Prosent- og renteregning

Transkript

1 FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av blir =5 640= p Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra = Vi får p 640=9600 og p= = = =15 prosent Vi ser også lett at 9600 er 3 ganger 3200 fra tidligere eksempel (15 prosent er jo tre ganger mer enn 5 prosent. Eksempel 3: Hvis øker med 5 prosent fås =67200 Hvis vi skriver beregningene i Eksempel 3 på en annen måte får vi = = =67200 Når vi øker et beløp med gitt prosent kan vi på denne måte multiplisere med et tall. Hvis vi øker med 5 prosent multipliserer vi med 1.05, hvis vi øker med 8 prosent multipliserer vi med 1.08 og hvis vi øker med 10 prosent multipliserer vi med 1.1 og for andre kan vi fortsette på denne måte. Vi ønsker kanskje en enkel formel vi kan bruke hurtigt på mange ulike fall. Hvis vi regner får vi generelt hvis vi øker beløp K med p prosent: K pk p p =K 1 =Ka hvor a= Da har vi en formel vi kan bruke får å øke K med p prosent: Nyt beløp er K 1 =Ka hvor a=1 p 100 =1 0.01p Vi kan bruke samme formel for å minke med gitt prosent hvis vi lar p være negativ. F eks, hvis vi minker med 2 prosent multipliserer vi med =0.98 1

2 Vi kan også bruke formel for å finne opprinnelig kapital hvis vi vet nåverdi. Eksempel 4. Et beløp på 200 har øket med 25 prosent. Hva er opprinnelig beløp? Med hvor mange prosent må minkes for å komme tilbake til opprinnelig beløp. Vi har K 1 =200 og a=1.25 og 1.25K=200 hvorfra vi løser K=160. For å komme tilbake til K må vi minke med 40 hvilket er 20 prosent av 200. Oppgave 1. Kylling i Sverige koster 30 og i Norge 50. Hvor mange prosent dyrere er en kylling i Norge og hvor mange prosent billigere er en kylling en Sverige. Oppgave 2. En god mattelærer i Haparanda får i lønn og en i Finnmark Hvor mange prosent mer er lønn i Finnmark og hvor mange prosent mindre er lønn i Haparanda? Oppgave 3. En IKEA-arbeider får øket lønn fra til Hvor mange prosent øket lønn? Oppgave 4. Selger har betalt 100 for en vare han selger til deg for 150 hvor du må legge til 25 prosent moms på det pris selger selv får fra deg. Hvor mange prosent gevinst får selger? (Selger får et beløp mer enn 100 av deg, men du må betale mer dersom på dette beløp skal vi legge til 25 prosent moms) Et beløp kan selvfølgelig øke eller minke flere ganger. Da må vi hver gang multiplisere med en faktor. Eksempel 5: Hvis øker to ganger med 5 procent hvor mye blir det da? Første gang får vi nyt beløp til Andre gang må vi igjen multiplisere med 1.05 vi får = = = har økt med prosent. Eksempel 6. Hvis minker tre ganger med 5 prosent hvor mye blir det så? Vi må multiplisere 3 ganger med 0.95 og får = =

3 Eksempel 7: Hvis først øker med 5 prosent og så minker med 5 prosent hvor mye blir det? Vi multipliserer først med 1.05 og deretter med 0.95 og får =63840 Det blir j160 mindre og detter betyr 0.25 prosent mindre. Oppgave 5. Et beløp på 300 øker først 10 prosent og minker deretter med 10 prosent. Hvilket beløp har vi da? Hvilket beløp får vi hvis vi først minker med 10 prosent og deretter øker med samme prosent? Med hvor mange prosent har opprinneligt beløp øket eller minket? Samme spørsmål for et beløp på 500. Oppgave 6. Et beløp 200 øker to ganger med 10 prosent. Med hvor mange prosent har beløp økt? Samme spørsmål for et beløp på 400. Samme spørsmål hvis vi øker beløp tre ganger. Hvor mange ganger må vi øke for å minst fordobble beløpene? Vi har sett at når vi øker et beløp flere ganger kan vi bruke potenser for å regne ut nyt beløp. Vi er nå kanskje litt motiverte til å bruke potenser? Potenser Hvis man vil regne rente på rente fire ganger fås en produkt av typ a a a a K hvor a= 1 p (se tekst om renteregning). 100 For å skrive det enklere bruker man potense så at man får a 4 K Hvis renten har lagts på n ganger får man et produkt av n stykke a og man skriver a n K Som allmæn definisjon gis a n er et produkt hvor man har multiplisert n ganger tallet a med seg selv Hvis man først multiplisert a med seg selv m ganger og deretter multiplisert med a n ganger er det samme som om man multiplisert m+n ganger a med seg selv. (1) a m a n =a m n Eksempel a 2 a 3 = a a a a a =a a a a a=a 5 =a 2 3 3

