KAPITTEL 1 - ALGEBRA. 1. Regnerekkefølger og regneregler. Legg først merke til at: Legg spesielt merke til at :
|
|
- Cecilie Marthinsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 KAPITTEL - ALGEBRA. Regnerekkefølger og regneregler Legg først merke til at: 2( ) = 2 ( ) = 6, ab = a b = b a = ba og a a = a 2 Legg spesielt merke til at : a 2 = a a, ( a) 2 = ( a) ( a) = a 2 og ( a) = ( a) ( a) ( a) = a Eksempel.: Regn ut a) + = + 20 = 2 b) 2( ) = 2(2) = c) ( ) = ( ) = 2 d) 2 2 = 2 2 = e) ( 2) 2 = ( 2) ( 2) = f) 2( ) = + 6 = g) 2( 6) ( 2) = 2( 2) ( 8) = + 2 = 20 Oppgave.: Regn ut a) 2 + ( 2) b) 2( 2) ( ) c) 2 + ( 2) 2 d) 2( 2 2 ) + ( 2) Eksempel.2: Regn ut a) a(a b) 2ab + a 2 = a 2 + ab 2ab + a 2 = ab b) a(b c) c(a b) + b(c a) = ab ac ca + cb + bc ab = 2ac + 2bc c) (a )( + a) = a + a a a = a + a 2 a = a 2 + a Oppgave.2: Regn ut a) (a + ) + a(b ) ab b) 2a(a ) 6(a 2 a) c) a(a b) b( a) + b d) a 2 ( a) 2 + a 2 e) (2 + b)(b )
2 2. Kvadratsetningene. Kvadratsetning (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. Kvadratsetning (a b) 2 = a 2 2ab + b 2. Kvadratsetning (a + b)(a b) = a 2 b 2 De tre kvadratsetningene bør du lære deg utenat. Da kan du raskere løse oppgaver der uttrykkene (a + b) 2, (a b) 2 og (a + b)(a b) inngår. Kvadratsetningene utledes slik: (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a a + a b + b a + b b = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = (a b)(a b) = a a a b b a + b b = a 2 2ab + b 2 (a + b)(a b) = a a a b + b a b b = a 2 b 2 Eksempel 2.: Regn ut med kvadratsetningene a) (x + 2) 2 = x x = x 2 + x + b) (2x ) 2 = (2x) 2 2 2x + 2 = x 2 2x + 9 Merk at i eksempel 2.b) er: (2x) 2 = 2x 2x = 2 2 x x = x 2 c) (x + 2)(x 2) = x = x 2 d) (x + )(x ) = (x) 2 2 = 9x 2 6 Oppgave 2.: Regn ut med kvadratsetningene a) (x + ) 2 b) (x ) 2 c) (x )(x + ) d) (2x + )(2x ) Eksempel 2.2: Regn ut med kvadratsetningene a) (2a + b) 2 = (2a) a b + b 2 = a 2 + ab + b 2 b) (a 2b) 2 = (a) 2 2 a 2b + (2b) 2 = 9a 2 2ab + b 2 c) (2a b)(2a + b) = (2a) 2 (b) 2 = a 2 9b 2 Oppgave 2.2: Regn ut med kvadratsetningene a) (a + b) 2 b) (a b) 2 c) (a b)(a + b) d) (6x 2y)(6x + 2y)
3 . Faktorisering ved hjelp av kvadratsetningene Å faktorisere tallet 60, betyr å skrive 60 = 2 2. Vi kan bruke følgende metode for å faktorisere et helt tall: Eksempel.: Faktoriser tallet Svar: Faktoriseringen av tallet 20, er: 20 = Merk at dersom summen av sifrene i et tall er delelig med, så er tallet delelig med. Oppgave.: Faktoriser tallene a) b) 96 Vi kan faktorisere uttrykk ved å bruke kvadratsetningene motsatt vei. Eksempel.2: Faktoriser uttrykkene