Forord. Molde, august Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

Transkript

1 1 13. august 011

2 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset er å hjelpe studentene til kunne følge undervisningen i det obligatoriske kurset MAT100 Matematikk. Det viser seg at mange studenter har svake forkunnskaper i matematikk. Dette gjør det vanskelig å følge normal studieprogresjon i første studieår. Høgskolen forutsetter at studenter med svak bakgrunn i matematikk deltar ved forkurset i matematikk. Forkurset alene må imidlertid ikke oppfattes som et tilstrekkelig middel til å skaffe seg eventuelle manglende forkunnskaper, men heller som et supplement til nødvendig selvstudium. Molde, august 011. Per Kristian Rekdal Copyright c Høyskolen i Molde, 011.

3 Innhold 1 Grunnleggende emner Tall og tallsystemer Algebraiske uttrykk Faktorisering Brøkregning Forkorte og utvide brøker Sum av brøker Multiplikasjon og divisjon med brøker Potenser Rotstørrelser gradsligning med en ukjent gradsligning med to ukjente gradsligning med en ukjent Ulikheter Polynomdivisjon Absoluttverdi Funksjoner 45.1 Parabel Hyperbel Parameterisering Mer om funksjoner Derivasjon

4 Kapittel 1 Grunnleggende emner 1.1 Tall og tallsystemer Notasjon for tall: N = { 1,, 3, 4,... } (hele tall) (1.1) Z = {... 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4,... } (naturlige tall) (1.) Q = { a b a Z b N } (rasjonale tall) (1.3) R = mengden av reelle tall (alle tall på tall-linja) (1.4) Mengedesymbol, listeform: M = { 3, 6, 7, 9 } (endelig mengde) (1.5) Mengden kan være endelig eller uendelig. 4

5 Mengedesymbol, intervall: [a, b] = { x a x b } (alle reelle tall f.o.m. a t.o.m. b) (1.6) (lukket intervall) a, b = { x a<x<b } (ingen endepunkt er med) (1.7) (åpent intervall) a, b] = { x a < x b } (bare ene endepunktet er med) (1.8) (halvåpent intervall) [a, b = { x a x < b } (bare ene endepunktet er med) (1.9) (halvåpent intervall) 5

6 1. Algebraiske uttrykk Generelle regler for algebra: ( algebra = bokstavregning ) a + a = a (1.10) a + b = b + a (1.11) (a + b) = a b (1.1) (a b) = a + b (1.13) Husk: + foran parentes: foran parentes: ingen fortegnsending skifte alle fortegn i parentesen Ved regning med flerleddete uttrykk: 1) Samle sammen like ledd ved å summere koeffisientene ) Løs opp parenteser Eksempel: ( samle sammen like ledd ) ab 3a + b 5ab + 4b = 4ab 3a + 5b (1.14) Eksempel: ( løse opp parenteser og samle sammen like ledd ) (3ab + b) (ab + b + c) = 3ab + b ab b c = ab b c (1.15) 6

7 Parentesregler: a (b + c) = ab + ac (1.16) (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd (1.17) hvor lign.(1.17) har følgende spesialtilfeller: (a + b) = a + ab + b (1. kvadratsetning) (1.18) (a b) = a ab + b (. kvadratsetning) (1.19) (a + b)(a b) = a b (konjugatsetning) (1.0) hvor konjugatsetningen, dvs. lign.(1.0), forklares via (a + b)(a b) = a ab + ba b = a b (1.1) Husk, når man multipliserer ut parenteser: (+) (+) = + (+) ( ) = ( ) ( ) = + 7

8 Husk også: a = ( 1) a (1.) a b = a + ( b) (1.3) a b = b a (1.4) Eksempel: (xy + x)(4xy x) 4x (1 y) + x = 8x y x y + 4x y x 4x + 4x y + x = 8x y + 6x y 4x (1.5) Oppgaver : FoMa 1: 100, 101, 10 8

