Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
|
|
|
- Åge Paulsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 21. oktober 2011
2 Kapittel 7.4. Delbrøksoppspalting og Integrasjon av rasjonale funksjoner
3 3 Integrasjon av rasjonale funksjoner Delbrøksoppspalting går ut på å skrive rasjonale funksjoner som en sum av enklere rasjonale funksjoner.
4 3 Integrasjon av rasjonale funksjoner Delbrøksoppspalting går ut på å skrive rasjonale funksjoner som en sum av enklere rasjonale funksjoner. Eksempel 3 x + 1 x 2 x 6 = 1 x x 3
5 3 Integrasjon av rasjonale funksjoner Delbrøksoppspalting går ut på å skrive rasjonale funksjoner som en sum av enklere rasjonale funksjoner. Eksempel 3 x + 1 x 2 x 6 = 1 x x 3 Hvorfor?
6 4 Hvorfor delbrøksoppspalting Eksempel Bruk delbrøksoppspalting til å løse 3x + 1 x 2 x 6 dx 3x + 1 x 2 dx = ln x ln x 3 + c x 6
7 4 Hvorfor delbrøksoppspalting Eksempel Bruk delbrøksoppspalting til å løse 3x + 1 x 2 x 6 dx Svar 3x + 1 x 2 dx = ln x ln x 3 + c x 6
8 5 Delbrøksoppspalting Hva?
9 5 Delbrøksoppspalting Hva? Skrive rasjonale funksjoner P(x)/Q(x) som sum av enklere funksjoner.
10 5 Delbrøksoppspalting Hva? Skrive rasjonale funksjoner P(x)/Q(x) som sum av enklere funksjoner. Hvorfor?
11 5 Delbrøksoppspalting Hva? Skrive rasjonale funksjoner P(x)/Q(x) som sum av enklere funksjoner. Hvorfor? Enklere å integrere.
12 5 Delbrøksoppspalting Hva? Skrive rasjonale funksjoner P(x)/Q(x) som sum av enklere funksjoner. Hvorfor? Enklere å integrere. Hvordan?
13 5 Delbrøksoppspalting Hva? Skrive rasjonale funksjoner P(x)/Q(x) som sum av enklere funksjoner. Hvorfor? Enklere å integrere. Hvordan? Faktorisere nevneren Q(x)
14 6 Enkelt eksempel Problem Utf r delbrøksoppspalting på 3x + 1 x 2 x 6
15 6 Enkelt eksempel Problem Utf r delbrøksoppspalting på 3x + 1 x 2 x 6 Faktorisering x 2 x 6 = (x + 2)(x 3)
16 6 Enkelt eksempel Problem Utf r delbrøksoppspalting på 3x + 1 x 2 x 6 Faktorisering x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 Løs likningen x 2 x 6 = A x B x 3
17 6 Enkelt eksempel Problem Utf r delbrøksoppspalting på 3x + 1 x 2 x 6 Faktorisering x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 Løs likningen x 2 x 6 = A x B x 3 Multipliser med x 2 x 6 = (x + 2)(x 3)
18 6 Enkelt eksempel Problem Utf r delbrøksoppspalting på 3x + 1 x 2 x 6 Faktorisering x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 Løs likningen x 2 x 6 = A x B x 3 Multipliser med x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 = A (x 3) + B (x + 2) for alle x..!!!
19 6 Enkelt eksempel Problem Utf r delbrøksoppspalting på 3x + 1 x 2 x 6 Faktorisering x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 Løs likningen x 2 x 6 = A x B x 3 Multipliser med x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 = A (x 3) + B (x + 2) for alle x..!!! Sett x = 2. Da er 5 = A ( 5).
20 6 Enkelt eksempel Problem Utf r delbrøksoppspalting på 3x + 1 x 2 x 6 Faktorisering x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 Løs likningen x 2 x 6 = A x B x 3 Multipliser med x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 = A (x 3) + B (x + 2) for alle x..!!! Sett x = 2. Da er 5 = A ( 5). Sett x = 3. Da er 10 = B 5.
21 6 Enkelt eksempel Problem Utf r delbrøksoppspalting på 3x + 1 x 2 x 6 Faktorisering x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 Løs likningen x 2 x 6 = A x B x 3 Multipliser med x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 = A (x 3) + B (x + 2) for alle x..!!! Sett x = 2. Da er 5 = A ( 5). Sett x = 3. Da er 10 = B 5. Dvs A = 1 og B = 2.
22 7 Generell delbrøksoppspalting Problem Delbøksoppspalting: P(x)/Q(x) =?? + +??
