KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK.

Transkript

1 KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. Som foreleser/øvingslærer for diverse grunnkurs i matematikk ved realfagstudiet på NTNU har jeg prøvd å skaffe meg en viss oversikt over de nye studentenes faglige bakgrunn. For å få en slags idé om hva de kan forventes å kunne ved starten av studiet har jeg blant annet brukt noe tid på å studere forskjellige lærebøker som er i bruk i den videregående skole. Jeg har ikke gått systematisk til verks, men nærmest tatt stikk-prøver der jeg ønsker å finne ut hva man kan bygge videre på i de kursene vi tilbyr. Spesielt har jeg hatt studentene som er opptatt på vårt 5-årige integrerte lektorutdanninsprogram i realfag i tankene. Denne studentgruppe skal jo bli neste generasjon av matematikk-lærere i den videregående skole. Derfor er det selvsagt viktig at disse studentene utvikler en bevisst holdning til faget - og blant annet ser på bøkene med kritiske øyne. Forståelse av sammenhenger og oppbygningen av faget generelt er helt sentralt hvis man skal bli en god matematikklærer. Derfor må presise definisjoner og logiske resonnementer stå sentralt i våre kurs - og grunnlaget fra videregående skole bør derfor være best mulig. Når det gjelder de ovenfor omtalte stikk-prøver har jeg gjort noen litt sjokkerende oppdagelser. For å illustrere dette skal jeg i det følgende gi noen eksempler. Voksende/avtagende funksjoner. I [2], R1, s. 243, finner man følgende definisjon: Funksjonen f er voksende dersom x 1 > x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ).j På samme side står det: f (x) > 0 i et intervall f er voksende i intervallet. At er gal, ser man jo lettest ved å se på funksjonen f.eks. på intervallet ( 1, 1). Videre gir jo at funksjonen y = x 3 y = x 2 ikke er voksende i intervallet [0, ) fordi f (0) = 0 i dette tilfellet. Tilsvarende feil er gjort m.h.t. avtagende funksjon. 1

2 Jeg har mistanke om at ovenstående sammenblanding av begreper er gjort bevisst for å forenkle temaet for elevene - som da bare trenger å se på den derivertes fortegn - og ikke behøver å bekymre seg om den naturlige (opprinnelige) definisjon av voksende/avtagende funksjon. Skalar-produktet. I [2], R1, s 205, finner man følgende uten nærmere begrunnelse: ı... a ( b + c) = a b + a c Dette er den distributive lov for skalarproduktet. I samme verk, s. 199, finner vi: I kapittel 6.6 beviser vi denne koordinatformelen for skalarproduktet: [x 1, y 1 ] [x 2, y 2 ] = x 1 x 2 + y 1 y 2.j På s. 208 presenteres så et bevis for denne sammenheng, uten å nevne at man trenger et bevis for den distributive lov for å gjennomføre argumentet! I [2], R2, s. 159, dukker den distributive lov for skalarprodukt av vektorer, nå i rommet, opp på ny. Igjen mangler bevis. Merkelig nok dukker koordinatformelen opp allerede på s. 156, med henvisning til det som står på s Også her tar man den distributive lov for opplagt - fordi vi har en slik regel når det gjelder addisjon og multiplikasjon av reelle tall! I [3], R1, s.88, finner man følgende: Definisjonen av skalarproduktet gir a b = b a. Det er vanskeligere å se at a ( b + c) = a b + a c, det vil si at vi kan multiplisere ut paranteser. Uten at vi skal gå inn på beviset her, viser det seg at dette er riktig. I [1], R2, s. 18, finner vi også regneregelen u ( v + w) = u v + u w uten noen antydning til bevis eller referanse. Jeg synes presentasjonen i [3] er langt å foretrekke framfor de øvrige! Det må være mer redelig og riktigere pedagogisk å erklære at dette skal vi ikke bevise her, men vi kommer allikevel til å benytte det i det etterfølgende. 2