9 1.3 Faktorisering Definisjon: Faktorisering = decomponering av et objekt (f.eks. tall, uttrykk) til andre objekt, eller faktorer. Dette betyr at et objekt omskrives som et produkt av andre objekt. Eksempeler: ( enkeltstående uttrykk ) 54 = faktorisering av 54 { }} { (1.6) ledd {}}{ 6x y = 6 xxy (1.7) Eksempeler: ( flerleddete uttrykk ) ab + ac ad = a(b + c d) (1.8) ( fellesfaktor a i flerleddete uttrykk ) a b 4ab = a a b a b = a b (a ) (1.9) Eksempeler: ( kvadratsetningene og konjugatsetning er faktorisering ) a + ab + b = (a + b)(a + b) = (a + b) (1. kvadratsetning) (1.30) a ab + b = (a b)(a b) = (a b) (. kvadratsetning) (1.31) a b = (a + b)(a b) (konjugatsetning) (1.3) 9

10 Eksempler: 4a 0ab + 5b = (a 5b) (1.33) 8x 4 y 4 = (x 4 y 4 1) = (4x 4 y 4 1) = (x y 1)(x y + 1) (1.34) Oppgaver : FoMa 1:

11 1.4 Brøkregning Husk: Man kan aldri dele på Forkorte og utvide brøker Forkorting av en brøk: a c b c a b = a b = a c b c (forkorting av en brøk) (1.35) (utvidelse av en brøk) (1.36) hvor den siste ligningen kan forstås via a b = a b 1 = a b c c = a c b c (1.37) siden 1 = c c. Husk: man kan aldri dele på null dvs. b, c 0. Eksempler: 10 6 faktoriser = 5 3 forkort = 5 3 (1.38) a ab 3a 3b faktoriser = a (a b) 3 (a b) forkort = a 3 (1.39) 11

12 1.4. Sum av brøker Sum av brøk med samme nevner: a b + c b = a + c b (1.40) Eksempeler: ( Ved sum av brøker, utvid hver brøk slik at man får fellesnevner ) utvid = fellesnevner = (1.41) sum = = 13 1 (1.4) 1 3ab a 6b + a 9b utvid = 6 6 3ab 3a a 3a 6b + a a a 9b sum = 6 3a + a 18ab = 6 a 18ab fellesnevner = 6 18ab 3a 18ab + a 18ab (1.43) (1.44) 1

13 1.4.3 Multiplikasjon og divisjon med brøker Regler for multiplikasjon og divisjon med brøker: c a b a b c d a b : c d = c a b = a c b d = a d b c [1] (Tall multiplisert med brøk) (1.45) [] (Brøk multiplisert med brøk) (1.46) [3] (Brøk dividert med brøk) (1.47) hvor den siste ligningen, dvs. lign.(1.47), forklares via a b : c d = a b c d utvid = a d b c d d regel [1] = ad b c utvid = ad b b c b = a d b c (1.48) Nyttige huskeregler i forbindelse med utvidelse: det er lov å multiplisere og dele med samme tall ( utvidelse ) det er lov å multiplisere og dele med 1 = a a = b b = c c ( utvidelse ) Noen eksempler: x 4 regel [1] = x 4 faktoriser = forkort x = x (1.49) regel [] = faktoriser = forkort 10 1 (1.50) 1 5 : 4 15 = utvid = faktoriser = = 3 4 (1.51) 13

14 Eksempel: ( 1 a ) ( : 1 a 1 ) a 1 a + 1 = = = = regel [3] = = ( ) a 1 (a + 1)(a 1) + a + 1 : (a + 1)(a 1) ( a 1 a 1 + a + 1 ) ( ) a + 1 (a 1) : a 1 a + 1 ( ) ( ) a 1 + (a + 1) a + 1 a + 1) : a 1 a + 1 a a 1 : a + 1 a a 1 a + 1 a (a 1)( a + 1) a + 1 ( a + 1 a + 1 a 1 ) (1.5) a + 1 (1.53) (1.54) (1.55) (1.56) (1.57) = a a 1 (1.58) Oppgaver : FoMa 1:

15 1.5 Potenser Definisjon: a n = a } a {{ a... a} = n faktorer (1.59) hvor n= eksponent, n N, a = grunntall og a R. Potensregler: a m a n = a m+n (1.60) a n = 1 a n (1.61) a m a n = a m a n = a m n (1.6) a 0 = 1 (1.63) (a m ) n = a mn (1.64) (a b) n = a n b n (1.65) ( ) n a = an, b 0 (1.66) b b n og i tillegg a 0 = 1 (1.67) a 1 = a (1.68) 15

16 Noen eksempler: = 3 +5 = 3 7 (1.69) ( 3 ) 7 = 3 7 = 1 = 1 1 (1.70) ( ) 3 5 = 53 (1.71) 3 Standardform og normalform: = 10 3 (1.7) = 10 6 (en million) (1.73) 0, 001 = 10 3 (millimeter) (1.74) 0, = 6, (1.75) } {{ } standardfrom = 4, } {{ } normalform (1.76) Generelt med 10-potens: tall = a 10 n (1.77) hvor n Z and a [1,

17 Oppgaver : FoMa : 0, 03, 04, 05, 06, 07 17

18 1.6 Rotstørrelser Definisjon av kvadratrot: ( a 0 ) PS: Man kan IKKE ta kvadratroten av et negativt tall 1. a = det positive tallet som, opphøyd i, er a (1.78) m.a.o. ( a) = a a = a 1/+1/ = a 1 = a. Eksempler: 9 = 3 = 3 (M.a.o. : 3 = 9) (1.79) 5 = (.36...) = (M.a.o. : (.36...) = 5) (1.80) Regneregler: a = a = a 1 (1.81) ( a) = a (1.8) a b = a b, a, b 0 (1.83) a b = a b (1.84) Eksempler: 9 16 = 9 16 = 3 4 = 1 (1.85) 9 16 = 9 16 = 3 4 (1.86) 1 Komplekse tall er ikke et tema i dette kurset. 18

19 Generalisering: n a, a 0 (1.87) hvor n = roteksponent, n N, a = radikand og a R. Regneregler: n a = a 1 n (1.88) ( n a) n = a (1.89) a m n = (a 1 n ) m = ( n a) m (1.90) a m n = = 1 (a n) = 1 1 m ( n (1.91) a) m hvor lign.(1.89), forklares via ( n a) n = (a 1 n) n = a 1 n n = a 1 = a. Legg merke til at for n = i lign.(1.88) og (1.89), så reproduserer man lign.(1.81) og (1.8): a = a 1 (1.9) ( a) = a (1.93) 19

20 Eksempler: 3 utvid = 3 = 3 (1.94) 3 + utvid = ( 3 ) ( 3 + )( 3 ) = 3 3 = 6 (1.95) 1 3 utvid = + 3 ( 3)( + 3) = = + 3 (1.96) hvor konjugatsetning lign.(1.0) har blitt brukt i de to siste ligningene. Oppgaver : FoMa : 13, 14, 15, 16, 17 0

21 gradsligning med en ukjent En ligning på formen ax + b = 0 (1.97) kalles en 1. gradsligning. Her er a og b konstanter. Dette er ligninger med en ukjent variabelen x er i 1. potens, dvs. x = x 1 Eksempler: x 4 = 6 + x (1.98) x = 1 3 (1.99) Operasjoner: ( for å løse 1. gradsligninger (og andre type ligninger) ) Addere med samme tall på begge sider x 4 = 6 + x x 4+4 = 6 + x+4 (1.100) Subtrahere med samme tall på begge sider x 4 = 6 + x x 4 6 = 6 + x 6 (1.101) Multiplisere ( 0) med samme tall på begge sider x = 1 ( ) 4 x = (1.10) Dividere ( 0) med samme tall på begge sider 1 x 4 = 6 + x x 4 = 6 + x (1.103)

22 Eksempel: 3 (x + 7) = 1 (x + 1) x (1.104) 3 x 7 = 1 x + 1 x (Løs opp parentesene) (1.105) 1 x = (Samle x-leddet på venstre (1.106) side og tallene på høyre) x = ( 1 ) (Multipliser begge sider med ) (1.107) x = (1.108) x = (1.109) 3 x = x = (Finn fellesnevner på høyre side) (1.110) (Sum av brøker, se Eq. (1.40)) (1.111) x = 41 3 (1.11)

