Forord. Molde, august Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011."

Transkript

1 1 13. august 011

2 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset er å hjelpe studentene til kunne følge undervisningen i det obligatoriske kurset MAT100 Matematikk. Det viser seg at mange studenter har svake forkunnskaper i matematikk. Dette gjør det vanskelig å følge normal studieprogresjon i første studieår. Høgskolen forutsetter at studenter med svak bakgrunn i matematikk deltar ved forkurset i matematikk. Forkurset alene må imidlertid ikke oppfattes som et tilstrekkelig middel til å skaffe seg eventuelle manglende forkunnskaper, men heller som et supplement til nødvendig selvstudium. Molde, august 011. Per Kristian Rekdal Copyright c Høyskolen i Molde, 011.

3 Innhold 1 Grunnleggende emner Tall og tallsystemer Algebraiske uttrykk Faktorisering Brøkregning Forkorte og utvide brøker Sum av brøker Multiplikasjon og divisjon med brøker Potenser Rotstørrelser gradsligning med en ukjent gradsligning med to ukjente gradsligning med en ukjent Ulikheter Polynomdivisjon Absoluttverdi Funksjoner 45.1 Parabel Hyperbel Parameterisering Mer om funksjoner Derivasjon

4 Kapittel 1 Grunnleggende emner 1.1 Tall og tallsystemer Notasjon for tall: N = { 1,, 3, 4,... } (hele tall) (1.1) Z = {... 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4,... } (naturlige tall) (1.) Q = { a b a Z b N } (rasjonale tall) (1.3) R = mengden av reelle tall (alle tall på tall-linja) (1.4) Mengedesymbol, listeform: M = { 3, 6, 7, 9 } (endelig mengde) (1.5) Mengden kan være endelig eller uendelig. 4

5 Mengedesymbol, intervall: [a, b] = { x a x b } (alle reelle tall f.o.m. a t.o.m. b) (1.6) (lukket intervall) a, b = { x a<x<b } (ingen endepunkt er med) (1.7) (åpent intervall) a, b] = { x a < x b } (bare ene endepunktet er med) (1.8) (halvåpent intervall) [a, b = { x a x < b } (bare ene endepunktet er med) (1.9) (halvåpent intervall) 5

6 1. Algebraiske uttrykk Generelle regler for algebra: ( algebra = bokstavregning ) a + a = a (1.10) a + b = b + a (1.11) (a + b) = a b (1.1) (a b) = a + b (1.13) Husk: + foran parentes: foran parentes: ingen fortegnsending skifte alle fortegn i parentesen Ved regning med flerleddete uttrykk: 1) Samle sammen like ledd ved å summere koeffisientene ) Løs opp parenteser Eksempel: ( samle sammen like ledd ) ab 3a + b 5ab + 4b = 4ab 3a + 5b (1.14) Eksempel: ( løse opp parenteser og samle sammen like ledd ) (3ab + b) (ab + b + c) = 3ab + b ab b c = ab b c (1.15) 6

7 Parentesregler: a (b + c) = ab + ac (1.16) (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd (1.17) hvor lign.(1.17) har følgende spesialtilfeller: (a + b) = a + ab + b (1. kvadratsetning) (1.18) (a b) = a ab + b (. kvadratsetning) (1.19) (a + b)(a b) = a b (konjugatsetning) (1.0) hvor konjugatsetningen, dvs. lign.(1.0), forklares via (a + b)(a b) = a ab + ba b = a b (1.1) Husk, når man multipliserer ut parenteser: (+) (+) = + (+) ( ) = ( ) ( ) = + 7

8 Husk også: a = ( 1) a (1.) a b = a + ( b) (1.3) a b = b a (1.4) Eksempel: (xy + x)(4xy x) 4x (1 y) + x = 8x y x y + 4x y x 4x + 4x y + x = 8x y + 6x y 4x (1.5) Oppgaver : FoMa 1: 100, 101, 10 8

9 1.3 Faktorisering Definisjon: Faktorisering = decomponering av et objekt (f.eks. tall, uttrykk) til andre objekt, eller faktorer. Dette betyr at et objekt omskrives som et produkt av andre objekt. Eksempeler: ( enkeltstående uttrykk ) 54 = faktorisering av 54 { }} { (1.6) ledd {}}{ 6x y = 6 xxy (1.7) Eksempeler: ( flerleddete uttrykk ) ab + ac ad = a(b + c d) (1.8) ( fellesfaktor a i flerleddete uttrykk ) a b 4ab = a a b a b = a b (a ) (1.9) Eksempeler: ( kvadratsetningene og konjugatsetning er faktorisering ) a + ab + b = (a + b)(a + b) = (a + b) (1. kvadratsetning) (1.30) a ab + b = (a b)(a b) = (a b) (. kvadratsetning) (1.31) a b = (a + b)(a b) (konjugatsetning) (1.3) 9

10 Eksempler: 4a 0ab + 5b = (a 5b) (1.33) 8x 4 y 4 = (x 4 y 4 1) = (4x 4 y 4 1) = (x y 1)(x y + 1) (1.34) Oppgaver : FoMa 1:

11 1.4 Brøkregning Husk: Man kan aldri dele på Forkorte og utvide brøker Forkorting av en brøk: a c b c a b = a b = a c b c (forkorting av en brøk) (1.35) (utvidelse av en brøk) (1.36) hvor den siste ligningen kan forstås via a b = a b 1 = a b c c = a c b c (1.37) siden 1 = c c. Husk: man kan aldri dele på null dvs. b, c 0. Eksempler: 10 6 faktoriser = 5 3 forkort = 5 3 (1.38) a ab 3a 3b faktoriser = a (a b) 3 (a b) forkort = a 3 (1.39) 11

