Øving 3 Determinanter

Transkript

1 Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er null eller ikke. Determinanten kan beregnes som en kryssproduktkomponent mellom to vektorer. Det gjør det enklere å huske formelen. v = 8a, b, 0<; v = 8c, d, 0<; Cross@v, vd 80, 0, a d - b c< Determinanten til matriser av høyere orden beregnes ved å redusere determinantene til lavere dimensjoner fram til n =. a b c e f d f d e d e f F == a K OF - b K OF + c K OF h i g i g h g h i a e i - a f h - b d i + b f g + c d h - c e g a He i - f hl - b Hd i - f gl + c Hd h - e gl Simplify@%D True Determinanter kan utvikles langs vilkårlig rad eller søyle. Husk fortegnsskjemaet. Determinanter er et nyttig begrep i lineær algebra, som inngår i mange formler. Et likningssystem har entydig løsning når determinanten til koeffisientmatrisen er ulik null. Et inhomogent system A.x = b har ingen eller mange løsninger når det A = 0. Et homogent system A.x = 0 har uendelig mange løsninger når det A = 0. Når vi arbeider med inhomogene systemer, er vi ofte interessert i når systemet har entydig løsning, altså der det A ¹ 0. Arbeider vi med homogene systemer, derimot, vil x = 0 alltid være løsning og opsjonen ingen løsning faller bort. Siden den entydige løsningen da må være x = 0, er vi som oftest opptatt av når systemet har mange løsninger, mer interessante enn null-løsningen, og vi søker derfor løsninger der det A = 0. Et eksempel er egenverdier og egenvektorer som vi studerer i øvelse 4. Beregning av determinant kan også fortelle oss om matrisen er invertibel. Det er ingen vits i å starte prosessen med Gausseliminasjon dersom vi på forhånd kan avgjøre at matrisen ikke lar seg invertere. Enkleste eksempel er x matirise:

2 A = K a b O; c d Inverse@AD d c - b - a Vi gjenkjenner nevneren som det A. Det@AD d c - K d -b O -c a b - a Siden det A forekommer i nevneren, ser vi at det A ¹ 0 for at formelen er gyldig, dvs A er bare inverterbar når det A ¹ 0. Husk at likninssystemet A.x = v har entydig løsning x = A-.v som forutsetter at A- eksisterer, dvs. vi har entydig løsning når det A ¹ 0. Egenskaper ved determinanter.det (A. B) = Det (A) Det (B) = Det( B.A) husk at determinanten er et tall og rekkefølgen er derfor uten betydning.. Det( AT M = Det HAL siden determinanter kan beregnes enten radvis eller kolonnevis, har transponering ingen ting å si for resultatet. Determinanten til en diagonalmatrise er lik produktet av diagonalelementene. 4. Det (I) = enhetsmatrisen er en diagonalmatrise med -ere på diagonalen. 5. Det (A- M = DetHAL følger av pkt når B = A-, samt pkt 4 6. Det (An L = HDetHALLn følger av med B = An-. Her betyr An = A.A.A A (n ganger matriseprodukt) 7. Det( k A) = k n Det(A) matrisen k A framkommer ved at alle radene i A multipliseres med k Operasjoner på determinanter Du har lært i kurset at det er tre elementære operasjoner du kan gjøre på en totalmatrise til et likningssystem uten at løsningsmengden forandres. De rekkeekvivalente operasjonene er:. Rad x erstattes med rad x + k * rad y. Dette benytter du for å bygge opp nuller under og over diagonalen i Gausseliminasjonsprosessen... Bytte om rad x og rad y. Rekkefølgen av likningene i et likningssett er uten betydning.. Multiplisere rad x med en konstant. Dette er nyttig for å skape ledende enere, eller generelt for at nødvendig verdi av k i operasjon kan være et helt tall. Kan disse operasjonene også benyttes på determinanter for å oppnå flere posisjoner med nullelementer? I så fall reduseres regnetiden betydelig for å beregne determinanten. Ja, men med klare konsekvenser du må kjenne til. Du kan erstatte rad x med rad x + k rad y i determinanten uten at determinanten skifter verdi. Dette er derfor en nyttig operasjon for å forenkle regningen av determinanter ved å øke antall nuller. Bytter du om rad x og rad y, skifter determinanten fortegn. Du kompenserer for dette ved å multiplisere determinanten med -.

