Prosent- og renteregning

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Prosent- og renteregning"

Transkript

1 FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av blir =5 640= p Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra = Vi får p 640=9600 og p= = = =15 prosent Vi ser også lett at 9600 er 3 ganger 3200 fra tidligere eksempel (15 prosent er jo tre ganger mer enn 5 prosent. Eksempel 3: Hvis øker med 5 prosent fås =67200 Hvis vi skriver beregningene i Eksempel 3 på en annen måte får vi = = =67200 Når vi øker et beløp med gitt prosent kan vi på denne måte multiplisere med et tall. Hvis vi øker med 5 prosent multipliserer vi med 1.05, hvis vi øker med 8 prosent multipliserer vi med 1.08 og hvis vi øker med 10 prosent multipliserer vi med 1.1 og for andre kan vi fortsette på denne måte. Vi ønsker kanskje en enkel formel vi kan bruke hurtigt på mange ulike fall. Hvis vi regner får vi generelt hvis vi øker beløp K med p prosent: K pk p p =K 1 =Ka hvor a= Da har vi en formel vi kan bruke får å øke K med p prosent: Nyt beløp er K 1 =Ka hvor a=1 p 100 =1 0.01p Vi kan bruke samme formel for å minke med gitt prosent hvis vi lar p være negativ. F eks, hvis vi minker med 2 prosent multipliserer vi med =0.98 1

2 Vi kan også bruke formel for å finne opprinnelig kapital hvis vi vet nåverdi. Eksempel 4. Et beløp på 200 har øket med 25 prosent. Hva er opprinnelig beløp? Med hvor mange prosent må minkes for å komme tilbake til opprinnelig beløp. Vi har K 1 =200 og a=1.25 og 1.25K=200 hvorfra vi løser K=160. For å komme tilbake til K må vi minke med 40 hvilket er 20 prosent av 200. Oppgave 1. Kylling i Sverige koster 30 og i Norge 50. Hvor mange prosent dyrere er en kylling i Norge og hvor mange prosent billigere er en kylling en Sverige. Oppgave 2. En god mattelærer i Haparanda får i lønn og en i Finnmark Hvor mange prosent mer er lønn i Finnmark og hvor mange prosent mindre er lønn i Haparanda? Oppgave 3. En IKEA-arbeider får øket lønn fra til Hvor mange prosent øket lønn? Oppgave 4. Selger har betalt 100 for en vare han selger til deg for 150 hvor du må legge til 25 prosent moms på det pris selger selv får fra deg. Hvor mange prosent gevinst får selger? (Selger får et beløp mer enn 100 av deg, men du må betale mer dersom på dette beløp skal vi legge til 25 prosent moms) Et beløp kan selvfølgelig øke eller minke flere ganger. Da må vi hver gang multiplisere med en faktor. Eksempel 5: Hvis øker to ganger med 5 procent hvor mye blir det da? Første gang får vi nyt beløp til Andre gang må vi igjen multiplisere med 1.05 vi får = = = har økt med prosent. Eksempel 6. Hvis minker tre ganger med 5 prosent hvor mye blir det så? Vi må multiplisere 3 ganger med 0.95 og får = =

3 Eksempel 7: Hvis først øker med 5 prosent og så minker med 5 prosent hvor mye blir det? Vi multipliserer først med 1.05 og deretter med 0.95 og får =63840 Det blir j160 mindre og detter betyr 0.25 prosent mindre. Oppgave 5. Et beløp på 300 øker først 10 prosent og minker deretter med 10 prosent. Hvilket beløp har vi da? Hvilket beløp får vi hvis vi først minker med 10 prosent og deretter øker med samme prosent? Med hvor mange prosent har opprinneligt beløp øket eller minket? Samme spørsmål for et beløp på 500. Oppgave 6. Et beløp 200 øker to ganger med 10 prosent. Med hvor mange prosent har beløp økt? Samme spørsmål for et beløp på 400. Samme spørsmål hvis vi øker beløp tre ganger. Hvor mange ganger må vi øke for å minst fordobble beløpene? Vi har sett at når vi øker et beløp flere ganger kan vi bruke potenser for å regne ut nyt beløp. Vi er nå kanskje litt motiverte til å bruke potenser? Potenser Hvis man vil regne rente på rente fire ganger fås en produkt av typ a a a a K hvor a= 1 p (se tekst om renteregning). 100 For å skrive det enklere bruker man potense så at man får a 4 K Hvis renten har lagts på n ganger får man et produkt av n stykke a og man skriver a n K Som allmæn definisjon gis a n er et produkt hvor man har multiplisert n ganger tallet a med seg selv Hvis man først multiplisert a med seg selv m ganger og deretter multiplisert med a n ganger er det samme som om man multiplisert m+n ganger a med seg selv. (1) a m a n =a m n Eksempel a 2 a 3 = a a a a a =a a a a a=a 5 =a 2 3 3

