undergruppe hvis og bare hvis 1. H er lukket under operasjonen. 2. Det nøytrale elementet e i G er også i H. 3. Hvis a er et element i H er også inversen til a med i H. Eksempel Hvorfor er SL(n, ) en undergruppe av GL(n, )? Bruker teoremet. Sjekker betingelsene. (i) Hvis A og B er i SL(n, ) har vi det(a) = 1 og det(b) = 1. Generelt har vi at det(ab) = det(a) det(b). Altså får vi det(ab) = 1 1 = 1 og AB er i SL(n, ). (ii) Det nøytrale elementet i GL(n, ) er enhetsmatrisen I n. Den har determinant det(i n ) = = 1 så I n er i SL(n, ). (iii) Vi bruker multiplikasjonsregelen for determinanten med B = A 1 for å finne determinanten til inversen til A: det(a) det(a 1 ) = det(aa 1 ) = det(i n ) = 1 det(a 1 ) = 1 det(a) så For A i SL(n, ) er det(a) = 1 og vi får dermed at det(a 1 ) = 1! Altså er også A 1 i SL(n, ). Oppgave La H være mengden av alle 3 3-matriser som har 0 overalt under hoveddiagonalen og bare 1 på hoveddiagonalen. Vis at H < SL(3, ) (for inversen bruk 3 radoperasjoner). Avgjør om H er abelsk. 4

5 Eksempel Om gruppetabellen til en gruppe. Vi hadde at Rot 60 = {R θ 0 θ < 360 o og θ et multiplum av 60 o } med R θ R ϕ = R θ+ϕ mod 360 o var en gruppe med 6 elementer. Oppgave Skriv opp gruppetabellen den er 6 6. Prøv å finne noen undergrupper av Rot 60. Sjekk med tabellen! Avsnitt 5-6: Sykliske (under)grupper Stoff: Orden til gruppe og element, sykliske undergrupper, generator for syklisk undergruppe, en undergruppe av en syklisk gruppe (6.6, 6.14) Oppgaver 6: 8 11, 17 20, 22 24, 32 34, 41, 45, 49, 51, 52 Vi innfører noen viktige grupper med et eksempel. Eksempel La 10 = {0, 1, 2,..., 8, 9}. For elementer a og b i 10 definerer vi a b = a + b (mod 10), resten etter divisjon med 10. Dette påstår jeg gjør 10 til en gruppe (blir vist neste samling). (i) Hva er 7+8 og 6+4? (ii) Hva er det nøytrale elementet? (iii) Hva er inversen til 3? Hva er inversen til 5? Eksempel Nå gjør vi det samme med 16. (i) Hva er og ? (ii) Hva er det nøytrale elementet? (iii) Hva er inversen til 11? Oppgave Finn den minste undergruppen H av 16 som innholder a der a = 0, a = 1,..., a = 15. Finn spesielt antall elementer i H i hvert av tilfellene. Eksempel Nå gjør vi det samme med 17. (i) Hva er inversen til 10? (ii) Finn Oppgave Finn den minste undergruppen H av 17 som innholder a der a = 0, a = 1, a = 2,..., a = 16. Finn spesielt antall elementer i H i hvert av tilfellene. Eksempel La 17 = {1, 2, 3,..., 16} med operasjonen a b = ab (mod 17). Dette påstår jeg er en gruppe. (i) Hva er det nøytrale elementet? (ii) Hva 7 8? Hva er inversen til 10? Oppgave Finn den minste undergruppen H av 17 som innholder a der a = 1, a = 2,..., a = 16. Finn spesielt antall elementer i H i hvert av tilfellene. Teorem (5.17). La a være et element i gruppen G. Da er H = {a n n } en undergruppe av G og den minste undergruppen som innholder a. Definisjon Anta a er et element i en gruppe G. Undergruppen a = {a n n } kalles den sykliske undergruppen generert av a. Vi sier også at en undergruppe H < G er en syklisk undergruppe hvis det finnes et element a slik at H = a. Hvis G er en syklisk undergruppe av seg selv kalles G en syklisk gruppe. Ordenen til elementet a er antall elementer i a. Vi skriver a for dette tallet. Ordenen til en gruppe G er antall elementer i gruppen. Vi skriver G for dette tallet. 5