23 Eksempel: x 1 5x x = x = (1.113) (Samle x-leddene på venstre (1.114) side og tallene på høyre) 6 5x x 6 30x x x 13 30x x x ( 5) = = = 5 15 = (Fellesnevner på hver side) (1.115) (1.116) (1.117) (Faktorisering og forkorting) (1.118) = x( 1 ) (Multipliser med x) (1.119) 5 = ( 5)( 1 ) x (Multipliser med ( 5)) (1.10) 5 ( 5) = x (1.11) 13 6 = x (1.1) Oppgaver : FoMa 3: 301, 30 3

24 gradsligning med to ukjente En ligning på formen ax + by = c (1.13) kalles en 1. gradsligning med to ukjente, eller en lineær ligning med ukjente. Her er a og b konstanter. Dette er ligninger med to ukjente variabelene x og y er i 1. potens, dvs. x = x 1 og y = y 1 Eksempler: x + y 1 = 0 y = x + 1 (1.14) x y = 4 y = 1 x (1.15) Generelt kan slike ligninger skrives: y = a x + b (1.16) som bare er en alternativ måte å skrive lign.(1.13) på. Dette er en rett linje a = stigningstall b = skjæring med y-aksen 4

25 Førstegradsligninger med to ukjente, dvs. en rett linje, skrives ofte slik: y = x + 1 kan skrives f(x) = x + 1 (1.17) y = 1 x kan skrives g(x) = 1 x (1.18) Figur 1.1: Plott av f(x) og g(x). Å løse ligningen f(x) = g(x) kan gjøres på to måter: i) Grafisk løsning: Av figuren ser vi at grafene skjærer hverandre når x =, y = 1 (1.19) 5

26 ii) Ved regning: f(x) = g(x) (1.130) x + 1 = 1 x (1.131) x 1 x = 1 (Samle x-leddene på venstre (1.13) side og tallene på høyre) x 1 x = 3 (Fellesnevner på hver side) (1.133) x + x 3x = 3 (1.134) = 3 (1.135) x = (1.136) Dette er den x-verdien hvor grafene f(x) og g(x) skjærer hverandre, (se Fig.(1.1)). Dermed finnes tilhørende y-verdi: y = f(x = ) (1.137) = g(x = ) (1.138) = 1 = 1 = 1 (1.139) dvs. samme løsning som den grafiske, som det skal være. 6

27 Oppgaver : FoMa 3: 304, 305, 306 7

28 1.9. gradsligning med en ukjent En ligning på formen ax + bx + c = 0 (1.140) kalles en. gradsligning med en ukjent. Her er a og b konstanter. Dette er ligninger med en ukjent variabelen x er i maksimalt. potens, dvs. x Eksempler: x 6x + 5 = 0 (1.141) x + 7x = 3 (1.14) Ved å omskrive lign.(1.140) ved hjelp av 1. kvadratsetning, så kan man vise (se lærebok) at løsningen for en. gradsligning er x 1 = b b 4ac a, x = b + b 4ac a (1.143) med andre ord: det er to løsninger til en. gradsligning med en ukjent. 8

29 Eksempel: La f(x) = x 6x + 5. Nullpunktene til f(x) finnes ved: f(x) = 0 (1.144) x 6x + 5 = 0 (1.145) Her er a = 1, b = 6 og c = 5. Ved å bruke lign.(1.143), så får vi: x 1 = ( 6) ( 6) x 1 = , x = ( 6) + ( 6) , x = (1.146) (1.147) x 1 = 6 16 x 1 = 6 4, x = , x = (1.148) (1.149) x 1 = 1, x = 5 (1.150) Siden f(x) = 0 har løsninger, så kan vi faktorisere f(x): f(x) = x 6x + 5 = (x 1)(x 5) (1.151) 9