12 1.4. Sum av brøker Sum av brøk med samme nevner: a b + c b = a + c b (1.40) Eksempeler: ( Ved sum av brøker, utvid hver brøk slik at man får fellesnevner ) utvid = fellesnevner = (1.41) sum = = 13 1 (1.4) 1 3ab a 6b + a 9b utvid = 6 6 3ab 3a a 3a 6b + a a a 9b sum = 6 3a + a 18ab = 6 a 18ab fellesnevner = 6 18ab 3a 18ab + a 18ab (1.43) (1.44) 1

13 1.4.3 Multiplikasjon og divisjon med brøker Regler for multiplikasjon og divisjon med brøker: c a b a b c d a b : c d = c a b = a c b d = a d b c [1] (Tall multiplisert med brøk) (1.45) [] (Brøk multiplisert med brøk) (1.46) [3] (Brøk dividert med brøk) (1.47) hvor den siste ligningen, dvs. lign.(1.47), forklares via a b : c d = a b c d utvid = a d b c d d regel [1] = ad b c utvid = ad b b c b = a d b c (1.48) Nyttige huskeregler i forbindelse med utvidelse: det er lov å multiplisere og dele med samme tall ( utvidelse ) det er lov å multiplisere og dele med 1 = a a = b b = c c ( utvidelse ) Noen eksempler: x 4 regel [1] = x 4 faktoriser = forkort x = x (1.49) regel [] = faktoriser = forkort 10 1 (1.50) 1 5 : 4 15 = utvid = faktoriser = = 3 4 (1.51) 13

14 Eksempel: ( 1 a ) ( : 1 a 1 ) a 1 a + 1 = = = = regel [3] = = ( ) a 1 (a + 1)(a 1) + a + 1 : (a + 1)(a 1) ( a 1 a 1 + a + 1 ) ( ) a + 1 (a 1) : a 1 a + 1 ( ) ( ) a 1 + (a + 1) a + 1 a + 1) : a 1 a + 1 a a 1 : a + 1 a a 1 a + 1 a (a 1)( a + 1) a + 1 ( a + 1 a + 1 a 1 ) (1.5) a + 1 (1.53) (1.54) (1.55) (1.56) (1.57) = a a 1 (1.58) Oppgaver : FoMa 1:

15 1.5 Potenser Definisjon: a n = a } a {{ a... a} = n faktorer (1.59) hvor n= eksponent, n N, a = grunntall og a R. Potensregler: a m a n = a m+n (1.60) a n = 1 a n (1.61) a m a n = a m a n = a m n (1.6) a 0 = 1 (1.63) (a m ) n = a mn (1.64) (a b) n = a n b n (1.65) ( ) n a = an, b 0 (1.66) b b n og i tillegg a 0 = 1 (1.67) a 1 = a (1.68) 15

16 Noen eksempler: = 3 +5 = 3 7 (1.69) ( 3 ) 7 = 3 7 = 1 = 1 1 (1.70) ( ) 3 5 = 53 (1.71) 3 Standardform og normalform: = 10 3 (1.7) = 10 6 (en million) (1.73) 0, 001 = 10 3 (millimeter) (1.74) 0, = 6, (1.75) } {{ } standardfrom = 4, } {{ } normalform (1.76) Generelt med 10-potens: tall = a 10 n (1.77) hvor n Z and a [1,

17 Oppgaver : FoMa : 0, 03, 04, 05, 06, 07 17

18 1.6 Rotstørrelser Definisjon av kvadratrot: ( a 0 ) PS: Man kan IKKE ta kvadratroten av et negativt tall 1. a = det positive tallet som, opphøyd i, er a (1.78) m.a.o. ( a) = a a = a 1/+1/ = a 1 = a. Eksempler: 9 = 3 = 3 (M.a.o. : 3 = 9) (1.79) 5 = (.36...) = (M.a.o. : (.36...) = 5) (1.80) Regneregler: a = a = a 1 (1.81) ( a) = a (1.8) a b = a b, a, b 0 (1.83) a b = a b (1.84) Eksempler: 9 16 = 9 16 = 3 4 = 1 (1.85) 9 16 = 9 16 = 3 4 (1.86) 1 Komplekse tall er ikke et tema i dette kurset. 18

19 Generalisering: n a, a 0 (1.87) hvor n = roteksponent, n N, a = radikand og a R. Regneregler: n a = a 1 n (1.88) ( n a) n = a (1.89) a m n = (a 1 n ) m = ( n a) m (1.90) a m n = = 1 (a n) = 1 1 m ( n (1.91) a) m hvor lign.(1.89), forklares via ( n a) n = (a 1 n) n = a 1 n n = a 1 = a. Legg merke til at for n = i lign.(1.88) og (1.89), så reproduserer man lign.(1.81) og (1.8): a = a 1 (1.9) ( a) = a (1.93) 19

20 Eksempler: 3 utvid = 3 = 3 (1.94) 3 + utvid = ( 3 ) ( 3 + )( 3 ) = 3 3 = 6 (1.95) 1 3 utvid = + 3 ( 3)( + 3) = = + 3 (1.96) hvor konjugatsetning lign.(1.0) har blitt brukt i de to siste ligningene. Oppgaver : FoMa : 13, 14, 15, 16, 17 0

