Oppfriskningskurs dag 1

Transkript

1 Oppfriskningskurs dag 1 og ligninger Steffen Junge Oppfriskningskurs i matematikk august 2009

2 Outline 1

3 Outline 1

4 Typiske problem Ranger følgende brøker etter størrelse: 1 2, 7 12, 2 3, 5 8, Regn ut

5 Typiske problem Ranger følgende brøker etter størrelse: 1 2, 7 12, 2 3, 5 8, Regn ut

6 Regneregler for brøker La a, b, c, d 0 a b = ac bc Kan brukes begge veier! a b + c b = a + c b

7 Regneregler for brøker La a, b, c, d 0 a b = ac bc Kan brukes begge veier! a b + c b = a + c b

8 Regneregler for brøker La a, b, c, d 0 a b = ac bc Kan brukes begge veier! a b + c b = a + c b

9 Regneregler for brøker La a, b, c, d 0 a b = ac bc Kan brukes begge veier! a b + c b = a + c b

10 Eksempler Skriv om x 2 + x x + 1 Skriv om Skriv om. Regn ut: 1 n 1 n x x x 3 + x 2 + 6x x 3 + 3x

11 Eksempler Skriv om x 2 + x x + 1 Skriv om Skriv om. Regn ut: 1 n 1 n x x x 3 + x 2 + 6x x 3 + 3x

12 Eksempler Skriv om x 2 + x x + 1 Skriv om Skriv om. Regn ut: 1 n 1 n x x x 3 + x 2 + 6x x 3 + 3x

13 Eksempler Skriv om x 2 + x x + 1 Skriv om Skriv om. Regn ut: 1 n 1 n x x x 3 + x 2 + 6x x 3 + 3x

14 Eksempler Skriv om x 2 + x x + 1 Skriv om Skriv om. Regn ut: 1 n 1 n x x x 3 + x 2 + 6x x 3 + 3x

15 Outline 1

16 La a, b være tall, da er: a 2 b 2 = (a + b)(a b) a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 Kan brukes begge veier! a 2 + b 2 2ab = (a b) 2

17 La a, b være tall, da er: a 2 b 2 = (a + b)(a b) a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 Kan brukes begge veier! a 2 + b 2 2ab = (a b) 2

18 La a, b være tall, da er: a 2 b 2 = (a + b)(a b) a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 Kan brukes begge veier! a 2 + b 2 2ab = (a b) 2

19 La a, b være tall, da er: a 2 b 2 = (a + b)(a b) a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 Kan brukes begge veier! a 2 + b 2 2ab = (a b) 2

20 La a, b være tall, da er: a 2 b 2 = (a + b)(a b) a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 Kan brukes begge veier! a 2 + b 2 2ab = (a b) 2

21 eksempler Skriv om x 1 x er et produkt av to oddetall - hvilke? Vis at a 2 + b 2 2ab uansett verdien av tallene a, b. Bruk følgende figur til å bevise Pythagoras setning.

22 eksempler Skriv om x 1 x er et produkt av to oddetall - hvilke? Vis at a 2 + b 2 2ab uansett verdien av tallene a, b. Bruk følgende figur til å bevise Pythagoras setning.

23 eksempler Skriv om x 1 x er et produkt av to oddetall - hvilke? Vis at a 2 + b 2 2ab uansett verdien av tallene a, b. Bruk følgende figur til å bevise Pythagoras setning.

24 eksempler Skriv om x 1 x er et produkt av to oddetall - hvilke? Vis at a 2 + b 2 2ab uansett verdien av tallene a, b. Bruk følgende figur til å bevise Pythagoras setning.