30 Figur 1.: Plott av f(x) = x 6x + 5. Oppgaver : FoMa 4: 401, 40, 403, 404, 405,

31 1.10 Ulikheter Ulikhetstegn: > større enn < mindre enn (1.15) og større enn eller lik mindre enn eller lik (1.153) Operasjoner: ( for å løse ulikheter ) Addere med samme tall på begge sider 5 > 3 5+ > 3+ (1.154) Subtrahere med samme tall på begge sider 5 > 3 5 > 3 (1.155) Multiplisere (> 0) med positivt tall på begge sider 5 > 3 5 > 3 (1.156) Dividere (> 0) med positivt tall på begge sider 5 > 3 5 > 3 (1.157) 31

32 Eksempel: 3x + > x + 3 (Samle x-leddene på venstre (1.158) side og tallene på høyre) 3x x > 3 (1.159) x > 1 (Divider med to på hver side) (1.160) x > 1 (1.161) For ulikheter har vi i tillegg følgende regler: Multiplisere (< 0) med negativt tall, SNU tegnet 5 > 3 ( ) 5 < ( ) 3 (1.16) Dividere (< 0) med negativt tall, SNU tegnet 5 > 3 5 ( ) < 3 ( ) (1.163) Eksempel: 4(x ) + 3(x + 4) > 5x (x 1) (Løs opp parentesene) (1.164) 4x x + 1 > 5x x + 1 (Samle x-leddene på venstre (1.165) side og tallene på høyre) 5x > 19 (1.166) 5x 5 < 19 5 (Dividere med ( 5), SNU tegnet) (1.167) x < 19 5 (1.168) 3

33 For ulikheter, har vi også følgende regel: Aldri gange eller dele med uttrykk som inneholder den ukjente. Dette fordi vi ikke vet om den ukjente er 0 eller negativ. Eksempel: x 5 x 1 x 5 x 1 > 1 (Kan ikke multiplisere med (x 1) (1.169) siden fortegnet er ukjent) 1 > 0 (Samle alle ledd på samme side) (1.170) x 5 x 1 x 1 x 1 > 0 (Fellesnevner) (1.171) x 4 x 1 > 0 (1.17) Denne ulikheten løses med et fortegnsskjema/drøftingsskjema: Figur 1.3: Fortegnsskjema/drøftingsskjema for lign.(1.17). og løsningen er x < 1 eller x > 4 (1.173) 33

34 Oppgaver : FoMa 4: 409, 410, 41,

35 1.11 Polynomdivisjon Definisjon: Polynom = flerleddet uttrykk hvor de ulike leddene har ulik grad. Eksempeler: p(x) = x 3 5x + 3x (1.174) f(x) = 7x 3 + x 17 (1.175) Vanlig talldivisjon: 756 : 3 = 5 (1.176) Kontroll: 5 3 = ( ) 3 = = 756 (1.177) m.a.o. det stemmer, og 756 = 5 3 er faktorisert! 35

36 Eksempel: ( polynomdivisjon ) p(x) : (x ) (1.178) (x 3 5x + 3x ) : (x ) = x x + 1 (x 3 4x ) x + 3x ( x + x) x (x ) 0 Kontroll: (x x + 1) (x ) = x 3 x + x 4x + x = x 3 5x + 3x (1.179) m.a.o. det stemmer, og polynomet p(x) kan skrives på den faktoriserte formen p(x) = x 3 5x + 3x = (x x + 1)(x ) } {{ } faktorisert form (1.180) (Faktoren x x + 1 kan ikke faktoriseres). Ut fra denne ligningen ser vi umiddelbart at p() = 0 p(x) : (x ) går opp x = er løsning til p(x) = 0 (1.181) x = er nullpunkt for p(x). 36

37 Eksempel: ( faktorisering av polynom ) g(x) = x 3 3x x + 3 (1.18) Finnes ingen generell formel som løser 3. gradsligninger. Bruker derfor prøve- og feilemetoden for å finne nullpunktene: x = g() = = 3 0 intet nullpunkt (1.183) x = 1 g(1) = = 0 x 1 faktor (1.184) x = 1 g( 1) = ( 1) 3 3 ( 1) ( 1) + 3 = 0 x + 1 faktor (1.185) x = 3 g(3) = = 0 x 1 faktor (1.186) og da vet vi at g(x) kan faktoriseres g(x) = x 3 3x x + 3 = (x 1)(x + 1)(x 3) } {{ } faktorisert form (1.187) 37