21 gradsligning med en ukjent En ligning på formen ax + b = 0 (1.97) kalles en 1. gradsligning. Her er a og b konstanter. Dette er ligninger med en ukjent variabelen x er i 1. potens, dvs. x = x 1 Eksempler: x 4 = 6 + x (1.98) x = 1 3 (1.99) Operasjoner: ( for å løse 1. gradsligninger (og andre type ligninger) ) Addere med samme tall på begge sider x 4 = 6 + x x 4+4 = 6 + x+4 (1.100) Subtrahere med samme tall på begge sider x 4 = 6 + x x 4 6 = 6 + x 6 (1.101) Multiplisere ( 0) med samme tall på begge sider x = 1 ( ) 4 x = (1.10) Dividere ( 0) med samme tall på begge sider 1 x 4 = 6 + x x 4 = 6 + x (1.103)

22 Eksempel: 3 (x + 7) = 1 (x + 1) x (1.104) 3 x 7 = 1 x + 1 x (Løs opp parentesene) (1.105) 1 x = (Samle x-leddet på venstre (1.106) side og tallene på høyre) x = ( 1 ) (Multipliser begge sider med ) (1.107) x = (1.108) x = (1.109) 3 x = x = (Finn fellesnevner på høyre side) (1.110) (Sum av brøker, se Eq. (1.40)) (1.111) x = 41 3 (1.11)

23 Eksempel: x 1 5x x = x = (1.113) (Samle x-leddene på venstre (1.114) side og tallene på høyre) 6 5x x 6 30x x x 13 30x x x ( 5) = = = 5 15 = (Fellesnevner på hver side) (1.115) (1.116) (1.117) (Faktorisering og forkorting) (1.118) = x( 1 ) (Multipliser med x) (1.119) 5 = ( 5)( 1 ) x (Multipliser med ( 5)) (1.10) 5 ( 5) = x (1.11) 13 6 = x (1.1) Oppgaver : FoMa 3: 301, 30 3

24 gradsligning med to ukjente En ligning på formen ax + by = c (1.13) kalles en 1. gradsligning med to ukjente, eller en lineær ligning med ukjente. Her er a og b konstanter. Dette er ligninger med to ukjente variabelene x og y er i 1. potens, dvs. x = x 1 og y = y 1 Eksempler: x + y 1 = 0 y = x + 1 (1.14) x y = 4 y = 1 x (1.15) Generelt kan slike ligninger skrives: y = a x + b (1.16) som bare er en alternativ måte å skrive lign.(1.13) på. Dette er en rett linje a = stigningstall b = skjæring med y-aksen 4

25 Førstegradsligninger med to ukjente, dvs. en rett linje, skrives ofte slik: y = x + 1 kan skrives f(x) = x + 1 (1.17) y = 1 x kan skrives g(x) = 1 x (1.18) Figur 1.1: Plott av f(x) og g(x). Å løse ligningen f(x) = g(x) kan gjøres på to måter: i) Grafisk løsning: Av figuren ser vi at grafene skjærer hverandre når x =, y = 1 (1.19) 5

26 ii) Ved regning: f(x) = g(x) (1.130) x + 1 = 1 x (1.131) x 1 x = 1 (Samle x-leddene på venstre (1.13) side og tallene på høyre) x 1 x = 3 (Fellesnevner på hver side) (1.133) x + x 3x = 3 (1.134) = 3 (1.135) x = (1.136) Dette er den x-verdien hvor grafene f(x) og g(x) skjærer hverandre, (se Fig.(1.1)). Dermed finnes tilhørende y-verdi: y = f(x = ) (1.137) = g(x = ) (1.138) = 1 = 1 = 1 (1.139) dvs. samme løsning som den grafiske, som det skal være. 6

27 Oppgaver : FoMa 3: 304, 305, 306 7

28 1.9. gradsligning med en ukjent En ligning på formen ax + bx + c = 0 (1.140) kalles en. gradsligning med en ukjent. Her er a og b konstanter. Dette er ligninger med en ukjent variabelen x er i maksimalt. potens, dvs. x Eksempler: x 6x + 5 = 0 (1.141) x + 7x = 3 (1.14) Ved å omskrive lign.(1.140) ved hjelp av 1. kvadratsetning, så kan man vise (se lærebok) at løsningen for en. gradsligning er x 1 = b b 4ac a, x = b + b 4ac a (1.143) med andre ord: det er to løsninger til en. gradsligning med en ukjent. 8

29 Eksempel: La f(x) = x 6x + 5. Nullpunktene til f(x) finnes ved: f(x) = 0 (1.144) x 6x + 5 = 0 (1.145) Her er a = 1, b = 6 og c = 5. Ved å bruke lign.(1.143), så får vi: x 1 = ( 6) ( 6) x 1 = , x = ( 6) + ( 6) , x = (1.146) (1.147) x 1 = 6 16 x 1 = 6 4, x = , x = (1.148) (1.149) x 1 = 1, x = 5 (1.150) Siden f(x) = 0 har løsninger, så kan vi faktorisere f(x): f(x) = x 6x + 5 = (x 1)(x 5) (1.151) 9

30 Figur 1.: Plott av f(x) = x 6x + 5. Oppgaver : FoMa 4: 401, 40, 403, 404, 405,

31 1.10 Ulikheter Ulikhetstegn: > større enn < mindre enn (1.15) og større enn eller lik mindre enn eller lik (1.153) Operasjoner: ( for å løse ulikheter ) Addere med samme tall på begge sider 5 > 3 5+ > 3+ (1.154) Subtrahere med samme tall på begge sider 5 > 3 5 > 3 (1.155) Multiplisere (> 0) med positivt tall på begge sider 5 > 3 5 > 3 (1.156) Dividere (> 0) med positivt tall på begge sider 5 > 3 5 > 3 (1.157) 31