25 Outline 1

26 Potenser La p, q være rasjonale tall (dvs brøker) og x > 0, da er: x p = 1 x p x p+q = x p x q (x p ) q = x pq

27 Potenser La p, q være rasjonale tall (dvs brøker) og x > 0, da er: x p = 1 x p x p+q = x p x q (x p ) q = x pq

28 Potenser La p, q være rasjonale tall (dvs brøker) og x > 0, da er: x p = 1 x p x p+q = x p x q (x p ) q = x pq

29 Potenser: Eksempler Regn ut: ( 1 3 ) Trekk sammen: (3 3n + 3 3n )(3 3n 3 3n ) Regn ut ( 2 8 ) 2

30 Potenser: Eksempler Regn ut: ( 1 3 ) Trekk sammen: (3 3n + 3 3n )(3 3n 3 3n ) Regn ut ( 2 8 ) 2

31 Potenser: Eksempler Regn ut: ( 1 3 ) Trekk sammen: (3 3n + 3 3n )(3 3n 3 3n ) Regn ut ( 2 8 ) 2

32 Potenser: Eksempler Regn ut: ( 1 3 ) Trekk sammen: (3 3n + 3 3n )(3 3n 3 3n ) Regn ut ( 2 8 ) 2

33 Outline 1

34 Tallet x måler avstanden fra x til 0 på tall-linjen. Tallet x a måler avstanden fra x til tallet a på tall-linjen. Dette er den klart enkleste måte at forstå tallverdi på!

35 Tallet x måler avstanden fra x til 0 på tall-linjen. Tallet x a måler avstanden fra x til tallet a på tall-linjen. Dette er den klart enkleste måte at forstå tallverdi på!

36 Tallet x måler avstanden fra x til 0 på tall-linjen. Tallet x a måler avstanden fra x til tallet a på tall-linjen. Dette er den klart enkleste måte at forstå tallverdi på!

37 Tallet x måler avstanden fra x til 0 på tall-linjen. Tallet x a måler avstanden fra x til tallet a på tall-linjen. Dette er den klart enkleste måte at forstå tallverdi på!

38 eksempler Finn alle x slik at x 1 < x Finn alle x slik at 1 < x 1 < 2

39 eksempler Finn alle x slik at x 1 < x Finn alle x slik at 1 < x 1 < 2

40 eksempler Finn alle x slik at x 1 < x Finn alle x slik at 1 < x 1 < 2

41 Outline 1

42 Ligningsregler En ligninge r et blansert uttrykk. Man kan: Multiplisere begge sider av en ligning med det samme tallet. (ikke 0) Addere det samme tallet til begge sider av en ligning.

43 Ligningsregler En ligninge r et blansert uttrykk. Man kan: Multiplisere begge sider av en ligning med det samme tallet. (ikke 0) Addere det samme tallet til begge sider av en ligning.

44 Ligningsregler En ligninge r et blansert uttrykk. Man kan: Multiplisere begge sider av en ligning med det samme tallet. (ikke 0) Addere det samme tallet til begge sider av en ligning.

45 Noen ligningsfakta Vi kan ha flere ligninger med flere ukjente. En ligning kan ha 0, 1, 2, 3, 4, 5,... eller uendelig mange løsninger. Dersom Ax 2 + Bx + C = 0 er x = B± B 2 4AC 2A

46 Noen ligningsfakta Vi kan ha flere ligninger med flere ukjente. En ligning kan ha 0, 1, 2, 3, 4, 5,... eller uendelig mange løsninger. Dersom Ax 2 + Bx + C = 0 er x = B± B 2 4AC 2A

47 Noen ligningsfakta Vi kan ha flere ligninger med flere ukjente. En ligning kan ha 0, 1, 2, 3, 4, 5,... eller uendelig mange løsninger. Dersom Ax 2 + Bx + C = 0 er x = B± B 2 4AC 2A

48 Noen ligningsfakta Vi kan ha flere ligninger med flere ukjente. En ligning kan ha 0, 1, 2, 3, 4, 5,... eller uendelig mange løsninger. Dersom Ax 2 + Bx + C = 0 er x = B± B 2 4AC 2A

49 Ligningseksempler 2x 1 = 3 xy = 1, x 2y = 1 x 2 + 2x + 1 = 0 x 4 + x 2 1 x = 1

50 Ligningseksempler 2x 1 = 3 xy = 1, x 2y = 1 x 2 + 2x + 1 = 0 x 4 + x 2 1 x = 1

51 Ligningseksempler 2x 1 = 3 xy = 1, x 2y = 1 x 2 + 2x + 1 = 0 x 4 + x 2 1 x = 1

52 Ligningseksempler 2x 1 = 3 xy = 1, x 2y = 1 x 2 + 2x + 1 = 0 x 4 + x 2 1 x = 1