6 Eksempel Vi har at 6 15 har orden 5, dvs 6 = 5, og 15 = 15. Tilsvarende har R 240 Rot(60) orden 3, dvs R 240 = 3, og Rot(60) = 6. Oppgave Finn fem elementer i GL(2, ) av orden to og to elementer av orden fire. Finn også et element som ikke har endelig orden. Oppgave Finn den minste undergruppen H av 24 som innholder a og b der (i) a = 4 og b = 6 (ii) a = 6 og b = 9 (iii) a = 10 og b = 15 (iv) a = 12 og b = 15 (v) a = 21 og b = 10 Hva er mønsteret? Teorem (6.6). En undergruppe av en syklisk gruppe er syklisk. Kapittel 2, avsnitt 8: Permutasjonsgrupper Stoff: Permutasjoner, den symmetriske gruppen på n elementer S n, to viktige eksempler Oppgaver: 1, 4, 6 15, 18, 19, 39 En permutasjon av en mengde A er en avbildning (funksjon!) σ: A A som er bijektiv, dvs to elementer går ikke på det samme elementet og alle elementer blir truffet. Eksempel La A = {1, 2, 3, 4}. Da kan vi skrive opp verditabellen for en permutasjon σ. Dette gir en standard skrivemåte. Hvis τ også er en permutasjon av A kan vi sette sammen σ og τ til τσ (som vi setter sammen funksjoner) eller med τ først: στ. Ofte vil τσ στ. F. eks. σ = τ = som gir τσ = Eksempel Vi finner alle permutasjonene av {1, 2, 3}. ρ 0 = µ 1 = ρ 1 = µ = ρ 2 = µ = στ Så regner vi ut multiplikasjonstabellen (gjør det selv! den er altså 6 6). Dette er en gruppe og den heter S 3. Legg merke til at den ikke er abelsk (fordi?). Tilsvarende har vi S n og S A for enhver mengde A. Teorem (8.5). S n er en gruppe for alle heltall n > 0 og (mer generelt) S A er en gruppe for enhver mengde A. Eksempel Gruppen D 3 av symmetrier av en likesidet trekant. Da er ρ 1 og ρ 2 (og ρ 0!) rotasjoner og µ i speilinger. Så D 3 = S 3. Oppgave Finn undergrupper av D 3 ved å tenke på symmetrier av trekanten. Oppgave D 4 er gruppen av symmetriene til kvadratet. Hvor mange elementer har D 4? Finn undergrupper av D 4 ved å tenke på symmetrier av kvadratet. 6

