Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/ Invertible matriser Lay: 2.2
|
|
- Jens Engen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe som gir x b a Vi skal nå se på muligheten for å generalisere denne løsningsmetoden til matriseligninger på formen x b. Problemet er at vi ikke vet hva det vil si å dividere med en matrise, og det skal også vise seg at divisjonsnotasjon ikke er spesielt hensiktsmessig for matriser. Men for reelle tall er ikke divisjon med a 0 noe annet enn multiplikasjon med et tall c /a på begge sider av ligningen, der c nå er et tall slik at ca ac, altså ax b cax cb x cb x cb b a Vi vet hvordan vi kan multiplisere to matriser sammen, og vi kjenner også til en matriseanalog til tallet, nemlig identitetsmatrisen I, så det gir iallefall mening å spørre om det, til en matrise, finnes en annen matrise C slik at C C I. Først og fremst, la oss bemerke at vi må begrense oss til kvadratiske matriser; hvis er en m n-matrise, og C er en p q-matrise som oppfyller at C C, da må først begge produktene være definert, og m n p q medfører n p og p q m n medfører også at q m. Så C er en n m-matrise. Men dersom C C, så må også produktene ha samme dimensjoner, og C er m m mens C er n n, så vi må også ha m n. Dersom det finnes en matrise C slik at C C I, så sier vi at er invertibel, og at C er s invers. En slik matrise C er entydig: dersom B er en annen matrise slik at B B I, så er C I B, og dermed er C B (C B) 0. Men vi vet at C I, så C(C B) C 0 0 I(C B) C B 0
2 så C B. Vi skriver gjerne C. Dersom er invertibel, kan vi løse ligningssystemet x b ved simpelthen å gange med fra venstre, altså x Ix x b Fordelen med dette er at det tillater oss å løse alle ligningssystemer på formen x b, ikke bare ett spesielt system slik vi hittil har gjort. Vi kan også merke oss at S(x) x svarer til den inverse avbildningen, eller den inverse funksjonen til T(x) x, i den forstand at og (T S)(x) T(S(x)) x Ix x (S T)(x) S(T(x)) x Ix x Tilsvarende gjaldt for f.eks funksjonene ln x og e x, og vi løste ligninger på formen a e x, a > 0 ved å evaluere den naturlige logaritmen på begge sider av ligningen, altså ln a ln e x x For 2 2-matriser, er inversen relativt enkel å regne ut: Teorem. La a b c d og definer det ad bc (dette kalles for matrisens determinant). Da er invertibel hvis og bare hvis det 0, og inversen er gitt ved d b det c a Bevis. Dette er faktisk ganske lett å se ved regning; vi ganger simpelthen sammen matrisene og sjekker at vi får identitetsmatrisen: a b d b ad bc ab + ba ad bc 0 c d c a cd dc cb + da 0 ad bc d b a b da bc db bd ad bc 0 c a c d ca + ac cb + ad 0 ad bc slik at dersom det ad bc 0, så kan vi dividere med det og få identitetsmatrisen på høyre side i begge tilfeller. Det viser at dersom det 0, så er invertibel med invers matrise gitt ved formelen over. Dersom det 0, så har vi nettopp skrevet ned en matrise D slik at D D 0, der d b D c a Dersom er invertibel, så finnes C slik at C C I, og dermed er CD (C)D ID D 0. Men da må også 0, noe som er umulig (nullmatrisen er ikke invertibel). 2
3 Vi tar et eksempel på bruk av dette resultatet Eksempel. La Finn og bruk denne til å løse systemet Løsning: Vi har at det det x så er invertibel, og inversen er gitt ved og dermed er løsningen av systemet x b gitt ved x b /3 /3 Formelen vi har gitt over har en analog for større matriser også, men den blir fort svært komplisert og kan resultere i mye regning. Vi skal etterhvert utvikle en enklere metode basert på Gausseliminasjon. La oss begynne med å tenke litt mer på hva som kreves for at en matrise skal være invertibel. Vi har sett at dersom vi vet at en matrise er invertibel, kan vi bruke inversen til å løse et hvilket som helst ligningssystem på formen x b ved x b. Vi minner kort om et teorem vi snakket om for en tid tilbake: Teorem 2. La [ v v 2... ] v n være en m n-matrise. Følgende utsagn er ekvivalente. Hver b R m er en lineærkombinasjon av kolonnene i, alternativt span{ v, v 2,..., v n } R m. 2. har en pivotposisjon i hver rad. Så dersom er invertibel, så har altså x b