i førstegradsfaktorer a) x 2 + 6x + 9 = (x + ) 2 = (x + )(x + ) b) x 2 2x + = (x ) 2 = (x )(x ) c) x 2 9 = x 2 2 = (x )(x + ) d) x 2 2 = (2x) 2 2 = (2x )(2x + ) Oppgave.2: Faktoriser uttrykkene i førstegradsfaktorer a) x 2 x + b) x 2 + 0x + 2 c) x 2 6 d) 9x 2 6 Eksempel.: Faktoriser uttrykkene i førstegradsfaktorer a) x 2 x = x(x ) b) ax 2 2a = a(x 2 ) = a(x 2)(x + 2) c) x a 2 x = x(x 2 a 2 ) = x(x + a)(x a) Oppgave.: Faktoriser uttrykkene i førstegradsfaktorer a) x 2 2x b) ax 2 + 2bx c) x 6x d) 2x 2 a 2 c) ax 2 ab 2 d) 8a 2 x 2 2b 2
4 . Brøkregning Brøken a betyr det samme som a b (a delt på b). Over brøkstreken har vi b Teller telleren og under brøkstreken har vi nevneren: Regneregler i brøkregning: a Regel c = a c b d b d a Regel 2 c = a d = a d b d b c a Regel + b = a+b c c c = ad b c bc Nevner (Legg merke til at: a c = a c = a c b b b ) Her kaller vi c for fellesnevner. Eksempel.: Regn ut og forkort brøken mest mulig a) 6 = 6 = 2 = 2 = b) 2 = 2 = = = 2 Skal vi legge sammen brøker med ulike nevnere, må vi utvide brøkene slik at de får samme nevner. I neste eksempel er fellesnevneren 6. c) 2 + = = + 6 = + 6 = d) 2 ( 2 ) = = 6 = = 6 0 = 0 = Oppgave.: Regn ut og forkort brøken mest mulig a) 0 b) 2 c) d) 2 ( ) Eksempel.2: Regn ut og forkort brøken mest mulig a) (2 ) ( 6 ) = (2 ) ( ) = (8 ) (2 6 ) = 6 = 6 = 2 b) ( 2 ) ( 2 ) = ( ) ( ) = ( 2 6 ) ( 2 ) = 6 = 6 = 6 = = = 2 0
5 Oppgave.2: Regn ut og forkort brøken mest mulig a) 2 2 ( 6 2 ) b) ( 6 2 ) ( 2 ) c) ( 2 ) (2 ) d) ( 2 ) (2 2 ) Eksempel.: Skriv de brudne brøkene enklere a) b) = ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 = = = 2 = ( +) = ( ) 2 = = Her har vi ganget med fellesnevneren til alle brøkene både i telleren og nevneren. Oppgave.: Skriv enklere 2 a) 2 b) Eksempel.: Regn ut og forkort brøkene a) + a b = b + a a b a b ab a b b a ab = b+a (a b) ab = a+b a+b ab = 2b ab = 2 a b) + 2 = x+ x x 2 = x +x+ 2 (x+)(x ) = (x ) (x+)(x ) + 2x 2 (x+)(x ) = (x+) 2 (x )(x+) (x+)(x ) 2(x ) (x+)(x ) = 2 x+ Oppgave.: Regn ut og skriv brøkene så enkelt som mulig a) a b 8b a 2ab b) a 2a 2 + 2a c) x + x2 8x x+2 x 2 x 2
6 Eksempel.: Forkort brøkene a) 2x2 x x 2 = 2x(x 2) x 2 = 2x b) x2 = (x 2)(x+2) = x 2 x+2 x+2 c) x 2 = (x )(x+) = x x 2 +2x+ (x+)(x+) x+ d) x = ( x) = x x e) x2 9 x = (x+)(x ) (x ) = (x+)(x ) x = (x + ) = x Oppgave.: Forkort brøkene a) a ab 2ab b) 2x+0 x 2 2 c) x x2 x 2 x+6 d) x x + x e) x2 x 9x. Potenser Tallet 8 = Vi skriver tallet 8 som en potens med grunntall 2 slik: 2, fordi 8 er tallet 2 ganget med seg selv tre ganger. Videre er =, fordi «opphøyd i fjerde» er tallet ganget med seg selv fire ganger. Potens = grunntall eksponent Potensregler: ) a n a m = a n+m ) (a b) n = a n b n 2) a n = an m ) am ) (a n ) m = a n m ( a b )n = an b n Definisjoner: ) a 0 = 2) a n = Vi skal først vise noen eksempler på bruk av potensreglene og vise hvorfor vi har definisjon ) og 2). a n