7 Avsnitt 9: Baner, sykler og de alternerende gruppene Stoff: Banen til et element i en permutasjonsgruppe, permutasjoner som produkter av sykler, transposisjoner (9.15), jevne og ujevne permutasjoner, den alternerende gruppen på n elementer A n (9.20) Oppgaver: 1, 3, 5, 7, 10, 13 18, 36, 37 Definisjon En ekvivalensrelasjon på en mengde A er en delmengde av ordnede par R A A med tre egenskaper. Hvis (a, b) er et element i R skriver vi a R b. Egenskapene er da: (Refleksivitet) For alle elementer a er a R a. (Symmetri) Hvis a R b så b R a. (Transitivitet) Hvis a R b og b R c så holder også a R c. Eksempel La A være mengden av alle brøker a hvor a og b er heltall med b 0. Da er b to brøker a b og c likeverdige hvis ad = bc. Likeverdighet er en ekvivalensrelasjon på mengden d av alle brøker A. Oppgave Vis dette! Når vi har en ekvivalensrelasjon på en mengde A kan vi samle alle elementer som er ekvivalente i en delmengde av A. Denne delmengden kalles en ekvivalensklasse. Mengden A deles opp i ekvivalensklasser fordi to ulike ekvivalensklasser ikke overlapper (pga transitiviteten). Hvis a er et element i A skriver vi gjerne [a] for ekvivalensklassen som består av alle elementer som er ekvivalente med a. Omvendt, hvis vi deler en mengde A opp i ikke-overlappende delmengder (en partisjon av A) kan vi definere en ekvivalensrelasjon ved å si at to elementer er ekvivalente hvis de ligger i samme delmengde. Eksempel De rasjonale tallene er mengden av ekvivalensklasser [ a ] av brøker. b Se også læreboken Definisjon Anta σ er en permutasjon av en mengde A. Vi sier at elementet b er i banen til a under σ hvis det finnes et heltall n slik at b = σ n (a). Vi skriver a σ b. Lemma Relasjonen σ er en ekvivalensrelasjon. Bevis. Vi sjekker egenskapene. (Refleksivitet) For alle elementer a er a σ a: Vi kan velge n = 0. Siden σ 0 = id er a = σ 0 (a). (Symmetri) Hvis a σ b så b σ a: Vi har at b = σ n (a) for et heltall n. Vi multipliserer med σ n til venstre på begge sider og får a = σ n (b), altså b σ a. (Transitivitet) Hvis a σ b og b σ c så holder også a σ c: Vi har b = σ n (a) og c = σ m (b) for heltall n og m. Det følger at σ m+n (a) = σ m (σ n (a)) = σ m (b) = c så a σ c. Ekvivalensklassen [a] = {b a σ b} til a kalles for banen til a under σ. Mengden A deles altså opp i baner. Eksempel Anta σ = Da er banen til 1 under σ gitt ved å anvende σ flere ganger: 1 σ 4 σ 2 σ 1 Skrivemåte: (1, 4, 2) forteller det samme (her er rekkefølgen viktig). Dette kalles for en sykel (av lengde 3). Altså er banen til 1 gitt som [1] = {1, 2, 4} (her betyr ikke rekkefølgen noe). 7

8 Spørsmål. Hva er banen til 2? Hva er banen til 5? Hvor mange ekvivalensklasser får vi? Hvor mange baner har σ? Definisjon Vi sier at en permutasjon σ i S n er en sykel hvis den (maksimalt) har én bane med flere enn et element. Eksempel Permutasjonen τ = har følgende baner: [1] = {1}, [2] = {2, 4, 5}, [3] = {3}, [4] = {2, 4, 5}, [5] = {2, 4, 5}. Det er bare en bane med flere enn ett element, nemlig {2, 4, 5}. Altså er τ en sykel. Eksempel I Eksempel 2.45 er σ ikke en sykel fordi den har to baner (med mer enn et element), en av lengde 3 og en av lengde 2. Vi kan allikevel skrive σ som et produkt av to sykler: σ = (1, 4, 2)(3, 5). Tenk på dette produktet som en sammensetning av to funksjoner. Spørsmål Gir produktet av sykler (3, 5)(1, 4, 2) en annen permutasjon? Er (1, 4, 2) = (2, 1, 4)? Hva er inversen til (3, 5)(1, 4, 2)? Teorem (9.8). Enhver permutasjon σ av en endelig mengde er et produkt av disjunkte sykler. Dette gir en alternativ (kortere) skrivemåte for alle permutasjoner. Oppgave Skriv følgende permutasjoner som produkter av disjunkte sykler σ 1 = σ = σ 3 = σ = Oppgave Permutasjonen σ ligger i S 8 og er gitt ved produktet av sykler σ = (1, 7)(2, 5, 3)(4, 8). Skriv opp permutasjonen σ i lang notasjon. Oppgave La σ og τ være to permutasjoner i S 8 hvor σ = (1, 3, 5, 7)(2, 4, 6, 8) og τ = (1, 6)(2, 8, 5, 3). Finn τσ i sykelnotasjon [Svar: (1, 2, 4)(5, 7, 6)]. Finn også τ 1. Definisjon En sykel av lengde 2 kalles en transposisjon. Teorem (9.12). Enhver permutasjon av en mengde på minst to elementer kan skrives som et produkt av transposisjoner. Eksempel Sykelen (1, 2, 3, 4, 5) er f. eks. lik (1, 5)(1, 4)(1, 3)(1, 2) leses fra høyre fordi det er en sammensetning av funksjoner! Eller langsommere: Fordi permutasjonen (1, 2, 3, 4, 5) kan skrives som et produkt av et jevnt (par) antall transposisjoner sier vi at den er jevn. Hvis en permutasjon kan skrives som et produkt av et odde antall transposisjoner kalles den odde. Teorem (9.15). En permutasjon av en endelig mengde kan ikke både være jevn og odde. Anta n 2. La A n være mengden av jevne permutasjoner i S n. 8

