E.1: Lage et uttrykk som viser sammenhengen mellom to variabler hvor nødvendige opplysninger gis eksplisitt E.2: Faktorisere flerleddet

Transkript

1 1. november 2013

2 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 NIVÅ A: POSITIVE UTTRYKK MED SAMME VARIABEL... 5 NIVÅ B: TREKKE SAMMEN POSITIVE OG NEGATIVE UTTRYKK, INNSETTING AV POSITIVE VERDIER... 6 NIVÅ C: OPPLØSNING AV PARENTES, INNSETTING AV VERDIER I UTTRYKK MED PARENTES, POTENSER MED SAMME GRUNNTALL, LAGE UTTRYKK HVOR EN VARAIABEL ER ET MULTIPLUM AV EN ANNEN... 7 NIVÅ D: UTTRYKK MED POTENSER, DEN DISTRIBUTIVE LOV, INNSETTING I UTTRYKK MED DEN DISTRIBUTIVE LOV, LAGE UTTRYKK HVOR DEN ENE VARIABELEN ER GITT STØRRELSE STØRRE ELLER MINDRE ENN DEN ANDRE NIVÅ E: LAGE UTTRYKK HVOR OPPLYSNINGENE ER EKSPLISITT, FAKTORISERE VED HJELP AV DEN DISTRIBUTIVE LOV, INNSETTING I UTTRYKK MED ANNENGRADSLEDD, MULTIPLIKASJON AV POLYNOMER... 9 NIVÅ F: LAGE UTTRYKK MELLOM VARIABLER, FLERE LEDD MED POLYNOM- MULTIPLIKASJON, KVADRATSETNINGENE OG KONJUGATSETNINGEN, FAKTORISERING GJENNOMGANG AV HVERT STEG NIVÅ A: POSITIVE UTTRYKK MED SAMME VARIABEL A.1: Trekke sammen positive ledd med samme variabel: A.2: Multiplisere et uttrykk med et tall: NIVÅ B: TREKKE SAMMEN POSITIVE OG NEGATIVE UTTRYKK INNSETTING AV POSITIVE VERDIER B.1: Trekke sammen positive og negative uttrykk med samme variabel: B.2: Trekke sammen positive og negative uttrykk med forskjellige variabler: B.3: Regne ut verdien av et uttrykk når det settes inn positive verdier for en variabel: NIVÅ C: OPPLØSNING AV PARENTES + INNSETTING AV VERDIER I UTTRYKK MED PARENTES + POTENSER MED SAMME GRUNNTALL C.1: Løse opp parenteser når det er positivt fortegn foran parentesen: C.2: Løse opp parenteser når det er negativt fortegn foran parentesen: C.3: Oppgaver hvor det flere ganger forekommer parentesuttrykk: C.4: Regne ut verdien av uttrykk med parentesuttrykk når det settes inn positiv verdi av den variable: C.5: Multiplikasjon av potenser med samme grunntall: C.6: Lage et uttrykk hvor en variabel er et multiplum av en annen NIVÅ D: UTTRYKK MED POTENSER + DEN DISTRIBUTIVE LOV + INNSETTING I UTTRYKK MED DEN DISTRIBUTIVE LOV D.1: Regne ut uttrykk med potens: D.2: Multiplisere tall med en parentes (bruke den distributive lov): D.3: Multiplisere tall med en parentes som inneholder minus: D.4: Oppgaver hvor en flere ganger må bruke den distributive lov: D.5: Sette inn verdier av den variable i uttrykk hvor den distributive lov forekommer: D.6: Lage uttrykk som viser sammenhengen mellom to variabler hvor den ene er en fast størrelse større eller mindre enn den andre NIVÅ E: FAKTORISERE VED HJELP AV DEN DISTRIBUTIVE LOV + INNSETTING I UTTRYKK MED ANNENGRADSLEDD + MULTIPLIKASJON AV POLYNOMER

3 E.1: Lage et uttrykk som viser sammenhengen mellom to variabler hvor nødvendige opplysninger gis eksplisitt E.2: Faktorisere flerleddet uttrykk: E.3: Sette inn både positive og negative verdier i uttrykk hvor det forekommer andregradsledd: E.4: Multiplikasjon av polynomer (bare positivt tegn i polynomene): E.5: Multiplikasjon av polynomer: NIVÅ F: LAGE UTTRYKK FOR SAMMENHENGEN MELLOM TO VARIABLER, FLERE LEDD MED POLYNOM-MULTIPLIKASJON, KVADRATSETNINGENE OG KONJUGATSETNINGEN, FAKTORISERING F.1 Lage uttrykk som visser sammenhengen mellom to variabler F.2: Oppgaver hvor det flere ganger forekommer multiplikasjon av polynomer F.3: Kvadratsetningene og konjugatsetningen: F.4: Oppgaver hvor det forekommer både multiplikasjon av polynomer og kvadratsetningene/konjugatsetningen: F.5: Faktorisere v.h.a. kvadratsetningene og konjugatsetningen: VEIEN VIDERE EGENVURDERING

4 INNLEDNING Algebra er en videreføring av tallregning og er grunnlag for de andre temaene innen matematikkfaget. Mange elever blir fascinert over algebraens logiske oppbygning. Det er viktig å vektlegge begge disse aspektene. Spesielt kan elever gis strategier på å teste ut regnereglene i algebra. F.eks. kan elever huske reglene for oppløsning av parentes ved at de har regnefortellinger: I tre poser er det 30 poteter. I den ene posen er det 12 poteter, i den andre er det 10 poteter. Finn to måter å regne ut hvor mange det er i den tredje posen. Alt i algebra kan illustreres ved hjelp av eksempler fra tallregning og alt i algebra kan forstås. Det er intet (utenom de ti aksiomene) som en bare må godta uten å spørre om hvorfor det er slik. Tvert imot: Spør stadig: "Hvorfor er det slik da?" Den avgrensningen av algebra som en har foretatt her, kan diskuteres. Siden det er et eget stegark for brøk, har en plassert disse momentene i det stegarket. Det kan også diskuteres om en har satt opp et kunstig skille mellom geometri og algebra. De valgene en har falt ned på er begrunnet i hensynet til oversikt og stoff-mengden for elevene. Algebra bør være en viktig del av innholdet på 8.trinn. Men det kan være for ambisiøst å gå gjennom det øverste nivået. (Læreren kan gjerne informere 8.klassingene om de siste stegene.) Mange elever vil ha framgangsmåter/standard-oppskrifter på hvordan oppgaver skal løses. Elevene bør forsøke å forstå sammenhengen i faget. Derfor er det laget koplinger til stoff som er gjennomgått. Elevene bør bruke disse koplingene aktivt. Her defineres også viktige definisjoner og regler. Men her finner en også forslag til hvordan en oppgave kan løses. Elevene får også forslag til enkle huskeregler som kan være til hjelp i føringsmåter. Men det er viktig å framheve følgende advarsel: Enkle huskeregel kan være til hjelp. Men dersom en elev baserer seg på huskeregler, blir det fort veldig mye å huske. Da er det bedre å forstå sammenhengen i det som gjøres. Når en elev forstår grunnlaget for en huskeregel, huskes regelen bedre. 4

5 STEGARK NIVÅ A: POSITIVE UTTRYKK MED SAMME VARIABEL Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst lav kompetanse innen temaet algebra. A.1: Trekke sammen positive uttrykk med samme variabel: Trekk sammen: 3d + 5d + 2d = A.2: Multiplisere et uttrykk med et tall: Regn ut: 4*2f = 5

