Notater fra forelesning i MAT1100 mandag

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Notater fra forelesning i MAT1100 mandag"

Transkript

1 Notater fra forelesning i MAT00 mandag Amandip Sangha, 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a 3,a 4,a 5,...} Vi bruker ofte notasjonen {a n } for å betegne en følge. Med a n menes det n-te leddet i følgen, altså det tallet som står på plass nummer n i denne sekvensen. Det naturlige tallet n N brukes altså til å angi leddenes posisjon i sekvensen. Eksempel.. {,, 3, 4, 5,...}. Denne følgen kan spesifiseres med formelen a n = n. Denne følgen er rett og slett bare en liste av de naturlige tallene. Eksempel.3. Følgen {a n } gitt ved a n = 3n er {3,6,9,,5,...}. Eksempel.4. Følgen {b n } gitt ved b n = n er Eksempel.5. c n = n n+, Eksempel.6. d n = ( ) n, Eksempel.7. d n = 5, {,, 3, 4, 5,...}. {c n } = {, 3, 3 4, 4 5,...}. {d n } = {,,,,,,...}. {d n } = {5,5,5,5,5,5,...}. Dette er en konstant følge, alle leddene i følgen er lik 5.

2 Vi ønsker å forstå hvordan leddene i en følge oppfører seg lenger utover i følgen. Man kan stille en del naturlige spørsmål: Avtar leddene etterhvert? Øker leddene? Hopper leddene frem og tilbake? Noen regelmessighet overhodet? Nærmer leddene seg én bestemt verdi? Eksempel.8. La oss ta for oss følgen {b n } fra eksempel.4 igjen, der b n = n. Noen av de første leddene er altså {,, 3, 4, 5,...}. I denne følgen er alle leddene positive, fordi n > 0 for alle n N. Det ser også ut til at følgen er avtagende. Dette skulle tilsi at leddene i følgen stadig nærmer seg 0. Vi må gi en matematisk presis definisjon av hva det vil si for en følge å nærme seg et tall. La oss først repetere en del nyttig fakta om absoluttverdi som vi skal gjøre bruk av (se s.8-83 Kalkulus). For et tall x R skriver man x for absoluttverdien til x, og dette er definert ved { x, hvis x 0 x = x, hvis x < 0 Det vil si at x er tallet x med positivt fortegn. Vi leser definisjonen: hvis x var positiv, la det stå, men hvis x var negativ, sett et ekstra minustegn foran, slik at resultatet blir positivt. Legg merke til at for to reelle tall x,y R, så vil x y betegne avstanden mellom punktene x og y på tallinjen. Vi forstår at differansen x y måler avstanden, men det er også fornuftig å insistere på å angi avstand i positive tall, derav bruken av absoluttverdien x y til å måle avstanden mellom x og y. Vi oppsummerer kort noen nyttige relasjoner vedrørende absoluttverdi: (i) x + y x + y (trekantulikheten) (ii) xy = x y (iii) For et positivt tall r > 0 har man at x < r r < x < r. Punkt (i)-(ii) er vist i Kalkulus. For å etablere punkt (iii) kan vi resonnere at { x < r, dersom x er positiv x < r betyr r < x, dersom x er negativ

3 Herfra ser vi de ønskede ulikhetene. Altså må x være i intervallet ( r,r). En annen nyttig observasjon er at x y = y x. Dette følger av punkt (ii), da man har at x y = y x, da x y = (y x) = y x = y x. Nå er vi klare til å gi en presis definisjon av begrepet konvergens, dvs. hvordan man skal oppfatte at en følge nærmer seg en bestemt verdi. Definisjon.9. En følge {a n } konvergerer mot tallet a R dersom det for ethvert tall ǫ > 0 finnes et naturlig tall N N slik at Da skriver man a n a < ǫ for alle n N. lim a n = a, n og tallet a kalles grenseverdien til følgen {a n }. Tallet ǫ kan man tolke som en avstandsmargin, og med det naturlige tallet N mener man en posisjon i følgen (sekvensen) {a n }. Nå kan vi tolke definisjonen slik: Uansett hvor liten avstand (ǫ > 0) man får gitt, så kan man gå langt nok ut i følgen (finne stor nok N) slik at derfra og utover (for alle ledd a n for n N) vil alle leddene ligge nærmere tallet a enn den gitte avstanden (ǫ > 0). Bemerkning.0. Vi kan bruke punkt (iii) fra det vi skrev om absoluttverdi til å forstå ulikheten fra definisjonen bedre. La oss si at vi har en følge {a n } som konvergerer mot et tall a. La ǫ > 0 være gitt (altså et bestemt tall), og vi tenker oss at vi har funnet N N slik at ulikheten fra definisjonen gjelder: a n a < ǫ for alle n N. Denne ulikheten kan vi skrive om ved hjelp av punkt (iii) om absoluttverdi, x < r r < x < r, og vår ulikhet fra definisjonen blir da (med a n a for x, og ǫ for r) a n a < ǫ for alle n N ǫ < a n a < ǫ for alle n N a ǫ < a n < a + ǫ for alle n N. Den siste ulikheten forteller altså at a n (a ǫ,a + ǫ) for alle n N. Sagt med andre ord, alle ledd, fra og med ledd nummer N og utover, ligger i intervallet (a ǫ,a + ǫ). Bemerkning.. Tallet N, som betegner hvor langt ut i følgen man må gå før leddene i følgen er nærmere a enn gitt avstandsmargin ǫ, avhenger gjerne av ǫ (og selvsagt av følgen). Noen ganger kan man skrive N = N(ǫ) for å poengtere denne avhengigheten. 3