9 Teorem (9.20). La n 2. Da er A n en undergruppe av S n. Antall elementer i S n er n! og antall elementer i A n er halvparten; n! 2 Bevis. Vi sjekker undergruppekritériene: 1. Hvis σ og τ er to permutasjoner som begge kan skrives som produkter av et jevnt antall transposisjoner, vil produktet τσ være produktet av disse to produktene av transposisjoner og fordi jevn + jevn = jevn må τσ være en jevn permutasjon. 2. Identitetspermutasjonen er produktet av ingen, altså 0 transposisjoner, og er derfor med i A n. 3. En transposisjon er sin egen invers. Inversen til et produkt av transposisjoner er derfor produktet av de samme transposisjonene i motsatt rekkefølge. Dette viser spesielt at inversene til elementene i A n selv er med i A n. Avbildningen σ (1, 2)σ er en 1-til-1-avbildning (bijeksjon) fra de jevne til de odde permutasjonene (og den er sin egen invers). Altså er det like mange jevne som odde permutasjoner. Avsnitt 10: Restklasser og Lagrange teorem Stoff: Venstre- og høyre restklasser (10.1), restklasser i gruppetabeller, Lagrange teorem om ordenen til en undergruppe ( ), indeksen til en undergruppe Oppgaver: 1, 4, 6, 7, 12, 14, 15, 19 22, 24, 34 Hvis vi har en undergruppe H av en gruppe G kan vi definere en relasjon på elementene i G. Hvis a og b er elementer i G setter vi a H b hvis a 1 b H. Teorem Dette gir en ekvivalensrelasjon. Bevis. Vi sjekker kritériene for en ekvivalensrelasjon: 1. (Refleksivitet) a H a fordi a 1 a = e og det nøytrale elementet er et element i H siden H er en undergruppe. 2. (Symmetri) Anta a H b, dvs at a 1 b H. Vi vil vise at b H a, dvs at b 1 a H. Men hvis a 1 b H er også inversen (a 1 b) 1 = b 1 (a 1 ) 1 = b 1 a med i H siden H er en undergruppe. 3. (Transitivitet) Anta a H b og b H c, dvs a 1 b H og b 1 c H. Da har vi at også produktet (a 1 b)(b 1 c) er med i H siden H er en undergruppe. Vi regner ut produktet ved å bruke assosiativitet: (a 1 b)(b 1 c) = a 1 (bb 1 )c = a 1 c og dermed er a H c. Definisjon Anta H er en undergruppe av G og a et element i G. Da definerer vi ah som mengden av alle elementer ah i G for h i H, kortere: ah = {ah h H}. Vi kaller ah for den venstre restklassen til H som inneholder a. Spørsmål Hvorfor ligger a i ah? Forklar hvorfor ah = bh hvis og bare hvis a H b. Lemma Alle venstre restklasser inneholder like mange elementer som H. Bevis. Vi lager en avbildning (funksjon) fra H til ah ved å sende h i H på ah i ah. Vi viser at denne avbildningen er en bijeksjon: Hvis to elementer h 1 og h 2 i H går på det samme elementet i ah har vi ah 1 = ah 2 dvs a 1 ah 1 = a 1 ah 2 dvs h 1 = h 2 (avbildningen er injektiv). Alle elementer i ah treffes (avbildningen er surjektiv): Hvis c er et element i ah har vi at c = ah for en h i H per definisjon av ah. Fra dette følger det et fint resultat: 9