4 Vi vet jo at hvis man øker et beløp med samme prosent først to ganger og deretter tre ganger er det jo detsamme som å øke fem ganger fra opprinnelig. Hvis m>n er a m a n kan da forkorte med n stykken a og får et brøk hvor man har man har a i teller m ganger og i nevner n ganger. Man (2) a m a n =am n Eksempel a 5 a a a a a a 2= =a a a=a 3 =a 5 2 a a Hvis vi først øker et beløp fem ganger med samme prosent og deretter er intressert i hva beløp var to ganger tidligere må vi først multiplisere fem ganger med samme faktor og for å komme tilbake dividerer vi to ganger med denne faktor. Det er samme som å finne beløp hvor vi øket tre ganger Hvis m=n fås m-n=0 og vensterled i (2) er 1. Vi definierer a 0 =1 (0) For økonomer er det ikke tvil om at hvis man øker et beløp null ganger så endres det ikke hvilket er samme som å multiplisere med 1. Eksempel. a 3 a 3=1=a0 Det forutsetter likevel at a ikke er null. For regel (2) å gjelde for m<n definierer vi (3) a n = 1 a n Hvis vi vet kapitalet Q etter renten lagts på n ganger fås opprinnelig kapital av a n Q Hvis a m opphøyes i n betyr det at vi tar a m n ganger seg selv hvilket er detsamme som om vi tok a mn ganger seg selv. Vi får (4) a m n =a mn 4

5 Eksempel a 3 2 = a a a a a a =a 6 =a 3 2 Hvis vi legger renten på tre ganger på ett år så har vi et beløp etter to år som er samme som når vi legger på renten seks ganger. Fordi den kommutative lov ( a b=b a ) sier at rekkefølge kan endres i et produkt betyr det at hvis vi multipliserer a b n ganger med seg selv er det detsamme som om vi multipliserer a n ganger med seg selv og deretter multipliserer med b n ganger. Vi får (5) a b n =a n b n Eksempel a b 3 = a b a b a b =a a a b b b=a 3 b 3 Liknende gjelder for brøk (6) a b m= am b m Vi bruker disse regler for å forenkle uttrykk med potenser Eksempel n = 1 2 n =1 n =1 dvs like potens av -1 er n 1 = 1 2n 1 = 1 dvs odde potens av -1 er -1. Eksempel = 1 2 = = 1 8 Brukt (3). Eksempel = = = = 8 Brukt (3) og (6). Eksempel 4. a 3 b 2 2 = a3 2 b 2 2 = a6 b 4 a 3 b 4 a 3 b 4 a 3 b = a6 b 4 4 a 3 b 4 =a6 3 b 4 4 =a 3 b 0 =a 3 Først har vi brukt (5) på a 3 b 2 2 deretter to ganger (4) på a 3 2, b 2 2 deretter (2) på 5

6 a 6 a 3, b4 b 4 og sist har vi brukt (0) på b 0 Eksempel 5. a2 b 3 3 a 2 = a2 3 b 3 3 a 2 = a6 b 9 a 2 = a6 a 2 b 9 = a4 b 9 Brukt (6) deretter (4) og sist (1). Oppgave 1. Forenkle a) x 4 2 b) 2 a 3 5 c) n 5 n 2 d) n 5 n 2 e) n k n 2 f) n k n 2 g) n 2 k Oppgave 2. Forenkle a) a a 2 3 b) x 4 x 2 c) a 2 10 a 15 d) y 3 4 y 4 Oppgave 3. Forenkle e) m 3 m 5 3 f) x7 x 2 5 a) 10a 3 3 b) 6c 3 2 c) 3x 2x 3 d) a² b 2 ab 2 3 e) yz 2 2yz 3 0.5z Oppgave 4. Forenkle a) 2ab 2 4ab 3 b) 81b 6 c 3 3b 2 c 4 c) 9 a 2 c 3 3 3a³ c 2 3 d) 24x 4 y 3 2xy 3 e) 2 a 2 c 5 2 4a 2 c 2 3 f) x 2 3 y 2 2 x 3 y 3 3 Oppgave 5. Beregne 6

7 a) b) c) Oppgave 6. Hvilke er større a) eller 15 9 b) 5 20 eller Oppgave 7. Forenkle c) Oppgave 8. a) a 5 c 4 b 2 c 5 b) c 5 4 a a 2 d) 3b 2 5b 3 a 2n 1 a 3n 1 e) 18 u 2 v 3 w 8 v 2 s 6 v 4 w 5 4 s 2 f) x u y y u 2 x b 3 x b 5x 2 b x 3 b 2x 1 Sett inn a=-1, b=2 og c=-3 og regn ut y 2 x 3 1 ab 3 c b c 3 a 4 b 3 8ac 3 Ved renteregning har vi sett at vi trenger til å regne med uttrykk med parenteser. Dette er også aktuell ved beregning av kostnader og inntekt. Før vi begynner med parentesregning og algebra er det kanskje godt å gjenta litt fra aritmetikk og rekkefølge på beregninger. Rekkefølgen av operasjoner. Der er konvensjon å først regne ut parenteser før man gjør andre operasjoner. Men det er også konvensjon å beregne multiplikation og divisjon før man gjør addisjon eller subtraksjon. Ikke for å plage studenter. For å ikke skrive onødig mange parenteser og gjøre formler vansklige. a b c betyr egentlig a b c som jo er forskjellig fra a b c a b c betyr egentlig a b c som jo er forskjellig fra a b c som også betyr a b c 7