32 Eksempel: 3x + > x + 3 (Samle x-leddene på venstre (1.158) side og tallene på høyre) 3x x > 3 (1.159) x > 1 (Divider med to på hver side) (1.160) x > 1 (1.161) For ulikheter har vi i tillegg følgende regler: Multiplisere (< 0) med negativt tall, SNU tegnet 5 > 3 ( ) 5 < ( ) 3 (1.16) Dividere (< 0) med negativt tall, SNU tegnet 5 > 3 5 ( ) < 3 ( ) (1.163) Eksempel: 4(x ) + 3(x + 4) > 5x (x 1) (Løs opp parentesene) (1.164) 4x x + 1 > 5x x + 1 (Samle x-leddene på venstre (1.165) side og tallene på høyre) 5x > 19 (1.166) 5x 5 < 19 5 (Dividere med ( 5), SNU tegnet) (1.167) x < 19 5 (1.168) 3

33 For ulikheter, har vi også følgende regel: Aldri gange eller dele med uttrykk som inneholder den ukjente. Dette fordi vi ikke vet om den ukjente er 0 eller negativ. Eksempel: x 5 x 1 x 5 x 1 > 1 (Kan ikke multiplisere med (x 1) (1.169) siden fortegnet er ukjent) 1 > 0 (Samle alle ledd på samme side) (1.170) x 5 x 1 x 1 x 1 > 0 (Fellesnevner) (1.171) x 4 x 1 > 0 (1.17) Denne ulikheten løses med et fortegnsskjema/drøftingsskjema: Figur 1.3: Fortegnsskjema/drøftingsskjema for lign.(1.17). og løsningen er x < 1 eller x > 4 (1.173) 33

34 Oppgaver : FoMa 4: 409, 410, 41,

35 1.11 Polynomdivisjon Definisjon: Polynom = flerleddet uttrykk hvor de ulike leddene har ulik grad. Eksempeler: p(x) = x 3 5x + 3x (1.174) f(x) = 7x 3 + x 17 (1.175) Vanlig talldivisjon: 756 : 3 = 5 (1.176) Kontroll: 5 3 = ( ) 3 = = 756 (1.177) m.a.o. det stemmer, og 756 = 5 3 er faktorisert! 35

36 Eksempel: ( polynomdivisjon ) p(x) : (x ) (1.178) (x 3 5x + 3x ) : (x ) = x x + 1 (x 3 4x ) x + 3x ( x + x) x (x ) 0 Kontroll: (x x + 1) (x ) = x 3 x + x 4x + x = x 3 5x + 3x (1.179) m.a.o. det stemmer, og polynomet p(x) kan skrives på den faktoriserte formen p(x) = x 3 5x + 3x = (x x + 1)(x ) } {{ } faktorisert form (1.180) (Faktoren x x + 1 kan ikke faktoriseres). Ut fra denne ligningen ser vi umiddelbart at p() = 0 p(x) : (x ) går opp x = er løsning til p(x) = 0 (1.181) x = er nullpunkt for p(x). 36

37 Eksempel: ( faktorisering av polynom ) g(x) = x 3 3x x + 3 (1.18) Finnes ingen generell formel som løser 3. gradsligninger. Bruker derfor prøve- og feilemetoden for å finne nullpunktene: x = g() = = 3 0 intet nullpunkt (1.183) x = 1 g(1) = = 0 x 1 faktor (1.184) x = 1 g( 1) = ( 1) 3 3 ( 1) ( 1) + 3 = 0 x + 1 faktor (1.185) x = 3 g(3) = = 0 x 1 faktor (1.186) og da vet vi at g(x) kan faktoriseres g(x) = x 3 3x x + 3 = (x 1)(x + 1)(x 3) } {{ } faktorisert form (1.187) 37

38 Eksempel: ( polynomdivisjon med rest ) f(x) : (x ) (1.188) (x 3 5x + ) : (x ) = x 3x 6 10 x (x 3 x ) 3x ( 3x + 6x) 6x + ( 6x + 1) 10 rest Alt i alt: (x 3 5x + ) : (x ) = x 3x 6 10 x (1.189) Her ser vi at divisjonen ikke går opp. Vi har en rest 10 x. Husk at divisjon kan skrives på følgende måter: f(x) : (x ) f(x) x (1.190) Oppgaver : FoMa 5:

39 1.1 Absoluttverdi Absoluttverdi: 3 = 3 (1.191) 3 = 3 (1.19) dvs. en absoluttverdi er alltid positiv (eller 0). Generelt: a = a, når a 0 a, når a < 0 (1.193) Eksempler: 3 = 3 (1.194) ( 3) = 3 (1.195) Dette gjelder også mer generelt: x = x (1.196) uansett om x er positiv eller negativ. 39

40 Eksempel: Siden f(x) = x 3 = 0 for x = 3, så må vi skille mellom når x 3 og x < 3 : f(x) = x 3 = x 3, når x 3 (x 3), når x < 3 (1.197) Figur 1.4: Plott av f(x) = x 3. 40

41 Eksempel: La oss se på g(x) = x 4 + x + 1 (1.198) og la oss løse ligningen g(x) = 0 (1.199) Vi må da først se på leddet (x 4) = (x )(x + ): Figur 1.5: Fortegnsskjema/drøftingsskjema for x 4. Dvs. vi må splitte x 4 i 3 intervall: x 4 = x 4, når x (x 4), når < x < (1.00) x 4, når x Legg merke til at intervallene x og x gir samme uttrykk, se lign.(1.00). 41