3 Kan disse operasjonene også benyttes på determinanter for å oppnå flere posisjoner med nullelementer? I så fall reduseres regnetiden betydelig for å beregne determinanten. Ja, men med klare konsekvenser du må kjenne til. Du kan erstatte rad x med rad x + k rad y i determinanten uten at determinanten skifter verdi. Dette er derfor en nyttig operasjon for å forenkle regningen av determinanter ved å øke antall nuller. Bytter du om rad x og rad y, skifter determinanten fortegn. Du kompenserer for dette ved å multiplisere determinanten med -. Multipliserer du en rad i determinanten med k, multipliseres determinantens verdi med k. Du kompenserer for dette ved å multiplisere determinanten med. k Når du tar hensyn til disse kompensasjonene, sikrer du at determinantens verdi er uforandret selv etter rekkeoperasjoner. Eksempel Beregn determinanten til matrisen A = Det A = - Det = - Det = - H L = = - Det = - Det K 4 0 O -5-7 Her har vi byttet om. og. rad for å få en ener i første posisjon ( ikke strengt tatt nødvendig, men det gjør at du kan multiplisere med heltallig verdi når vi siden benytter operasjon to ganger). Med to nuller i første søyle er det enkelt å beregne determinanten ved å utvikle etter denne søylen. Sjekk svaret i Mathematica: F 5 - Noen eksempler på inhomogene likningssystemer illustrerer dette poenget x+y+z= x +z=s x-y+rz= Clear@r, sd 0 - r ;b = s ; Det@AD 5-r Vi ser at det A = 0 når r = 5. Programmet drøfter ikke løsningsmengden for ulike verdier av parametrene, men gir det generelle svaret. Det er derfor viktig for brukeren å tolke resultatet i output- cellen.

4 4 0 s - r Hs-L +s r-5 4 Hs-L - r-5 - s + Hs-L - r-5 Igjen blir vi minnet på å studere tilfellene r ¹ 5 og r = 5. Vi ser også at s = krever spesiell behandling når r = 5. Eks Gitt likningssettet x+y+z= x +z= x-y+4z= r = 4; s = ; Vi finner en løsning x =-, y = -, z =0. Med r ¹ 5 får vi ikke problemer med s =. Eks Gitt likningssettet x+y+z= x +z= x-y+5z= 0 ;b = - r s ; r = 5; s = ; 0-5

5 Her får vi ingen løsning, da siste rad er inkonsistent. Merk at s ¹ Eks Gitt likningssettet x+y+z= x +z= x-y+5z= r = 5; s = ; 0 ;b = - r s ; Når vi får en hel rad med nuller, har vi en fri variabel ( den som ikke er forbundet med en ledende er), og vi får uendelig mange løsninger: x = - t, y = -+ t, z = t På vektorform: - x y = - + t z 0 Konklusjon : Likningssystemet har entydig løsning når r ¹ 5. Likningssystemet har uendelig mange løsninger når r =5, s =. Likningssystemet har ingen løsning når r = 5, s ¹ Cramer' s regel Hvis du er tilhenger av formler fremfor algoritmisk utregning, kan du lære deg denne regelen for å løse likningssett. Den benytter i stor grad determinanter. Når du har flere enn likninger, vil determinanter lett bli tidkrevende å regne med hvis du ikke benytter rekkeoperasjonene nevnt ovenfor for å bygge nullposisjoner. Vi illustrerer regelen ved å løse samme sett som i øving : x+y +4z = 5 x+ y = 7 -x +z = -

6 nanter lett bli tidkrevende å regne med hvis du ikke benytter rekkeoperasjonene nevnt ovenfor for å bygge nullposisjoner. Vi illustrerer regelen ved å løse samme sett som i øving : 6 x+y +4z = 5 x+ y = 7 -x +z = - Først må du skrive likningssettet på matriseform og beregne determinanten til koeffisientmatrisen : x y = 7 z - La oss kalle denne systemdeterminanten 4 0 F - 0 For å finne x, som representeres med første søyle, beregner du en ny determinant der første søyle i systemdeterminanten erstattes med søylevektoren på høyre side. Denne determinanten divideres med systemdeterminanten. x = F F - 0 Tilsvarende beregnes y og z ved å erstatte respektive søyler med søylevektoren på høyre side. y = z = F F F F - 0 Vi har altså igjen funnet løsningene x= y= z=5 Som du sikkert har innsett nå, kan oppgaver i lineær algebra ofte løses på mange ulike måter. Det kan være lurt å spesialisere seg i bestemte løsningsmetoder før du får den store oversikten over faget.

7 7 Oppgave Gitt matrisene ; B= ; 0 0 s - 0 Regn ut det A det B det HA.B - B.AL det A - Matrisene A og B brukes i oppgave og oppgave Oppgave La b = 0 - Løs Likningssystemet A.x = b i Mathematica. ved LinearSolve -kommandoen. Ved Gauss- eliminasjon ( bruk RowReduce-kommandoen på totalmatrisen og tolk svaret). Ved x = A-. b 4. Ved Cramer s regel. Oppgave Drøft likningssystemet B.x = b for ulike verdier av s. Velg en verdi av s som gir entydig løsning, Velg også en verdi av s der du ikke får løsning. Kan du få uendelig mange løsninger? Løs oppgaven med metode - 4 der det er relevant