Velkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1. med Jørgen Endal

Transkript

1 Velkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1 med Jørgen Endal

2 Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap )

3 Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap ) Forelesning 1 (kap )

4 Dagens nøkkelbegrep: Følger (Uendelige) rekker Konvergens Integraltesten

5 Introduksjon For å løse f (x) = 0, kan vi bruke Newtons metode: x n+1 = x n f (x n) f (x n ), x 0 gitt.

6 Introduksjon For å løse f (x) = 0, kan vi bruke Newtons metode: x n+1 = x n f (x n) f (x n ), x 0 gitt. Vi får altså følgen { x 0, x 1 = x 0 f (x 0) f (x 0 ), x 2 = x 1 f (x 1) f (x 1 ),... }

7 Introduksjon For å løse f (x) = 0, kan vi bruke Newtons metode: x n+1 = x n f (x n) f (x n ), x 0 gitt. Vi får altså følgen { x 0, x 1 = x 0 f (x 0) f (x 0 ), x 2 = x 1 f (x 1) f (x 1 ),... } En endelig rekke gir oss 3 ( 1) n = = 0, n=0

8 Introduksjon For å løse f (x) = 0, kan vi bruke Newtons metode: x n+1 = x n f (x n) f (x n ), x 0 gitt. Vi får altså følgen { x 0, x 1 = x 0 f (x 0) f (x 0 ), x 2 = x 1 f (x 1) f (x 1 ),... } En endelig rekke gir oss 3 ( 1) n = = 0, n=0 men hva skjer når ( 1) n? n=0

9 A. Følger og konvergens (kap. 9.1) Eksempel A.1 (Følger)

10 A. Følger og konvergens (kap. 9.1) Eksempel A.1 (Følger) (a) a n = 1: 1, 1, 1, 1,...

11 A. Følger og konvergens (kap. 9.1) Eksempel A.1 (Følger) (a) a n = 1: 1, 1, 1, 1,... (b) a n = 1 1 n, n 2: 1, 1 2, 1 3, 1 4,...

12 A. Følger og konvergens (kap. 9.1) Eksempel A.1 (Følger) (a) a n = 1: 1, 1, 1, 1,... (b) a n = 1 1 n, n 2: 1, 1 2, 1 3, 1 4,... (c) a n = n2 2 n, n 1: 1 2, 1, 9 8, 1,...

13 A. Følger og konvergens (kap. 9.1) Eksempel A.1 (Følger) (a) a n = 1: 1, 1, 1, 1,... (b) a n = 1 1 n, n 2: 1, 1 2, 1 3, 1 4,... (c) a n = n2 2 n, n 1: 1 2, 1, 9 8, 1,... (d) a n = cos( nπ 2 ) n, n 1: 0, 1 2, 0, 1 4,...

14 A. Følger og konvergens (kap. 9.1) Eksempel A.1 (Følger) (a) a n = 1: 1, 1, 1, 1,... (b) a n = 1 1 n, n 2: 1, 1 2, 1 3, 1 4,... (c) a n = n2 2 n, n 1: 1 2, 1, 9 8, 1,... (d) a n = cos( nπ 2 ) n, n 1: 0, 1 2, 0, 1 4,... (e) Fibonacci-følgen: a 1 = 1, a 2 = 1, a n+2 = a n + a n+1, n 1

15 A. Følger og konvergens (kap. 9.1) Eksempel A.1 (Følger) (a) a n = 1: 1, 1, 1, 1,... (b) a n = 1 1 n, n 2: 1, 1 2, 1 3, 1 4,... (c) a n = n2 2 n, n 1: 1 2, 1, 9 8, 1,... (d) a n = cos( nπ 2 ) n, n 1: 0, 1 2, 0, 1 4,... (e) Fibonacci-følgen: a 1 = 1, a 2 = 1, a n+2 = a n + a n+1, n 1 Definisjon A.2 (Følge) Ei følge er ei samling av objekter som er nummererte vha. N. Vi skriver {a n } n N.

16 Noen eksempler a n n a n = (1 + 1 n )n, n 1

17 Noen eksempler a n n a n = n2 2 n, n 1

18 Noen eksempler a n n a n = cos(n) n, n 1

19 Noen eksempler a n n a n = n cos(n 3 ), n 1

20 Konvergens og divergens Definisjon A.3 (Konvergens av følge) Ei følge {a n } konvergerer til en grense L, vi skriver lim n a n = L, dersom ε > 0 N = N(ε) : n N = a n L < ε.