4 Vi vet jo at hvis man øker et beløp med samme prosent først to ganger og deretter tre ganger er det jo detsamme som å øke fem ganger fra opprinnelig. Hvis m>n er a m a n kan da forkorte med n stykken a og får et brøk hvor man har man har a i teller m ganger og i nevner n ganger. Man (2) a m a n =am n Eksempel a 5 a a a a a a 2= =a a a=a 3 =a 5 2 a a Hvis vi først øker et beløp fem ganger med samme prosent og deretter er intressert i hva beløp var to ganger tidligere må vi først multiplisere fem ganger med samme faktor og for å komme tilbake dividerer vi to ganger med denne faktor. Det er samme som å finne beløp hvor vi øket tre ganger Hvis m=n fås m-n=0 og vensterled i (2) er 1. Vi definierer a 0 =1 (0) For økonomer er det ikke tvil om at hvis man øker et beløp null ganger så endres det ikke hvilket er samme som å multiplisere med 1. Eksempel. a 3 a 3=1=a0 Det forutsetter likevel at a ikke er null. For regel (2) å gjelde for m<n definierer vi (3) a n = 1 a n Hvis vi vet kapitalet Q etter renten lagts på n ganger fås opprinnelig kapital av a n Q Hvis a m opphøyes i n betyr det at vi tar a m n ganger seg selv hvilket er detsamme som om vi tok a mn ganger seg selv. Vi får (4) a m n =a mn 4

5 Eksempel a 3 2 = a a a a a a =a 6 =a 3 2 Hvis vi legger renten på tre ganger på ett år så har vi et beløp etter to år som er samme som når vi legger på renten seks ganger. Fordi den kommutative lov ( a b=b a ) sier at rekkefølge kan endres i et produkt betyr det at hvis vi multipliserer a b n ganger med seg selv er det detsamme som om vi multipliserer a n ganger med seg selv og deretter multipliserer med b n ganger. Vi får (5) a b n =a n b n Eksempel a b 3 = a b a b a b =a a a b b b=a 3 b 3 Liknende gjelder for brøk (6) a b m= am b m Vi bruker disse regler for å forenkle uttrykk med potenser Eksempel n = 1 2 n =1 n =1 dvs like potens av -1 er n 1 = 1 2n 1 = 1 dvs odde potens av -1 er -1. Eksempel = 1 2 = = 1 8 Brukt (3). Eksempel = = = = 8 Brukt (3) og (6). Eksempel 4. a 3 b 2 2 = a3 2 b 2 2 = a6 b 4 a 3 b 4 a 3 b 4 a 3 b = a6 b 4 4 a 3 b 4 =a6 3 b 4 4 =a 3 b 0 =a 3 Først har vi brukt (5) på a 3 b 2 2 deretter to ganger (4) på a 3 2, b 2 2 deretter (2) på 5

