Kapittel 10 LIGNING AV FØRSTE GRAD MED EN UKJENT. Hvor mange lodd må vi flytte for å balansere vekta?

Transkript

1 Hvor mange lodd må vi flytte for å balansere vekta?

2 Vekta balanserer når vi flytter lodd Vi adderer tallet til begge sidene. Vi legger nye lodd i hver skål Vi subtraherer 4 fra begge sidene. Vi tar 4 lodd fra hver skål. 1 1 : Vi dividerer begge sidene på. Vi fjerner halvparten av loddene i hver skål Det ligger lodd i den venstre skåla og 6 lodd i den høyre. Vekta balanserer, og tallet som var ukjent, er nå kjent. må være lik 6. eller Vi flytter fra den høyre siden og skriver på den venstre Vi flytter 4 fra den venstre siden og skriver 4 på den høyre. 1 6

3 Fire ungdommer og én pizza Pikene skal ha og er store nok til å gi guttene 1,5 ganger så mye. 1, , : Pikene skal ha pizzastykker der vinkelen er 7. Guttene skal ha pizzastykker der vinkelen er 1,

4 To gårdbrukere 10 m 1000 m 100 m 5 m 1000 m (100 ) m Areal lengde bredde (100 ) m 5 m (100 ) 5 m m ( ) m (500 5) m Vi flytter 500 fra den venstre siden og skriver 500 på den høyre : ( 5) Vi dividerer begge sidene på ( 5) Lengden på jordstykket skal kortes inn med 60 meter. Den nye lengden blir (100 ) m (100 60) m 40 m. Arealet er 40 m 5 m 1000 m.

5 To gårdbrukere 10 m 1000 m 100 m 5 m 1000 m m Areal lengde bredde m 5 m 5 m m 5 m Det nye jordstykket skal være 40 meter langt.

6 Regula falsi Tidligere kulturer har brukt metoder som ikke alltid har vært like lett å "se logikken i". "Regula falsi", for eksempel, er en metode som var mye brukt i India for snart tusen år siden. Hvis "de gamle inderne" skulle ha løst den siste jordstykke-ligningen , ville de gjort det slik: Først ville de prøvd en vilkårlig -verdi, for eksempel 50, og beregnet den venstre siden: Deretter hadde de funnet rett -verdi ved å sette lik den høyre siden i ligningen dividert på den verdien de fikk på den venstre siden når de prøvde den vilkårlige -verdien, multiplisert med den vilkårlige -verdien (greit ikke sant?): Det nye jordstykket skal være 40 meter langt.

7 Per vil ha egen leilighet Pris kroner 4 Meglerprovisjon ( 100 ) kroner Diverse gebyr 5000 kroner Sum kroner : , ,85 Per kan by opp til ca kroner.

8 Per vil ha egen leilighet Annuitetslån kroner. Månedlig terminbeløp 000 kroner. Per må tjene kroner per time. Han arbeider 400 timer per år. For det får han 400 kroner 400 kroner. Han må betale ti prosent skatt: I løpet av ett år må Per tjene 400 kr Skatt 40 kr Nettoen skal dekke tolv terminbeløp kr : ,67 Divisjonen gikk ikke opp. Da bruker vi tegnet for "tilnærmet lik" som er i stedet for det vanlige likhetstegnet. Per bør få en jobb der lønna per time er opp mot 70 kroner.

9 "Jeg er atten år, far er førti. Om år må far være nøyaktig dobbelt så gammel som meg." (18 ) (40 )(18 ) (18 ) (18 ) 18 Slik kunne vi enklere ha satt opp ligningen fra starten: Faren er dobbelt så gammel som Per. Da må alderen til faren være to ganger alderen til Per, dvs. at 40 (18 ) betyr ( 1) ( 1) 4 : ( 1) ( 1) Minus dividert på minus gir pluss. 4 Begivenheten skjer om 4 år. Da er Per (18 4) år år. Faren er (40 4) år 44 år.

10 Diofantos ble år gammel Diofantos Gud lot ham være gutt en seksdel av sitt liv, dvs. i år. 6 En tolvdel til, og skjegget begynte å gro, dvs. etter ( ) år. 6 1 En sjudel til, og han giftet seg, dvs. etter ( ) år Fem år gikk, og han fikk en sønn, dvs. etter ( 5) år Sønnen døde etter å ha blitt halvparten så gammel som faren skulle bli, dvs. etter år, dvs. etter at Diofantos hadde levd i ( 5 ) år Diofantos levde enda i fire år. Dette gir følgende ligning: Vi multipliserer med fellesnevneren : ( 9) Diofantos ble 84 år gammel. 9

11 1 ( ) Vi får omgjort en ligning med brøker til en ligning uten brøker ved å multiplisere begge sidene med fellesnevneren. Vi har to brøker. Fellesnevneren er Vi forkorter brøkene og får: ( 1)

12 1-3 4 Hvis vi får løsningen, kan den ikke godtas. Hvorfor? Her er fellesnevneren 4( ). Vi multipliserer begge sidene med den ( ) 4 ( 1) 4 ( ) 3 4 ( ) 4 ( 1) 4 3( ) Vi fikk en løsning forskjellig fra, og den kan godtas. 10

13 I den forrige ligningen dividerte vi ( 1) på ( ). Vi prøver oss på en ligning der vi multipliserer de samme størrelsene: ( 1)( ) 0 Den algebraiske regelen (a b)(c d) ac ad bc bd forteller oss at ligningen ( 1)( ) kan omskrives slik: 0 0 Her dukker det opp noe nytt. Hva skal vi gjøre med? Noen problemtyper medfører at vi får ligninger med -ledd. Slike ligninger kaller vi andregradsligninger, og de må løses på en spesiell måte. Den skal vi gjennomgå i et eget kapittel om andregradsligninger.