4 Eksempel.. Vi viser at følgen {a n }, a n = n, konvergerer mot 0 iht. definisjonen. La ǫ > 0 være gitt (vilkårlig). Vi må vise at det finnes en N N slik at a n 0 < ǫ for alle n N. Vi har at a n 0 = a n = n = n, så vi trenger å finne N N slik at n < ǫ for alle n N. La oss først forstå hvordan n må være for at n < ǫ skal holde. Vi regner: n < ǫ n < ǫn : ǫ ǫ < n. Dette viser at n n > ǫ. Vi ønsker et heltall N, så vi avrunder ǫ oppover til nærmeste heltall og kaller dette heltallet N. Da får vi N > ǫ, som gir at når n N, da er også n > ǫ, som ved foregående utregning tilsier n < ǫ. Det var dette vi ønsket. Eksempel.3. En konstant følge er alltid konvergent, og grenseverdien er bare konstanten. For hvis {d n } er en konstant følge, med d n = d for alle n, der d R er et bestemt tall, {d,d,d,...}, da får vi at for uansett ǫ > 0, kan vi bare velge N = og vi får umiddelbart at d n d = d d = 0 < ǫ, for alle n N(= ). Bemerkning.4. Hvis man skal vise at en følge ikke konvergerer, da holder det å påvise én konkret ǫ > 0 for hvilket det ikke finnes noen N N slik at ulikheten fra definisjonen holder. Fordi merk at definisjonen krever at for enhver ǫ > 0 må det finnes en N N slik at nevnte ulikhet gjelder. Dermed er det nok å finne en ǫ der ulikheten ikke gjelder; da er kravet i definisjonen allerede ikke oppfylt. Eksempel.5. Vi viser at følgen {a n }, a n = n, ikke konvergerer. {a n } = {,,3,4,5,6,...}. Anta (for kontradiksjon) at følgen konvergerer mot et tall a R. Vi velger oss ǫ = og ser på ulikheten som definisjonen sier skal gjelde: det må finnes en N N tilhørende denne ǫ = slik at a n a < for alle n N. 4

5 Altså n a < for alle n N < n a < for alle n N a < n < a + for alle n N. Siste ulikhet forteller altså n (a,a + ) for alle n N. Dette betyr at alle heltall større enn eller lik N ligger i intervallet (a,a + ). Dette er absurd, så det kan ikke finnes en N N for vår ǫ = iht. definisjonen. Ergo er ikke kravet i definisjonen av konvergens oppfylt, så denne følgen konvergerer ikke mot noe tall a. Legg også merke til at i resonnementet over gjøres det ingen essensiell bruk av ǫ =. Vi kunne ha bestemt oss for en annen konkret verdi for ǫ, eller bare arbeidet med en generell ǫ. Men dette var spesielt for dette eksempelet, og i andre tilfeller kan det være mye lettere å bestemme seg for en konkret verdi for ǫ når man skal utarbeide et motbevis til konvergens. Gitt to følger, kan man bruke de vanlige regneartene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon mellom de to gitte følgene til å få en ny følge; man bare utfører regneoperasjonene leddvis: gitt to følger {a n } og {b n } kan vi således danne oss nye følger {a n + b n }, {a n b n }, {a n b n } og { an b n } (sistnevnte, gitt b n 0). For å lette arbeidet med å finne grenseverdier til følger, vil det være nyttig å ha noen grunnleggende regneregler for grenseverdier. Vi utarbeider disse her (dette er i Kalkulus s. 89). Regneregler for grenseverdier La {a n } og {b n } være to konvergente følger med lim n a n = a og lim n b n = b. Da gjelder () lim n + b n ) = lim n + lim n = a + b, n n n () lim n b n ) = lim n lim n = a b, n n n (3) lim n b n ) = lim n lim n = a b, n n n (4) a n lim = lim n a n = a, dersom b 0. n b n lim n b n b Punktene ()-() forteller at man kan ta lim inn i parenteser av summer og differenser. Punktene (3)-(4) forteller at man kan ta lim, faktorvis, inn i paranteser av produkter og brøker. Bevis. Punkt () og punkt (3) er vist i læreboken, så vi hopper over disse. Vi viser punkt () og punkt (4) som ikke er vist i læreboken. (): La ǫ > 0 være gitt. Vi ønsker N N slik at Vi finner først at (a n b n ) (a b) < ǫ for alle n N. (a n b n ) (a b) = a n a + b b n a n a + b n b, 5