8 Det er forskjell mellom og I det første tar man først 3 gang 6 og deretter adderer til 8 og får 26. I det andre beregner man først 8+3=11 og tar deretter gang 6 og får 66. Du kan tenke deg at hvis du først skal betale en fast konstnad 8 kroner og deretter for 6 kroner får hver vare skal du først betale 8 kroner og deretter legge til 18. Du ønsker jo ikke å betale 66 kroner? I brøk må vi først beregne faktorene i tellene og nevnene. Vi se på 8 3 Vi beregner først teller til 11, deretter nevner till 11 og får Vi beregner som om det var 6 5 Man kan på denne måte kun forkorte hele faktorer og hele parenteser ikke deler. Hvis du skal betale x kroner for en vare og du har faste kostnader k og ønsker å kjøpe 200 varer skal du betale k+200x hvilket ikke er (k+200)x Generelt regner man først potenser deretter multiplikasjon og divisjon og sist addisjon og subtraksjon. Eksempel. -5-(-1)(-2) = -5-2= =40 36= =5 3 3 =5 9= = = 15 18= = = = 6 60 = 1 10 Oppgave 1. Beregne og skriv ut alle trinn a) b) c) d) e) f)

9 Parentesregning Man kan bruke funksjonsuttrykk for å beskrive kostnader for produksjon. F eks kan produksjonskostnader gis av uttrykk K x =100 2x 0.01x x 3 hvor x er produksjonsmengde (x kan f eks måles i flere tusen enheter slik at x=1 betyr en stor mengde). Vi kan da beregne kostnad for produksjonsmengde 10 ved å sette in x=10. K 100 = som er lik =121.2 Oppgave 1. Beregne kostnad for produksjonsmengde 50 og 100 hvis kostnad er gitt av funksjon oven. Hvis vi har to kostnader må de adderes for å beregne totalkostnader. Eksempel 1. Hvis den ene kostnad er som oven og den andre er gitt ved 50 3x x x 3 kan vi beregne total kostnadene gjennom å addere hvor da ledd av samme type adderes. 50 3x x x x 0.01 x x 3 =150 5x x x 3 Oppgave 2. Beregn totale kostnader hvis delekostnadene er x x2 300 x og x x2 200 x Vi kan også beregne kostnader for flere varer og får da flere variabler, f eks x og y. Eksempel 2. Hvis vi adderer kostnadene x 4y 0.01x xy y y y 2 x og x 3y 0.005x xy x 2 y y 2 x får vi x 7y 0.015x xy y y xy x 2 y 9

10 Oppgave 3. Addere kostnadene 100 3x 2y 0.001x xy x 3 og 200 5x y 0.001x xy x 2 y Vi trenger kanskje litt øvelse på å addere uttrykk? Oppgave 4. Forenkle a) 3a 2 2a a 2 3a b) 6c 2 2cd 10c 2 18cd c) 14mn 15m 15mn 14m Vi kan også være intresserte i forskjell mellom kostnader. Vi må da endre tegn på alle leddene hvis vi har minus foran parentes. Eksempel x x x x 0.01 x x 3 blir 50 3x 0.005x x x 0.01x x 3 = 50 x x x 3 Eksempel 4. Forskjell mellom kostnadene i oppgave 3 beregnes 100 3x 2y 0.001x xy x x y x xy x 2 y Vi trekker sammen til 100 2x y xy x x 2 y Oppgave 5. Beregne uttrykk for forskjell i kostnader i oppgave 2. Oppgave 5A. Inntekt for bedrift A er 100x x2 x2 og for bedrift B er inntekt 50x 2 3 Beregn forskjell i inntekt for bedrift A og B. Oppgave 5B. Inntekt for bedrift A er 150x x2 x2 og for bedrift B er inntekt 50x 4 3 Beregn forskjell i inntekt for bedrift A og B. Oppgave 5C. Profitt for bedrift A er 100x x 2 og for bedrift B er profitt 87x x 2 Beregn forskjell i profitt for bedrift A og B. 10

11 Vi trenger kanskje litt mer øvelse. Oppgave 6. Forenkle a) 10a 2b 5c 5a 20b c b) 16m 11n 7mn 6mn 10n 16m c) c 2 3cd d 2 4cd 5d 2 6c 2 Oppgave 7. Hvor skal vi legge parentes for å få a) x 2 3x 1 x 2 3x 1=2 b) x 2 3x 1 x 2 3x 1= 2 c) x 2 3x 1 x 2 3x 1=0 Vi ønsker nå repetere hvordan man multipliserer et algebraiskt uttrykk med en faktor. Man må da multiplisere alle leddene med samme faktor for å få bort parentes. Vi husker da også at minus ganger minus blir pluss. Eksempel. 3x 2x 3 5 =3x 2x 3 3x 5=6x 4 15x Eksempel. 5a 2 3a 3 a 4 = 5a 2 3a 3 5a 2 a 5a 2 4= 15a 5 5a 3 20a 2 Vi kan bruke denne teknikk for å beregne inntekt. Eksempel. Prisen for en vare er avhengig av produksjonmengde og er gitt ved 200 x 0.01x 2 ved produksjon av mindre enn 100 enheter. (Hvorfor?) Da er inntekt gitt ved x 200 x 0.01x 2 =200x x x 3 Hvis kostnadene er x 0.01x x 3 kan profitt beregnes som forskjell 100x x x 3 Oppgave 8. Hva er inntekt hvis prisen er gitt ved x x 2 og hva er profitt hvis kostnad er gitt ved x 0.02x 2 Oppgave 9. En bedrift produserer to varer, produksjonsmengdene måles i x (vare A) og y (vare B). Prisen for vare A er x-0.001y og for vare B x-0.02y. Beregne inntekt. Beregne profitt hvis kostnadene er x 0.01x 2 og y 0.01y 2 Vi trenger kanskje litt mer algebraisk øvelse? Oppgave 10. Skriv uten parenteser a) 5 a 2 2ab b 2 b) 2b 2 b ab 4a 2 c) 3c 3 4d 3cd c 2 d) 4st 2 3s 2 t s 2t 1 11