6 NIVÅ B: TREKKE SAMMEN POSITIVE OG NEGATIVE UTTRYKK, INNSETTING AV POSITIVE VERDIER Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst nokså lav kompetanse innen temaet algebra. B.1: Trekke sammen positive og negative uttrykk med samme variabel: Trekk sammen: 14k + 3k 5k + k 6k = B.2: Trekke sammen positive og negative uttrykk med forskjellige variabler: Trekk sammen: 5a 2b a + 4b 7a = B.3: Regne ut verdien av et uttrykk når det settes inn en positiv verdi for den variable: Sett inn verdier x=3 i svaret i uttrykket 7x 4 og regn ut: 6

7 NIVÅ C: OPPLØSNING AV PARENTES, INNSETTING AV VERDIER I UTTRYKK MED PARENTES, POTENSER MED SAMME GRUNNTALL, LAGE UTTRYKK HVOR EN VARAIABEL ER ET MULTIPLUM AV EN ANNEN Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst noe under middels kompetanse innen temaet algebra. C.1: Løse opp parenteser når det er positive fortegn foran parentesen: Løs opp parentesen og trekk sammen: 2a + (a - 7) = C.2: Løse opp parenteser når det er negative fortegn foran parentesen: Løs opp parentesen og trekk sammen: 6y (4 2y) = C.3: Oppgaver hvor det flere ganger forekommer parentesuttrykk: Løs opp parentesen og trekk sammen: 4c + (-d + 3c + 2) (- 2d - c + 5)= C.4: Regne ut verdien av uttrykk med parentesuttrykk når det settes inn positiv verdi av den variable: Sett inn verdiene s = 4 i uttrykket 5 (3s 2) og regn ut: C.5: Multiplikasjon av potenser med samme grunntall: Skriv som én potens: a 3 a 2 = C.6: Lage et uttrykk hvor en variabel er et multiplum av en annen Per I. Skop skal kjøpe is til jentene på et fotball-lag. Hver is koster 15 kr. Lag et uttrykk som viser hva n is vil koste. 7

8 NIVÅ D: UTTRYKK MED POTENSER, DEN DISTRIBUTIVE LOV, INNSETTING I UTTRYKK MED DEN DISTRIBUTIVE LOV, LAGE UTTRYKK HVOR DEN ENE VARIABELEN ER GITT STØRRELSE STØRRE ELLER MINDRE ENN DEN ANDRE. Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst noe over middels kompetanse innen temaet algebra. D.1: Regne ut uttrykk med potens: Skriv så enkelt som mulig: 4a 2a 2 3a 3 + 2a 2 = D.2: Multiplisere tall med en parentes (bruke den distributive lov): Regn ut: 3a(a + 2) = D.3: Multiplisere tall med en parentes som inneholder minus: Regn ut: 2(5x y) = D.4: Oppgaver hvor en flere ganger må bruke den distributive lov: Regn ut: b(2a + 4b) 2a(- 3a 5b) = D.5: Sette inn verdier av den variable i uttrykk hvor den distributive lov forekommer: Sett inn p = -5 i uttrykket -2(3p -5) og regn ut. D.6: Lage uttrykk som viser sammenhengen mellom to variabler hvor den ene er en fast størrelse større eller mindre enn den andre. Reidun plukker markjordbær til seg og lillesøsteren sin. Reidun lover at uansett hvor mange bær hun plukker skal søsteren få 10 bær. Resten skal Reidun få spise selv. Lag et uttrykk som visser hvor mange markjordbær Reidun kan spise selv dersom hun plukker n bær. 8

9 NIVÅ E: LAGE UTTRYKK HVOR OPPLYSNINGENE ER EKSPLISITT, FAKTORISERE VED HJELP AV DEN DISTRIBUTIVE LOV, INNSETTING I UTTRYKK MED ANNENGRADSLEDD, MULTIPLIKASJON AV POLYNOMER Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst høy kompetanse innen temaet algebra. E.1: Lage et uttrykk som viser sammenhengen mellom to variabler hvor nødvendige opplysninger gis eksplisitt. Stian kjører til «Bra Billig» for å kjøpe brus. Hver brus koster 30 kr. I tillegg må Stian betale parkeringsavgift på 20 kr. Lag et uttrykk for utgiftene til Stian dersom han kjøper n brus. E.2: Faktorisere flerleddet uttrykk: Faktoriser følgende uttrykk: 25xy 30x 2 = E.3: Sette inn både positive og negative verdier i uttrykk hvor det forekommer andregradsledd: Sett inn a = -2 og b = 4 i uttrykket 4ab 3a 2 og regn ut. E.4: Multiplikasjon av polynomer (bare positivt tegn i polynomene): Gang ut og trekk sammen: (2a + 1)(a + 4) = E.5: Multiplikasjon av polynomer: Gang ut og trekk sammen. (x + 5)(3x 3) = 9

10 NIVÅ F: LAGE UTTRYKK MELLOM VARIABLER, FLERE LEDD MED POLYNOM-MULTIPLIKASJON, KVADRATSETNINGENE OG KONJUGATSETNINGEN, FAKTORISERING Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst svært høy kompetanse innen temaet algebra. F.1 Lage uttrykk som visser sammenhengen mellom to variabler. Li har invitert slekten til et hageselskap. E har skaffet mange helt like bord. Det kan sitte seks personer rundt hvert bord: Bordene skal settes sammen slik at det dannes et langbord: Lag et uttrykk som viser hvor mange de kan dekke til dersom de setter sammen n bord. F.2: Oppgaver hvor det flere ganger forekommer multiplikasjon av polynomer Regn ut og trekk sammen: (2x + 3)(x 4) (x + 4)(x 2) = F.3: Kvadratsetningene og konjugatsetningen: Regn ut: (a + 2) 2 = F.4: Oppgaver hvor det forekommer både multiplikasjon av polynomer og kvadratsetningene/konjugatsetningen: Regn ut og trekk sammen: -5x (-2x + 6)(3x + 5) (2x 6) 2 = F.5: Faktorisere v.h.a. kvadratsetningene og konjugatsetningen: Faktoriser: x 2 12x x 2 = 10

11 GJENNOMGANG AV HVERT STEG Resten av dette heftet er gjennomgang av hvert enkelt steg. Gjennomgangen er bygget opp slik: 1. BEGREPER Først er det en definisjon av nye begreper. De nye begrepene er skrevet med fet, rød skrift. 2. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dernest lages en kopling til tidligere gjennomgått stoff. Overskriften på disse linjene er blå fordi hyperlinker gjerne får blåfarge: 3. FORKLARING I forklaringen henvises det til begrepene. I teksten henvises det også til tidligere gjennomgått steg. I den elektroniske versjonen er det hyperlinker både til definisjonene til begrepene og til de tidligere stegene som en bruker i gjennomgangen: A.1 (Tall). Slik kan du skrive: Noen elever vil ha klar beskjed om hvordan de skal gå fram for å finne riktig svar. Denne framgangsmåten er satt i en ramme med følgende tagg: «Slik kan du skrive:». Ofte er det flere forslag til føringsmåte. Hver av framgangsmåtene er satt i slike rammer. Men det er viktig å understreke påminningen fra innledningen om å forstå den matematiske tenkningen som grunnlaget for å huske reglene de møter. 4. Viktige regneregler blir skrevet med fet, rød skrift og satt i en ramme med lysegrønn bakgrunn. Viktige regneregler vises slik! 5. KJEKT Å VITE Noen steder er det føyd til momenter som er kjekt å vite, men som ikke er obligatorisk å kunne utenat. 6. Stemmer det med tallregning? Algebra har regneregler som virker uvante for mange elever i begynnerfasen. En måte å kontrollere regnereglene på er å undersøke om algebra-reglene du har lyst til å bruke også kan brukes i tilsvarende regning med tall. 11