7 Eksempel.: Regn ut a) = (2 2 2) (2 2) = = = 2 Vi ser det er raskere å bruke regel ): = 2 +2 = 2 b) 2 = = = Vi ser det er raskere å bruke regel 2): 2 2 = 2 = 2 2 c) ( 2 ) = ( ) ( ) ( ) = = 6 Vi ser det er raskere å bruke regel ): ( 2 ) = 2 = 6 d) = = = Vi ser det er raskere å bruke regel 2) først, og deretter definisjon 2): = = = = = e) 2 2 = 2 Bruker vi regel 2, får vi at: = 2 2 = 2 0 =. Vi ser her at det er fornuftig å definere at 2 0 =, og derfor har vi definisjon. f) = (2 )2 = 22 2 = 22 2 = 2 2 ( 2 ) = 2 0 = = 8 Når vi har potenser med ulike grunntall i samme regnestykke, som i eksempel f), er det lurt å gjøre om grunntallene slik at vi får flest mulig potenser med samme grunntall. Oppgave.: Regn ut a) b) 2 d) ( 2 ) ( )2 e) c) (2 2 ) (2 ) 2 8 f) ( 2 ) ( 2 2 ) 2
8 Eksempel.2: Regn ut a) a b2 c a b c 6 = a ( ) b 2 c 6 = a b c = a b c b) (2 a2 ) (2 2 a ) 2 = 2 a 6 2 a 6 = 27 a0 = (2 a 2 ) a 2 2 a 27 2 a 0 = 2 a = 2 a Alternativt: (2 a 2 ) (2 2 a ) 2 (2 a 2 ) 2 = a 6+ = 2 a = 2 a Oppgave.2: Regn ut a) 2 x ( 2 x ) 2 b) x2 y d) (x y) y x y e) (2 x 2 2 ) (2 x 2 ) (x y 2 ) (2 x ) f) c) (a2 b) a b 2 6 x 2 y 6 (2 x y 2 ) Standardform Vi skriver veldig store og veldig små tall på standardform for å gjøre det enklere å regne med slike tall. Standardform skrevet generelt: a 0 n, der 0 < a < 0 Eksempel.: Skriv tallene på standardform a) 200 =, =,2 0 b) 0,02 =,2 00 =,2 0 2 Oppgave.: Skriv tallene på standardform a) b) 0,00086 Eksempel.: Regn ut og skriv svaret på standardform a) , =, ,0 0 6 =,2 6, = 7,2 0 = 72 b) , =,2 06 2, =,2 2, = 0,6 0 =,6 Oppgave.: Regn ut og skriv svaret på standardform a) ,00000 b) ,002 c) ,
9 6. Kvadratrøtter a betyr kvadratroten av det positive tallet a. Vi definerer a som det positive tallet som er slik at a a = ( a) 2 = a Vi har to regneregler for kvadratrøtter: a b = a b og a b = a Eksempel 6.: Skriv så enkelt som mulig a) 8 = = = ( 2) 2 2 = 2 2 b) 8 = 2 = 2 = 2 = 2 c) Legg merke til forskjellen mellom: 2 6 = 9 = og 2 6 = = d) 8 = = Eller: = = = 2 = 2 = 2 b Oppgave 6.: Skriv så enkelt som mulig a) 0 b) 08 c) 8 8 d) 6 e) Eksempel 6.2: Skriv så enkelt som mulig når a > 0. a) 7a 2 = a a = a a = a = a b) 6 ( 2) = = = = 8 2 = 6 Oppgave 6.2: Skriv så enkelt som mulig a) 2 ( 8 2) b) 2 a 2, a > 0. c) 2 ( 7 8) d) 20 a2 a 0, a > 0.