12 Oppgave 11. Forenkle a) a a b b a b b) n 2 n 2 n n 2 1 c) 2m 3 m 5m 2 3m 1 m 5m 2 5m 5m 2 m Vi må klare av å multiplisere to parenteser også Vi kan da dele opp den første parentes i deler og får a b c d =a c d b c d =ac ad bc bd Eksempel. x y x y =xx x y yx y y =x 2 xy xy y 2 = x 2 y 2 x y x y =x x y y x y = xx xy yx yy= x 2 2xy y 2 x y x y =x x y y x y =xx x y y x y y = x 2 2xy y 2 Oppgave 12. Skriv uten parentes 2m 1 2m 5 y 4 3y 4 m 2 3n m 2 n 3y 2v 3y 2v 3y 2v y 1 y 2 2y 1 2t v s t 2v s Ved renteregning kan vi regne ut formler. Eksempel. Hvis et beløp K øker med p prosent og deretter minker med p prosent får vi formel K p p =K p 2 =K p 2 Dette betyr at beløp minker med 0.01p 2 prosent Oppgave 13. Et beløp K øker to ganger med p prosent. Med hvor mange prosent har beløp økt? Oppgave 14. Et beløp K øker først med 2p prosent og deretter minker med p prosent. Hvilken forendring er skjedd i prosent? Vi kan nå litt gjenta hvordan man regner med parenteser: For å forenkle algebraiske uttrykk kan brukes a b=b a a b=b a a =a a b = ab a b =ab 12

13 a b c =a b a c De to første kalles kommutative lover og gir mulighet til å endre på rekkefølge i uttrykk. Den siste kalles distributive lov. Kombineres disse kan man vise a b c d =ac ad bc bd Disse lover kan brukes for å forenkle uttrykk: Eksempel 1. Vi beregner Først grupperes uttrykken innenfor parentesene og vi får Deretter beregnes parentesene, hvilket gir =2 2 = 4 Eksempel 2. Sett inn x=2 og y=-1 i y+2x-(x-y) og regn ut. Vi forenkler først. y 2x x y = y 2x x y = y 2x x y=2x x y y= x 2y Vi setter inn og får 2+2(-1)=2-2=0 Eksempel 3. Sett inn x=-2, y=-3 i -(xy+y) og regn ut. Vi får xy y = xy y= = 6 3= 3 Eksempel 4. Sett inn x=-2, y=-3, z= -4 i xyz xy 2 z og regn ut. Vi får xyz xy 2 z = xyz xy 2 z= hvilket blir = =24 72=96 Eksempel 5. Forenkle 2xy 2 x xy 3 xy x 13

14 Vi får 2xy 2x 2 xy 3 xy x =2xy 2x 2xy 3xy 3x=7xy 5x Eksempel 6. Sett inn x=-2 og y=-3 i x y x 2y 3x y x y Vi forenkler først x y x 2y 3x y x y = xx yx x 2y y 2y 3xx yx 3xy yy hvilket gir x 2 xy 2xy 2y 2 3x 2 xy 3xy y 2 =x 2 xy 2y 2 3x 2 xy 3xy y 2 = 2x 2 xy y 2 Vi setter inn og får = = 23 Eksempel 7. 2x y 3x 2y 6x 2 3xy 2y 2 =2x 3x 2x 2y y 3x y 2y 6x 2 3xy 2y 2 hvilket gir 6x 2 4xy 3xy 2y 2 6x 2 3xy 2y 2 =2xy Eksempel 8. Forenkle x y 2 2 x y z x y x y 2 x 2 Vi regner ut parentesene og får xy 2x 2x 2y 2z x 2 xy 2x yx y 2 2y x 2 Gruppering gir 2x 2x 2x 2y 2y 2z x 2 x 2 xy xy yx y 2 =2x 2z xy y 2 Oppgave 15. Skriv uten parenteser n 1 n 2 n 3 n 4 y 1 y 4 y 3 y 2 y 1 n 1 n 4 n 3 n 2 n 1 14

15 Oppgave 16. Forenkle x x 1 x 2 x x 3 x 4 x 2 3x 1 x 2 3x 5 x 2 3x 2 x 2 3x 3 n 1 n 6 n 2 7n 3 n 3 n 4 n 2 7n 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 x 1 x 3 15

Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter.

Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter. Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter. Dersom man ofte ikke er intressert i å finne eksakte løsninger kun sikkre interval, er ulikheter

Detaljer

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

Rasjonale potenser. For å finne side av kvadrat med gitt areal A løser vi likning x 2 = A.

Rasjonale potenser. For å finne side av kvadrat med gitt areal A løser vi likning x 2 = A. Rasjonale potenser Vi har tidligere sett hvordan man definierer potenser med heltall. Vi skal nå se hvordan man naturlig definierer potenser også for rasjonale tall, dvs brøk hvor teller og nevner er heltall.

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Tillegg til kapittel 2 Grunntall 9

Tillegg til kapittel 2 Grunntall 9 18.09.2013 Kvadratsetningene Tillegg til kapittel 2 Grunntall 9 Nytt læringsmål i revidert læreplan 2013 Mål for det du skal lære: kunne bruke kvadratsetningene til å multiplisere to parentesuttrykk Bjørn

Detaljer

En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter.

