Denne følgen har N+1 ledd. En generell uendelig følge kan settes opp slik:

Transkript

1 Følger En følge (eng: sequence) er en oppramsing av tall. Hvert tall i oppramsingen har et nummer eller en posisjon som er bestemt av hvor i følgen tallet står. Det første tallet har vanligvis posisjonen 0 (også kalt nr. 0 eller indeks 0). 1 Tallene i en følge kalles ledd. (eng. term) En generell endelig følge kan settes opp slik: Denne følgen har N+1 ledd. En generell uendelig følge kan settes opp slik: En følge kan også skrives opp på kortform: {a n }, n 0 eller eventuelt {a n }, n 1 Andre bokstaver enn n kan også brukes. Eksempler. 1 Enkelte ganger er det mer aktuelt å si at det første tallet har posisjonen/indeks/nr 1. 1

2 OBS! La alle a n være tall fra en tallmengde S. Da kan følgen {a n }, n 0 sees på som en funksjon f: N S (fra de naturlige tallene til S) der f(n) = a n. Dvs. når vi setter inn indeks n i funksjonen får vi det n te tallet i følgen som funksjonsverdi. Tallene i følgene følger ulike mønstre. Disse kan være bygget opp på forskjellige måter, og vi skal her se av typer: Eks: 1, 3, 5, 7, Her er differansen mellom hvert ledd det samme 1,, 4, 8, 16, 3,. Her ganges hvert ledd med samme faktor for å få neste ledd i følgen. Det betyr at forholdet (brøken) mellom et vilkårlig ledd og det foregående er en konstant: 16/8 = 8/4 = 4/ = Geometriske følger. En geometrisk følge er en følge der forholdet (brøken) mellom et vilkårlig ledd og det foregående er en konstant. Hvis a n er det generelle leddet, betyr det at a n /a n-1 er en konstant for alle n 1. Eksempel 1. Gitt følgen 1,, 4, 8, 16, Vi ser at

3 Siden forholdet mellom et tall og det foregående tallet i følgen er en konstant, er dette en geometrisk følge. Eksempel. Gitt følgen Vi ser at Følgelig er dette en geometrisk følge. Eksempel 3. Gitt følgen 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49, Vi ser at Siden vi får forskjellige svar er forholdet mellom leddene ikke en konstant og følgen er derfor ikke en geometrisk følge. Generell formel. Det generelle leddet a n i en geometrisk følge er alltid på formen a n = ar n, n 0 3

4 Her er a det første leddet i følgen. (dvs. a 0 = a) og r det faste forholdet mellom et ledd og det foregående leddet, dvs. r = a n /a n-1, n 1 Eksempler La a = 1 og r =. Da blir a n = n, og vi får følgen 1,, 4, 8, 16, 3, La a = og r = 3. Da blir a n = 3 n og vi får følgen, 6, 18, 54, La a = 3 og r = -. Da blir a n = 3 (-) n. Det gir følgen 3, -6, 1, -4, Aritmetiske følger. En følge kalles en aritmetisk følge hvis differensen mellom et vilkårlig ledd og det foregående leddet er en konstant. Det betyr at hvis a n er det generelle leddet, så er a n a n-1 fast for alle n 1. Avstanden mellom leddene er konstant. Eksempel 1 Gitt følgen, 4, 6, 8, 10,. (partallene) Vi ser at 4 =, 6 4 =, 8 6 = osv. Siden differensen er den samme er dette en aritmetisk følge. Generell formel. Det generelle leddet a n i en aritmetisk følge har formen: a n = a + dn, n 0 NB! Når fortegnet til leddene i følgen skifter mellom positiv og negativ annenhver gang er må r være negativ! 4

5 Her er a det første leddet (dvs. a 0 = a) og d den faste differensen mellom et ledd og det foregående leddet. d = a n a n-1, n 1 I eksempelet over (følgen, 4, 6, 8, 10,.) er a = og d =. Dermed blir a n = + n. Eksempel. La a = 5 og d = 3. Da blir a n = 5 + 3n og vi får den aritmetiske følgen 5, 8, 11, 14, 17, 0,. Differensligninger. En spesiell type følger får vi ved hjelp av en differensligning (eng. reccurence relation) Da kan f.eks. an være gitt slik: a n = a n-1 + 3a n-, a 0 = 1, a 1 = Dermed kan vi bestemme leddene I følgen: a = = 7, a 3 = = 0, osv. Slike følger skal vi studere nærmere i kapittel 8. Det er mange typer følger som er av interesse i ulike datafag. Det er aritmetiske følger, geometriske følger og andre typer følger. Her er noen av de viktigste: 5