38 Eksempel: ( polynomdivisjon med rest ) f(x) : (x ) (1.188) (x 3 5x + ) : (x ) = x 3x 6 10 x (x 3 x ) 3x ( 3x + 6x) 6x + ( 6x + 1) 10 rest Alt i alt: (x 3 5x + ) : (x ) = x 3x 6 10 x (1.189) Her ser vi at divisjonen ikke går opp. Vi har en rest 10 x. Husk at divisjon kan skrives på følgende måter: f(x) : (x ) f(x) x (1.190) Oppgaver : FoMa 5:

39 1.1 Absoluttverdi Absoluttverdi: 3 = 3 (1.191) 3 = 3 (1.19) dvs. en absoluttverdi er alltid positiv (eller 0). Generelt: a = a, når a 0 a, når a < 0 (1.193) Eksempler: 3 = 3 (1.194) ( 3) = 3 (1.195) Dette gjelder også mer generelt: x = x (1.196) uansett om x er positiv eller negativ. 39

40 Eksempel: Siden f(x) = x 3 = 0 for x = 3, så må vi skille mellom når x 3 og x < 3 : f(x) = x 3 = x 3, når x 3 (x 3), når x < 3 (1.197) Figur 1.4: Plott av f(x) = x 3. 40

41 Eksempel: La oss se på g(x) = x 4 + x + 1 (1.198) og la oss løse ligningen g(x) = 0 (1.199) Vi må da først se på leddet (x 4) = (x )(x + ): Figur 1.5: Fortegnsskjema/drøftingsskjema for x 4. Dvs. vi må splitte x 4 i 3 intervall: x 4 = x 4, når x (x 4), når < x < (1.00) x 4, når x Legg merke til at intervallene x og x gir samme uttrykk, se lign.(1.00). 41

42 i) x og x : g(x) = 0 (1.01) x 4 + x + 1 = 0 (1.0) x + x 3 = 0 (1.03) x = ± 4 1 ( 3) 1 = ± 4 (1.04) x = 1 x = 3 (1.05) ii) < x < : g(x) = 0 (1.06) (x 4) + x + 1 = 0 (1.07) x + x 5 = 0 (1.08) x = ± 4 ( 1) 5 ( 1) = ± 4 = ± 6 (1.09) x = x = 1 6 (1.10) Alt i alt: L = { 1 6, 3 } (1.11) 4

43 Eksempel: La oss se på h(x) = x (1.1) og la oss løse ligningen h(x) 0 (1.13) Vi må da først se på leddet x + 4. Her er det lett å se at vi må splitte intervallet i x og x <, så vi trenger ikke noe fortegnsskjema. Vi kan skrive: x + 4 = x + 4, når x (x + 4), når x < (1.14) i) x : h(x) 0 (1.15) x (1.16) x 6 4 (1.17) x 1 OK (1.18) 43

44 ii) x < : h(x) 0 (1.19) (x + 4) 6 0 (1.0) x (1.1) x 10 (1.) x 10, SNU tegnet (1.3) x 5 (1.4) Alt i alt: L =, 5] [1, (1.5) Oppgaver : FoMa 5: 503,

45 Kapittel Funksjoner.1 Parabel En ligning på formen f(x) = ax + bx + c (.1) kalles en parabel. Her er a, b og c konstanter. Dette er ligninger med en ukjent generelt er variabelen x er i. og 1 potens, dvs. x = x og x = x 1 Eksempler på parabler: f(x) = x x (.) g(x) = x (.3) h(x) = 3x + 8 (.4) i(x) = 1 x + 8x (.5) 45