10 Eksempel 6.: Skriv så enkelt som mulig a) 2 ( 2 2 ) = 2 2 = 2 = 2 2 b) = = 2 2 = c) x = ( x+2)( x 2) = x 2, x > 0. x+2 x+2 Oppgave 6.: Skriv så enkelt som mulig, når a > 0. a) 6 ( 8a+ 8a ) b) 0a c) ( 2 ) ( 2 + a ) d) 2 2 a+ Røtter av n-te grad Tredjeroten av 27 skriver vi slik: 27 =, fordi = 27. Fjerderoten av 6 skriver vi slik: 6 = 2, fordi = 6. 2 Kvadratroten av,, er egentlig det samme som andreroten av fire,. Når vi regner med røtter av n-te grad, kan vi skrive det slik: = 2 27 = 27 6 = 6 n Generelt har vi at: a m = a m n Eksempel 6. a) = = = 8 = 8 = 8 b) Tredjeroten av tallet 8 er: 8 c) Fjerderoten av tallet 8 er: 8 = 8 = (2 ) = 2 = 2 = 2 = 2 = 8 = ( ) = = = = Oppgave 6.: Regn ut a) b) 6 c) 2
11 Eksempel 6.: Regn ut a) 8 b) 6 8 = 2 = = ( 2 ) = = 2 +2 = 2 = 2 = 2 = ( 2 ) = ( 2 ) = 2 c) a 6 a = a 2 a a a 6 = a = a = a 2 2 = a = a Oppgave 6.: Regn ut a) 27 9 b) 6 27 c) 2 2 d) 8 8 e) x2 6 6 x x
Forberedelseskurs i matematikk
Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger
DetaljerTallregning og algebra
30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer
DetaljerFaktorisering og multiplisering med konjugatsetningen
Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen De følgende oppgavene er øvinger i faktorisering og multiplisering ved hjelp av konjugatsetningen /3. kvadratsetning. Gjennom oppgavene gir vi elevene
DetaljerFormelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh
Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 5. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =
DetaljerVerktøyopplæring i kalkulator
Verktøyopplæring i kalkulator Enkel kalkulator... 3 Regneuttrykk uten parenteser... 3 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 3 Negative tall... 4 Regneuttrykk med parenteser... 5 Brøk... 5 Blandet
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerKapittel 8. Potensregning og tall på standardform
Kapittel 8. Potensregning og tall på standardform I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Standardform er en metode som er nyttig for raskt å kunne skrive
DetaljerRegning med variabler
Regning med variabler???? (x y) (x y) Hvordan kan Herman regne ut uttrykket på tavla? Når vi skal regne ut bokstavuttrykk med parenteser, må vi løse opp parentesene først. Hvis det står et tall eller et
DetaljerFasit. Innhold. Tall og algebra Vg1T
Tall og algebra VgT Fasit Innhold Innhold.... Tallregning... 3 Tall og tallmengder... 3 Regningsarter... 4 Å regne med negative tall... 5 Addisjon og subtraksjon av brøker... 5 Multiplikasjon og divisjon
DetaljerFormelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh
Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 6. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =
DetaljerKompendium til MATH001 - Forkurs i matematikk
Kompendium til MATH001 - Forkurs i matematikk Høst 017, NMBU Kine Josefine Aurland-Bredesen, e-post: kine.josefine.aurland-bredesen@nmbu.no f (x) = 1 x Kompendiumet gir en rask gjennomgang av grunnleggende
Detaljer1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser
MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.