6 der vi har brukt trekantulikheten for å få den siste ulikheten (punkt (iii) fra diskusjonen over om absoluttverdi, her med a n a for x og b n b for y). Videre har vi per def. av lim n a n = a at det tilsvarende ǫ må finnes en N N slik at a n a < ǫ for alle n N, og likeledes per def. av lim n b n = b at det tilsvarende ǫ må finnes en N N slik at b n b < ǫ for alle n N. Vi velger nå N til å være det største av tallene N og N, altså N = maks{n,n }, og vi får at (a n b n ) (a b) a n a + b n b < ǫ + ǫ = ǫ for alle n N. (4): La ǫ > 0 være gitt (vilkårlig). Vi må finne N N slik at Vi regner a n a < ǫ for alle n N. b n b a n a b n b = a n b ab n b n b. Vi tar for oss telleren først. Husk at a og b er bestemte konstanter, og det er a n og b n som er de varierende størrelsene. Vi vet at leddene a n nærmer seg a, og leddene b n nærmer seg b, så for å kunne bruke denne informasjonen legger vi til uttrykket ab + ab til telleren. Dette er jo lik 0, så da har vi ikke forandret telleren, og nytten ligger i det at vi blir i stand til å bruke trekantulikheten og deretter apellere til at differensene a n a og b n b blir små: a n a b n b = a n b ab n b n b = a nb ab + ab ab n b n b = b a n a + a b b n b n b = a n a b n + a b b n. b n b a nb ab + ab ab n b n b Nå må vi behandle nevnerne. Det er b n i nevnerne som er den varierende størrelsen. Per def. av lim n b n = b finnes det en N N slik at b n > b. (Dette kan vi begrunne ved å tenke oss at hvis vi hadde betraktet en liten ǫ, så hadde vi iht. definisjonen fått en N slik at b n (b ǫ,b + ǫ ) for alle n N. Vi kan lett ordne det slik at b ligger utenfor intervallet (b ǫ,b+ǫ ) ved å velge ǫ liten nok. Dette medfører at b n > b. Man bør lage en tegning på den reelle tallinjen for å illustrere ideen og overbevise seg selv 6

7 om resonnementet). Nå fortsetter vi regnestykket vårt over, og får a n a b n + a b b n b n b < a n a b + a b b n b = a n a b + a b b n b. Per def. av lim n a n = a finnes det tilsvarende ǫ b 4 en N N slik at a n a < ǫ b 4 for alle n N. Per def. av lim n b n = b finnes det tilsvarende ǫ b 4 a en N 3 N slik at b n b < ǫ b 4 a for alle n N 3. Vi velger nå N til å være N = maks{n,n,n 3 }. Dette gir oss a n a b n b < a n a + a b b n b b < ǫ b b 4 + a ǫ b b 4 a = ǫ + ǫ = ǫ for alle n N. Definisjon.6. Vi sier at følgen {a n } divergerer mot uendelig ( ) dersom det for ethvert tall c R finnes en N N slik at a n c for alle n N. Vi skriver lim n a n =. Følgen {a n } divergerer mot minus uendelig ( ) dersom det for ethvert tall c R finnes N N slik at a n c for alle n N. Vi skriver lim n a n =. Eksempel.7. Vi viste i eksempel.5 at følgen gitt ved a n = n ikke konvergerte. La oss vise at denne følgen divergerer mot. Gitt et tall c R, la N være f.eks. c + rundet oppover til nærmeste heltall. Da fås a n = n c for alle n N. Altså lim n a n = lim n n =. Noen ganger kan en følge verken konvergere eller divergere mot eller. Da kan vi si at følgen bare divergerer, eller man kan si at grenseverdien ikke eksisterer. Eksempel.8. Betrakt følgen {d n } fra eksempel (.6) som var gitt ved d n = ( ) n. Denne følgen divergerer ikke mot eller. Dette ser vi umiddelbart da og er de eneste tallene som fremkommer i følgen. Men denne følgen konvergerer heller ikke. La oss vise at følgen ikke konvergerer. Anta (for kontradiksjon) at følgen konvergerer mot en grenseverdi 7

8 d = lim n d n. Da, tilhørende ǫ =, finnes en N N slik at d n d < for alle n N. Altså ( ) n d < for alle n N < ( )n d < for alle n N d < ( )n < d + for alle n N ( ) n (d,d + ) for alle n N. Man har at lengden til et intervall er differansen mellom endepunkt og startpunkt. For intervallet (d,d+ ) er lengden altså d+ (d ) = + =. Leddene i følgen vår er = ( ) n når n er partall, og = ( ) n når n er oddetall. Tallene og har avstand mellom seg: ( ) = + =. Den siste setningen i regnestykket vårt over viser at både og ligger i intervallet (d,d + ) som hadde lengde. Dette er absurd, da tallene og har avstand mellom seg. Altså kan ikke følgen {( ) n } være konvergent. Vi sier at lim n d n = lim n ( ) n ikke eksisterer. Eksempel.9. lim n n =. La c R være gitt. Vi ønsker N N slik at n c for alle n N. Vi ser at n c vil sikre at n c. Derfor lar vi N være et heltall større enn c (bare velg et). Da fås at n c når n N. Eksempel.0. Finn lim n. Til dette kan vi bruke det vi etablerte i n eksempel.4, nemlig at lim n n = 0, og regneregel (3) for grenseverdier. Da får vi ( lim n n = lim n n ) = lim n n n lim n n = 0 0 = 0. Eksempel.. Finn lim n n. Vi kan prøve å bruke det vi fant i eksempel.7, nemlig at lim n n =, og igjen regneregel (3) for grenseverdier: lim n n = lim n n = lim n lim n = =. n n n Men her er det et problem: overgangen = er ikke formelt sett korrekt, da / R, altså er ikke et reelt tall. Vi bruker det bare som en notasjon og vi har ikke etablert noen regneoperasjoner for det. Derfor er det bedre å bruke definisjonen av divergens: la c R, og la N N være et naturlig tall større enn c. Da fås n c for alle n N, og lim n n = er etablert. Det følger ved liknende resonnement at lim n n p = for enhver potens p (bruk p-te rot istedenfor kvadratrot). 8