en løsning for hver b R n, noe som igjen er ekvivalent med over, og dermed må ha en pivotposisjon i hver rad. Men siden er kvadratisk, så inneholder også hver kolonne en pivotposisjon. Dette svarer til at løsningene blir entydige - radreduksjon av resulterer ikke i noen frie variable. Dette kan vi alternativt konkludere fra invertibilitet: hvis det finnes to løsninger x, x 2 så er x b og x 2 b, men da er x b x 2, så løsningen er entydig. Uansett, det at er kvadratisk (n n) og har pivotposisjoner i alle kolonner, betyr at den reduserte echelonformen er identitetsmatrisen I n. Vi skal gjøre bruk av dette faktumet litt senere, men vi trenger noen enkle algebraiske resultater først. 3
4 Teorem 3. La og B være n n-matriser. Da er følgende oppfyllt. Dersom er invertibel med invers, så er også invertibel med invers ( ). 2. Dersom og B er invertible, så er også B invertibel med invers (B) B. Bevis. Første utsagn er opplagt: dersom er invertibel, så finnes C slik at C C I, og dette betyr per definisjon at C også er invertibel med invers. ltså er C ( ). For det andre utsagnet er det bare et spørsmål om å vise at B oppfyller den egenskapen den skal oppfylle, nemlig for å være inversen til B. Vi har (B )(B) B B B IB B B I og tilsvarende Dette viser teoremet. (B)(B ) BB I I Merknad. Man kan spørre seg hvorfor vi ikke skriver I : slik som for reelle tall. Et av problemene med dette er fort blir tvetydig; hva skal f.eks B bety? Betyr det B eller B? (Disse produktene er forskjellige dersom og B ikke kommuterer). Dette er ikke klart utifra notasjonen, og man blir nødt til å simpelthen gjøre et valg. Dette alene tilsier at brøknotasjon ikke er en god ide for matriser. Men det er også flere problemer; vi har heller ikke de samme regnereglene vi er vant med fra reelle tall. For å illustrere dette, la oss velge det første alternativet, altså å definere : B B For reelle tall a, b, c og b, c 0 har vi mens for matriser er /B C a/b c a bc, B C B C (CB) CB for B og C invertible (vi ender altså ikke opp med BC slik vi forventer). lt dette tilsier at brøknotasjon for matriser fort vil bli forvirrende, og at det er dermed lite hensiktsmessig å innføre (i denne sammenhengen iallefall). 4
5 2 Radoperasjoner ved matrisemultiplikasjon: elementære matriser En n n (altså kvadratisk) matrise sies å være elementær dersom den fremkommer ved å utføre en elementær radoperasjon på identitetsmatrisen I n. Noen eksempler er E , F , G Her fremkommer E ved å bytte om rad 2 og 3 i I 3, F ved å addere 3 ganger rad 3 til rad i I 3 og G fremkommer ved å gange rad 2 med 2. La oss se hva som skjer om vi tar en vilkårlig matrise, f.eks og multipliserer med matrisene over fra venstre: E F G Vi ser at multiplikasjon med disse matrisene fra venstre utfører den korresponderende elementære radoperasjonen på matrisen, og dette gjelder også for alle andre elementære matriser. Vi har også nevnt tidligere at for enhver (elementær) radoperasjon, så finnes det en annen radoperasjon som reverserer effekten av den opprinnelige operasjonen. F.eks, dersom en operasjon legger til 2 ganger en bestemt rad til en annen, så vil vi kunne trekke fra 2 ganger den gitte raden igjen og være tilbake der vi startet. For matrisen F over, så vil altså matrisen F reversere effekten av F. Dette svarer til at F er inversen til F, noe vi kan se lett ved regning FF
6 Tilsvarende er F F I. Vi har altså følgende Teorem 4. Enhver elementær matrise er invertibel, og inversen er en elementær matrise som svarer til operasjonen som reverserer effekten av den opprinnelige operasjonen. 