DetaljerVerktøyopplæring i kalkulator for elever
Verktøyopplæring i kalkulator for elever Innholdsfortegnelse Enkel kalkulator... 2 Kalkulator med brøk og parenteser... 7 GeoGebra som kalkulator... 11 H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 1 Enkel kalkulator
DetaljerInnhold Innhold... 1 Kompetansemål Algebra, S Innledning Potenser og kvadratrøtter... 4
1 Algebra Innhold Innhold... 1 Kompetansemål Algebra, S1... 3 Innledning... 3 1.1 Potenser og kvadratrøtter... 4 Regneregler for potenser... 5 Definisjoner og regnereglene for potenser Oppsummering...
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER
INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...
DetaljerPotenser og tallsystemer
1 Potenser og tallsystemer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammenhenger gjøre rede
DetaljerForord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.
1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset
DetaljerPotenser og tallsystemer
8 1 Potenser og tallsystemer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammen henger gjøre rede
DetaljerVerktøyopplæring i kalkulator
Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator... 1 Enkel kalkulator... 2 Regneuttrykk uten parenteser... 2 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 2 Negative tall... 3 Regneuttrykk
DetaljerHva man må kunne i kapittel 2 - Algebra
Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B
SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi
DetaljerTillegg til kapittel 2 Grunntall 9
18.09.2013 Kvadratsetningene Tillegg til kapittel 2 Grunntall 9 Nytt læringsmål i revidert læreplan 2013 Mål for det du skal lære: kunne bruke kvadratsetningene til å multiplisere to parentesuttrykk Bjørn
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved
DetaljerProsent- og renteregning
FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra
DetaljerPotenser og røtter. Lærerveiledning
Potenser og røtter De følgende oppgavene er øvinger i regning med potenser og røtter. Gjennom oppgavene får elevene øving i å bruke regneregler for potensregning og omgjøring mellom tall skrevet som røtter
DetaljerInnhold Kompetansemål Tall og algebra, 1T Tallregning... 4
1 Tall og algebra Innhold Kompetansemål Tall og algebra, 1T... 3 1.1 Tallregning... 4 Tallene våre... 4 Tall og tallmengder... 5 Regningsarter... 11 Å regne med negative tall... 1 Addisjon og subtraksjon
DetaljerOppgaver. Innhold. Tall og algebra Vg1T
Oppgaver Innhold Innhold... 1 1.1 Tallregning... Tall og tallmengder... Regningsarter... 4 Å regne med negative tall... 5 Addisjon og subtraksjon av brøker... 5 Multiplikasjon og divisjon med brøker...
DetaljerDeriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker.
Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling
DetaljerNAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18
NAVN: INNHOLD FORORD... 2 LÆREPLAN... 3 ALGEBRA.... 3 REGNING MED VARIABLER... 3 MONOM... 3 POLYNOM... 3 TREKKE SAMMEN UTTRYKK (addisjon/subtraksjon)... 4 MULTIPLIKASJON... 4 DIVISJON... 4 ADDISJON AV
DetaljerAndregradslikninger. x 2 =d hvor d = c a
Andregradslikninger En andregradslikning har form ax bx c=0 hvor x er ukjent. Den enkelste er når b=0. Vi har då x =d hvor d = c a Denne likning kan løses med å ta rot. Eksempel 1. Vi løser x =11 Vi ønsker
DetaljerInnføring av potenser og standardform
side 1 Innføring av potenser og standardform Dette er et forslag til et undervisningsopplegg der elevene skal komme fram til skrivemåter for potenser og tall på standardform. Tanken med opplegget er at
DetaljerForkurshefte i matematikk variant 1
Forkurshefte i matematikk variant 1 2014 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO (Plan for kurset: se side 3) Forord Velkommen til Universitetet i Oslo (UiO), og til forkurs i matematikk! Dette
DetaljerTall og tallregning. 1.1 Tall. 1.2 Regnerekkefølge. Oppgave Marker disse intervallene på ei tallinje. a) [2, 5 b) 3, 4] c) 2, 2 d) 0, 1
Tall og tallregning. Tall Oppgave.0 Sett inn eller i de tomme rutene. {,, 0,, }, {,,, } {,, 0,, } {,, 0, } Oppgave. Skriv disse intervallene med matematiske symboler og tegn dem inn på tallinjer. Alle
DetaljerLøsninger til forkursstartoppgaver
Løsninger til forkursstartoppgaver Prosent: Oppgave 1. Prisforskjell er 20. 20 100 Kylling er da =66 2 prosent dyrere. 30 3 Vi beregner hvor mange prosent 20 er av 30. Kylling er også 20 100 =40 prosent
DetaljerOversikt over aktuelle temaer til matematikkprøve onsdag 28. november
Oversikt over aktuelle temaer til matematikkprøve onsdag 28. november 1. Algebra 1.1 Innsetting av tallverdier i bokstavuttrykk Eksempel 1: Sett inn a = 2 og regn ut verdien til uttrykket 4a 3 4a 3 = 4
DetaljerStudentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform
1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller
DetaljerAlgebra. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver omforme en praktisk problemstilling til en
DetaljerSTEGARK. Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst lav kompetanse innen temaet algebra.