6 a 6 a 3, b4 b 4 og sist har vi brukt (0) på b 0 Eksempel 5. a2 b 3 3 a 2 = a2 3 b 3 3 a 2 = a6 b 9 a 2 = a6 a 2 b 9 = a4 b 9 Brukt (6) deretter (4) og sist (1). Oppgave 1. Forenkle a) x 4 2 b) 2 a 3 5 c) n 5 n 2 d) n 5 n 2 e) n k n 2 f) n k n 2 g) n 2 k Oppgave 2. Forenkle a) a a 2 3 b) x 4 x 2 c) a 2 10 a 15 d) y 3 4 y 4 Oppgave 3. Forenkle e) m 3 m 5 3 f) x7 x 2 5 a) 10a 3 3 b) 6c 3 2 c) 3x 2x 3 d) a² b 2 ab 2 3 e) yz 2 2yz 3 0.5z Oppgave 4. Forenkle a) 2ab 2 4ab 3 b) 81b 6 c 3 3b 2 c 4 c) 9 a 2 c 3 3 3a³ c 2 3 d) 24x 4 y 3 2xy 3 e) 2 a 2 c 5 2 4a 2 c 2 3 f) x 2 3 y 2 2 x 3 y 3 3 Oppgave 5. Beregne 6

7 a) b) c) Oppgave 6. Hvilke er større a) eller 15 9 b) 5 20 eller Oppgave 7. Forenkle c) Oppgave 8. a) a 5 c 4 b 2 c 5 b) c 5 4 a a 2 d) 3b 2 5b 3 a 2n 1 a 3n 1 e) 18 u 2 v 3 w 8 v 2 s 6 v 4 w 5 4 s 2 f) x u y y u 2 x b 3 x b 5x 2 b x 3 b 2x 1 Sett inn a=-1, b=2 og c=-3 og regn ut y 2 x 3 1 ab 3 c b c 3 a 4 b 3 8ac 3 Ved renteregning har vi sett at vi trenger til å regne med uttrykk med parenteser. Dette er også aktuell ved beregning av kostnader og inntekt. Før vi begynner med parentesregning og algebra er det kanskje godt å gjenta litt fra aritmetikk og rekkefølge på beregninger. Rekkefølgen av operasjoner. Der er konvensjon å først regne ut parenteser før man gjør andre operasjoner. Men det er også konvensjon å beregne multiplikation og divisjon før man gjør addisjon eller subtraksjon. Ikke for å plage studenter. For å ikke skrive onødig mange parenteser og gjøre formler vansklige. a b c betyr egentlig a b c som jo er forskjellig fra a b c a b c betyr egentlig a b c som jo er forskjellig fra a b c som også betyr a b c 7

8 Det er forskjell mellom og I det første tar man først 3 gang 6 og deretter adderer til 8 og får 26. I det andre beregner man først 8+3=11 og tar deretter gang 6 og får 66. Du kan tenke deg at hvis du først skal betale en fast konstnad 8 kroner og deretter for 6 kroner får hver vare skal du først betale 8 kroner og deretter legge til 18. Du ønsker jo ikke å betale 66 kroner? I brøk må vi først beregne faktorene i tellene og nevnene. Vi se på 8 3 Vi beregner først teller til 11, deretter nevner till 11 og får Vi beregner som om det var 6 5 Man kan på denne måte kun forkorte hele faktorer og hele parenteser ikke deler. Hvis du skal betale x kroner for en vare og du har faste kostnader k og ønsker å kjøpe 200 varer skal du betale k+200x hvilket ikke er (k+200)x Generelt regner man først potenser deretter multiplikasjon og divisjon og sist addisjon og subtraksjon. Eksempel. -5-(-1)(-2) = -5-2= =40 36= =5 3 3 =5 9= = = 15 18= = = = 6 60 = 1 10 Oppgave 1. Beregne og skriv ut alle trinn a) b) c) d) e) f)

9 Parentesregning Man kan bruke funksjonsuttrykk for å beskrive kostnader for produksjon. F eks kan produksjonskostnader gis av uttrykk K x =100 2x 0.01x x 3 hvor x er produksjonsmengde (x kan f eks måles i flere tusen enheter slik at x=1 betyr en stor mengde). Vi kan da beregne kostnad for produksjonsmengde 10 ved å sette in x=10. K 100 = som er lik =121.2 Oppgave 1. Beregne kostnad for produksjonsmengde 50 og 100 hvis kostnad er gitt av funksjon oven. Hvis vi har to kostnader må de adderes for å beregne totalkostnader. Eksempel 1. Hvis den ene kostnad er som oven og den andre er gitt ved 50 3x x x 3 kan vi beregne total kostnadene gjennom å addere hvor da ledd av samme type adderes. 50 3x x x x 0.01 x x 3 =150 5x x x 3 Oppgave 2. Beregn totale kostnader hvis delekostnadene er x x2 300 x og x x2 200 x Vi kan også beregne kostnader for flere varer og får da flere variabler, f eks x og y. Eksempel 2. Hvis vi adderer kostnadene x 4y 0.01x xy y y y 2 x og x 3y 0.005x xy x 2 y y 2 x får vi x 7y 0.015x xy y y xy x 2 y 9