En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter. Algebra Variabel Konstant trekke sammen Algebra er bokstavregning. Det er et verktöy som forenkler regneoperasjonene i forskjellige omrôder av matematikken. Bokstavene er symboler for tall og skal behandles

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 5. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

NAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18

NAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18 NAVN: INNHOLD FORORD... 2 LÆREPLAN... 3 ALGEBRA.... 3 REGNING MED VARIABLER... 3 MONOM... 3 POLYNOM... 3 TREKKE SAMMEN UTTRYKK (addisjon/subtraksjon)... 4 MULTIPLIKASJON... 4 DIVISJON... 4 ADDISJON AV

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Regning med tall og bokstaver

Regning med tall og bokstaver Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger

Detaljer

Sinus 1T > Tallregning og algebra

Sinus 1T > Tallregning og algebra 8 Sinus T book.indb 8 Sinus T > Tallregning og algebra 04-0- 6:7:0 Tallregning og algebra MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne regne med rotuttrykk, potenser med rasjonal eksponent og tall på standardform,

Detaljer

Matematikkkurs M0 Oppgaver

Matematikkkurs M0 Oppgaver Matematikkkurs M0 Oppgaver Avdeling for Lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold. oktober 007 Brøk, desimaltall og prosent. Illustrer disse addisjonenen og subtraksjonene med papirark og bretting av rektangel

Detaljer

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...

Detaljer

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011. 1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 6. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

E.1: Lage et uttrykk som viser sammenhengen mellom to variabler hvor nødvendige opplysninger gis eksplisitt E.2: Faktorisere flerleddet

E.1: Lage et uttrykk som viser sammenhengen mellom to variabler hvor nødvendige opplysninger gis eksplisitt E.2: Faktorisere flerleddet 1. november 2013 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 NIVÅ A: POSITIVE UTTRYKK MED SAMME VARIABEL... 5 NIVÅ B: TREKKE SAMMEN POSITIVE OG NEGATIVE UTTRYKK, INNSETTING AV POSITIVE VERDIER...

Detaljer

Kapittel 1. Tallregning

Kapittel 1. Tallregning Kapittel 1. Tallregning Mål for Kapittel 1, Tallregning. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Årsplan i matematikk Trinn 9 Skoleåret Haumyrheia skole

Årsplan i matematikk Trinn 9 Skoleåret Haumyrheia skole Årsplan i matematikk Trinn 9 Skoleåret 2016-2017 Tids rom 3 Kompetansemål Hva skal vi lære? (Læringsmål) Hvordan jobber vi? (Metoder) sammenligne og regne tall på standardform og uttrykke slike tall på

Detaljer

3 52 Sinus 1P Y > Algebra Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 52 2014-10-14 15:08:14

3 52 Sinus 1P Y > Algebra Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 52 2014-10-14 15:08:14 5 Sinus 1P Y > Algebra Book Sinus 1P-Y-nyn.indb 5 014-10-14 15:08:14 Algebra MÅL for opplæringa er at eleven skal kunne forenkle fleirledda uttrykk og løyse likningar av første grad og enkle potenslikningar

Detaljer

Husk at minustegn foran et tall eller en variabel er å tenke på som tallet multiplisert med det som kommer etter:

Husk at minustegn foran et tall eller en variabel er å tenke på som tallet multiplisert med det som kommer etter: Økonomisk Institutt, november 2006 Robert G. Hansen, rom 1207 ECON 1210: Noen regneregler og løsningsprosedyrer som brukes i kurset (A) Faktorisering og brøkregning (1) Vi kan sette en felles faktor utenfor

Detaljer

Litt enkel matematikk for SOS3003

Litt enkel matematikk for SOS3003 Litt enkel matematikk for SOS3003 Erling Berge Fall 2009 Erling Berge 1 Om matematikk Matematikk er ikkje vanskeleg Det er eit språk for logikken. Det er lett å lære og å lese Det kan vere litt vanskelegare

Detaljer

Språk og skrift som er brukt i SOS3003

Språk og skrift som er brukt i SOS3003 Språk og skrift som er brukt i SOS3003 Erling Berge Erling Berge 2010 1 Ei typisk setning i regresjonsspråket: Y i = β 0 + β 1 x 1i + ε i, i=1,...,n Det vi må lære først er rett å slett å lese ei setning

Detaljer

Dette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10.

Dette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10. SAMMENDRAG Dette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10. Hvis du trenger mer trening utover oppgavene i Nummer 10, finner du ekstra oppgaver

Detaljer

Litt enkel matematikk for SOS3003

Litt enkel matematikk for SOS3003 Litt enkel matematikk for SOS3003 Erling Berge 24 Aug 2004 Erling Berge 1 Om matematikk Matematikk er ikkje vanskeleg Det er eit språk for logikken. Det er lett å lære å lese Litt vanskelegare å forstå

Detaljer

Matematikk for økonomer Del 2

Matematikk for økonomer Del 2 Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at

Detaljer

1Tall og algebra. Mål K 1. Ingressen

1Tall og algebra. Mål K 1. Ingressen Tetra 9. Innled. + ap. -6 6.0.06 5:00 Side 9 Tall og algebra Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne multiplisere og dividere med positive tall mindre enn addere og subtrahere negative tall

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger

Detaljer

Kapittel 1. Tallregning

Kapittel 1. Tallregning Kapittel 1. Tallregning Regning med tall er grunnlaget for mer avansert matematikk. I dette kapitlet repeteres følgende fra grunnskolen: Brøkregning Desimaltall Regning med positive og negative tall Potenser

Detaljer

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Tall og algebra i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Tall og algebra i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Tall og algera Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Tall og algera i Sirkel oppgaveok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a En pakke skinke holder til åtte horn. Sju pakker holder til 56 horn, og åtte pakker

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Sinus 1P > Tallregning og algebra

Sinus 1P > Tallregning og algebra 1 Book Sinus 1P.indb Sinus 1P > Tallregning og algebra 01-0- 1:: Tallregning og algebra MÅL for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten

Detaljer

Algebra II. -Utgave B- (ToPLUSS for matematikkundervisningen) Eksempelsider! F. Rothe. 2006 by Frank Rothe, Salzburg, www.calculemus.