9 Eksempel.. Finn lim n 8n 3 +n 6n 4n 3. Hvis man umiddelbart begynner å bruke regneregler (4), () og (), så kommer man til lim n 8n 3 + lim n n lim n 6n lim n 4n 3 som skulle gi +. Men fra dette er det vanskelig å konkludere noe. Det blir enklere hvis vi først omskriver den opprinnelige brøken. La oss forkorte med høyeste potens av n, som er 3 i vårt tilfelle. Vi deler altså over og under brøken med n 3 (dette forandrer ikke brøken): og vi får videre at 8n 3 + n : n 3 6n 4n 3 : n 3 = 8 + n 6 n 4, lim n 8n 3 + n 6n 4n 3 = lim 8 + n n 6 n n 4 = lim n 8 + lim n 6 lim n n lim n 4 = = 8 4 =. Definisjon.3. En følge {a n } kalles voksende dersom a n+ a n for alle n. Følgen kalles avtagende dersom a n+ a n for alle n. Vi bruker ordet monoton som et fellesnavn på voksende og avtagende følger. En følge {a n } kalles begrenset dersom det finnes et positivt tall M R slik at a n M for alle n. Vi kommer nå til hovedsatsen i avsnitt 4.3 (dette er Teorem i Kalkulus på s.93). Her anvendes kompletthetsprinsippet på en fundamental måte, noe som illustrerer viktigheten av kompletthetsprinsippet. Teorem.4. En monoton, begrenset følge er alltid konvergent. Bevis. Anta at {a n } er en voksende, begrenset følge, la oss si begrenset av et tall M R, altså a n M for alle n. Da kan vi betrakte følgen som en mengde A = {a,a,a 3,...} = {a n n N}, og det følger at mengden er ikke-tom og oppad begrenset (nettopp av tallet M). Ved kompletthetsprinsippet har mengden A en minste øvre skranke a = supa. Vi hevder at lim n a n = a. La ǫ > 0 være gitt. Vi trenger å finne N N slik at a n a < ǫ for alle n N. Vi vet at a n a for alle n, da a er en øvre skranke for mengden A (og dermed større enn eller lik samtlige ledd fra følgen). Det må finnes et ledd a N i følgen som er slik at a N > a ǫ, for hvis ikke, da ville a ǫ ha vært en øvre skranke, men a ǫ < a ville motsi at a var minste øvre skranke. Nå vet vi det finnes en N slik at a N > a ǫ. Følgen var voksende, så det vil si at alle etterfølgende 9

10 ledd også må tilfredsstille samme ulikhet: a n > a ǫ for alle n N. Nå får vi a ǫ < a n a < a + ǫ for alle n N. Vi dropper å skrive den mellomste a, og fortsetter utregningen a ǫ < a n < a + ǫ for alle n N ǫ < a n a < ǫ for alle n N a n a < ǫ for alle n N. Dermed har vi vist at lim n a n = a, og teoremet er bevist for voksende, begrensede følger. Det gjenstår å bevise teoremet for avtagende, begrensede følger. La {b n } være en avtagende, begrenset følge. Definér følgen {a n } ved a n = b n. Da er {a n } en voksende, begrenset følge, og vi viste nettopp at følgen vil konvergere mot en grenseverdi, la oss si a = lim n a n. Nå får vi a = lim n a n = lim n ( b n) = lim n b n. Altså har vi a = lim n b n, som gir at lim n b n = a, og vi har funnet grenseverdien til følgen b n. Vi kan også bemerke at denne grenseverdien er største nedre skranke for mengden {b n } (se også forrige forelesningsnotater, der vi utledet kompletthetsprinsippet for største nedre skranker, der vi nettopp viste denne relasjonen) akkurat som grenseverdien for en voksende, begrenset følge {a n } var minste øvre skranke for mengden {a n }. Før vi gir eksempler på bruk av dette teoremet, trenger vi et par nyttige verktøy. Først registrerer vi en enkel men nyttig observasjon om konvergente følger. La {a n } være en konvergent følge, med lim n a n = a. Da har man også lim n a n+ = a. Og lim n a n+00 = a, og for den saks skyld lim n a n+4583 = a. Altså, man kan øke indekseringstallet n her (idet man tar lim) uten at grenseverdien tar skade av det. Grunnen til dette kan illustreres slik: For å finne lim n a n betrakter man {a,a,a 3,a 4,...} For å finne lim n a n+ betrakter man {a,a 3,a 4,...} For å finne lim n a n+00 betrakter man {a 0,a 0,a 03,a 04,...} Altså, selve sekvensen (følgen) blir forskjøvet en del plasser mot venstre, men dette har ingen innvirkning på hva som skjer i følgen langt, langt borte mot høyre. Vi kan enkelt vise dette mer formelt. La oss ta lim n a n+00 som eksempel. La ǫ > 0. Per def. av lim n a n = a finnes en N N slik at a n a < ǫ for alle n N. Nå har vi også at n + 00 > n N, og det vil spesielt medføre a n+00 a < ǫ for alle n N. (Faktisk kunne vi ha erstattet N med N 00 og fortsatt fått den ønskede ulikheten til å gjelde). 0