12 12

13 NIVÅ A NIVÅ A: POSITIVE UTTRYKK MED SAMME VARIABEL Her er vi i starten av algebra. Algebra dreier seg om regneregler for variabler. Synes du det høres teoretisk? Husk at det er de samme regler når vi regner med variabler som når vi regner med appelsiner og bananer. På dette nivået adderer vi variabler. 13

14 NIVÅ A A.1: Trekke sammen positive ledd med samme variabel: Eksempel-oppgave: Trekk sammen: 4a + a + 2a = BEGREPER Variabel: En bokstav som står for et hvilket som helst tall. Kjente variabler betegnes ofte med de (små) bokstavene som er først i alfabetet: a, b, c o.s.v. Ukjente variabler betegnes ofte med bokstavene x, y, z o.s.v. (Denne bruken av bokstaver er ikke vesentlig: Det er en praksis som har festet seg.) Legg merke til at noen bokstaver kan står for faste tall: π, e, i, h. Disse bokstavene er altså ikke variabler, - de varierer ikke! π er for eksempel ca. 3,14. Ledd: Et ledd består av et tall eller en variabel eller et produkt av et tall og en variabel. To ledd blir skilt av et + eller et -. Uttrykket 2a + 3b består av to ledd: 2a og 3b. KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP Her bygger en på A.1 (Tall). Mot slutten kopler vi også tilbake til C.1 (Tall). FORKLARING Du deler ut frukt på skolen: Først gir du 4 appelsiner til en gruppe elever, så gir du én appelsin til én elev før du gir to appelsiner til et par elever. Hvor mange appelsiner har du delt ut? Svaret er sju appelsiner. Slik kan du skrive: 4a + a + 2a = 7a Legg merke til at den appelsinen som er alene blir betegnet som a og ikke som 1a. (1- tallet er unødvendig; - du ser at a er en a.) KJEKT Å VITE Nå vil kanskje noen si at her skal en ikke tenke på appelsiner, bananer eller druer. Vi skal lære å behandle variabler! Og det er riktig. Men det er samtidig riktig å si at det kan ikke 14

15 NIVÅ A være egne regneregler for variabler og noen andre når en skal telle opp appelsiner (eller bananer eller druer). Det er et hovedpoeng at algebra er en generalisering av tallregning (aritmetikk). Derfor må regnereglene for å telle opp frukt (eller sjokoladebiter eller kulepenner) være de samme som å telle opp (eller trekke sammen ) variabler. Det spesielle i algebra (og i matematikk i det hele tatt) er at alt skal være logisk. (Hvis det ikke er logisk, blir matematikken gal.) På den andre siden må vi gå ut fra noen innlysende sannheter, såkalt aksiomer. Da matematikerne skulle bestemme seg for hvilke aksiomer de trengte, tok de tre hensyn: Aksiomene skulle være innlysende sanne. Aksiomene skulle være så få som mulig. Ved hjelp av aksiomene som ble valgt, skulle en kunne logisk slutte seg til (d.v.s. bevise) alle lovene (reglene) i matematikken. Dermed måtte regnereglene i algebraen bli likt regnereglene i tallregningen. Et av disse aksiomene er den distributive lov som du så i C.1 (Tall). Legg merke til at det vi sa om denne reglen i C.1 (Tall) ikke er et bevis for den distributive lov; - det er en illustrasjon! 15

16 NIVÅ A A.2: Multiplisere et uttrykk med et tall: Eksempeloppgave: Regn ut: 4 3b = BEGREPER Uttrykk: Et matematisk utsagn som inneholder en variabel. 3b er et slikt uttrykk. KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP Her bygger en på B.3 (Tall). FORKLARING Du deler ut frukt på skolen og denne dagen deler du ut 3 og 3 bananer til elevene. Hvor mange bananer har du delt ut når du har gitt 4 ganger? En må gange antall bananer i hver gruppe med antall grupper. Svaret er 12 bananer. Slik kan du skrive: 4 3b = 12b 16

17 NIVÅ B NIVÅ B: TREKKE SAMMEN POSITIVE OG NEGATIVE UTTRYKK INNSETTING AV POSITIVE VERDIER Her både legger vi til og trekker fra variabler; - vi kaller det å trekke sammen variabler. Dessuten behandler vi flere variabler i en og sammen oppgave. Dessuten setter vi inn positive verdier for variabler og finner verdien av uttrykk. 17

18 NIVÅ B B.1: Trekke sammen positive og negative uttrykk med samme variabel: Eksempeloppgave: Trekk sammen: 8p + 3p 5p + p 4p = KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP Her bygger en på A.2 (Tall) og B.5 (Tall). FORKLARING Du skal finne ut hvor mange lyspærer dere har i huset. I ett skap finner du 8 pærer og i et annet skap finner du 3: Du har altså 11 lyspærer så langt: Men så sier mor at du må legge av 5 pærer fordi du skal ha dem med til hytta. Du må ta vekk 5. Du har seks pærer til huset. Men nå kommer lillebroren din og sier at han fant en pære på rommet sitt. 18

19 NIVÅ B Nå har dere sju pærer. Da kommer far og forteller at han lånte 4 pærer av naboen. De må dere levere tilbake. Dere har tre pærer som dere kan bruke i huset: Slik kan du skrive: 8p + 3p 5p + p 4p = 3p Når du får en tilsvarende oppgave, kan du godt prøve å lage en liten historie, slik det er gjort her. De leddene med pluss foran, er noe har eller får. Leddene med minus foran er det du mangler, det du må gi bort eller det du skylder. 19

20 NIVÅ B B.2: Trekke sammen positive og negative uttrykk med forskjellige variabler: Eksempeloppgave: Trekk sammen: 5m 2b m + 4b 7m = KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP Her bygger en på B.1 (Algebra) og dermed på tallregningen i B.5 (Tall). FORKLARING A. MATEMATIKK-FORTELLING m står da for mandariner og b for bananer. + foran et ledd betyr at du «har» eller «får» en mandarin eller en banan. - foran et ledd betyr at du «skylder» eller «gir bort» en mandarin eller en banan. Når du løser denne oppgaven er det to viktige momenter du må ha i fokus: 1. Du må telle mandariner for seg og bananer for seg. Du må aldri trekke sammen ledd med ulik variabel! 2. Du må se på fortegnet rett foran et ledd. Det er likegyldig om du teller mandarinene først og bananene etterpå. Du ser på leddene med mandariner og regner ut hvor mange mandariner du har eller skylder: 5m - 2b - m + 4b -7m = Mandarinene: Jeg har 5 m og skylder 1 m og skylder 7 m (jeg har fire m: +4m) (jeg skylder tre m: -3m) Bananene: Jeg skylder 2 b og har 4b (da har jeg to b: +2b) Svaret er altså: - 3m + 2b Du kunne like gjerne skrive bananene først. Da pleier vi å sløyfe + -tegnet (noe du er vant med fra barneskolen; - du har alltid skrevet tallene uten plusstegn, - dersom det ikke er noe fortegn, menes pluss): 2b 3m. 20

21 NIVÅ B Disse to måtene å skrive svaret på er altså likeverdig. Noen synes at variablene skal føres opp i alfabetisk rekkefølge. Det blir ikke noe riktigere svar dersom du gjør det, - men kanskje det ser mer ordentlig ut? B. FORMELL FORKLARING: Du kan løse oppgaven uten å tenke på mandariner og bananer. Slik kan du skrive: 5m 2b m + 4b 7m = Vi har skrevet oppgaven uforandret. - 3m + 2b Vi har trukket sammen leddene med m og så leddene med b. 21