Algebra II. -Utgave B- (ToPLUSS for matematikkundervisningen) Eksempelsider! F. Rothe. 2006 by Frank Rothe, Salzburg, www.calculemus. 006 by Frank Rothe, Salzburg, www.calculemus.at Algebra II -Utgave B- (ToPLUSS for matematikkundervisningen) F. Rothe 006 by Frank Rothe, Salzburg, www.calculemus.at 3 Innholdsfortegnelse Forord...4 Oppgaver...5

Detaljer

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og enheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene 1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen

Detaljer

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup Brukerveiledning for webapplikasjonen Mathemateria 01.02.2015 Terje Kolderup Innhold Brukerveiledning for webapplikasjonen...1 Mathemateria...1 Introduksjon...3 Typisk eksempel og bryterstyring...3 Innlogging...4

Detaljer

Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra

Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.

Detaljer

Oppgavesett med fasit

Oppgavesett med fasit TIL ENT3R ELEVENE Oppgavesett med fasit Tommy Odland Sist oppdatert: 1. november 2013 http://is.gd/ent3rknarvik http://tommyodland.com/ent3r 1 INNHOLD 1 Om dette dokumentet 3 1.1 Formål og oppbygging..................................

Detaljer

Vi bruker desimaltall for Ô oppgi verdiene mellom de hele tallene. Tall med komma kaller vi desimaltall, og sifrene bak komma kaller vi desimaler.

Vi bruker desimaltall for Ô oppgi verdiene mellom de hele tallene. Tall med komma kaller vi desimaltall, og sifrene bak komma kaller vi desimaler. 196 FAKTA De naturlige tallene bestôr av ett eller ere sifre: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...Alle de hele positive tallene kaller vi naturlige tall, og tallmengden kaller vi N. NÔr vi tar med 0 og

Detaljer

Oppfriskningskurs dag 1

Oppfriskningskurs dag 1 Oppfriskningskurs dag 1 og ligninger Steffen Junge Oppfriskningskurs i matematikk 3.-8. august 2009 Outline 1 Outline 1 Typiske problem Ranger følgende brøker etter størrelse: 1 2, 7 12, 2 3, 5 8, 17 24

Detaljer

ÅRSPLAN MATEMATIKK 7. TRINN 2016/17

ÅRSPLAN MATEMATIKK 7. TRINN 2016/17 ÅRSPLAN MATEMATIKK 7. TRINN 2016/17 Uke Tema Læringsmål Lærestoff Metoder 34 36 God start Kunne avgjøre hvilken nevner brøken har ut fra oppdeling av helheten Kunne avgjøre hvilken brøk som er størst ut

Detaljer

INF1400 Kap 02 Boolsk Algebra og Logiske Porter

INF1400 Kap 02 Boolsk Algebra og Logiske Porter INF4 Kap 2 Boolsk Algebra og Logiske Porter Hovedpunkter Toverdi Boolsk algebra Huntington s postulater Diverse teorem Boolske funksjoner med sannhetstabell Forenkling av uttrykk (port implementasjon)

Detaljer

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no Nummer 8-10 H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no Hvorfor styrker man algebra i skolen? Det klages over at begynnerstudenter ved ulike høgskoler/universiteter har

Detaljer

TALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b.

TALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b. TALLÆRE UKE 34. Faktor. Hva er en faktor i et heltall? Vi fant ut at hvis et heltall b er med i et regnestykke med kun multiplikasjon som gir heltallet a som svar da er b faktor i a. Eksempel: 3 8=24 og

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator

Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator Enkel kalkulator... 3 Regneuttrykk uten parenteser... 3 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 3 Negative tall... 4 Regneuttrykk med parenteser... 5 Brøk... 5 Blandet

Detaljer

Lag det tallet. Mål. Gjennomføring. Utstyr: Kortstokk. Organisering: 3-4 elever spiller sammen. Spillets gang:

Lag det tallet. Mål. Gjennomføring. Utstyr: Kortstokk. Organisering: 3-4 elever spiller sammen. Spillets gang: Lag det tallet Mål Generelt: Vurdere tallstørrelser og forståelse for hva de ulike regneoperasjonene gjør med tallene. Eksperimentering med tall og øvelse i hoderegning. Spesielt: Prioritering av regnearter.

Detaljer

Sensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013

Sensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013 Sensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013 Oppgave 1 a) =2 = 5 2 =5 2 = = 25 4 = 25 8 Full uttelling gis for arealet uttrykt over. Avrundinger gis noe uttelling. b) DC blir 5 cm og bruk av

Detaljer

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag.