3 Utregning av Vi skal nå bruke elementære matriser som et teoretisk hjelpemiddel for å finne en algoritme for å regne ut inversen til en invertibel matrise (og hvis matrisen ikke er invertibel, vil algoritmen fortelle oss det). Vi minner om at dersom er invertibel, så er radekvivalent med identitetsmatrisen I, altså I. Siden vi kan utføre elementære radoperasjoner ved å gange med elementære matriser fra venstre, kan vi skrive I E k E k E for elementære matriser E, E 2,..., E k. Siden hver faktor i produktet på høyre side er invertibelt, har vi E E 2 E k ved multiplikasjon på begge sider med E E 2 E. Dermed er (E E 2 E ) E k E k E k Vi kan også konkludere fra dette at dersom I, så er invertibel, med invers matrise gitt ved formelen over. Vi oppsummerer dette i følgende teorem Teorem 5. La være en kvadratisk matrise. Da er invertibel hvis og bare hvis er radekvivalent med identitetsmatrisen. De samme elementære radoperasjonene som transformerer til identitetsmatrisen I, transformerer identitetsmatrisen I til. Det er på tide med et eksempel, men la oss først nevne en smart måte å gjøre utregningene på i praksis: istedet for å gjøre radoperasjonene bare på, så setter vi opp en koeffisientmatrise på formen [ I], og utfører radoperasjoner på hele matrisen helt til vi har transformert venstre side til identitetsmatrisen. Da kan vi simpelthen lese ut inversen fra høyre side (hvis ikke er invertibel, vil vi ende opp med en redusert echelonform forskjellig fra I på venstre side). k Eksempel 2. La vgjør om er invertibel, og finn dens invers dersom den eksisterer. 6
7 Løsning: Vi setter opp matrisen [ I], og utfører Gauss-Jordan eliminasjon på (men radoperasjonene utføres på hele systemet - hensikten er imidlertid å få på redusert echelonform): /3 / R 2 2R R 3 R R 3+2R R /3 / /3 2/3 ( ) R /3 / /3 2/3 På dette punktet kan vi konkludere at matrisen er invertibel, siden vi har 3 pivotkolonner. Vi vet dermed hvordan den reduserte echelonformen ser ut, men her må vi selvfølgelig utføre de påkrevde radoperasjonene for å finne inversen /3 / /3 2/3 R 2+R /3 /3 0 0 /3 2/3 R 2R /3 2/ /3 /3 0 0 /3 2/3 Det betyr at /3 2/3 2 /3 / /3 2/3 2 3 Dette kan verifiseres ved å gange sammen og i begge rekkefølger: I Vi overlater det til leseren å sjekke at også I. 7
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
DetaljerRepetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert
DetaljerRepetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerLineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning
Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable
DetaljerLineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler
Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3
MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Fra kap. 1 repeterer vi: Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger
DetaljerInverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009
Inverse matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September, 2009 Inverse 2 2 matriser En 2 2 matrise [ ] a b A = c d er inverterbar hvis og bare hvis ad bc 0, og da er [ ] A 1 1 d b
DetaljerMatriser og Kvadratiske Former
Eivind Eriksen Matriser og Kvadratiske Former 15 mars 2012 Handelshøyskolen BI Innhold 1 Matriser og vektorer 1 11 Matriser 1 12 Matriseaddisjon 2 13 Matrisesubtraksjon 3 14 Skalarmultiplikasjon 3 15
DetaljerForelesning 9 mandag den 15. september
Forelesning 9 mandag den 15. september 2.6 Største felles divisor Definisjon 2.6.1. La l og n være heltall. Et naturlig tall d er den største felles divisoren til l og n dersom følgende er sanne. (1) Vi
DetaljerGauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon
DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,
DetaljerRepetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.
Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:
DetaljerLineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
DetaljerForelesning 10 Cramers regel med anvendelser
Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er
DetaljerLineære ligningssystem og matriser
Lineære ligningssystem og matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 15, 2009 Lineære ligningssystem Vi har et ligningssystem av m ligninger med n ukjente x 1,..., x n som kan
DetaljerForelesning i Matte 3
Forelesning i Matte 3 Determinanter H. J. Rivertz Institutt for matematiske fag 1. februar 008 Innhold 1. time 1 Determinanter og elementære radoperasjoner Innhold 1. time 1 Determinanter og elementære
DetaljerUtkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.
Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir
DetaljerElementær Matriseteori
Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente. Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerLineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise
Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 19. september 2011 Lineære ligningssystem Vi har et ligningssystem av m ligninger med
DetaljerLineære likningssystemer og matriser
Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerMatriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009
Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
DetaljerØving 4 Egenverdier og egenvektorer
Øving Egenverdier og egenvektorer En egenvektor til en matrise A er løsning av likningen A.x = Λ x hvor Λ er en konstant. Det betyr at virkningan av å multiplisere en matirse med en vektor gir en ny vektor
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
DetaljerKap. 5 Egenverdier og egenvektorer
Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen
Detaljer1 Gauss-Jordan metode
Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller
DetaljerVektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer?
Kapittel 7 Vektorrom Vårt mål i dette kapitlet og det neste er å generalisere og abstrahere ideene vi har jobbet med til nå Især skal vi stille spørsmålet Hva er en vektor? Svaret vi skal gi, vil virke
DetaljerØving 2 Matrisealgebra
Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=
DetaljerLineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.
Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort
DetaljerDeterminanter til 2 2 og 3 3 matriser
Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A = er c d det(a) = a b c d = ad bc. 1 Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A =
Detaljerer et er et heltall. For eksempel er 2, 3, 5, 7 og 11 primtall, mens 4 = 2 2, 6 = 2 3 og 15 = 3 5 er det ikke.
. Primtall og primtallsfaktorisering Definisjon Et primtall p er et heltall, større enn, som ikke er delelig med andre tall enn og seg selv, altså bare delelig med og p (og egentlig også og p) At et tall
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;
DetaljerObligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006
Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en
Detaljer7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon
Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med
DetaljerForord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.
1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset
DetaljerHomogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner
Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2010 Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har
DetaljerLøsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04
Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +
DetaljerMer om likninger og ulikheter
Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere
DetaljerMatriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:
Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)
DetaljerKapittel 1. Potensregning
Kapittel. Potensregning I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kapitlet handler blant annet om: Betydningen av potenser som har negativ eksponent
DetaljerMAT 1110: Bruk av redusert trappeform
Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,
DetaljerMAT1030 Forelesning 30
MAT1030 Forelesning 30 Kompleksitetsteori Roger Antonsen - 19. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-19 15:04) Forelesning 30: Kompleksitetsteori Oppsummering I dag er siste forelesning med nytt stoff! I morgen
DetaljerRang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015
Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c
DetaljerNotat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner
Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever
DetaljerLøsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)
Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 29/11-3/12
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 9/11-3/1 Øyvind Ryan (oyvindry@ifiuiono December, 010 Oppgave 15 Oppgave 155 a 4A 3B 4 1 3 1 3 1 4 1 8 4 1 4 3 3 1 3 0 9 6 + 6 3 9 0 5 18 14 1 3 4 4 9 1 6 8 + 6
DetaljerMAT 1110 V-06: Løsningsforslag til Oblig 1
MAT V-6: Løsningsforslag til Oblig Oppgave : a) Antall sykler i stativet X rett før påfyllingen i måned n + er lik 4% av antall sykler i X måneden før, pluss % av antall sykler i Y måneden før, pluss %
DetaljerLøsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005
Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x
DetaljerObligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning
DetaljerI dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.
Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis
DetaljerLineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
Detaljer8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018
8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA121/MA621 Høsten 216 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 2.3 1 b) c) d) 1 3 1 1 3 1 A I 2
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerMA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =.