3 Men er det så vanskelig å gjennomføre et bevis for den distributive lov og utlede koordinatformelen at man må utelate det i skolebøkene i videregående skole? Vi skal her gjengi et bevis som skulle være gjennomførbart på dette nivået. Vi minner først om at man i 1T, [2], s. 178, har bevis for Cosinussetningen (eller den utvidete Pytagoras-setningen): Vi innfører vektorbetegnelser: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos θ a = BC, b = CA og c = AB, og får: ( ) c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos θ I planet har vi allerede innført vektor-koordinater: v = (v 1, v 2 ) og utledet at v = v1 2 + v2 2 v.h.a. Pytagoras. Videre ser vi av figuren at: c = b a og får da: c = (b 1 a 1, b 2 a 2 ). Likheten ( ) ovenfor kan da skrives: (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 = (a a 2 2) + (b b 2 2) 2( a b) eller b 2 1 2a 1 b 1 + a b 2 2 2a 2 b 2 + a 2 2 = a a b b 2 2 2( a b). Forenkling gir da: a 1 b 1 + a 2 b 2 = a b 3

4 Altså har vi bevist koordinatformelen for skalarproduktet. Videre har vi da: a ( b+ c) = a 1 (b 1 +c 1 )+a 2 (b 2 +c 2 ) = (a 1 b 1 +a 2 b 2 )+(a 1 c 1 +a 2 c 2 ) = a b+ a c, den omtalte distributive lov. Dette argument lar seg selvsagt gjennomføre på samme måte for vektorer i rommet ( i R 3 ). Den generelle distributive lov for: ( a 1 + a a n ) ( b 1 + b b m ) bevises lett ut fra det ovenstående. Et relativt enkelt geometrisk bevis finner man f.eks. i [4], s. 42. Det motsatte av Pytagoras setning. I 1T, [2], s. 25 finner man følgende: Noen ganger bruker vi pytagorassetningen til å kontrollere om en trekant er rettvinklet. La a, b og c være sidene i en trekant. La c være den lengste siden. Vi kan bevise at hvis sidene passer i a 2 + b 2 = c 2, så er trekanten rettvinklet. Hvis sidene ikke passer, er trekanten ikke rettvinklet. Så følger et eksempel der det motsatte av pytagorassetningen anvendes. Heldigvis har man med vi kan bevise. Men hvorfor ikke gjennomføre beviset etter at cosinussetningen er bevist i avsnitt 6.8? Har man at c 2 = a 2 + b 2 i utgangspunktet, gir cosinussetningen: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos ν der ν er vinkelen mellom sidene a og b. Følgelig har vi: a 2 + b 2 = a 2 + b 2 2a b cos ν Siden a og b begge er positive tall, må cos ν = 0. M.a.o. ν = π 2. I [2], R2, s , finner man et ganske elegant bevis for formelen: cos(u v) = cos u cos v + sin u sin v Svakheten med dette er at det bygger på koordinatformelen for skalarproduktet - som altså ikke er skikkelig bevist tidligere i kurset. Siden kompetansemål bl.a. omfatter å gjøre rede for implikasjon og ekvivalens og bevisførsel, skulle ovenstående problemstilling være et punkt der denne type kompetanse kunne innarbeides! Logaritmer I 1T, [2], s , defineres Briggske Logaritmer: lg = 4, lg 10 = 1, lg 0, 01 = 2. Så dukker et virkelig problem opp. Hva er lg 7? Det er det 4

5 samme som å finne det tallet vi må opphøye 10 i for å få 7. Svaret kan ikke være et helt tall. Det må være et desimaltall. LØSNING : Vi finner det ved å bruke [log]-tasten på lommeregneren lg 7 = Dette er nesten utrolig i mine øyne! I forsøk på å gi en mening til noe som åpenbart er vanskelig, løser man problemet ved å trykke på en tast på lommeregneren!!! [1]: MATEMATIKK (Aschehoug); Heir, Erstad, Borgan, Moe. [2]: SINUS (Cappelen/Damm); Oldervoll, Orskaug, Vaaje, Hanisch, Hals. [3]: SIGMA (Gyldendal); Sandvold, Øgrim, Bakken, Pettersen, Skrindo, Dypbukt, Mustaparta, A. Thorstensen, R. Thorstensen. [4]: R. Tambs Lyche: Matematisk analyse, Bd. 2, (Gyldendal 1962) 5