10 Teorem (Lagrange). Hvis H er en undergruppe av en endelig gruppe G må ordenen til H dele ordenen til G. Bevis. De venstre restklassene til H deler G opp i disjunkte mengder fordi hver restklasse inneholder alle elementer som var ekvivalente under ekvivalensrelasjonen vi definerte ved hjelp av H, se Teorem Alle restklassene har like mange elementer som H, se Lemma Altså må ordenen til H dele ordenen til G. Korollar Hvis G er en gruppe av orden p hvor p er et primtall så er G en syklisk gruppe. Oppgave Bevis dette ved å bruke Lagrange teorem. Hint: Ta et element i G som ikke er det nøytrale elementet og se på undergruppen det elementet genererer. Korollar Ordenen til et element (se Definisjon 2.30) i en endelig gruppe deler ordenen til gruppen. Oppgave Bevis dette også! Hint: Beviset ligner på det forrige beviset. Avsnitt 11: Direkte produkt av grupper Stoff: Direkte produkt (11.2), direkte produkt av endelige sykliske grupper (11.5 6, 11.9) Oppgaver: 1 4, 6, 9, 15, 17, 45 Hvis vi har to grupper G 1, 1 og G 2, 2 kan vi lage en ny gruppe som kalles det direkte produktet av de to gruppene og skrives G 1 G 2. Elementene i produktet er alle ordnede par (a, b) hvor a G 1 og b G 2. Vi multipliserer komponentvis: (a, b) (c, d) = (a 1 c, b 2 d). Dette blir en nye gruppe! Eksempel La G 1 = 3 og G 2 = 4. La G være produktet av de to gruppene; G = G 1 G 2. Spørsmål. Hva er (2, 3) + (2, 1)? Hva er inversen til (1, 1)? Hva er det nøytrale elementet i G? Finn G. Oppgave La G = 3 4. (i) Finn ordenen til (1, 1). (ii) Elementet (2, 2) genererer en undergruppe H. Finn ordenen til H. (iii) Finn hvilke par (a, b) som genererer G. Oppgave Finn ordenen til elementet a i når (i) a = (3, 3) (ii) a = (8, 6) (iii) a = (5, 4) (iv) a = (7, 12) (v) a = (5, 5) Oppgave Avgjør om 4 6 er en syklisk gruppe. 10

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile 1 Ringer og ringhomomorfier 1.1 Hva er en ring? Avsnitt 18: Ringer og kropper Stoff: Ring, direkte produkt av ringer, ringhomomorfi og ringisomorfi, kjernen

Detaljer

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand

Detaljer

Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011

Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011 Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011 Alle punkter teller likt. Det kreves at 50% er riktig (som betyr 10 av 19 punkter) for at oppgaven skal godkjennes. Den skal leveres i egen innleveringsboks i 7.

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile 1 Kroppsutvidelser og geometriske konstruksjoner 1.1 Hva har kroppsutvidelser med geometriproblemer å gjøre? Avsnitt 29: Kroppsutvidelser Stoff: Utvidelseskropper

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets

Detaljer

OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM OPPGAVER FOR FORUM 2006-2007 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk

Detaljer

MAT Grublegruppen Notat 9

MAT Grublegruppen Notat 9 MAT1100 - Grublegruppen Notat 9 Jørgen O. Lye Gruppeteori Oppvarmingseksempel La oss som vanlig ta en historisk vinkling. En klassisk måte grupper (som jeg straks skal denere) oppstod er gjennom å lete

Detaljer

En rekke av definisjoner i algebra

En rekke av definisjoner i algebra En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det

Detaljer

Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans

Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori Ruben Spaans August 19, 2007 2 Part I Leksikon 3 Chapter 1 Alfabetisk oppslagsverk, for alle, kvantifikator. Brukes i forbindelse med utsagn,

Detaljer

Direkte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ).