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon per. juni 004 Matematikk 0 - Matematikk for data- og grafiske fag. y x Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Forord Dette kompendiet er skrevet for faget

Detaljer

Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller

Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller Forelesningsnotat nr 5, august 2009, Steinar Holden Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller Først litt repetisjon ) Vi kan sette en felles faktor utenfor en parentes: Y ty = Y(-t) der det siste uttrykket

Detaljer

Dette er en FORELØBIG versjon fra 13. juni 2001, for korrektur og kommentarer!

Dette er en FORELØBIG versjon fra 13. juni 2001, for korrektur og kommentarer! MATEMATIKK Dette er en FORELØBIG versjon fra 3. juni 00, for korrektur og kommentarer! Det har tatt adskillig mer tid å skrive dette enn antatt. Noen konsekvenser av dette: Kapittel 8, lineær algebra,

Detaljer

Innledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Innledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Innledning Mål for opplæringen er at eleven skal kunne løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner, både ved regning

Detaljer

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6 Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene

Detaljer

Tema. Beskrivelse. Husk!

Tema. Beskrivelse. Husk! Dette er ment som en hjelpeoversikt når du bruker boka til å repetisjon. Bruk Sammendrag etter hvert kapittel som hjelp. Verktøykassen fra side 272 i boka er og til stor hjelp for repetisjon til terminprøve.

Detaljer

Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen

Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen De følgende oppgavene er øvinger i faktorisering og multiplisering ved hjelp av konjugatsetningen /3. kvadratsetning. Gjennom oppgavene gir vi elevene

Detaljer

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og formler MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene tolke, bearbeide, vurdere

Detaljer

Kvikkbilde 8 6. Mål. Gjennomføring. Planleggingsdokument Kvikkbilde 8 6

Kvikkbilde 8 6. Mål. Gjennomføring. Planleggingsdokument Kvikkbilde 8 6 Kvikkbilde 8 6 Mål Generelt: Sammenligne og diskutere ulike måter å se et antall på. Utfordre elevene på å resonnere omkring tallenes struktur og egenskaper, samt egenskaper ved regneoperasjoner. Spesielt:

Detaljer

Vet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til?

Vet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til? Vet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til? 14 Vi starter med blanke regneark! Regneark MÅL I dette kapitlet skal du lære om hva et regneark er budsjett og regnskap hvordan du kan gjøre enkle utregninger

Detaljer

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Sensurveiledning Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Figuren viser hvordan en nettside forklarer en metode for addisjon og

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator

Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator... 1 Enkel kalkulator... 2 Regneuttrykk uten parenteser... 2 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 2 Negative tall... 3 Regneuttrykk

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Øving 2 Matrisealgebra

Øving 2 Matrisealgebra Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=

Detaljer

Ønsker å få til: -Elevmedvirkning for å lykkes med egenvurdering differensiering, mestring og progresjon -Utvikle vurdering for læring

Ønsker å få til: -Elevmedvirkning for å lykkes med egenvurdering differensiering, mestring og progresjon -Utvikle vurdering for læring Overordnet plan for fagene. Fag: MATEMATIKK Trinn: 9 KLASSE Skole: LINDESNES UNGDOMSSKOLE År: 2015-2016 Lærestoff: MEGA 9A OG 9B Vurdering. Prinsipper i vurdering. 1. Elevene forstår hva de skal lære og

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved

Detaljer

Kapittel 1. Potensregning

Kapittel 1. Potensregning Kapittel. Potensregning I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kapitlet handler blant annet om: Betydningen av potenser som har negativ eksponent

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

Ronny Kjelsberg. Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk

Ronny Kjelsberg. Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk Ronny Kjelsberg Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk Contents Hvordan bli en BRØKREGNER på en, to, tre:. EN: Basics................................ Hva er

Detaljer

Matematikk med familien. Lofsrud skole 20.01.2016

Matematikk med familien. Lofsrud skole 20.01.2016 Matematikk med familien Lofsrud skole 20.01.2016 Siv.ing. Magnus Jakobsen Lektor med opprykk, F21 www.lektorjakobsen.no Hanan Abdelrahman Lektor med opprykk, Lofsrud skole www.fb.com/matematikkhjelperen

Detaljer

ÅRSPLAN. Grunnleggende ferdigheter

ÅRSPLAN. Grunnleggende ferdigheter ÅRSPLAN Skoleåret: 2015/16 Trinn: 5 Fag: Matematikk Utarbeidet av: Trine og Ulf Mnd. Kompetansemål Læringsmål (delmål) kriterier for måloppnåelse Aug Sep Okt Nov Beskrive og bruke plassverdisystemet for

Detaljer

Kapittel 2. Algebra. Kapittel 2. Algebra Side 29

Kapittel 2. Algebra. Kapittel 2. Algebra Side 29 Kapittel. Algebra Algebra kalles populært for bokstavregning. Det er ikke mye algebra i Matematikk P-Y. Det viktigste er å kunne løse enkle likninger og regne med formler. Kapittel. Algebra Side 9 1. Forenkling

Detaljer

FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn

FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Vurderingskriterier vedleggsnummer Samanlikne

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET Side 1 av 8

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET Side 1 av 8 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET 2016-2017 Side 1 av 8 Periode 1: UKE 33 - UKE 39 Sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker,

Detaljer

1P Tall og algebra. Tall og algebra Vg1P (utdrag)

1P Tall og algebra. Tall og algebra Vg1P (utdrag) 1P Tall og algebra Modul 1: Regnerekkefølgen... 2 Modul 3: Brøkregning... 4 Modul 10: Prosentregning... 9 Bildeliste... 28 1 Modul 1: Regnerekkefølgen Du går i butikken og handler ett brød og to liter

Detaljer

Tallregning Vi på vindusrekka

Tallregning Vi på vindusrekka Tallregning Vi på vindusrekka Addisjon... 2 Addisjon: Oppstilling... 3 Addisjon med minnetall... 4 Addisjon med desimaltall... 5 Subtraksjon... 6 Subtraksjon uten låning... 7 Subtraksjon med låning...