11 Det som altså skjer er at man kommer i mål fortere. Det er en bevisteknikk, kalt bevis ved induksjon, som vil være nyttig for oss når vi f.eks. skal vise at en følge er voksende eller avtagende. Denne teknikken er også viktig i sin egen rett, og svært anvendelig ellers. Dette er fra avsnitt. i Kalkulus (s.35). Induksjonsprinsippet Anta for hver n N at vi har en påstand P n. Altså, at vi har en samling av påstander (matematiske utsagn) P,P,P 3,... og anta at følgende to krav er oppfylt: () P er sann. () Dersom P m er sann for en m N, da er P m+ sann også. Mao. P m P m+. Da er alle påstandene P n (n N) sanne. Dette er klart da vi får implikasjonene P P P 3 P 4... Eksempel.5. Vi skal avgjøre om følgen {a n } konvergerer. Følgen er definert ved a =, a n+ = a n La oss regne ut noen av leddene i følgen. Følgen begynner altså som a = var gitt, +, for n. a = a + = + = 3, a 3 = a 4 = 3 + = = = = 5 8. {, 3, 7 4, 5 8,...} Det ser ut som følgen er voksende og begrenset av (dette er foreløpig kun en gjetning basert på de første leddene i følgen). La oss prøve å bevise ved induksjon at følgen er slik vi tror: voksende (a n a n+ for alle n) og begrenset av (a n, alle leddene er allerede positive, så vi trenger ikke bruke absoluttverdi). Vi definerer påstandene P n ved P n : a n a n+ og a n.

12 Vi ønsker å vise at alle disse påstandene P n er sanne (for dette vil nettopp etablere at følgen er voksende og begrenset av ). Det holder å sjekke at krav () og () fra induksjonsprinsippet er oppfylt. Påstand P er i vårt tilfelle a a og a. Vi har at a = og a = 3. Det stemmer altså at a a og at a. Så påstand P er sann, og krav () er dermed oppfylt. Vi sjekker så krav (); hvorvidt P m P m+ for m N. Anta P m (for en vilkårlig m N), dvs. anta a m a m+ og a m. Vi skal fra dette utlede P m+ : a m+ a m+ og a m+. Vi husker at vi antar a m a m+, og dette medfører a m+ = a m + a m+ + = a m+, altså har vi vist at a m+ a m+. Deretter husker vi at vi antar a m, og dette medfører a m+ = a m + + = + =, altså har vi vist at a m+. Dermed har vi vist at P m+ også holder, og vi har dermed vist at P m P m+. Begge kravene i induksjonsprinsippet er oppfylt, så alle påstandene P n er sanne, hvilket for oss betyr at følgen {a n } er voksende og begrenset. Ved teorem.4 konkluderer vi at følgen må konvergere, og la oss kalle grenseverdien a = lim n a n. Vi skal finne denne grenseverdien. Til dette bruker vi observasjonen vi registrerte tidligere, nemlig at lim n a n+ = lim n a n = a i vårt tilfelle her. Da får vi fra relasjonen a n+ = a n + at lim a a n n+ = lim n n +, altså fås ligningen a = a +, som vi kan løse for den foreløpig ukjente a: Vi har dermed funnet grenseverdien. a a = a( ) = a( ) = a =.

13 Eksempel.6. Følgen {a n } gitt ved a = an a n+ =, for n. Vi regner ut at de første få leddene i følgen blir {,,,...} = {,0.707,0.5946,...} hvor vi også viser grove desimaltilnærminger til de første få leddene. Vi tror at følgen er avtagende (foreløpig ren gjetning, og generelt kan man selvsagt ikke konkludere noe som hest ut ifra bare å ha sett noen få ledd - dette er farlig praksis i beste fall). Vi våger også å spekulere i hva grenseverdien kan være. La oss kalle grenseverdien a = lim n a n, og dette gir da lim a n+ = lim n n an. Først en liten digresjon: vi bør presisere at det er legitimt å trekke lim inn i kvadratroten. Denne operasjonen står ikke i regnereglene vi etablerte over, men vi kan utlede dette ved hjelp av regneregel (3) på denne måten: lim a n = lim n n an an = lim n an lim n an = a. Denne utregningen viser at lim n an = a. Videre har vi at lim a n lim a n = lim a n = a. n n n Denne utregningen viser at lim n a n = a. Vi konkluderer fra begge disse utregningene at vi må ha an = lim a n, n lim n fordi begge uttrykkene er lik a. (Vi kan også etablere dette ved å apellere til kontinuiteten til kvadratrotfunksjonen. Men kontinuerlige funksjoner kommer vi til senere i kurset). Tilbake til utregningene våre; vi får nå lim a n+ = lim n n an = lim n med andre ord a = a, og denne ligningen kan vi løse for den ukjente a: a a = a = a a a = 0 a(a ) = 0. a n, 3