42 i) x og x : g(x) = 0 (1.01) x 4 + x + 1 = 0 (1.0) x + x 3 = 0 (1.03) x = ± 4 1 ( 3) 1 = ± 4 (1.04) x = 1 x = 3 (1.05) ii) < x < : g(x) = 0 (1.06) (x 4) + x + 1 = 0 (1.07) x + x 5 = 0 (1.08) x = ± 4 ( 1) 5 ( 1) = ± 4 = ± 6 (1.09) x = x = 1 6 (1.10) Alt i alt: L = { 1 6, 3 } (1.11) 4

43 Eksempel: La oss se på h(x) = x (1.1) og la oss løse ligningen h(x) 0 (1.13) Vi må da først se på leddet x + 4. Her er det lett å se at vi må splitte intervallet i x og x <, så vi trenger ikke noe fortegnsskjema. Vi kan skrive: x + 4 = x + 4, når x (x + 4), når x < (1.14) i) x : h(x) 0 (1.15) x (1.16) x 6 4 (1.17) x 1 OK (1.18) 43

44 ii) x < : h(x) 0 (1.19) (x + 4) 6 0 (1.0) x (1.1) x 10 (1.) x 10, SNU tegnet (1.3) x 5 (1.4) Alt i alt: L =, 5] [1, (1.5) Oppgaver : FoMa 5: 503,

45 Kapittel Funksjoner.1 Parabel En ligning på formen f(x) = ax + bx + c (.1) kalles en parabel. Her er a, b og c konstanter. Dette er ligninger med en ukjent generelt er variabelen x er i. og 1 potens, dvs. x = x og x = x 1 Eksempler på parabler: f(x) = x x (.) g(x) = x (.3) h(x) = 3x + 8 (.4) i(x) = 1 x + 8x (.5) 45

46 Eksempel: ( parabel ) f(x) = x 4x (.6) g(x) = x + 6 (.7) grafene er parabeler symmetri gjennomtopp/ bunnpunktet (se figur) f(x) er hul opp pga. +x g(x) er hul ned pga. x Figur.1: Plott av parabelene f(x) = x 4x og g(x) = x

47 i) Nullpunkt: Nullpunktene bestemt av f(x) = 0 og f(x) = 0 kan finnes ved grafisk løsning: f(x) = 0 : x = 0 og x = 4 (.8) g(x) = 0 : x =.45 og x =.45 (.9) eller ved regning ( løsning av. gradsligning ) f(x) = 0 : x = ( 4) ± ( 4) = 4 ± 4 x = 0 og x = 4 (.10) g(x) = 0 : x = 0 ± 0 4 ( 1) 6 ( 1) = 6 x = 6 og x = 6 (.11) hvor ii) Skjæringspunkt f(x) = g(x): Skjæringspunktene f(x) = g(x) kan finnes ved grafisk løsning: f(x) = g(x) : x = 1 og y = 5, x = 3 og y = 3 (.1) 47

48 eller ved regning ( løsning av. gradsligning ) f(x) = g(x) (.13) x 4x = x + 6 (.14) x 4x 6 = 0 (.15) x = ( 4) ± ( 4) 4 ( 6) = 4 ± 8 4 x = 1 og x = 3 (.16) med tilhørende y-verdier f( 1) = g( 1) = ( 1) + 6 = 5 (.17) f(3) = g(3) = = 3 (.18) Alt i alt: x = 1 og y = 5, x = 3 og y = 3 (.19) Oppgaver : FoMa 6: 601, 60 48

49 . Hyperbel En ligning på formen f(x) = ax + b cx + d (.0) kalles en hyperbel. Her er a, b, c og d konstanter. Dette er ligninger med en ukjent variabelen x kan være både i teller og nevner vertikal asymptote: cx + d = 0 x = d c horisontal asymptote: lim x ax+b cx+d y = a c Eksempler på hyperbler: f(x) = 4 x (.1) g(x) = 3 x + 1 (.) h(x) = x + x + 3 i(x) = x + 1 x (.3) (.4) Eksempel: ( hyperbel ) f(x) = 3x 1 x + 6 (.5) La oss plotte hyperbelen f(x). La oss også løse f(x) = g(x) grafisk, hvor g(x) er den lineære funksjonen g(x) = x 3. 49

50 Figur.: Plott av parabelen f(x) = 3x 1 x+6. Den lineære funksjonen g(x) = x 3 er også plottet. i) Nullpunkt: Nullpunktet bestemt av f(x) = 0 kan finnes ved grafisk løsning: f(x) = 0 : x = 0.33 (.6) g(x) = 0 : x = 1.5 (.7) eller ved regning f(x) = 0 : 3x 1 = 0 x = 1 3 (.8) g(x) = 0 : x 3 = 0 x = 3 (.9) 50

51 ii) Skjæringspunkt f(x) = g(x): Skjæringspunktene f(x) = g(x) kan finnes ved grafisk løsning: f(x) = g(x) : x = og y = 3.5, x = og y = 0.5 (.30) eller ved regning ( løsning av. gradsligning ) f(x) = g(x) (.31) 3x 1 x + 6 = x 3 3x 1 x + 6 = x x + 6 x x + 3 x + 3 3x 1 x(x + 6) + 3(x + 3) x + 6 3x 1 x 6x + 3x + 9 x + 6 (.3) (Fellesnevner) (.33) = 0 (Samle uttrykkene på venstre side) (.34) = 0 (.35) x + 8 = 0 (.36) x = 4 (.37) x = x = (.38) med tilhørende y-verdier f( ) = g( ) = 3 = 3 = f() = g() = 3 = 3 = 4 3 = 1 = 7 (.39) (.40) Alt i alt: x = og y = 7, x = og y = 1 (.41) 51