MA1201, 05.10.2016, Kandidatnummer:... Side 1 av 5 Oppgave 1 Løs ligningssystemet S T S T 1 1 0 1 W X W X U2 1 1 V x = U5V. 1 0 2 1 x =. Oppgave 2 Regn ut: S T S T 1 2 1 1 1 W X W X U 3 0 1 V U0 1 V =
Detaljertma4110 Matematikk 3 Notater høsten 2018 Øystein Skartsæterhagen Morten Andreas Nome Paul Trygsland
tma4 Matematikk Notater høsten 8 Øystein Skartsæterhagen Morten Andreas Nome Paul Trygsland Innhold Introduksjon ii Lineære likningssystemer Gausseliminasjon 4 Vektor- og matriselikninger 8 4 Matriser
DetaljerDet viktigste dataelementet som MATLAB benytter, er matriser, som også gjerne betegnes arrays.
Kapittel 5 Matriseoperasjoner Det viktigste dataelementet som MATLAB benytter, er matriser, som også gjerne betegnes arrays. I det etterfølgende vil begrepet vektor bli benyttet enkelte steder som betegnelse
DetaljerInnledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Innledning Mål for opplæringen er at eleven skal kunne løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner, både ved regning
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n
DetaljerMAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.
MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for
DetaljerNTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29
MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt
DetaljerTMA4140 Diskret matematikk Høst 2011 Løsningsforslag Øving 7
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av?? TMA4140 Diskret matematikk Høst 011 Løsningsforslag Øving 7 7-1-10 a) Beløpet etter n 1 år ganges med 1.09 for å
Detaljer6 Determinanter TMA4110 høsten 2018
6 Determinanter TMA4110 høsten 2018 En matrise inneholder mange tall og dermed mye informasjon så mye at det kan være litt overveldende Vi kan kondensere ned all informasjonen i en kvadratisk matrise til
DetaljerKapittel 4: Logikk (predikatlogikk)
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 7: Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk) 10. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-11
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljerx A e x = x e = x. (2)
Notat om Algebra for MAT1140 1 Algebra 1.1 Operasjoner Definisjon 1.1. En operasjon på en mengde A er en avbildning fra A A til A. Bemerkning 1.1. Mer generelt kan man snakke om n-ære operasjoner på A,
DetaljerØving 5 Diagonalisering
Øving 5 Diagonalisering En matrise A er diagonaliserbar dersom den er similær med en diagonalmatrise, dvs. det eksisterer en invertibel matrise P og diagonal matrise D slik at P.D.P -1. I øving 4 lærte
DetaljerVektorligninger. Kapittel 3. Vektorregning
Kapittel Vektorligninger I denne uken skal vi bruke enkel vektorregning til å analysere lineære ligningssystemer. Vi skal ha et spesielt fokus på R, for det går an å visualisere; klarer man det, går det
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til
DetaljerDiagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
DetaljerNotat om Peanos aksiomer for MAT1140
Notat om Peanos aksiomer for MAT1140 1 Tall Hva er egentlig tall? Tanken her, er ikke å si hva tall er, hva deres interne struktur muligens kan være, men å si hva vi kan gjøre med dem, sett utenifra. Vi
DetaljerLineære likningssett.
Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1
MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerForelesning 2 torsdag den 21. august
Forelesning 2 torsdag den 21 august 15 Flere eksempler på bevis ved induksjon Proposisjon 151 La n være et naturlig tall Da er 1 + 2 + 4 + + 2 n 1 = 2 n 1 Bevis Først sjekker vi om proposisjonen er sann
DetaljerPensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.
Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA20/MA620 Høsten 206 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Med foreehold om feil Hvis du finner en ta kontakt med Karin Kapittel 2 a) ) A + B 2A B 2 + [ ] 3 3 7 7 c)
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerTiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.
Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk
Detaljer( ) ( ( ) ) 2.12 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt
. til oppgaver i avsnitt... Regn ut (a) i j k, (b) j k i, (c) k ì j, (d) k j -j k -i (e) i i 0, (f) j j 0 Vektorene i, j og k danner et høyre-system, så derfor er i j k, j k i, k ì j, k j -j k -i. i i
DetaljerLøsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010
Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles
DetaljerInstitutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00
SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende
DetaljerEksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag
Eksamen 1T høsten 015, løsningsforslag Del 1, ingen hjelpemidler Oppgave 1 1,8 10 1 0,0005 = 1,8 10 1 5 10 4 = 1,8 5 10 1+( 4) = 9 10 8 Oppgave Velger addisjonsmetoden Legger sammen ligningene: x + y =
Detaljer