46 Eksempel: ( parabel ) f(x) = x 4x (.6) g(x) = x + 6 (.7) grafene er parabeler symmetri gjennomtopp/ bunnpunktet (se figur) f(x) er hul opp pga. +x g(x) er hul ned pga. x Figur.1: Plott av parabelene f(x) = x 4x og g(x) = x

47 i) Nullpunkt: Nullpunktene bestemt av f(x) = 0 og f(x) = 0 kan finnes ved grafisk løsning: f(x) = 0 : x = 0 og x = 4 (.8) g(x) = 0 : x =.45 og x =.45 (.9) eller ved regning ( løsning av. gradsligning ) f(x) = 0 : x = ( 4) ± ( 4) = 4 ± 4 x = 0 og x = 4 (.10) g(x) = 0 : x = 0 ± 0 4 ( 1) 6 ( 1) = 6 x = 6 og x = 6 (.11) hvor ii) Skjæringspunkt f(x) = g(x): Skjæringspunktene f(x) = g(x) kan finnes ved grafisk løsning: f(x) = g(x) : x = 1 og y = 5, x = 3 og y = 3 (.1) 47

48 eller ved regning ( løsning av. gradsligning ) f(x) = g(x) (.13) x 4x = x + 6 (.14) x 4x 6 = 0 (.15) x = ( 4) ± ( 4) 4 ( 6) = 4 ± 8 4 x = 1 og x = 3 (.16) med tilhørende y-verdier f( 1) = g( 1) = ( 1) + 6 = 5 (.17) f(3) = g(3) = = 3 (.18) Alt i alt: x = 1 og y = 5, x = 3 og y = 3 (.19) Oppgaver : FoMa 6: 601, 60 48

49 . Hyperbel En ligning på formen f(x) = ax + b cx + d (.0) kalles en hyperbel. Her er a, b, c og d konstanter. Dette er ligninger med en ukjent variabelen x kan være både i teller og nevner vertikal asymptote: cx + d = 0 x = d c horisontal asymptote: lim x ax+b cx+d y = a c Eksempler på hyperbler: f(x) = 4 x (.1) g(x) = 3 x + 1 (.) h(x) = x + x + 3 i(x) = x + 1 x (.3) (.4) Eksempel: ( hyperbel ) f(x) = 3x 1 x + 6 (.5) La oss plotte hyperbelen f(x). La oss også løse f(x) = g(x) grafisk, hvor g(x) er den lineære funksjonen g(x) = x 3. 49

50 Figur.: Plott av parabelen f(x) = 3x 1 x+6. Den lineære funksjonen g(x) = x 3 er også plottet. i) Nullpunkt: Nullpunktet bestemt av f(x) = 0 kan finnes ved grafisk løsning: f(x) = 0 : x = 0.33 (.6) g(x) = 0 : x = 1.5 (.7) eller ved regning f(x) = 0 : 3x 1 = 0 x = 1 3 (.8) g(x) = 0 : x 3 = 0 x = 3 (.9) 50

51 ii) Skjæringspunkt f(x) = g(x): Skjæringspunktene f(x) = g(x) kan finnes ved grafisk løsning: f(x) = g(x) : x = og y = 3.5, x = og y = 0.5 (.30) eller ved regning ( løsning av. gradsligning ) f(x) = g(x) (.31) 3x 1 x + 6 = x 3 3x 1 x + 6 = x x + 6 x x + 3 x + 3 3x 1 x(x + 6) + 3(x + 3) x + 6 3x 1 x 6x + 3x + 9 x + 6 (.3) (Fellesnevner) (.33) = 0 (Samle uttrykkene på venstre side) (.34) = 0 (.35) x + 8 = 0 (.36) x = 4 (.37) x = x = (.38) med tilhørende y-verdier f( ) = g( ) = 3 = 3 = f() = g() = 3 = 3 = 4 3 = 1 = 7 (.39) (.40) Alt i alt: x = og y = 7, x = og y = 1 (.41) 51