STEGARK NIVÅ A: POSITIVE UTTRYKK MED SAMME VARIABEL lav kompetanse innen temaet algebra. A.1: Trekke sammen positive uttrykk med samme variabel: Trekk sammen: 3d + 5d + 2d = A.2: Multiplisere et uttrykk
DetaljerBrøk Vi på vindusrekka
Brøk Vi på vindusrekka Brøken... 2 Teller og nevner... 3 Uekte brøk... 5 Blanda tall... 6 Desimalbrøk... 8 Pluss/minus... 9 Multiplikasjon... 11 Likeverdige brøker... 12 Utviding... 13 Forkorting... 14
DetaljerCAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet
CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...
DetaljerTest, 1 Tall og algebra
Test, 1 Tall og algebra Innhold 1.1 Tallregning... 1. Potenser... 5 1.3 Algebraiske uttrykk... 8 1.4 Likninger... 10 1.5 Faktorisering... 14 1.6 Andregradslikninger... 17 1.7 Faktorisering av andregradsuttrykk
DetaljerEn konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter.
Algebra Variabel Konstant trekke sammen Algebra er bokstavregning. Det er et verktöy som forenkler regneoperasjonene i forskjellige omrôder av matematikken. Bokstavene er symboler for tall og skal behandles
DetaljerOppgaver. Algebra S1, oppgaver
Oppgaver Innhold 1.1 Potenser og kvadratrøtter... Regneregler for potenser... Tierpotenser og tall på standardform... 5 Tall på standardform i GeoGebra... 7 Kvadratrøtter... 9 1. Algebraiske uttrykk...
DetaljerOppfriskningskurs dag 1
Oppfriskningskurs dag 1 og ligninger Steffen Junge Oppfriskningskurs i matematikk 3.-8. august 2009 Outline 1 Outline 1 Typiske problem Ranger følgende brøker etter størrelse: 1 2, 7 12, 2 3, 5 8, 17 24
DetaljerDette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10.
SAMMENDRAG Dette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10. Hvis du trenger mer trening utover oppgavene i Nummer 10, finner du ekstra oppgaver
DetaljerMET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Fagoppgave MET 804 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 28.02.209 Kl. 09:00 Innlevering: 07.03.209 Kl. 2:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven.
DetaljerAlgebra S1 Quiz. Test, S1 Algebra
Test, S1 Algebra Innhold 1.1 Potenser og kvadratrøtter... 1. Algebraiske uttrykk... 5 1.3 Likninger... 8 1.4 Andregradslikninger... 1 1.5 Ulikheter... 15 1.6 Logaritmer... 1 1.7 Implikasjon og ekvivalens...
DetaljerRegelbok i matematikk 1MX og 1MY
Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan
Detaljer9 Potenser. Logaritmer
9 Potenser. Logaritmer 9.1 Potenser Regneregler 2 3 ¼ 2 2 2 Vi kaller 2 3 for en potens. 2 kaller vi for potensens grunntall og 3 for eksponenten. En potens er per definisjon produktet av like store tall.