10 Oppgave 3. Addere kostnadene 100 3x 2y 0.001x xy x 3 og 200 5x y 0.001x xy x 2 y Vi trenger kanskje litt øvelse på å addere uttrykk? Oppgave 4. Forenkle a) 3a 2 2a a 2 3a b) 6c 2 2cd 10c 2 18cd c) 14mn 15m 15mn 14m Vi kan også være intresserte i forskjell mellom kostnader. Vi må da endre tegn på alle leddene hvis vi har minus foran parentes. Eksempel x x x x 0.01 x x 3 blir 50 3x 0.005x x x 0.01x x 3 = 50 x x x 3 Eksempel 4. Forskjell mellom kostnadene i oppgave 3 beregnes 100 3x 2y 0.001x xy x x y x xy x 2 y Vi trekker sammen til 100 2x y xy x x 2 y Oppgave 5. Beregne uttrykk for forskjell i kostnader i oppgave 2. Oppgave 5A. Inntekt for bedrift A er 100x x2 x2 og for bedrift B er inntekt 50x 2 3 Beregn forskjell i inntekt for bedrift A og B. Oppgave 5B. Inntekt for bedrift A er 150x x2 x2 og for bedrift B er inntekt 50x 4 3 Beregn forskjell i inntekt for bedrift A og B. Oppgave 5C. Profitt for bedrift A er 100x x 2 og for bedrift B er profitt 87x x 2 Beregn forskjell i profitt for bedrift A og B. 10

11 Vi trenger kanskje litt mer øvelse. Oppgave 6. Forenkle a) 10a 2b 5c 5a 20b c b) 16m 11n 7mn 6mn 10n 16m c) c 2 3cd d 2 4cd 5d 2 6c 2 Oppgave 7. Hvor skal vi legge parentes for å få a) x 2 3x 1 x 2 3x 1=2 b) x 2 3x 1 x 2 3x 1= 2 c) x 2 3x 1 x 2 3x 1=0 Vi ønsker nå repetere hvordan man multipliserer et algebraiskt uttrykk med en faktor. Man må da multiplisere alle leddene med samme faktor for å få bort parentes. Vi husker da også at minus ganger minus blir pluss. Eksempel. 3x 2x 3 5 =3x 2x 3 3x 5=6x 4 15x Eksempel. 5a 2 3a 3 a 4 = 5a 2 3a 3 5a 2 a 5a 2 4= 15a 5 5a 3 20a 2 Vi kan bruke denne teknikk for å beregne inntekt. Eksempel. Prisen for en vare er avhengig av produksjonmengde og er gitt ved 200 x 0.01x 2 ved produksjon av mindre enn 100 enheter. (Hvorfor?) Da er inntekt gitt ved x 200 x 0.01x 2 =200x x x 3 Hvis kostnadene er x 0.01x x 3 kan profitt beregnes som forskjell 100x x x 3 Oppgave 8. Hva er inntekt hvis prisen er gitt ved x x 2 og hva er profitt hvis kostnad er gitt ved x 0.02x 2 Oppgave 9. En bedrift produserer to varer, produksjonsmengdene måles i x (vare A) og y (vare B). Prisen for vare A er x-0.001y og for vare B x-0.02y. Beregne inntekt. Beregne profitt hvis kostnadene er x 0.01x 2 og y 0.01y 2 Vi trenger kanskje litt mer algebraisk øvelse? Oppgave 10. Skriv uten parenteser a) 5 a 2 2ab b 2 b) 2b 2 b ab 4a 2 c) 3c 3 4d 3cd c 2 d) 4st 2 3s 2 t s 2t 1 11