Direkte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ). Direkte produkter Vi kjenner det kartesiske produktet av to mengder Y.Detbeståravallepar(x, y) av elementer x 2 og y 2 Y.OrdetkartesiskerdannetavegennavnetRenéDécartes, en fransk filosof og matematiker

Detaljer

Utvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010

Utvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010 Utvidet løsningsforslag til Eksamen vår 2010 Morten Brun og Runar Ile 1 Dette er et utvidet løsningsforslag hvor det er gitt alternativer løsninger på flere av punktene og noen tips og kommentarer. På

Detaljer

Oppgaver MAT2500 høst 2011

Oppgaver MAT2500 høst 2011 Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis

Detaljer

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever

Detaljer

En gruppeteoretisk analyse av vri- og flyttespill. Alexander Lorenzo Masteroppgave, våren 2017

En gruppeteoretisk analyse av vri- og flyttespill. Alexander Lorenzo Masteroppgave, våren 2017 En gruppeteoretisk analyse av vri- og flyttespill Alexander Lorenzo Masteroppgave, våren 2017 Denne masteroppgaven er levert inn som en del av programspesialiseringen Matematikk under Lektorprogrammet

Detaljer

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen)

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Dette er smakebiter på ting som dukker opp i videregående emner (MAT2400 og MAT2200). Del I og II kan gjøres uavhengig

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Permutasjoner og symmetriske grupper

Permutasjoner og symmetriske grupper Permutasjoner og symmetriske grupper Verbet permutere betyr å bytte om, og ombyttinger, eller altså permutasjoner, er noe vi kjenner fra dagliglivet. I matematikk er de også flittig i bruk, de fleste har

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

GRUPPETEORI VIA MATRISER. Dan Laksov KTH, Stockholm. matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/gruppeteori/september 1, 2006

GRUPPETEORI VIA MATRISER. Dan Laksov KTH, Stockholm. matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/gruppeteori/september 1, 2006 GRUPPETEORI VIA MATRISER Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/gruppeteori/september 1, 2006 GRUPPETEORI VIA MATRISER Gruppeteori via Matriser Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare.

Detaljer

Grupper de første egenskaper

Grupper de første egenskaper Grupper de første egenskaper Definisjonen av en gruppe Da vi studerte symmetriene til et kvadrat, så vi at det var enkelte karakteristiske trekk ved symmetrier; De kunne settes sammen og de kunne inverteres.

Detaljer

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0 Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008 8.4.27 Vi beregner matrisene W i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. a) W 0 = W 1 = W 2 = 1 0 0 0 1 1 0 0 b) W 0 = c) W 0 = d) W 0

Detaljer

Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er

Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er Notat i MA2201 Vegard Hagen 27. mai 2012 Del I - grupper og undergrupper Seksjon 2 - Binære Operasjoner En binær operasjon på en mengde S er en funksjonsavbildning S S S. (a, b) S S betegner vi elementet

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)

Detaljer

Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Dagfinn F. Vatne 901 38 621 EKSAMEN I ALGEBRA OG TALLTEORI (TMA4150) Bokmål Tillatte

Detaljer

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker

Detaljer

MAT Grublegruppen Notat 10

MAT Grublegruppen Notat 10 MAT1100 - Grublegruppen Notat 10 Jørgen O. Lye Ringer Vi fortsetter i et lynkurs i algebraiske dyr. Først ut er ringer. En ring A (også kalt R) er en abelsk gruppe med addisjon + som operasjon. I tillegg

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

Repetisjonsforelesning - INF1080

Repetisjonsforelesning - INF1080 Repetisjonsforelesning - INF1080 Mengder, relasjoner og funksjoner 18. november 2015 1 Grunnleggende mengdelære 1.1 Elementært om mengder 1.1.1 Hva er en mengde? Definisjon 1.1 (Mengde). En mengde er en

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

Algebraiske strukturer

Algebraiske strukturer MAT1140, H-16 Algebraiske strukturer Vi kan legge samme og multiplisere tall, funksjoner og matriser, og vi kan bruke snitt og union til å danne nye mengder. Mange av disse operasjonene følger de samme

Detaljer

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009 Inverse matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September, 2009 Inverse 2 2 matriser En 2 2 matrise [ ] a b A = c d er inverterbar hvis og bare hvis ad bc 0, og da er [ ] A 1 1 d b