52 Oppgaver : FoMa 6: 605, 606, 607 5

53 .3 Parameterisering Definisjon: parameterisering = det at en ligning eller uttrykk har en bokstav som betraktes som en konstant eller en kjent størrelse Eksempler på parameterisering: ( a = parameter ) f(x) = x + ax 3 (.4) ax 5 = 3(x 7) (.43) g(x) = x + ax x + 1 x (.44) Eksempel: ( 1. gradsligning med parameter a ) 3a ax 4ax = 5x a (.45) 5x ax 4ax = a 3a (Samle x-uttrykkene på venstre side) (.46) 5(1 a)x = 5a (Divider med 5(1 a) på begge sider) (.47) x = a 1 a, a 1 (.48) Alt i alt: x = a 1 a, a R {1} (en løsning), når a = 1 (ingen løsning) (.49) 53

54 Eksempel: (. gradsligning med parameter a ) x x + a = 0 (.50) x = ( ) ± ( ) 4 1 a 1 = ± 4(1 a) = 1 ± 1 a (.51) Vi må skille mellom a = 1, a < 1 og a > 1: x = 1, når a = 1 (kun en løsning) 1 ± 1 a, når a < 1 (to løsninger) (.5), når a > 1 (ingen løsning) Figur.3: Plott av parabelen f(x) = x x + a for a = 1, a = 1 and a = 3. 54

55 Eksempel: (. gradsligning med parameter a ) x + x = x + a (.53) Løser denne algebraisk: ( dvs. ved regning ) x + x = x + a (Multipliser med x ) (.54) x + = ( x + a)(x ) (.55) x + = x + x + ax a (.56) x x ax + a + x + = 0 (Samle uttrykkene på venstre side) (.57) x (a + 1)x + (a + 1) = 0 (.58) Dette er en. gradsligning: x = [ (1 + a)] ± [ (a + 1)] 4 1 (a + 1) 1 (.59) = (a + 1) ± (a + 1) 8(a + 1) = (a + 1) ± (a + 1)(a 7) (.60) Figur.4: Fortegnsskjema/drøftingsskjema for (a + 1)(a 7). 55

56 Vi må skulle mellom følgende tilfeller: (a+1)± (a+1)(a 7), når a < 1 a > 7 (to løsninger) x = 0, når a = 1 (kun en løsning) 4, når a = 7 (kun en løsning) (.61), når 1 < a < 7 (ingen løsning) La oss plotte f(x) = x+ + x a. Løsningen av lign.(.53) tilsvarer f(x) = 0: x Figur.5: Plott av funksjonen f(x) = x+ + x a for a =, a = 7 and a = 8. x 56

57 Oppgaver : FoMa 7: 701, 703,

58 .4 Mer om funksjoner La oss se på funksjonen f(x) = x 3 3 x x + 7 (.6) (Dette er en 3. gradsligning med en ukjent). Figur.6: Plott av f(x) = x 3 3 x x + 7. i) Nullpunkt: f(x) = 0 : Skjæring med x-aksen (.63) 58

59 ii) Over/under x-aksen: f(x) > 0 grafen ligger over x-aksen. (.64) f(x) < 0 grafen ligger under x-aksen. (.65) iii) Topp/bunnpunkt: f (x) = 0 og f (x) går fra + til Toppunkt (.66) f (x) = 0 og f (x) går fra til + Bunnpunkt (.67) iv) Vendepunkt: f (x) = 0 Vendepunkt (.68) v) Konstantledd: f(x = 0) = 7 skjæring med y-aksen. (.69) vi) Asymptoter: I tillegg kan man undersøke om aspymptoter eksisterer: vertikal asymptote(r) horisontal asymptote(r) 59

60 .5 Derivasjon Definisjon: deriverte = stigningstallet til en funksjon Definisjon: ( teknisk ) f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x) (x + x) x = lim x 0 f(x + x) f(x) x (.70) Figur.7: Deriverte av f(x). Derivasjonsregler: f(x) = ax n f (x) = n ax n 1, n R (.71) f(x) = u v f (x) = u v + uv (.7) f(x) = u v f (x) = uv uv v (.73) 60

61 Takk Takk til Magne Geir Skrede, lektor ved Molde videregående skole, for god hjelp og diskusjoner under utarbeidelsen av dette kompendiet. 61