52 Oppgaver : FoMa 6: 605, 606, 607 5

53 .3 Parameterisering Definisjon: parameterisering = det at en ligning eller uttrykk har en bokstav som betraktes som en konstant eller en kjent størrelse Eksempler på parameterisering: ( a = parameter ) f(x) = x + ax 3 (.4) ax 5 = 3(x 7) (.43) g(x) = x + ax x + 1 x (.44) Eksempel: ( 1. gradsligning med parameter a ) 3a ax 4ax = 5x a (.45) 5x ax 4ax = a 3a (Samle x-uttrykkene på venstre side) (.46) 5(1 a)x = 5a (Divider med 5(1 a) på begge sider) (.47) x = a 1 a, a 1 (.48) Alt i alt: x = a 1 a, a R {1} (en løsning), når a = 1 (ingen løsning) (.49) 53

54 Eksempel: (. gradsligning med parameter a ) x x + a = 0 (.50) x = ( ) ± ( ) 4 1 a 1 = ± 4(1 a) = 1 ± 1 a (.51) Vi må skille mellom a = 1, a < 1 og a > 1: x = 1, når a = 1 (kun en løsning) 1 ± 1 a, når a < 1 (to løsninger) (.5), når a > 1 (ingen løsning) Figur.3: Plott av parabelen f(x) = x x + a for a = 1, a = 1 and a = 3. 54

55 Eksempel: (. gradsligning med parameter a ) x + x = x + a (.53) Løser denne algebraisk: ( dvs. ved regning ) x + x = x + a (Multipliser med x ) (.54) x + = ( x + a)(x ) (.55) x + = x + x + ax a (.56) x x ax + a + x + = 0 (Samle uttrykkene på venstre side) (.57) x (a + 1)x + (a + 1) = 0 (.58) Dette er en. gradsligning: x = [ (1 + a)] ± [ (a + 1)] 4 1 (a + 1) 1 (.59) = (a + 1) ± (a + 1) 8(a + 1) = (a + 1) ± (a + 1)(a 7) (.60) Figur.4: Fortegnsskjema/drøftingsskjema for (a + 1)(a 7). 55

56 Vi må skulle mellom følgende tilfeller: (a+1)± (a+1)(a 7), når a < 1 a > 7 (to løsninger) x = 0, når a = 1 (kun en løsning) 4, når a = 7 (kun en løsning) (.61), når 1 < a < 7 (ingen løsning) La oss plotte f(x) = x+ + x a. Løsningen av lign.(.53) tilsvarer f(x) = 0: x Figur.5: Plott av funksjonen f(x) = x+ + x a for a =, a = 7 and a = 8. x 56

57 Oppgaver : FoMa 7: 701, 703,

58 .4 Mer om funksjoner La oss se på funksjonen f(x) = x 3 3 x x + 7 (.6) (Dette er en 3. gradsligning med en ukjent). Figur.6: Plott av f(x) = x 3 3 x x + 7. i) Nullpunkt: f(x) = 0 : Skjæring med x-aksen (.63) 58

59 ii) Over/under x-aksen: f(x) > 0 grafen ligger over x-aksen. (.64) f(x) < 0 grafen ligger under x-aksen. (.65) iii) Topp/bunnpunkt: f (x) = 0 og f (x) går fra + til Toppunkt (.66) f (x) = 0 og f (x) går fra til + Bunnpunkt (.67) iv) Vendepunkt: f (x) = 0 Vendepunkt (.68) v) Konstantledd: f(x = 0) = 7 skjæring med y-aksen. (.69) vi) Asymptoter: I tillegg kan man undersøke om aspymptoter eksisterer: vertikal asymptote(r) horisontal asymptote(r) 59

60 .5 Derivasjon Definisjon: deriverte = stigningstallet til en funksjon Definisjon: ( teknisk ) f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x) (x + x) x = lim x 0 f(x + x) f(x) x (.70) Figur.7: Deriverte av f(x). Derivasjonsregler: f(x) = ax n f (x) = n ax n 1, n R (.71) f(x) = u v f (x) = u v + uv (.7) f(x) = u v f (x) = uv uv v (.73) 60

61 Takk Takk til Magne Geir Skrede, lektor ved Molde videregående skole, for god hjelp og diskusjoner under utarbeidelsen av dette kompendiet. 61

Mer om likninger og ulikheter

Mer om likninger og ulikheter Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere

Detaljer

Kompendium h-2013. MAT100 Matematikk. Del 1 (av 2) Per Kristian Rekdal

Kompendium h-2013. MAT100 Matematikk. Del 1 (av 2) Per Kristian Rekdal Kompendium h-2013 MAT100 Matematikk Del 1 (av 2) Per Kristian Rekdal Forord Dette er kompendiet i kurset MAT100 Matematikk ved Høgskolen i Molde, 2013. Forelesningene vil i all hovedsak følge dette kompendiet.