22 NIVÅ B B.3: Regne ut verdien av et uttrykk når det settes inn positive verdier for en variabel: Eksempeloppgave: Sett inn verdien x = 3 i uttrykket 7x 4 og regn ut. BEGREPER Verdi: Tallstørrelsen til en variabel eller et uttrykk. Innsetting/sette inn verdier: Å bytte ut variabelen (som kan stå for hvilket som helst tall) med ett fast tall eller en fast verdi KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP Her bygger en på D.5 (Tall). Dette punktet (innsetting) peker dessuten framover (slik alle punkter gjør): Mot likninger og funksjoner, - og framover mot bruk av formler. FORKLARING A. MATEMATIKK-FORTELLING Du har fått i oppgave å kjøpe sju sakser. Uansett hvilken butikk du velger å kjøpe saksene i, vet du at du får et avslag i prisen på 4 kroner. Du går i mange butikker og ser at prisen varierer fra butikk til butikk. Men så kommer du til en butikk hvor det er billigsalg på sakser: Du kan kjøpe èn saks for 3 kroner: Kun kr. 3,- kr! Du sier at du skal ha sju sakser. Det får du. Du skal til å betale 21 kroner. (7 3kr = 21 kr.) Men i det du skal til å betale, så minner du ekspeditøren på at du skulle få 4 kroner i avslag på prisen. Du skal altså ikke betale kr.21,-, men kr. 17! B. FORMELL FORKLARING Når det ikke står noe mellom et tall og en variabel, (7x) så menes det multiplikasjon. Dessuten må vi huske å bruke regelen fra D.5 (Tall): Først gjennomfører vi multiplikasjon og deretter addisjon eller subtraksjon. Slik kan du skrive: 7x 4 = Vi har skrevet oppgaven uforandret = Vi har byttet ut x med verdien av x: = Vi har regnet ut multiplikasjonen. 17 Vi har funnet svaret. 22

23 NIVÅ C NIVÅ C: OPPLØSNING AV PARENTES + INNSETTING AV VERDIER I UTTRYKK MED PARENTES + POTENSER MED SAMME GRUNNTALL Det nye i dette nivået er oppløsning av parenteser. Her er C.3 et nøkkel-steg. Dessuten fortsetter vi å sette inn positive variabler for variabler i uttrykk som inneholder parenteser. Vi tar også opp multiplikasjon av potenser med samme grunntall Vi skal lære hvordan vi utvikler et uttrykk, d.v.s. en sammenheng mellom variabler. 23

24 NIVÅ C C.1: Løse opp parenteser når det er positivt fortegn foran parentesen: Eksempeloppgave: Løs opp parentesen og trekk sammen: a) 3c + 2d + (d + 2c) = b) 3c + 2d + (d 2c) = c) 3c + 2d + (- d + 2c) = d) 3c + 2d + (- d 2c) = KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP Her bygger vi på B.6 (Tall) og D.5 (Tall) og A.1 (Algebra), B.2 (Algebra). FORKLARING Poenget med dette nivået er hvordan en skal regne oppgaver som inneholder parenteser. I dette steget tar vi for oss hvordan vi skal regne når det er en pluss foran parentesen. I D.5 (Tall), presiserte vi at poenget med parenteser var å fortelle at vi skal regne ut det som står inni parentesen først. Men når en ser på oppgavene her, ser vi at vi ikke kan trekke sammen det som står inni parentesen. (I B.2 (Algebra) understreket vi at det ikke er aktuelt å trekke sammen mandariner og bananer; - d.v.s. at vi ikke kan trekke sammen ledd med ulike variabler.) Dette betyr: For å trekke sammen leddene med samme variabel, må vi løse opp parentesen! Men det må gjøres korrekt. Da må vi analysere hvordan de skal gjøres i de fire tilfellene som er skissert i eksempeloppgaven: Når det står + foran leddet som inneholder variabelen d og når det står foran dette leddet og for hvert av disse tilfellene når det står + (hhv -) foran leddet med variabelen c. For ordens skyld: Det som blir sagt her er en illustrasjon, og ikke noe bevis, på reglene for oppløsning av parentes. På den andre siden er det et krav at den teoretiske matematikken skal være i samsvar med regnereglene for å telle opp dumler og caramello-sjokolader. a) Vi starter med den første oppgaven: 3c + 2d + (d + 2c). Du starter altså med tre caramello-sjokolader og to dumler: Men så kommer en kamerat og gir (derfor +) deg en pose. Du kikker ned i posen og ser at der ligger det én dumle og to caramello-sjokolader: 24

25 NIVÅ C Det ville være det samme som at kameraten din først kom med en dumle og etter en stund kom med to caramello-sjokolader. Dette siste ville vi skrevet slik: 3c + 2d + d + 2c. Med andre ord: 3c + 2d + (d + 2c) = 3c + 2d + d + 2c Slik kan du skrive: 3c + 2d + (d + 2c) = 3c + 2d + d + 2c = 5c + 3d b) Den neste oppgaven er: 3c + 2d + (d 2c). Også her starter du med tre caramello-sjokolader og to dumler. Denne gangen kommer din venn og gir deg en pose. Du ser at i posen ligger en dumle og et krav om at du må gi ham de to caramello-sjokoladene du skylder ham: Du skylder meg to caramello Det ville være det samme som at kameraten din først kom med en dumle og etter en stund kom med kravet om to caramello-sjokolader. Dette siste ville vi skrevet slik: 3c + 2d + d 2c. Med andre ord: 3c + 2d + (d - 2c) = 3c + 2d + d - 2c Slik kan du skrive: 3c + 2d + (d - 2c) = 3c + 2d + d - 2c = c + 3d c) Den neste oppgaven er: 3c + 2d + (- d + 2c). Også her starter du med tre caramello-sjokolader og to dumler. Denne gangen kommer din venn og gir deg en pose. Du ser at i posen ligger et krav om at du må gi ham den ene dumlen du skylder ham. Dessuten ligger det to caramello-sjokolader til deg: Du skylder meg en dumle Det ville være det samme som at kameraten din først kom og forlangte den ene dumlen du skylder ham og etter en stund ga deg to caramello-sjokolader. Dette siste ville vi skrevet slik: 3c + 2d - d + 2d. Med andre ord: 3c + 2d + (- d + 2c) = 3c + 2d - d + 2c 25

26 NIVÅ C Slik kan du skrive: 3c + 2d + (- d + 2c) = 3c + 2d - d + 2c = 5c + d d) Den neste oppgaven er: 3c + 2d + (- d - 2c). Også her starter du med tre caramello-sjokolader og to dumler. Også denne gangen kommer din venn og gir deg en pose. Men når du undersøker posen, ser du at det ligger et krav om at du må gi ham den ene dumlen du skylder ham og de to caramello-sjokoladene du skylder ham: Du skylder meg en dumle Du skylder meg to caramello Det ville være det samme som at kameraten din først kom og forlangte den ene dumlen du skylder ham og etter en stund forlangte å få de to caramello-sjokoladene du også skylder ham Dette siste ville vi skrevet slik: 3c + 2d - d - 2d. Med andre ord: 3c + 2d + (- d - 2c) = 3c + 2d - d - 2c Slik kan du skrive: 3c + 2d + (- d - 2c) = 3c + 2d - d - 2c = c + d Vi kan summere opp: 3c + 2d + (d + 2c) = 3c + 2d + d + 2c 3c + 2d + (d - 2c) = 3c + 2d + d - 2c 3c + 2d + (- d + 2c) = 3c + 2d - d + 2c 3c + 2d + (- d - 2c) = 3c + 2d - d - 2c For det første: +-tegnet foran parentesen handler om parentesen. Dette fortegnet blir borte når parentesen blir borte. Men det forteller hva som skjer med fortegnene inni parentesen i det øyeblikket vi tar bort parentesen: Når vi oppløser en parentes, vil plussen foran parentesen forteller at fortegnene inni parentesen beholdes uforandret. 26