21 Konvergens og divergens Definisjon A.3 (Konvergens av følge) Ei følge {a n } konvergerer til en grense L, vi skriver lim n a n = L, dersom ε > 0 N = N(ε) : n N = a n L < ε. Definisjon A.4 (Divergens av følge) Hvis ei følge {a n } ikke konvergerer, sier vi at den divergerer.

22 Når konvergerer en følge? Proposisjon A.5 (R komplett) Hvis ei følge {a n } er begrenset ovenfra (begrenset nedenfra) og er voksende (avtagende), vil den konvergere.

23 Når konvergerer en følge? Proposisjon A.5 (R komplett) Hvis ei følge {a n } er begrenset ovenfra (begrenset nedenfra) og er voksende (avtagende), vil den konvergere. Se oppgaveløsningsvideo 12 for ett eksempel, eller denne ukes IF, L2.

24 Når konvergerer en følge? Proposisjon A.5 (R komplett) Hvis ei følge {a n } er begrenset ovenfra (begrenset nedenfra) og er voksende (avtagende), vil den konvergere. Se oppgaveløsningsvideo 12 for ett eksempel, eller denne ukes IF, L2. Løs IF uke 41, L2 ved bruk av denne proposisjonen.

25 B. (Uendelige) rekker (kap. 9.2) Se også temavideo 13.

26 B. (Uendelige) rekker (kap. 9.2) Se også temavideo 13. e x = n=0 xn n!

27 B. (Uendelige) rekker (kap. 9.2) Se også temavideo 13. e x = n=0 xn n! Definisjon B.1 (Rekke) Ei (uendelig) rekke er en sum med uendelig mange ledd. Vi skriver n N a n.

28 Eksempel Eksempel B.2 (Rekker)

29 Eksempel Eksempel B.2 (Rekker) (a) n=1 1 n = (den harmoniske rekka)

30 Eksempel Eksempel B.2 (Rekker) (a) n=1 1 n = (den harmoniske rekka) (b) n= 2 (n + 1) =

31 Eksempel Eksempel B.2 (Rekker) (a) n=1 1 n = (den harmoniske rekka) (b) n= 2 (n + 1) = (c) n=0 x n = 1 + x + x 2 + x 3 + = 1 1 x (geometrisk rekke)

32 Konvergens og divergens Definisjon B.3 (Konvergens av rekke) Vi sier at rekka n=1 a n konvergerer til summen s, og vi skriver n=1 a n = s, hvis der lim s j = s j s j := a 1 + a 2 + a a j = j a n. n=1

33 Konvergens og divergens Teorem B.4 an konvergerer = lim n a n = 0

34 Konvergens og divergens Teorem B.4 an konvergerer = lim n a n = 0 NB: lim n a n 0 eller ikke eksisterer = a n divergerer

35 Konvergens og divergens Teorem B.4 an konvergerer = lim n a n = 0 NB: lim n a n 0 eller ikke eksisterer = a n divergerer lim n a n = 0 a n konvergerer

36 Eksempler Eksempel B.5 (Geometrisk rekke) Bestem a R og r R slik at konvergerer. n=1 ar n 1

37 Eksempler Eksempel B.5 (Geometrisk rekke) Bestem a R og r R slik at konvergerer. n=1 ar n 1 Eksempel B.6 Konverger n=1 1 n3 n?

38 C. Konvergenstester for positive rekker (kap. 9.3) a n hvor a n 0 n 1 n=1

39 C. Konvergenstester for positive rekker (kap. 9.3) a n hvor a n 0 n 1 n=1 NB: {s j } er da voksende. Fra proposisjon A.5, vet vi at det er nok å argumentere med at {s j } er begrenset (ovenfra) for å konkludere med at rekka er konvergent.

40 Integraltesten Eksempel C.1 Konvergerer eller divergerer følgende rekke: n=1 1 n?

41 Integraltesten Teorem C.2 (Integraltesten) Anta at a n = f (n) hvor f er positiv, kontinuerlig, og avtagende på [N, ) for ett eller annet heltall N. a n er konvergent n=1 N f (t)dt <.

42 Integraltesten Teorem C.2 (Integraltesten) Anta at a n = f (n) hvor f er positiv, kontinuerlig, og avtagende på [N, ) for ett eller annet heltall N. a n er konvergent n=1 N f (t)dt <. Lemma C.3 (p-rekker) Rekka konvergerer dersom p > 1, og divergerer dersom 0 < p 1. n=1 1 n p