Detaljer

Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter

Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter Magisk Matematikk er et skoleprogram som tar utgangspunkt i «magiske» talltriks i plenum som dere kan jobbe videre

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Lokal læreplan i Matematikk Trinn 9

Lokal læreplan i Matematikk Trinn 9 Lokal læreplan i Matematikk Trinn 9 1 9. trinn Hovedtema 1 Tall og algebra Kompetansemål Mål for opplæringa er at eleven skal kunne: samanlikne og rekne om heile tal, desimaltal, brøkar, prosent, promille

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator for elever

Verktøyopplæring i kalkulator for elever Verktøyopplæring i kalkulator for elever Innholdsfortegnelse Enkel kalkulator... 2 Kalkulator med brøk og parenteser... 7 GeoGebra som kalkulator... 11 H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 1 Enkel kalkulator

Detaljer

MA 1410: Analyse (4 vekttall)

MA 1410: Analyse (4 vekttall) MA 110: Analyse ( vekttall) PC-øvelser uke 7, 10. - 1. september 001. Hva skal gjøres denne uken (se detaljer nedenfor): - Bli kjent med innlogging og utlogging. - Oppstart, bli kjent med og avslutning

Detaljer

Algebra for alle. Gunnar Nordberg

Algebra for alle. Gunnar Nordberg Algebra for alle Gunnar Nordberg 1 Om dette verkstedet Fra konkreter til tall Fra tall til variabler(bokstaver) Kan algebraen bli meningsfull Å undervise i algebraisk forståelse Ideer til gode oppgaver

Detaljer

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være:

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være: Likninger og algebra Det er større sprang fra å regne med tall til å regne med bokstaver enn det vi skulle tro. Vi tror at både likninger og bokstavregning (som er den algebraen elevene møter i grunnskolen)

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1P Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1P Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1P Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, så regner symbolsk. Det vil si at

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2P er gratis, og

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

Kjennetegn på måloppnåelse TALL OG ALGEBRA. Kunne plassverdisystemet for hele- og desimaltall

Kjennetegn på måloppnåelse TALL OG ALGEBRA. Kunne plassverdisystemet for hele- og desimaltall MATEMATIKK 6.trinn KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne: VURDERINGSKRITERIER Kjennetegn på måloppnåelse TALL OG ALGEBRA Elevene skal: Beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltall.

Detaljer

Unge Abel NMCC. Prosesslogg. Nord-Trøndelag, Norge 27.03.2015

Unge Abel NMCC. Prosesslogg. Nord-Trøndelag, Norge 27.03.2015 2015 Unge Abel NMCC Prosesslogg Nord-Trøndelag, Norge 27.03.2015 Innhold UngeAbel logg... 2 Faglig rapport... 5 Innledning:... 5 UngeAbel oppgave Aa... 6 GeoGebra... 8 Excel... 9 Konklusjon... 10 UngeAbel

Detaljer

ÅRSPLAN FOR 9. TRINN 2015-2016

ÅRSPLAN FOR 9. TRINN 2015-2016 ÅRSPLAN FOR 9. TRINN 2015-2016 Lindås ungdomsskule 5955 LINDÅS Tlf. 56375054 Klasse: 9.trinn Fag: Matematikk Faglærar: Turid Åsebø Angelskår, Hanne Vatshelle og Anne Britt Svendsen Hovudkjelder: Nye Mega

Detaljer

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Regning med positive og negative tall 2 Regnerekkefølge og parenteser 3 Potenser 4 Algebra 5 Brøkregning 6 Ligninger 7 Ulikheter

Detaljer

b) Lag to likninger med ulik vanskegrad (en ganske lett og en vanskelig), der svaret i begge skal bli x = -3. Løs også likningene.

b) Lag to likninger med ulik vanskegrad (en ganske lett og en vanskelig), der svaret i begge skal bli x = -3. Løs også likningene. Oppgave I Likninger og ulikheter a) Løs likningen: x + 2 a. + (3x + 4) 3 6 2 ( x + 2)6 6 6 + (3x + 4) 3 6 2 2x + 4 + 9x + 2 2x 9x 2 5 x b) Lag to likninger med ulik vanskegrad (en ganske lett og en vanskelig),

Detaljer

Løsningsforslag for 2P våren 2015

Løsningsforslag for 2P våren 2015 Del 1 Oppgave 1 Sortert i stigende rekkefølge blir det: 4 5 6? 10 12 Medianen, som er 7, skal ligge midt mellom de to midterste tallene 6 og det ukjente tallet, som derfor må være 8. Oppgave 2 Opprinnelig

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen

Detaljer

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner. Faktor. Grunnbok. Bokmål

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner. Faktor. Grunnbok. Bokmål Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner Faktor 9 Grunnbok Bokmål Hei til deg som skal bruke Faktor! Dette er Faktor 9 Grunnbok. Til grunnboka hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene

Detaljer