27 NIVÅ C Vi kunne sagt dette også på en annen måte: +(+) = + +(-) = - Dette er i samsvar med det vi konkluderte med i B.6 (Tall). Dermed har vi også illustrert at regneregler for tall blir identiske med reglene for algebra. Et poeng til: Se på løsningen på a)-oppgaven: 3c + 2d + (d + 2c) = 3c + 2d + d + 2c Legg merke til at + på venstre side av likhetstegnet: Det blir borte i og med at paretesen er borte. Hvilket + er det da som står foran d -leddet på høyre side? Husk hva som ble sagt i B.2 (Algebra): dersom det ikke er noe fortegn, menes pluss. Det gjelder også foran foran d - leddet på venstre side. Altså: Mellom parentesen og d står det et +. Vi kan godt skrive dette +- tegnet. I så fall ser oppgave a) slik ut: 3c + 2d + (+ d + 2c) = 3c + 2d + d + 2c (Nå ser vi at pluss foran d-leddet er beholdt etter at parentesen er løst opp.) Men vi pleier ikke å skrive slike unødvendige pluss. Det som er sagt her gjelder også for alle andre steder der et tall eller en variabel står uten fortegn, for eksempel i oppgave b)! 27

28 NIVÅ C C.2: Løse opp parenteser når det er negativt fortegn foran parentesen: Eksempeloppgave: Løs opp parentesen og trekk sammen: a) 3f + 2g - (2f + g) = b) 3f + 2g - (2f g) = c) 3f + 2g - (- 2f + g) = d) 3f + 2g - (- 2f g) = KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP Her bygger på C.1 (Algebra),- og dermed på alle stegene som det steget bygget på. FORKLARING Vi går over til å behandle hvordan det går når vi løser opp parentes med negativt fortegn. Vi skal bruke de samme oppgavene som i C.1 (Algebra) bare med den forskjell at fortegnet foran parentesen er minus. a) Vi starter med den første oppgaven: 3f + 2g - (2f + g). Du starter altså med tre flasker og to glass med brus: Men så kommer en kamerat og ber om å få (derfor «minus») to flasker og ett glass med saft. Kan jeg få to saftflasker og ett glass med saft! Det ville være det samme som at kameraten din først ba om to saftflasker og etter en stund ba om ett saftglass. Dette siste ville vi skrevet slik: 3f + 2g 2f g. Med andre ord: 3f + 2g - (2f + g) = 3c + 2d 2f - g Slik kan du skrive: 3f + 2g - (2f + g) = 3f + 2g 2f - g = f + g 28

29 NIVÅ C b) Den neste oppgaven er: 3f + 2g - (2f g). Også her starter du med tre flasker og to glass med saft. Denne gangen ønsker han å få to flasker med saft, men fra disse flaskene kan du trekke fra innhold tilsvarende mengden saft som er i et glass: Kan jeg få to flasker med saft? Før du gir meg saften, kan du trekke fra så mye som det du får opp i et glass. Det ville være det samme som at kameraten din først ba om å få to flasker og etter en stund kom tilbake med et glass med saft. Dette siste ville vi skrevet slik: 3f + 2g - 2f + g. Med andre ord: 3f + 2g - (2f - g) = 3c + 2d 2f + g Slik kan du skrive: 3f + 2g - (2f - g) = 3f + 2g 2f + g = f + 3g c) Den neste oppgaven er: 3f + 2g - (- 2f + g). Også her starter du med tre flasker og to glass med saft: Nå kommer vennen din og ber om å helle ut mengden saft tilsvarende to flasker saft fra et glass med saft og at han fikk lov å drikke det som da var igjen i glasset. (Siden det denne gangen er snakk om miniflasker, er det nok saft i glasset til å fylle opp to flasker.) Men det ville være det samme som at vennen din først kom med to miniflasker med saft og etter en stund ba om å få glass med saft. Dette siste ville vi skrevet slik: 3f + 2g + 2f - g. Med andre ord: 3f + 2g - (- 2f + g) = 3f + 2g + 2f g Slik kan du skrive: 3f + 2g - (- 2f + g) = 3f + 2g + 2f - g = 5f + g 29

30 NIVÅ C d) Den neste oppgaven er: 3t + 2h - (- 2t - h). Her tenker vi på penger. Du starter med at du har vært i banken og tatt ut tre tusenlapper og to hundrelapper: Nå kommer vennen din til deg og sier at fra den gjelden du hadde til ham kan du trekke fra to tusenlapper og du kan trekke fra en hundrelapp. Det ville være det samme som at han kom med to tusenlapper til deg og etter en stund kom med en hundrelapp. Med andre ord: 3t + 2h - (- 2t - h) = 3t + 2h + 2t + h Slik kan du skrive: 3t + 2h - (- 2t - h) = 3t + 2h + 2t + h = 5t + 3h Oppsummert: 3f + 2g - (2f + g) = 3f + 2g 2f - g 3f + 2g - (2f - g) = 3f + 2g 2f + g 3f + 2g - (- 2f + g) = 3f + 2g + 2f - g 3t + 2h - (- 2t - g) = 3t + 2h + 2t + h På nytt: Det første: --tegnet foran parentesen handler om parentesen: Du skal samtidig trekke fra det som står inni parentesen. Dette fortegnet blir borte når parentesen blir borte. Men det forteller hva som skjer med fortegnene inni parentesen i det øyeblikket vi tar bort parentesen: Når vi oppløser en parentes, vil minus foran parentesen fortelle at fortegnene inni parentesen endres til det motsatte tegnet! Vi kunne sagt dette også på en annen måte: -(+) = - -(-) = + Dette er i samsvar med det vi konkluderte med i B.6 (Tall). 30

31 NIVÅ C Ser vi C.1 (Algebra) og dette punktet i sammenheng, ser vi altså: +(+) gir + +(-) gir - -(+) gir - - (-) gir + Når du løser opp en parentes, vil to like tegn gi pluss og to ulike tegn gi minus! KJEKT Å VITE Har du truffet noen som forteller deg at «minus og minus gir pluss» er noe du bare må godta fordi det ikke kan bevises? Her kommer et bevis for at (-a) = a. Grunnlaget for beviset er regelen om at det finnes motsatte tall, som vi omtalte i B.6 (Tall). Denne regelen er et aksiom. (Aksiomer ble omtalt i A.1 (Algebra).) Regelen sier at til ethvert tall (for eksempel a) finnes et annet tall (b) slik at a + b = 0. Da er b det motsatte tallet til a. b kan vi skrive som a. Regelen sier da at til ethvert tall (for eksempel a) finnes en a slik at a + (-a) = 0. Men da må også a ha et motsatt tall. Tilsvarende skriver vi det (-a). Men ettersom a er det motsatte av a, så må a være det motsatte av a. Altså: -(-a) = a. 31