14 Det er to løsninger til ligningen, a = 0 og a =. Men kun ett av disse tallene kan være grenseverdien, og vi må nå avgjøre hvilket. Vi tror at følgen er avtagende (dette skal vi snart vise), og vi ser at følgen er ihvertfall nedad begrenset av 0 (det er klart at alle leddene i følgen er positive tall). Men det kan hende at følgen faktisk er nedad begrenset av, og det vil resultere i at må være grenseverdien. Vi undersøker om dette er tilfelle. La oss forsøke å bevise dette ved induksjon. Vi definerer påstandene P n : a n a n+ og a n. Først sjekker vi påstand P. Vi har a = og a =, slik at a a holder, og vi har a. Påstand P er dermed sann. Nå viser vi at P m P m+ for m N. Så vi antar P m, dvs. a m a m+ og a m. Da gjelder at og a m+ = a m+ am+ am = a m+ = 4 =. Dermed har vi vist at P m+ : a m+ a m+ og a m+ holder. Dette etablerer P m P m+. Ved induksjonsprinsippet følger det at alle påstandene P n (for alle n N) er sanne, altså: a n a n+ og a n for alle n N. Følgen vår {a n } er avtagende og nedad begrenset av. Vi hadde to mulige kandidater for grenseverdien, nemlig 0 og. Nå konkluderer vi at må være grenseverdien, lim n a n =. 4

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 28. august 2009 Definisjon 1.1. En delmengde A R kalles oppad begrenset dersom det finnes et tall b R slik at b x

Detaljer

Analysedrypp II: Kompletthet

Analysedrypp II: Kompletthet Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig

Detaljer

Forelesning 4 torsdag den 28. august

Forelesning 4 torsdag den 28. august Forelesning 4 torsdag den 28. august 1.10 Rekursjon Merknad 1.10.1. Hvert tall i sekvensen 1, 2, 4, 8, 16,... er to ganger det foregående. Hvordan kan vi beskrive sekvensen formelt? Vi kan ikke skrive

Detaljer

Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03

Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De

Detaljer

Forberedelseskurs i matematikk

Forberedelseskurs i matematikk Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger

Detaljer

Forelesning 5 mandag den 1. september

Forelesning 5 mandag den 1. september Forelesning mandag den. september. Fibonnacitall forts. Proposisjon..6. La n være et naturlig tall. Da er u + u + + u n = u n+. Bevis. Først sjekker vi om proposisjonen er sann når n =. I dette tilfellet

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Følger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014

Følger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014 Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 10, 2014 Forelesning (03.01.2014): kap 9.1 og 9.2 Beskrivelse av følger eksempler og definisjon Egenskaper med følger Grenseverdi for følger (og

Detaljer

Matematisk induksjon

Matematisk induksjon Matematisk induksjon 1 Innledning Dette er et nytt forsøk på å forklare induksjon. Strategien min i forelesning var å prøve å unngå å få det til å se ut som magi, ved å forklare prinsippet fort ved hjelp

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

Forelesning 6 torsdag den 4. september

Forelesning 6 torsdag den 4. september Forelesning 6 torsdag den 4. september 1.13 Varianter av induksjon Merknad 1.13.1. Det finnes mange varianter av induksjon. Noen av disse kalles noen ganger sterk induksjon, men vi skal ikke benytte denne

Detaljer

Forelesning 1 mandag den 18. august

Forelesning 1 mandag den 18. august Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige

Detaljer

Forelesning 19 torsdag den 23. oktober

Forelesning 19 torsdag den 23. oktober Forelesning 19 torsdag den 23. oktober 5.3 Eulers kriterium Merknad 5.3.1. Følgende proposisjon er kjernen til teorien for kvadratiske rester. Kanskje ser beviset ikke så vanskelig ut, men la merke til

Detaljer

Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03

Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De 15 første oppgavene

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

Analysedrypp IV: Metriske rom

Analysedrypp IV: Metriske rom Analysedrypp IV: Metriske rom Vi har tidligere sett at begreper som konvergens og kontinuitet har med avstand å gjøre at f er kontinuerlig i punktet a, betyr f. eks. at det for enhver ɛ > 0, finnes en

Detaljer

1 Mandag 1. februar 2010

1 Mandag 1. februar 2010 Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

Sekventkalkyle for utsagnslogikk

Sekventkalkyle for utsagnslogikk Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der

Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Mange strever med ɛ-δ-argumenter. Det er flere grunner til dette: Noen har problemer med å forstå den underliggende tankegangen, mens andre sliter med de grunnleggende

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart Forelesning 3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart Forelesning 3 Tema Logikk Definisjoner og Teoremer Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall

Detaljer

Kapittel 1. Tallregning

Kapittel 1. Tallregning Kapittel 1. Tallregning Regning med tall er grunnlaget for mer avansert matematikk. I dette kapitlet repeteres følgende fra grunnskolen: Brøkregning Desimaltall Regning med positive og negative tall Potenser

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 15. oktober 004 Tid for eksamen: 11:00 13:00 Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Et detaljert induksjonsbevis

Et detaljert induksjonsbevis Et detaljert induksjonsbevis Knut Mørken 0. august 014 1 Innledning På forelesningen 0/8 gjennomgikk vi i detalj et induksjonsbevis for at formelen n i = 1 n(n + 1) (1) er riktig for alle naturlige tall

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN

NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT2 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY. Innledning og definisjoner Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

Tall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31,

Tall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31, Tall SKOLEPROSJEKT MAT400 - VÅR 204 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM Date: March 3, 204. 2. Innledning Vårt skoleprosjekt omhandler ulike konsepter innenfor det matematiske området

Detaljer

Kontinuitet og grenseverdier

Kontinuitet og grenseverdier Kontinuitet og grenseverdier Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 5. januar 2009 1 Innledning Kontinuitetsbegrepet For å motivere og innlede til kontinuitetsbegrep skal vi først undersøke

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon

Detaljer

Forelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet

Forelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet Forelesning 23 Grafteori Dag Normann - 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og noder kan være naboer. Vi bør kjenne til begrepene om sammenhengende

Detaljer

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,

Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, Grunnleggende notasjon ℕ,, 3, 4, 5, 6, ℤ, 3,,, 0,,, 3, ℝ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 ℚ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑎 𝑎, ℤ, 0 Induksjonsprinsippet Anta at for hver 𝑛 ℕ har vi gitt et utsagn 𝑃. Anta videre at vi vet at følgende

Detaljer

Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning.

Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Se http://www.cs.hioa.no/~evav/dm/emner/modulo1.pdf Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. Eksempel. a = 7358. Tverrsummen til a er

Detaljer

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det. Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave

Detaljer

Hans Petter Hornæs,

Hans Petter Hornæs, Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel

Detaljer

Repetisjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 15: Rekursjon og induksjon. Roger Antonsen

Repetisjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 15: Rekursjon og induksjon. Roger Antonsen MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Repetisjon 11. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 20:38) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og

Detaljer

MAT1030 Plenumsregning 5

MAT1030 Plenumsregning 5 MAT1030 Plenumsregning 5 Ukeoppgaver Mathias Barra - 13. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-06 18:29) Oppgave 4.18 Uttrykk følgende påstander i predikatlogikk, og finn deres sannhetsverdier. (a) Det

Detaljer

Sammensetningen h = f g er en funksjon fra A til C, h: A -> C og er definert ved h(a) = f(g(a)) Viktig: f g g f

Sammensetningen h = f g er en funksjon fra A til C, h: A -> C og er definert ved h(a) = f(g(a)) Viktig: f g g f Sammensetningen av to funksjoner. Gitt mengdene A, B og C. La f og g være funksjonene der g: A -> B f: B -> C Da kan vi lage sammensetningen h av f og g. Den betegnes som h = f g (lese som «f ring g»).

Detaljer

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Oppgave 1 (vekt 10%) a) Et tall a er et partall hvis a er delelig med 2, dvs a 0(mod 2). Et tall a er et oddetall hvis a ikke delelig med 2, dvs a 1(mod

Detaljer

Fra skolematematikken husker vi at kvadratroten til et tall a er det ositive tallet som har kvadrat lik a. Men det betyr at x2 = n x for x 0 x for x <

Fra skolematematikken husker vi at kvadratroten til et tall a er det ositive tallet som har kvadrat lik a. Men det betyr at x2 = n x for x 0 x for x < Lsningsforslag til utvalgte ogaver i kaittel 2 I seksjon 2.1 far du velse i a lse ulikheter hvor tallverdier inngar (ogave 2.1.5) og enkel trening i a fre matematiske resonnementer ved a kombinere bruk

Detaljer

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

MAT Grublegruppen Uke 37

MAT Grublegruppen Uke 37 MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i

Detaljer

Rekker (eng: series, summations)

Rekker (eng: series, summations) Rekker (eng: series, summations) En rekke er summen av leddene i en følge. Gitt følgen a 0, a 1, a,, a n,, a N Da blir den tilsvarende rekken a 0 + a 1 + a + + a n + + a N Bokstaven n er en summasjonsindeks.

Detaljer

Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11)

Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11) Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11) Knut Mørken 22. november 2004 Vi har tidligere i kurset sett litt på numerisk derivasjon

Detaljer

Logaritmer og eksponentialfunksjoner

Logaritmer og eksponentialfunksjoner Logaritmer og eksponentialfunksjoner Harald Hanche-Olsen og Marius Irgens 20-02-02 Dette notatet ble først laget for MA02 våren 2008. Denne versjonen er omskrevet for MA02 våren 20. Du vil oppdage at mange

Detaljer

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga

Detaljer

Oppsummering av Uke 3. MAT1030 Diskret matematikk. Binære tall. Oppsummering av Uke 3

Oppsummering av Uke 3. MAT1030 Diskret matematikk. Binære tall. Oppsummering av Uke 3 Oppsummering av Uke 3 MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 3: Mer om representasjon av tall Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. januar 2008 Mandag 14.01 og delvis onsdag 16.01

Detaljer

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK.

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. Som foreleser/øvingslærer for diverse grunnkurs i matematikk ved realfagstudiet på NTNU har jeg prøvd å skaffe meg en viss oversikt over de nye studentenes

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0 Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,

Detaljer

Forelesning 2 torsdag den 21. august

Forelesning 2 torsdag den 21. august Forelesning 2 torsdag den 21 august 15 Flere eksempler på bevis ved induksjon Proposisjon 151 La n være et naturlig tall Da er 1 + 2 + 4 + + 2 n 1 = 2 n 1 Bevis Først sjekker vi om proposisjonen er sann

Detaljer

Regning med tall og bokstaver

Regning med tall og bokstaver Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger

Detaljer

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 I dette notatet skal vi se litt på polynomdivisjon. Mange vil kjenne denne teknikken fra før, men etter siste læreplanomlegning er den ikke lenger pensum i

Detaljer

Kapittel 1. Tallregning

Kapittel 1. Tallregning Kapittel 1. Tallregning Mål for Kapittel 1, Tallregning. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere

Detaljer

Oblig 1 - MAT Oppgave 1. Fredrik Meyer. Vi lar α > 1 og x 1 > α. Vi definerer en følge (x n ) ved. x n+1 = α + x n 1 + x n.