Detaljer

Forberedelseskurs i matematikk

Forberedelseskurs i matematikk Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag Eksamen 1T høsten 015, løsningsforslag Del 1, ingen hjelpemidler Oppgave 1 1,8 10 1 0,0005 = 1,8 10 1 5 10 4 = 1,8 5 10 1+( 4) = 9 10 8 Oppgave Velger addisjonsmetoden Legger sammen ligningene: x + y =

Detaljer

Kompendium h-2013. MAT100 Matematikk. Formelsamling. Per Kristian Rekdal

Kompendium h-2013. MAT100 Matematikk. Formelsamling. Per Kristian Rekdal Kompendium h-2013 MAT100 Matematikk Formelsamling Per Kristian Rekdal Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT100 Matematikk ved Høgskolen i Molde, 2013. Formelsamlingen er ment å brukes når man løser

Detaljer

DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1

DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 HELDAGSPRØVE I MATEMATIKK 1T HØST DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) Oppgave 1. Trekk sammen uttrykkene: a) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 = a. b) 1

Detaljer

Kompendium H MAT100 Matematikk. Del 1 av 2. Per Kristian Rekdal

Kompendium H MAT100 Matematikk. Del 1 av 2. Per Kristian Rekdal Kompendium H-2016 MAT100 Matematikk Del 1 av 2 Per Kristian Rekdal Figur 1: Matematikk er viktig. 2 Innhold 1 Grunnleggende emner 19 1.1 Tall og tallsystemer................................... 20 1.2 Algebraiske

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra

Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Matematikk for økonomer Del 2

Matematikk for økonomer Del 2 Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved

Detaljer

Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 m a t e m a t i k k

Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 m a t e m a t i k k Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 Prøvetid 5 klokketimer for Del 1 og Del 2 til sammen. Vi anbefaler at du ikke bruker mer enn to klokketimer på Del 1. Du må levere inn Del 1 før du tar fram hjelpemidler.

Detaljer

Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker.

Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker. Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00 SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende

Detaljer

Innledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Innledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Innledning Mål for opplæringen er at eleven skal kunne løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner, både ved regning

Detaljer

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for dagen Del 1: 09:00-11:45 Lunsj: 11:45-12:15 Del 2: 12:15-14:30 Eksamensinformasjon: 14:30-15:00 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

Matematikk R1 Oversikt

Matematikk R1 Oversikt Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag 15. desember 2014 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag 15. desember 2014 Tid: 09:00 14:00 Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 11 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag. desember 214 Tid: 9: 14:

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Kapittel 1. Potensregning

Kapittel 1. Potensregning Kapittel. Potensregning I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kapitlet handler blant annet om: Betydningen av potenser som har negativ eksponent

Detaljer

Kompendium til MATH001 - Forkurs i matematikk

Kompendium til MATH001 - Forkurs i matematikk Kompendium til MATH001 - Forkurs i matematikk Høst 017, NMBU Kine Josefine Aurland-Bredesen, e-post: kine.josefine.aurland-bredesen@nmbu.no f (x) = 1 x Kompendiumet gir en rask gjennomgang av grunnleggende

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter.

En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter. Algebra Variabel Konstant trekke sammen Algebra er bokstavregning. Det er et verktöy som forenkler regneoperasjonene i forskjellige omrôder av matematikken. Bokstavene er symboler for tall og skal behandles

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

NAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18

NAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18 NAVN: INNHOLD FORORD... 2 LÆREPLAN... 3 ALGEBRA.... 3 REGNING MED VARIABLER... 3 MONOM... 3 POLYNOM... 3 TREKKE SAMMEN UTTRYKK (addisjon/subtraksjon)... 4 MULTIPLIKASJON... 4 DIVISJON... 4 ADDISJON AV

Detaljer

. Vi får dermed løsningene x = 0, x = 1 og x = 2.

. Vi får dermed løsningene x = 0, x = 1 og x = 2. Innlevering i FO99A - Matematikk Innlevering 1 Innleveringsfrist. oktober 010 Antall oppgaver 11 Løsningsforslag Oppgave 1 a) ( 3 + 1)( 7 + ) 1 + 3 = 3 7 + 7 + 3 + 3 + 3 = 1 + 7 + 5. b) 5/3 3 50 = 3 5

Detaljer

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet. MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f

Detaljer

Matematikk R1 Forslag til besvarelse

Matematikk R1 Forslag til besvarelse Matematikk R1 Forslag til besvarelse NITH 4. mars 014 Oppgave 1 a) Regn ut p x) når px) = x 3 3x + 6x 1. p x) = x 3 ) 3x ) + 6x) 0 = 3x ) 3x) + 6 1 = 6x 6x + 6 b) Regn ut p x) når px) = ax + bx + c. Her

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013 Eksamen REA30 R1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Formlene for arealet A av en sirkel og volumet

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto

Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 005 SØK 00- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr : OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 21. oktober 2011 Kapittel 7.4. Delbrøksoppspalting og Integrasjon av rasjonale funksjoner 3 Integrasjon av

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Forkurshefte i matematikk variant 1

Forkurshefte i matematikk variant 1 Forkurshefte i matematikk variant 1 2014 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO (Plan for kurset: se side 3) Forord Velkommen til Universitetet i Oslo (UiO), og til forkurs i matematikk! Dette

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr Hvordan du regner med brøk Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com Opplysning: Et helt tall er delelig på et annet helt tall hvis svaret

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Regning med variabler

Regning med variabler Regning med variabler???? (x y) (x y) Hvordan kan Herman regne ut uttrykket på tavla? Når vi skal regne ut bokstavuttrykk med parenteser, må vi løse opp parentesene først. Hvis det står et tall eller et

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013 BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )

Detaljer

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005 Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012 Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x

Detaljer

Prosent- og renteregning

Prosent- og renteregning FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29 MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK

KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK Variant av Magnus Dehli Vigeland UNIVERSITETET I OSLO MATEMATISK INSTITUTT Innhold Oppvarming 3. Noen viktige tallmengder. Notasjon.................... 3. Mer om mengder.............................

Detaljer

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag.