Detaljer

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006 Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 7 848 Eksamensdato: 3. mai 014 Eksamenstid (fra

Detaljer

To nyttige begreper. Ekvivalensrelasjoner

To nyttige begreper. Ekvivalensrelasjoner To nyttige begreper Det er to begreper fra mengdelæren som til stadighet vil bli brukt i dette kurset, og som vi av erfaring vet kan være tungt fordøyelig for endel studender. For å få en skikkelig forståelse

Detaljer

Relasjoner - forelesningsnotat i Diskret matematikk 2017

Relasjoner - forelesningsnotat i Diskret matematikk 2017 Relasjoner Utdrag fra avsnitt 9.1, 9.3, 9.4 og 9.5 i læreboka 9.1 - Relasjoner 9.3 - Operasjoner på relasjoner 9.4 - Utvidelser av relasjoner - tillukninger 9.5 - Ekvivalensrelasjoner og ekvivalensklasser

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-15 Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns

Detaljer

Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe.

Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe. Endelige grupper Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. En gruppe er en mengde S sammen med en binær operasjon definert på S, betegnes (S, ), med følgende egenskaper: 1. a, b S, a b S 2. det

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile 1 Når er to grupper strukturlike? Avsnitt 13: Homomorfier av grupper Stoff: Gruppehomomorfi (en-til-en og på), gruppeisomorfi, kjernen og bildet til en

Detaljer

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

Relasjoner - forelesningsnotat i Diskret matematikk 2015

Relasjoner - forelesningsnotat i Diskret matematikk 2015 Relasjoner Utdrag fra avsnitt 9.1, 9.3, 9.4 og 9.5 i læreboka 9.1 - Relasjoner 9.3 - Operasjoner på relasjoner 9.4 - Utvidelser av relasjoner - tillukninger 9.5 - Ekvivalensrelasjoner og ekvivalensklasser

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

LO118D Forelesning 5 (DM)

LO118D Forelesning 5 (DM) LO118D Forelesning 5 (DM) Relasjoner 03.09.2007 1 Relasjoner 2 Ekvivalensrelasjoner 3 Matriser av relasjoner 4 Relasjonsdatabaser Relasjon Relasjoner er en generalisering av funksjoner En relasjon er en

Detaljer

Løsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk. 29. november 2017

Løsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk. 29. november 2017 Løsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk 29. november 2017 Oppgave 1, 2, 3, 4, 5 og 6 teller likt. For å få full score må man vise hvordan man har kommet frem til svarene (ved f. eks. figurer eller

Detaljer

Permutasjoner og symmetriske grupper

Permutasjoner og symmetriske grupper 4. Del Permutasjoner og symmetriske grupper Verbet permutere kommer av det latinske verbet permutare og betyr å bytte om, og ombyttinger,elleraltsåpermutasjoner,ernoevikjennerfradagliglivet.imatematikker

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0 Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst Løsninger med kommentarer

Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst Løsninger med kommentarer Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst 2014. Oppgave 1 er med kommentarer En funksjon f : R R er en polynomfunksjon hvis f kan defineres som f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n hvor n 0 og a 0,..., a n er reelle

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 0 04. Løsninger Første runde 7. november 0 Oppgave. Siden er et primtall, vil bare potenser av gå opp i 0. Altså,,,,..., 0 i alt tall........................................

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 20. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-20 4:8) MAT030 Diskret Matematikk 20. april 200

Detaljer

Cauchys sats og Abels bevis for uløsbarheten av 5. gradslikningen

Cauchys sats og Abels bevis for uløsbarheten av 5. gradslikningen Cauchys sats og Abels bevis for uløsbarheten av 5. gradslikningen Faglig-pedagogisk dag, 3. januar 2006 Arne B. Sletsjøe Matematisk institutt Universitetet i Oslo Cauchys sats (Journal de L école polytechnique,