32 NIVÅ C C.3: Oppgaver hvor det flere ganger forekommer parentesuttrykk: Eksempel-oppgave: Løs opp parentesene og trekk sammen: 4c + (-d + 3c + 2) (- 2d - c + 5)= KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP Her bygger på C.1 (Algebra) og C.2 (Algebra). FORKLARING Dette er et av de viktigste stegene i algebra. Dersom du behersker dette steget, er du godt forberedt til mange vanskeligere oppgaver. Legg merke til følgende råd, som egentlig kunne vært sagt for flere steg siden: Dersom du møter en vanskelighet: Prøv å redusere oppgaven til en oppgave du kan fra før! Slik kan du skrive: 4c + (-d + 3c + 2) (- 2d - c + 5) = 4c d + 3c d + c 5 = 8c + d 3 Vi har skrevet opp oppgaven uforandret Vi har brukt stegene C.1 (Algebra) og C.2 (Algebra) til å løse opp parentesene. (Vi reduserer altså C.3-oppgaven til en C.1- og en C.2-oppgave.) Nå har vi kommet ned på B- nivået. Vi har brukt B.2 (Algebra) til å telle opp leddene med c for seg, leddene med d for seg og leddene uten noen variabler for seg. Vi har funnet svaret! ADVARSEL: Gjennom mange år i ungdomsskolen, er det ett ledd som ofte får feil fortegn når en løser opp parentesen: Det er de leddene som er markert med fet skrift og mørkerød farge her: 4c d + 3c d + c 5 = Hvis du ser på linja over, er det altså ledd hvor det er minus foran parentesen og minus inni parentesen. Hvis du er spesielt oppmerksom på disse leddene, vil du kanskje unngå denne vanlige feilen. 32

33 NIVÅ C C.4: Regne ut verdien av uttrykk med parentesuttrykk når det settes inn positiv verdi av den variable: Eksempel-oppgave: Sett inn s = 4 i uttrykket 5 (3s 2) og regn ut verdien av uttrykket. KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP Her bygger vi på B.3 (Algebra). Som B.3 (Algebra) peker dette framover mot viktige anvendelsesområder for algebra. FORKLARING I alle punktene C.1-C.3 måtte vi løse opp parentesen for å kunne forenkle (trekke sammen) uttrykket. Men her er det unødvendig: Her bruker vi hovedregelen (se D.5 (Tall)) om at vi først regner ut det som står inni parentesen. Slik kan du skrive: 5 (3s 2) = Vi har skrevet opp uttrykket uforandret. 5 (3 4 2) = Vi har byttet ut variabelen med verdien 4 (vi har satt inn verdien 4 for variabelen). Samtidig har vi husket at når det ikke står noe mellom to variabler eller mellom et tall og en variabel, menes det gange (se D.5 Tall)). 5 (12 2) = Vi har regnet ut multiplikasjonen, se B.3 (Tall) = Vi har brukt B.2 (Tall). -5 Vi har brukt B.5 (Tall) og funnet svaret. 33

34 NIVÅ C C.5: Multiplikasjon av potenser med samme grunntall: Eksempel-oppgave: Skriv som én potens: a 3 a 2 = KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP Vi bygger på definisjonen av potenser, se E.1 (Tall). FORKLARING I E.1 (Tall) definerte vi potenser. Det er ingen ny definisjon her. Forskjellen til E.1 (Tall) er at her er grunntallet en variabel: a 3 = a a a. Dersom en skal multiplisere a 3 med a 2, blir resultatet: a 3 a 2 = (a a a) (a a) = a a a a a = a 3+2 = a 5 (Vi kunne sløyfe parentesene etter første likhetstegn ut fra «den assosiative lov for multiplikasjon», se E.5 (Tall).) I oppgaven er grunntallet en variabel. Eksponenten kan også være en variabel: a n = a a (Vi tar med de tre prikkene for å fortelle at det til sammen er n faktorer som alle er lik a.) Når vi skal multiplisere to potenser med samme grunntall kan vi skrive: a m a n = a a a a = a m+n m + n Når vi multipliserer to potenser med samme grunntall, kan vi gjøre det ved å beholde grunntallet og addere eksponentene. 34

35 NIVÅ C C.6: Lage et uttrykk hvor en variabel er et multiplum av en annen Eksempel-oppgave: Per I. Skop skal kjøpe is til jentene på et fotball-lag. Hver is koster 15 kr. Lag et uttrykk som viser hva n is vil koste. KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP I B.3 (Algebra) og C.4 (Algebra) skulle vi regne ut verdien av et uttrykk. Denne gangen skal vi lage et uttrykk. FORKLARING Utgiftene som Per I. Skop får kaller vi U. Vi vet at når vi får greie på hvor mange is Per I. Skop skal kjøpe, finner vi utgiftene ved å gange antall is med 15 kr: Dersom han kjøper 10 is, blir utgiftene kr = 150 kr. Dersom han kjøper 20 is, blir utgiftene kr = 300 kr. Dersom han kjøper n is, blir utgiftene n 15 kr = 15n kr Sagt svært kort, blir uttrykket: U = 15n 35

36 NIVÅ C 36

37 NIVÅ D NIVÅ D: UTTRYKK MED POTENSER + DEN DISTRIBUTIVE LOV + INNSETTING I UTTRYKK MED DEN DISTRIBUTIVE LOV D.1 er et nøkkel-steg for behandling av potenser. Dessuten introduserer vi den distributive loven: Sammenhengen mellom å legge til/trekke fra og gange/dele variabler. D.4 er nøkkel-steget. Vi setter inn verdier for variabler i uttrykk hvor den distributive lov forekommer, men nå setter vi inn både positive og negative verdier. Dessuten skal vi lære å lage uttrykk hvor den ene variabelen er en gitt størrelsen større eller mindre enn den andre. 37

38 NIVÅ D D.1: Regne ut uttrykk med potens: Eksempel-oppgave: Regn ut: 4a 2a 2 3a 3 + 2a 2 = BEGREPER I hvilken rekkefølge skal regneoperasjonene utføres? I E.3 (Tall) slo vi fast følgende rekkefølgeregler: 1. Først regner en ut en potens. 2. Deretter multipliserer en eller dividerer en. 3. Til slutt adderer en eller subtraherer. Det er logisk at det må være de samme reglene for regning med variabler som for regning med tall: Sett inn verdien a = 5. Da vil eksempel-oppgaven bli: De samme rekkefølgereglene gjelder også her = KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP I tillegg til punktene E.1 (Tall), E.2 (Tall) og nr. E.5 (Tall) og B.2 (Algebra). FORKLARING Når du skal regne med potenser, multiplikasjon og addisjon, er rekkefølgen for hva du skal regne først, svært viktig. Reglene er at en skal først regne ut potensene, deretter skal en multiplisere eller dividere og til slutt addere eller subtrahere, - se E.3 i (Tall). Dette hjelper en til å vite hvordan for eksempel 4a 3 skal forstås. (Husk at det er bare a som er grunntallet, - og ikke 4a) Du skal først regne ut potensen: 4a 3 = 4 a a a Dersom en ville at 4a skulle være grunntallet, så måtte en overprøve rekkefølgereglene ved å sette parentes: (4a) 3 = 4a 4a 4a. 38

39 NIVÅ D Slik kan du skrive: 4a 2a 2 3a 3 + 2a 2 = Vi har skrevet opp oppgaven uforandret 4 2 a a 2-3a 3 + 2a 2 = Vi har brukt «den kommutative lov for multiplikasjon» slik at to ledd har byttet plass i første ledd. 8 a 1+2-3a 3 + 2a 2 = I første ledd har vi ganget tallene med hverandre og brukt regnereglene for potenser. 8a 3-3a 3 + 2a 2 = 5a 3 + 2a 2 Vi har regnet ut eksponenten i første ledd. Vi har trukket sammen leddene etter reglene i B.2 (Algebra). 39