DetaljerTall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31,
Tall SKOLEPROSJEKT MAT400 - VÅR 204 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM Date: March 3, 204. 2. Innledning Vårt skoleprosjekt omhandler ulike konsepter innenfor det matematiske området
DetaljerOppgaver. Innhold. Algebra R1
Oppgaver Innhold.1 Faktorisering... Polynomdivisjon.... Omforme og forenkle sammensatte rasjonale funksjoner og andre symbolske uttrykk... 6 Rasjonale uttrykk som inneholder andregradspolynomer... 6 Rasjonale
DetaljerLøsninger. Innhold. Tall og algebra Vg1T
Løsninger Innhold Innhold.... Tallregning... Tall og tallmengder... Regningsarter... 5 Å regne med negative tall... 6 Addisjon og subtraksjon av brøker... 6 Multiplikasjon og divisjon med brøker... 0 Brudden
DetaljerBrøk-, desimalog prosentplater 1 = 1:7 = 0,143 0,143 100 = 14,3% = 1:24 = 0,042 0,042 100 = 4,2%
Brøk-, desimalog prosentplater = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0,0 0,0 00 =,% = : = 0,0 0,0 00
DetaljerGeoGebra 6 for Sinus 1P
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1P SINUS 1P ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerRonny Kjelsberg. Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk
Ronny Kjelsberg Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk Contents Hvordan bli en BRØKREGNER på en, to, tre:. EN: Basics................................ Hva er
DetaljerMatematikk for økonomer Del 2
Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at
DetaljerKapittel 1. Tallregning
Kapittel 1. Tallregning Mål for Kapittel 1, Tallregning. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere
DetaljerLøsninger. Innhold. Tall og algebra 1T
Løsninger Innhold Innhold.... Tallregning... Tall og tallmengder... Regningsarter... 6 Å regne med negative tall... 7 Addisjon og subtraksjon av brøker... 7 Multiplikasjon og divisjon med brøker... Brudden
DetaljerREGEL 1: Addisjon av identitetselementer
REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med
DetaljerHeltallsdivisjon og rest div og mod
Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b
DetaljerRegning med tall og bokstaver
Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger
DetaljerTALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b.
TALLÆRE UKE 34. Faktor. Hva er en faktor i et heltall? Vi fant ut at hvis et heltall b er med i et regnestykke med kun multiplikasjon som gir heltallet a som svar da er b faktor i a. Eksempel: 3 8=24 og
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER
SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2. mars 2018 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metodekurs 1, deleksamen i matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
DetaljerKapittel 1. Tallregning
Kapittel 1. Tallregning Regning med tall er grunnlaget for mer avansert matematikk. I dette kapitlet repeteres følgende fra grunnskolen: Brøkregning Desimaltall Regning med positive og negative tall Potenser
DetaljerLøsningsforslag 1T Eksamen. Høst Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik
Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 24.11.2014 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG TALL OG TALLREGNING
SAMMENDRAG TALL OG TALLREGNING INNHOLD TALL OG TALLREGNING... 2 PLASSVERDISYSTEMET... 2 PLASSERING PÅ TALLINJE... 2 UTVIDET FORM... 3 REGNESTRATEGIER... 3 DELELIGHETSREGLER... 3 SKRIFTLIG REGNING... 4
DetaljerKapittel 1. Potensregning
Kapittel. Potensregning I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kapitlet handler blant annet om: Betydningen av potenser som har negativ eksponent
DetaljerSandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra
Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Geogebra for Sigma matematikk 1P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2009
Eksamen REA0 R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonene ) f x x 4 4 8 f x x x x x ) g x x
DetaljerHeltallsdivisjon og rest div og mod
Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11
Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x
Detaljer2 Algebra. Innhold. Algebra R1
Algebra Innhold Kompetansemål Algebra, R1... Innledning... 3.1 Faktorisering... 4 Faktorisering av tall og enkle bokstavuttrykk... 4 Faktorisering av uttrykk som inneholder flere ledd... 5 Faktorisering
DetaljerEmnenavn: Metode 1 matematikk. Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 21. februar 2017 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metode 1 matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard Om eksamensoppgaven
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
DetaljerArbeidsplan for skoleåret
1. termin Arbeidsplan for skoleåret 2019-2020 Noen onsdager må Espen være i møter deler av trippeltimen. Det vil da bli satt opp leksehjelp i disse timene. Den første timen i trippeltimen går alltid som
DetaljerKomplekse tall og trigonometri
Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.