Oblig 1 - MAT Oppgave 1. Fredrik Meyer. Vi lar α > 1 og x 1 > α. Vi definerer en følge (x n ) ved. x n+1 = α + x n 1 + x n. Oblig 1 - MAT2400 Fredrik Meyer 1 Oppgave 1 Vi lar α > 1 og x 1 > α. Vi definerer en følge (x n ) ved Lemma 1 (a). x n > 1 n N x n+1 = α + x n = x n + α x2 n Bevis. Siden α > 1 er α + x n >, så 1 = 1+xn

Detaljer

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse MAT3000/4000 - Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse Oppgave 1 Din offentlig nøkkel er N = 377 og a = 269, mens lederen av klubben har valgt N = 1829 og a = 7. Passordet som du har mottatt

Detaljer

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.3. Integrasjonstesten 3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av

Detaljer

Mer om representasjon av tall

Mer om representasjon av tall Forelesning 3 Mer om representasjon av tall Dag Normann - 21. januar 2008 Oppsummering av Uke 3 Mandag 14.01 og delvis onsdag 16.01 diskuterte vi hva som menes med en algoritme, og vi så på pseudokoder

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være:

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være: Likninger og algebra Det er større sprang fra å regne med tall til å regne med bokstaver enn det vi skulle tro. Vi tror at både likninger og bokstavregning (som er den algebraen elevene møter i grunnskolen)

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)

Detaljer

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1 Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 2: Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-14 16:45) Kapittel

Detaljer

MAT1030 Forelesning 19

MAT1030 Forelesning 19 MAT1030 Forelesning 19 Generell rekursjon og induksjon Roger Antonsen - 25. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-25 11:06) Forelesning 19 Forrige gang så vi på induktivt definerte mengder og noen eksempler

Detaljer

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-15 Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns

Detaljer

Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra

Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.

Detaljer

Forelesning Matematikk 4N

Forelesning Matematikk 4N Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

Polynomisk interpolasjon

Polynomisk interpolasjon Polynomisk interpolasjon Hans Munthe-Kaas 1. jaunar 2002 Abstract Dette notatet tar for seg interpolasjon med polynomer. Notatet er ment som et tillegg til læreboken i I162, og forsøker å framstille dette

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111 Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse

Detaljer

Sensorveiledning nasjonal deleksamen

Sensorveiledning nasjonal deleksamen Sensorveiledning nasjonal deleksamen 11.05.2016 Oppgave 1 Viser to ulike resonnement som fører frem. Eksempler: 1. Forklarer at 3 = 6 som igjen er lik 0,6. 5 10 2. Korrekt eliminering av de tre gale alternativene,

Detaljer

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.6. Alternerende rekker Absolutt og betinget konvergens 3 Alternerende rekker

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Husk at minustegn foran et tall eller en variabel er å tenke på som tallet multiplisert med det som kommer etter:

Husk at minustegn foran et tall eller en variabel er å tenke på som tallet multiplisert med det som kommer etter: Økonomisk Institutt, november 2006 Robert G. Hansen, rom 1207 ECON 1210: Noen regneregler og løsningsprosedyrer som brukes i kurset (A) Faktorisering og brøkregning (1) Vi kan sette en felles faktor utenfor

Detaljer

Forelesning 9 mandag den 15. september

Forelesning 9 mandag den 15. september Forelesning 9 mandag den 15. september 2.6 Største felles divisor Definisjon 2.6.1. La l og n være heltall. Et naturlig tall d er den største felles divisoren til l og n dersom følgende er sanne. (1) Vi

Detaljer

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 5: Ukeoppgaver fra kapittel 4 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. februar 2008 Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2015

Matematikk for IT, høsten 2015 Matematikk for IT, høsten 015 Oblig 5 Løsningsforslag 5. oktober 016 3.1.1 3.1.13 a) Modus ponens. b) Modus tollens. c) Syllogismeloven. a) Ikke gyldig. b) Gyldig. 3.1.15 a) Hvis regattaen ikke avlyses,

Detaljer

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma

Detaljer

Generell induksjon og rekursjon. MAT1030 Diskret matematikk. Generell induksjon og rekursjon. Generell induksjon og rekursjon.

Generell induksjon og rekursjon. MAT1030 Diskret matematikk. Generell induksjon og rekursjon. Generell induksjon og rekursjon. MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 18: Generell rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 12. mars 2008 Mandag så vi på induktivt definerte mengder og noen eksempler

Detaljer

Lag det tallet. Mål. Gjennomføring. Utstyr: Kortstokk. Organisering: 3-4 elever spiller sammen. Spillets gang:

Lag det tallet. Mål. Gjennomføring. Utstyr: Kortstokk. Organisering: 3-4 elever spiller sammen. Spillets gang: Lag det tallet Mål Generelt: Vurdere tallstørrelser og forståelse for hva de ulike regneoperasjonene gjør med tallene. Eksperimentering med tall og øvelse i hoderegning. Spesielt: Prioritering av regnearter.

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne

Detaljer

Slides til 1.6 og 1.7. Andreas Leopold Knutsen

Slides til 1.6 og 1.7. Andreas Leopold Knutsen Slides til 1.6 og 1.7 Andreas Leopold Knutsen January 17, 2010 Begreper Matematiske resultater/utsagn som er sanne kalles gjerne: Teorem = viktig utsagn Proposisjon/Sats/Setning = litt mindre viktig utsagn

Detaljer