6 Rekker (eng: series, summations) En rekke er summen av leddene i en følge. Gitt følgen a 0, a 1, a,, a n,, a N Da blir den tilsvarende rekken a 0 + a 1 + a + + a n + + a N Bokstaven n er en summasjonsindeks. Vi kan gjerne bruke andre bokstaver på denne indeksen, f.eks. i, j, k, osv. 6

7 Aritmetiske rekker Gitt den aritmetiske følgen 1,, 3, 4,, 100 Den tilsvarende aritmetiske rekken blir da =? Hvordan finne summen av en aritmetisk rekke? Summen av en aritmetisk rekke er lik summen av første og siste ledd ganget med antall og delt på : 100 n = n=1 ( ) 100 = = 5050 Kort fortalt tar vi gjennomsnittet av første og siste ledd og ganger det med antall ledd i rekken. Formel for summen av en aritmetisk rekke. La a være første ledd, b siste ledd og n antall ledd. Da er summen gitt ved: (a + b) n For å bruke formelen over trenger vi å vite hvor mange ledd rekken inneholder. 7

8 Antall ledd i en aritmetisk rekke. La a være første ledd, b siste ledd og d den faste differensen mellom et vilkårlig ledd og det foregående leddet i rekken. Da er antall ledd n gitt ved n = (b a) d + 1 NB! Vi må legge til 1 for å få med begge endepunktene i rekken. Eksempel 1: Hva blir summen ? Første ledd a = 1 Siste ledd b = 4 Differensen d = 5 Antall ledd n = = 7 5 Summen = (a+b) n = (1+4)7 = 189 Eksempel : Hva blir summen ? a = 10, b = 94, d = 3 Antall ledd n = Summen = (10+94)9 + 1 = 9 =

9 Geometriske rekker Gitt den geometriske rekken: Tallene kan skrives som Gitt en generell geometrisk følge: ar 0, ar 1, ar, ar 3,.., ar N Den tilsvarende geometriske rekken blir da a + ar + ar + ar ar N = N n=0 Husk! r 0 = 1 og r 1 = r a r n Formel for summen av en geometrisk rekke N a r j j=0 a(r N+1 1), r 1 = { r 1 a(n + 1), r = 1 Antall ledd i rekken blir her N + 1 fordi vi starter med n = 0. Eksempel 1. Hva blir summen av tallene ? Tallene kan skrives som Her er a = 1, r = og største indeks N = 7. 7 j j=0 = = 8 1 = 56 1 = 55 9

10 Eksempel. Hva blir summen ? Dette kan skrives som ( 1 )0 + ( 1 )1 + ( 1 ) + ( 1 )3 + ( 1 )4 + ( 1 )5 Dermed får vi 5 ( 1 )j = ( 1 ) = 1 j= = 1 3 Eksempel 3: Hva blir summen ? a = 16, r = Rekken kan skrives som Summen blir da: 5 16 j j=0 = 16(5+1 1) 1 = =

11 Bevis av formelen: La S N = N j=0 a r j være summen av en geometrisk rekke der N er høyeste indeks (antall ledd blir N + 1). a er første ledd og r er det konstante forholdet mellom et vilkårlig ledd og det foregående. S N = a + ar + ar + ar ar N Ganger med r på begge sider: r S N = ar + ar + ar ar N + ar N+1 Trekker fra S n på begge sider: r S N S N = ar + ar + ar ar N + ar N+1 - S N r S N S N = ar + ar + ar ar N + ar N+1 - a - ar - ar - ar ar N Sitter igjen med ar N+1 - a på høyre siden etter at de andre leddene på høyresiden faller bort. Setter S N utenfor parentesen på venstresidene og a utenfor parentesen på høyresiden: S N (r 1) = a(r N+1 1) Deler til slutt med r- 1 på begge sider: S N = a(rn+1 1) r 1 der r 1 NB! Formelen gjelder ikke når r = 1, men da ser rekka slik ut: S N = a + a+ a + + a = a(n+1) NB! Her er N største indeks og N+1 antall ledd i rekken. 11

12 1