40 NIVÅ D D.2: Multiplisere tall med en parentes (bruke den distributive lov): Eksempel-oppgave: 3a(a + 2) = BEGREPER Den distributive lov: I C.2 (Tall), sa vi følgende: Når du multipliserer et tall med en parentes, kan du gjøre det ved å gange tallet med hvert av leddene i parentesene: I algebra blir dette formulert slik: 2 23 = 2 (20 + 3) = = = 46. a (b + c) = a b + a c. Med denne formuleringen har vi slått fast at loven gjelder for alle tall og uttrykk som står på a-plassen og b- og c-plassen. KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP Her bygger vi på C.2 (Tall), B.3 (Tall) og C.5 (Algebra). FORKLARING Den distributive lov har vi allerede illustrert i definisjonen overfor. Den kan illustreres på to andre måter: Først tenker vi at du møter en venn: Han gir deg to poser. I hver av posene er det en japp og to daim. Vi skriver dette slik: 2 (j + 2d). Men dette vil være det sammen som at vennen din ga deg to japper og fire daim. Det ville vi skrive slik: 2j + 4d. Altså: : 2 (j + 2d) = 2 j d = 2j + 4d 40

41 NIVÅ D Men vi kan også illustrere den distributive lov geometrisk: Vi tar fram to tepper b c a Arealet til det rosa teppet er a b. Mens arealet til det brune teppet er a c. Til sammen blir arealet: a b + a c. Nå kan vi sy teppene sammen: (b + c) a Arealet er nå a (b + c). Disse arealene må være like store. Altså: a (b + c) = a b + a c Vi løser eksempel-oppgaven: Slik kan du skrive: 3a(a + 2) = 3a a + 3a 2 = 3a a = 3a 2 + 6a Vi har skrevet opp oppgaven uforandret. Vi har brukt den distributive lov. Husk at dersom det ikke står noe mellom et tall og en variabel (her: 3 og a), så menes det gange. Vi har brukt regnereglene for potens (C.5 (Algebra))og den kommutative lov for multiplikasjon, se B.3 (Tall). Vi har multiplisert 3 og 2, - og har kommet fram til svaret. 41

42 NIVÅ D Når vi er trygge på hvordan vi skal tenke når vi løser denne oppgaven, kan vi sløyfe de to midterste linjene. Stemmer det med tallregning? I starten kan det virke pussig at en skal gange et tall utenfor en parentes med begge leddene inni parentesen. Holder det ikke å gange tallet utenfor parentesen med bare det første tallet inni parentesen? Hypotese: a (b + c) = a b + c Vi tester hypotesen vår ved å regne en enkel oppgave med tall. Steg 1: Velg et tall, for eksempel 15 Steg 2: Skriv tallet du valgte som et produkt: 15 = 3 5 Steg 3: Skriv den siste faktoren som en sum: 15 = 3 (2 + 3) Steg 4: Regn ut i henhold til vår hypotese: 15 = 3 (2 + 3) = Steg 5: Regn ut produktet og legg sammen: 15 = 3 (2 + 3) = = = 9 Du har fått et meningsløst utsagn, nemlig at 15 = 9. Konklusjon: Ettersom regnereglene for algebra må stemme med regnereglene for tallregning, må vår hypotese være gal. 42

43 NIVÅ D D.3: Multiplisere tall med en parentes som inneholder minus: Eksempel-oppgave: 2(5x y) = KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP Her bygger vi på C.2 (Algebra) og D.2 (Algebra). FORKLARING Eksempel-oppgaven har minus (i stedet for pluss) før siste ledd. Hvordan skal en regne ut oppgaver av typen a(b-c)? Vi skal gå gjennom to begrunnelser for løsningsmetoden. Først en illusrerende (ved hjelp av tepper) og deretter et formelt, teoretisk bevis. I D.2 (Algebra) begrunnet vi den distributive lov ved hjelp av tepper. Det kan vi også gjøre her. Vi har de samme to teppene som vi hadde i D.2 (Algebra): b c a Arealet til det rosa teppet er a b. Mens arealet til det brune teppet er a c. Nå legger vi det brune teppet oppå det rosa: b-c a Vi kan regne ut arealet av den delen av det rosa teppet som vi nå ser, på to måter: Enten tar vi arealet av det rosa teppet og trekker fra arealet av det brune teppet: ab ac. Eller vi kan ta arealet av den biten vi ser ved å gange lengden med bredden: a(b-c). Disse to måtene å regne arealet på må gi det samme svaret. Altså: a(b c) = ab - ac 43

44 NIVÅ D Dette er en variant av den distributive lov. Et formelt bevis for denne regneregelen går slik: ab ac = ab + (-ac) = ab + (a(-c)) = ab + a(-c) = a(b + (-c)) = a(b c) Vi har skrevet oppgaven uforandret Vi har brukt regnereglene i C.2 (Algebra). Vi har brukt regneregelen i C.6 (Tall). Vi har sløyfet den ytterste parentesen, - den er nå unødvendig. Vi har brukt den distributive lov. Vi har brukt regnereglene i C.2 (Algebra). Nå kan vi løse eksempel-oppgaven: Slik kan du skrive: 2(5x y) = Vi har skrevet oppgaven uforandret. 2 5x - 2 y = Vi har brukt den distributive lov. Vi har fått to ledd som begge inneholder et produkt. 10x 2y Vi har regnet ut produktene og funnet svaret. 44

45 NIVÅ D D.4: Oppgaver hvor en flere ganger må bruke den distributive lov: Eksempel-oppgave: Regn ut og trekk sammen: b(2a + 4b) 2a(- 3a 5b) = KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP Her bygger vi på D.1 (Algebra), D.2 (Algebra) og D.3 (Algebra). FORKLARING I D.2 (Algebra) hadde vi to forklaringer: En forklaring hvor vi laget en matematikkfortelling og en teoretisk forklaring hvor vi brukte den distributive lov. I denne oppgaven skal vi bruke den siste forklaringen. I denne eksempel-oppgaven må vi bruke den distributive lov to ganger, - én gang på b(2a + 4b) og én gang på 2a(-3a 5b). Den distributive lov lyder: a(b + c) = ab + ac I det første produktet, b(2a + 4b), er: a = b b = 2a c = 4b I det andre produktet, 2a(-3a 5b), er: a = 2a b = -3a c = -5b Vi løser oppgaven slik vi gjorde i D.3 (Algebra): Slik kan du skrive: b(2a + 4b) 2a(-3a 5b) = Vi har skrevet opp oppgaven uforandret. (b 2a + b 4b) (2a (-3a) + 2a (-5b)) = Vi har brukt den distributive lov. (2ab + 4b 2 ) (-6a 2 + (-10ab)) = (2ab + 4b 2 ) (-6a 2-10ab) = 2ab + 4b 2 + 6a ab = 6a ab + 4b 2 Vi har brukt den kommutative lov for multiplikasjon og reglene for potensregning. Vi har fått en C-oppgave! Vi har løst opp parentesen inni den siste parentesen. Vi har løst opp parentesene. Vi har trukket sammen og funnet svaret. Legg merke til at vi har ordnet leddene i alfabetisk rekkefølge. 45

46 NIVÅ D Mange sløyfer andre og tredje linje. Med trening er det greit at en sløyfer disse linjene. Løsningen blir da slik: Slik kan du skrive: b(2a + 4b) 2a(-3a 5b) = (2ab + 4b 2 ) (-6a 2-10ab) = 2ab + 4b 2 + 6a ab = 6a ab + 4b 2 Vi har skrevet opp oppgaven uforandret. Vi har multiplisert inn faktoren foran parentesene inn i parentesene. Vi har fått en oppgave på C-nivået! Vi har løst opp parentesene. Vi har trukket sammen og funnet svaret. Når vi skriver løsningen på denne måten, påvirkes ikke fortegnene men bare leddenes størrelser når vi går fra første til andre linje. Når vi går fra andre til tredje linje, påvirkes bare fortegnene, men ikke leddenes størrelser. Men dette er en enkel huskeregel, - og er ikke særlig god matematikk. Huskeregelen svikter i for eksempel denne oppgaven, - mens den første gjennomgangen holder: 5a (-4)(-2a + 3) = 46