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Eksamen MAT H Løsninger

Eksamen MAT H Løsninger Eksamen MAT1140 - H2014 - Løsninger Oppgave 1 Vi setter opp en vanlig sannhetsverditabell. La Φ betegne formelen i oppgaven. Tabellen vil bli som følger: A B C A B A C Φ T T T T T T T T F T T T T F T F

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 p q p p q p q T T F T T Sannhetstabell: T F F F F F T T T T F F T T T Siden proposisjonene p q og p q har samme sannhetsverdier (for alle sannhetsverdier

Detaljer

MAT1030 Forelesning 23

MAT1030 Forelesning 23 MAT030 Forelesning 23 Grafteori Roger Antonsen - 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:36) Forelesning 23 Repetisjon og mer motivasjon Først litt repetisjon En graf består av noder og kanter Kanter

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-20 14:17) Grafteori MAT1030 Diskret Matematikk 20. april

Detaljer

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng] INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen Tid: Onsdag 7. desember 2016 kl. 14.30 18.30 (4 timer) Tillatte hjelpemidler: Ingen Eksamen består av to deler som er verdt omtrent like mye. Den

Detaljer

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 23 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:37) MAT030 Diskret Matematikk

Detaljer

R for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv.

R for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Repetisjon fra siste uke: Relasjoner En relasjon R på en mengde A er en delmengde av produktmengden A A. La R være en relasjon på en mengde A. R er refleksiv hvis R er symmetrisk hvis R er antisymmetrisk

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = = til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin

Detaljer

Forelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner

Forelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner Forelesning 14 og induksjon Dag Normann - 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt om ekvivalensrelasjoner og partielle ordninger. Vi snakket videre om funksjoner.

Detaljer

Seksjonene : Vektorer

Seksjonene : Vektorer Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren

Detaljer

Komplekse tall og trigonometri

Komplekse tall og trigonometri Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Forelesning 13. Funksjoner. Dag Normann februar Opphenting. Opphenting. Opphenting. Opphenting

Forelesning 13. Funksjoner. Dag Normann februar Opphenting. Opphenting. Opphenting. Opphenting Forelesning 13 Dag Normann - 25. februar 2008 Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner. Vi definerte hva vi mener med partielle ordninger og med totale ordninger. Deretter snakket

Detaljer

Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-16 Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma bygger på det

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 14: Rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 13: Funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 25. februar 2008 Opphenting Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner.

Detaljer

Dette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har:

Dette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har: Notat 4 for MAT1140 4 Mer om mengder 4.1 Familier av mengder Union og snitt. Aksiom 4.1. Dersom A er en mengde bestående av mengder, kan de sistnevnte føyes sammen til en stor mengde, kalt unionen til

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng] INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen (med løsningsforslag) Dette er et utkast til løsningsforslag til eksamen i INF1080, og feil kan forekomme. Hvis du finner noen feil, si ifra til

Detaljer

HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/3510

HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/3510 HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/3510 BJØRN JAHREN Euklids Elementer introduserte den aksiomatiske metode i geometrien, og i mer enn 2000 år var den omtrent enerådende som lærebok i geometri.

Detaljer

Seksjonene : Vektorer

Seksjonene : Vektorer Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren

Detaljer

Mengder, relasjoner og funksjoner

Mengder, relasjoner og funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Løsninger

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Løsninger Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 20 202 Løsninger Finale 8 mars 202 Oppgave a (i) Om Berit veksler to femkroner og en tjuekrone til tre tikroner, og så to femkroner og tre tikroner til to tjuekroner,

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

R for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv.

R for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Repetisjon fra siste uke: Relasjoner En relasjon R på en mengde A er en delmengde av produktmengden A A. La R være en relasjon på en mengde A. R er refleksiv hvis R er symmetrisk hvis R er antisymmetrisk

Detaljer

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5. Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med

Detaljer

Et kvadrats symmetrier en motivasjon

Et kvadrats symmetrier en motivasjon Et kvadrats symmetrier en motivasjon ette avsnittet er ment som en introduksjon. Målet er å gi en motivasjon for den aksiomatiske innføringen av grupper. et gir også et første eksempel på en gruppe, og

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver

Detaljer