12 Oppgave 11. Forenkle a) a a b b a b b) n 2 n 2 n n 2 1 c) 2m 3 m 5m 2 3m 1 m 5m 2 5m 5m 2 m Vi må klare av å multiplisere to parenteser også Vi kan da dele opp den første parentes i deler og får a b c d =a c d b c d =ac ad bc bd Eksempel. x y x y =xx x y yx y y =x 2 xy xy y 2 = x 2 y 2 x y x y =x x y y x y = xx xy yx yy= x 2 2xy y 2 x y x y =x x y y x y =xx x y y x y y = x 2 2xy y 2 Oppgave 12. Skriv uten parentes 2m 1 2m 5 y 4 3y 4 m 2 3n m 2 n 3y 2v 3y 2v 3y 2v y 1 y 2 2y 1 2t v s t 2v s Ved renteregning kan vi regne ut formler. Eksempel. Hvis et beløp K øker med p prosent og deretter minker med p prosent får vi formel K p p =K p 2 =K p 2 Dette betyr at beløp minker med 0.01p 2 prosent Oppgave 13. Et beløp K øker to ganger med p prosent. Med hvor mange prosent har beløp økt? Oppgave 14. Et beløp K øker først med 2p prosent og deretter minker med p prosent. Hvilken forendring er skjedd i prosent? Vi kan nå litt gjenta hvordan man regner med parenteser: For å forenkle algebraiske uttrykk kan brukes a b=b a a b=b a a =a a b = ab a b =ab 12

13 a b c =a b a c De to første kalles kommutative lover og gir mulighet til å endre på rekkefølge i uttrykk. Den siste kalles distributive lov. Kombineres disse kan man vise a b c d =ac ad bc bd Disse lover kan brukes for å forenkle uttrykk: Eksempel 1. Vi beregner Først grupperes uttrykken innenfor parentesene og vi får Deretter beregnes parentesene, hvilket gir =2 2 = 4 Eksempel 2. Sett inn x=2 og y=-1 i y+2x-(x-y) og regn ut. Vi forenkler først. y 2x x y = y 2x x y = y 2x x y=2x x y y= x 2y Vi setter inn og får 2+2(-1)=2-2=0 Eksempel 3. Sett inn x=-2, y=-3 i -(xy+y) og regn ut. Vi får xy y = xy y= = 6 3= 3 Eksempel 4. Sett inn x=-2, y=-3, z= -4 i xyz xy 2 z og regn ut. Vi får xyz xy 2 z = xyz xy 2 z= hvilket blir = =24 72=96 Eksempel 5. Forenkle 2xy 2 x xy 3 xy x 13

14 Vi får 2xy 2x 2 xy 3 xy x =2xy 2x 2xy 3xy 3x=7xy 5x Eksempel 6. Sett inn x=-2 og y=-3 i x y x 2y 3x y x y Vi forenkler først x y x 2y 3x y x y = xx yx x 2y y 2y 3xx yx 3xy yy hvilket gir x 2 xy 2xy 2y 2 3x 2 xy 3xy y 2 =x 2 xy 2y 2 3x 2 xy 3xy y 2 = 2x 2 xy y 2 Vi setter inn og får = = 23 Eksempel 7. 2x y 3x 2y 6x 2 3xy 2y 2 =2x 3x 2x 2y y 3x y 2y 6x 2 3xy 2y 2 hvilket gir 6x 2 4xy 3xy 2y 2 6x 2 3xy 2y 2 =2xy Eksempel 8. Forenkle x y 2 2 x y z x y x y 2 x 2 Vi regner ut parentesene og får xy 2x 2x 2y 2z x 2 xy 2x yx y 2 2y x 2 Gruppering gir 2x 2x 2x 2y 2y 2z x 2 x 2 xy xy yx y 2 =2x 2z xy y 2 Oppgave 15. Skriv uten parenteser n 1 n 2 n 3 n 4 y 1 y 4 y 3 y 2 y 1 n 1 n 4 n 3 n 2 n 1 14

15 Oppgave 16. Forenkle x x 1 x 2 x x 3 x 4 x 2 3x 1 x 2 3x 5 x 2 3x 2 x 2 3x 3 n 1 n 6 n 2 7n 3 n 3 n 4 n 2 7n 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 x 1 x 3 15