47 NIVÅ D D.5: Sette inn verdier av den variable i uttrykk hvor den distributive lov forekommer: Eksempel-oppgave: Sett inn p = -5 i uttrykket -2(3p -5) og regn ut. KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP Her bygger vi på C.4 (Algebra) i kombinasjon med C.5 (Tall) og D.5 (Tall). FORKLARING På nytt: Vi må huske på at parenteser i matematikk sier at en først skal regne ut det som står inni parentesen først, jfr D.5 (Tall). Slik kan du skrive: -2 (3p 5) = Vi har skrevet opp oppgaven uforandret. -2 (3 (-5) 5) = Vi har satt inn verdien -5 på p s plass. Når vi nå går videre må vi huske at vi følger de generelle rekkefølgereglene (se D.5 (Tall)) når vi skal regne ut verdien av parentesen. -2 (-15 5) = Vi har brukt reglene for multiplikasjon av negative tall, jfr C.5 (Tall). -2 (-20) = Vi har brukt reglene for subtraksjon av negative tall, jfr B.7 (Tall). 40 Vi har brukt reglene for multiplikasjon av negative tall, jfr C.5 (Tall). Dermed har vi funnet svaret. 47

48 NIVÅ D D.6: Lage uttrykk som viser sammenhengen mellom to variabler hvor den ene er en fast størrelse større eller mindre enn den andre. Eksempel-oppgave: Reidun plukker markjordbær til seg og lillesøsteren sin. Reidun lover at uansett hvor mange bær hun plukker skal søsteren få 10 bær. Resten skal Reidun få spise selv. Lag et uttrykk som visser hvor mange markjordbær Reidun kan spise selv dersom hun plukker n bær. KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP Dette er en variant av C.6 (Algebra). FORKLARING Antall bær som Reidun kan spise selv, kaller vi f.eks. b. Dersom Reidun finner 15 markjordbær, skal hun gi lille søsteren 10. Hun kan derfor spise 5 bær: = 5. Dersom Reidun finner 30 markjordbær, skal hun gi lille søsteren 10. Hun kan derfor spise 20 bær: = 20. Dersom Reidun finner n markjordbær, skal hun gi lille søsteren 10. Hun kan derfor spise: (n 10) bær. Uttrykket blir derfor b = n

49 NIVÅ E NIVÅ E: FAKTORISERE VED HJELP AV DEN DISTRIBUTIVE LOV + INNSETTING I UTTRYKK MED ANNENGRADSLEDD + MULTIPLIKASJON AV POLYNOMER Vi skal lage uttrykk hvor vi setter sammen steg fra C- og D-nivået. Den distributive lov forteller om sammenhengen mellom multiplikasjon og addisjon. På forrige nivå regnet vi ut et tall/en variabel multiplisert med et polynom. Her bruker vi den distributive lov «motsatt vei»; - og da kalles det å faktorisere. Så setter vi inn positive og negative verdier for variablene i uttrykk som inneholder potenser. Vi utvider den distributive lov til å multiplisere to polynomer; - og da kjenner vi ingen grenser: Da kan vi multiplisere polynomer så mange ganger vi måtte ønske. 49

50 NIVÅ E E.1: Lage et uttrykk som viser sammenhengen mellom to variabler hvor nødvendige opplysninger gis eksplisitt. Eksempel-oppgave: Stian kjører til «Bra Billig» for å kjøpe brus. Hver brus koster 30 kr. I tillegg må Stian betale parkeringsavgift på 20 kr. Lag et uttrykk for utgiftene til Stian dersom hankjøper n brus. KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP Her kombinerer vi C.6 (Algebra) og D.6 (Algebra). FORKLARING Utgiftene til Stian kaller vi U. Vi merker oss at uansett hvor mange brus Stian kjøper, må han legge til 20 kr. Det ligner på D.6 (Algebra), hvor Reidun måtte trekke fra 10 bær uansett hvor mange bær hun plukket. Et øyeblikk glemmer vi parkeringsavgiften. Da likner oppgaven på C.6 (Algebra): Stians utgifter til brusen er 30 kr ganget med antall brus. Dersom han kjøper n brus blir disse utgiftene 30n kr. Til disse utgiftene, må Stian altså legge til 20 kr. De totale utgiftene blir da: U = 30n

51 NIVÅ E E.2: Faktorisere flerleddet uttrykk: Eksempel-oppgave: Faktoriser følgende uttrykk: 25xy 30x 2 = BEGREPER Ikke-reduserbare uttrykk: Uttrykk som bare kan deles med 1 og med seg selv. Faktorisere: Å skrive at uttrykk som et produkt av ikke-reduserbare faktorer. Det er en sammenheng mellom primtallsfaktorisering og det vi skal lære her: Hovedsaken er å skrive et uttrykk som et produkt av så små faktorer som mulig. KOPLING TIL TIDLIGERE KUNNSKAP Her bygger vi på D2 (Algebra). FORKLARING I B.3 (Tall) så vi at 7 3 = 21. I C.1 (Tall) gikk vi motsatt vei og sa at 21 = 3 7. Det siste kalte vi en faktorisering. Denne gangen skal vi ta utgangspunkt i den distributive lov slik den ble presentert i D.2 (Algebra), - og snu rekkefølgen. Den distributive lov fastslår at a(b-c) = a b-a c. Men da må også følgende være riktig: a b - a c = a(b - c). a b + a c er en sum av to ledd. a er faktor i begge leddene. Da kan a settes utenfor en parentes. Vi har fått til en faktorisering: Verken a eller (b-c) kan deles med andre tall eller uttrykk enn 1 og seg selv. a b + a c er derimot delelig med a. Nå skriver vi: 25xy 30x 2 = 5 5 x y x x = 5 x 5 y - 5 x 2 3 x Vi har faktorisert hvert av leddene. (Men selv om hvert ledd er faktorisert, så er uttrykket fortsatt en differanse av to ledd.) Se på den distributive lov: ab - ac. På ab sin plass står det 5 x 5 y. På ac sin plass står det 5 x 2 3 x. Siden 5 x er felles i begge leddene, kan vi si: 5x er på a sin plass. 51

52 NIVÅ E På plassen til b står det: 5 y. På plassen til c står det 2 3 x. Vi kan nå løse eksempel-oppgaven: Slik kan du skrive: 25xy 30x 2 = 5 5 x y x x = 5x(5y 6x) Vi har skrevet opp oppgaven uforandret. Vi har faktorisert hvert av leddene. Vi har satt felles faktor utenfor parentes, og har faktorisert uttrykket. KJEKT Å VITE Se på D.1 (Algebra), hvor fikk svaret 5a 3 + 2a 2. Problemstillingen er: Kan vi utdype hvorfor vi ikke kan trekke sammen disse to leddene? Før vi svarer på dette, kan vi svare på dette spørsmålet: Kan vi utdype hvorfor vi kan trekke sammen 8a 3-3a 3? Nå får vi bruk for det vi har lært i dette steget: Vi vil faktorisere 8a 3-3a 3 : Dette var svaret som vi forventet. Vi vil nå faktorisere 5a 3 + 2a 2 : 8a 3-3a 3 = a 3 (8-3) = a 3 5 = 5a 3. 5a 3 + 2a 2 = a 2 (5a + 2). Dette produktet gir oss ikke noen enkelt oppgave som 8-3. Det forsterker kunnskapen om at 5a 3 + 2a 2 ikke kan trekkes sammen. 52