DetaljerUttrykket 2 kaller vi en potens. Eksponenten 3 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2 med seg selv. Dermed er ) ( 2) 2 2 4
9.9 Potenslikninger Uttrykket kaller vi en potens. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Dermed er 8 Når vi skriver 5, betyr det at vi skal multiplisere
DetaljerNoen regneregler som brukes i Keynes-modeller
Forelesningsnotat nr 5, august 2009, Steinar Holden Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller Først litt repetisjon ) Vi kan sette en felles faktor utenfor en parentes: Y ty = Y(-t) der det siste uttrykket
DetaljerEnkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015
Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8
DetaljerSammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
DetaljerE.1: Lage et uttrykk som viser sammenhengen mellom to variabler hvor nødvendige opplysninger gis eksplisitt E.2: Faktorisere flerleddet
1. november 2013 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 NIVÅ A: POSITIVE UTTRYKK MED SAMME VARIABEL... 5 NIVÅ B: TREKKE SAMMEN POSITIVE OG NEGATIVE UTTRYKK, INNSETTING AV POSITIVE VERDIER...
DetaljerEnkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker
Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med
DetaljerSammendrag R1. 26. januar 2011
Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk Dag 1
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 1 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Mandag 6. august 2018 Om meg Bachelor- og mastergrad i matematiske fag (2014, 2016) Doktorgradsstipendiat i matematikk (2016
DetaljerARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK
ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr Hvordan du regner med brøk Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com Opplysning: Et helt tall er delelig på et annet helt tall hvis svaret
DetaljerEksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag
Eksamen 1T høsten 015, løsningsforslag Del 1, ingen hjelpemidler Oppgave 1 1,8 10 1 0,0005 = 1,8 10 1 5 10 4 = 1,8 5 10 1+( 4) = 9 10 8 Oppgave Velger addisjonsmetoden Legger sammen ligningene: x + y =
DetaljerDAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.
Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med
DetaljerLøsning eksamen 1T våren 2010
Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x
DetaljerObligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe
DetaljerEn divisor til et heltall N er et heltall som går opp i N. Både 1 og N regnes blant divisorene til N.
Oppgave 1 Hvilket av disse tallene er ikke heltall? 11! 12345678910 11 11! 11! 11! 11! 11! A B C D E 20 21 22 23 24 Hva må være oppfylt for at brøkene i løsningsalternativene skal bli hele tall? Hvilke
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................
DetaljerMatematikkkurs M0 Oppgaver
Matematikkkurs M0 Oppgaver Avdeling for Lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold. oktober 007 Brøk, desimaltall og prosent. Illustrer disse addisjonenen og subtraksjonene med papirark og bretting av rektangel
Detaljer1 Tall og algebra i praksis
1 Tall og algebra i praksis Innhold Kompetansemål Tall og algebra i praksis, VgP... 1 Modul 1: Potenser... Modul : Tall på standardform... 6 Modul : Prosentregning... 10 Modul 4: Vekstfaktor... 15 Modul
DetaljerOppgavesett med fasit
TIL ENT3R ELEVENE Oppgavesett med fasit Tommy Odland Sist oppdatert: 1. november 2013 http://is.gd/ent3rknarvik http://tommyodland.com/ent3r 1 INNHOLD 1 Om dette dokumentet 3 1.1 Formål og oppbygging..................................
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerLøsninger. Innhold. Tall og algebra Vg1T
Løsninger Innhold Innhold.... Tallregning... Tall og tallmengder... Regningsarter... 6 Å regne med negative tall... 7 Addisjon og subtraksjon av brøker... 7 Multiplikasjon og divisjon med brøker... Brudden
Detaljer