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon per. juni 004 Matematikk 0 - Matematikk for data- og grafiske fag. y x Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Forord Dette kompendiet er skrevet for faget

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

Oppgaver i funksjonsdrøfting

Oppgaver i funksjonsdrøfting Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R1

Manual for wxmaxima tilpasset R1 Manual for wxmaxima tilpasset R1 Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

Grenseverdier og asymptoter. Eksemplifisert med 403, 404, 408, 409, 410, 411, 412, 414, 416, 417, 418, 419

Grenseverdier og asymptoter. Eksemplifisert med 403, 404, 408, 409, 410, 411, 412, 414, 416, 417, 418, 419 Grenseverdier og asymptoter Eksemplifisert med 403, 404, 408, 409, 40, 4, 42, 44, 46, 47, 48, 49 Grenseverdier Grenseverdien til en funksjon, lim x a f x g, er en verdi vi kan komme så nær vi vil, når

Detaljer

Oppfriskningskurs dag 1

Oppfriskningskurs dag 1 Oppfriskningskurs dag 1 og ligninger Steffen Junge Oppfriskningskurs i matematikk 3.-8. august 2009 Outline 1 Outline 1 Typiske problem Ranger følgende brøker etter størrelse: 1 2, 7 12, 2 3, 5 8, 17 24

Detaljer

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Formelsamling H MAT100 Matematikk. Per Kristian Rekdal

Formelsamling H MAT100 Matematikk. Per Kristian Rekdal Formelsamling H-2016 MAT100 Matematikk Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT100 Matematikk ved Høgskolen i Molde, 2016. Formelsamlingen er ment å brukes når man løser innleveringsoppgavene

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 5. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan

Detaljer

Oppgaver om derivasjon

Oppgaver om derivasjon Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene,

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005

Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 3, onsdag 3. november 5 Del Oppgave Funksjonen f(x) er

Detaljer

Regning med tall og bokstaver

Regning med tall og bokstaver Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =

Detaljer

Oppfriskningskurs dag 2

Oppfriskningskurs dag 2 Grafer og Oppfriskningskurs dag 2 Grafer og Steffen Junge Oppfriskningskurs i matematikk 3.-8. august 2009 Grafer og Outline 1 Grafer og Outline Grafer og 1 Grafer og Grafer og Vi ser på ligninger av to

Detaljer

Eksamen R1 Høsten 2013

Eksamen R1 Høsten 2013 Eksamen R1 Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene f x e a) 3 x b) gx x ln3x c) hx x

Detaljer

Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2

Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2 Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4. av Sigbjørn Hals Innhold: CAS-verktøyet... Primtallanalyse... Faktorisering og utvidelse av uttrykk... Likninger... 4 Likningssett med flere ukjente... 5 Differensiallikninger...

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

er et er et heltall. For eksempel er 2, 3, 5, 7 og 11 primtall, mens 4 = 2 2, 6 = 2 3 og 15 = 3 5 er det ikke.

er et er et heltall. For eksempel er 2, 3, 5, 7 og 11 primtall, mens 4 = 2 2, 6 = 2 3 og 15 = 3 5 er det ikke. . Primtall og primtallsfaktorisering Definisjon Et primtall p er et heltall, større enn, som ikke er delelig med andre tall enn og seg selv, altså bare delelig med og p (og egentlig også og p) At et tall

Detaljer

Lokal læreplan. Lærebok: Gruntall. Læringsstrategi

Lokal læreplan. Lærebok: Gruntall. Læringsstrategi Lokal læreplan Lærebok: Gruntall Antall uker 34-37 Tall -lære de fire regneartene i hele tall, desimaltall og negative tall og i hoderegning og overslagsregning. -lære å bruke lommeregner og regneark -kjenne

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer

ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger

ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad, denne versjonen: π-dagen ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger 1. plenumsregning 1. feb.: derivasjon. Oppgave 1.1 der A er en konstant. Funksjonen

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

2 Likningssett og ulikheter

2 Likningssett og ulikheter Likningssett og ulikheter KATEGORI 1.1 Grafisk løsning av lineære likningssett Oppgave.110 Et lineært likningssett består av likningene for to rette linjer. De to rette linjene er tegnet i koordi natsystemet

Detaljer

Kompendium H MAT100 Matematikk. Del 2 av 2. Per Kristian Rekdal

Kompendium H MAT100 Matematikk. Del 2 av 2. Per Kristian Rekdal Kompendium H-2016 MAT100 Matematikk Del 2 av 2 Per Kristian Rekdal Figur 1: Matematikk er viktig. 2 Innhold 1 Grunnleggende emner 19 1.1 Tall og tallsystemer................................... 20 1.2 Algebraiske

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

Løsning eksamen R1 høsten 2009

Løsning eksamen R1 høsten 2009 Løsning eksamen R høsten 009 Oppgave a) b) f( ) 5e 3 f ( ) 5 e (3 ) 5e 35e 3 3 3 3 ( ) ln( ) g 3 3 3 g( ) ln( ) ln( ) 3 ln( ) ( ) 3 3 ln( ) 3 ln( ) (3ln( ) ) c) La 3 f( ) 0 0. Da er 3 f () 0 0 0 0 0 Dermed

Detaljer

Løsningsskisser til arbeidsoppgaver i CAS.

Løsningsskisser til arbeidsoppgaver i CAS. Løsningsskisser til arbeidsoppgaver i CAS. Oppgave 1 En bonde har et 20 meter langt gjerde og skal sperre av et rektangulært område der en av sidene i rektangelet er en fjøsvegg. Finn maksimalt areal som

Detaljer