23 7 Generell delbrøksoppspalting Problem Delbøksoppspalting: P(x)/Q(x) =?? + +?? Faktoriser Q(x)
24 7 Generell delbrøksoppspalting Problem Delbøksoppspalting: P(x)/Q(x) =?? + +?? Faktoriser Q(x) Faktorene er på formen (x + a) eller (x 2 + ax + b)
25 7 Generell delbrøksoppspalting Problem Delbøksoppspalting: P(x)/Q(x) =?? + +?? Faktoriser Q(x) Faktorene er på formen (x + a) eller (x 2 + ax + b) Disse kan komme i potenser (x + a) n eller (x 2 + ax + b) m
26 7 Generell delbrøksoppspalting Problem Delbøksoppspalting: P(x)/Q(x) =?? + +?? Faktoriser Q(x) Faktorene er på formen (x + a) eller (x 2 + ax + b) Disse kan komme i potenser (x + a) n eller (x 2 + ax + b) m Hver faktor på formen (x + a) gir bidrag til H.S.: A 1 x + a + + A n (x + a) n
27 7 Generell delbrøksoppspalting Problem Delbøksoppspalting: P(x)/Q(x) =?? + +?? Faktoriser Q(x) Faktorene er på formen (x + a) eller (x 2 + ax + b) Disse kan komme i potenser (x + a) n eller (x 2 + ax + b) m Hver faktor på formen (x + a) gir bidrag til H.S.: A 1 x + a + + A n (x + a) n Hver faktor på formen (x 2 + ax + b) gir bidrag til H.S.: B 1 x + C 1 x 2 + ax + b + + B n x + C n (x 2 + ax + b) m
28 8 Sammensatt problem Problem Løs følgende integral x 4 + x x 2 + x + 1 x x 3 dx + x
29 Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x
30 Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2
31 Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2
32 Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c + D x+e 1+x 2 (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S.
33 Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x
34 Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x Setter vi x = 0 får vi 1 = A.
35 Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x Setter vi x = 0 får vi 1 = A. x x 2 + x = (B x + C) (x + x 3 ) + (D x + E) x : x
36 Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x Setter vi x = 0 får vi 1 = A. x x 2 + x = (B x + C) (x + x 3 ) + (D x + E) x x x + 1 = (B x + C) (1 + x 2 ) + D x + E : x
37 Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x Setter vi x = 0 får vi 1 = A. x x 2 + x = (B x + C) (x + x 3 ) + (D x + E) x x x + 1 = (B x + C) (1 + x 2 ) + D x + E x x + 1 = B x 3 + C x 2 + (B + D) x + (C + E) : x
38 Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x Setter vi x = 0 får vi 1 = A. x x 2 + x = (B x + C) (x + x 3 ) + (D x + E) x x x + 1 = (B x + C) (1 + x 2 ) + D x + E x x + 1 = B x 3 + C x 2 + (B + D) x + (C + E) Dvs B = 0, C = 1, 0 + D = 2, 1 + E = 1. : x
39 Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x Setter vi x = 0 får vi 1 = A. x x 2 + x = (B x + C) (x + x 3 ) + (D x + E) x x x + 1 = (B x + C) (1 + x 2 ) + D x + E x x + 1 = B x 3 + C x 2 + (B + D) x + (C + E) Dvs B = 0, C = 1, 0 + D = 2, 1 + E = 1. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x dx : x
40 Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x Setter vi x = 0 får vi 1 = A. x x 2 + x = (B x + C) (x + x 3 ) + (D x + E) x x x + 1 = (B x + C) (1 + x 2 ) + D x + E x x + 1 = B x 3 + C x 2 + (B + D) x + (C + E) Dvs B = 0, C = 1, 0 + D = 2, 1 + E = 1. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x dx = 1 x dx x 2 dx + 2x (1+x 2 ) 2 dx : x
41 Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x Setter vi x = 0 får vi 1 = A. x x 2 + x = (B x + C) (x + x 3 ) + (D x + E) x x x + 1 = (B x + C) (1 + x 2 ) + D x + E x x + 1 = B x 3 + C x 2 + (B + D) x + (C + E) Dvs B = 0, C = 1, 0 + D = 2, 1 + E = 1. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x dx = 1 x dx x 2 dx + 2x (1+x 2 ) 2 dx = ln x + arctan x 1 1+x 2 + c : x
42 10 Hva kan gå galt? P(x) kan ikke ha lik eller høyere orden enn P(x). Problem Integrer 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
43 10 Hva kan gå galt? P(x) kan ikke ha lik eller høyere orden enn P(x). Problem Integrer 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6 Problem? No problem!! Polynomdivisjon løser problemet
44 11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
45 11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
46 11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x (2 x 3 2 x 2 12 x ) 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
47 11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x (2 x 3 2 x 2 12 x ) x x 5 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
48 11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x + 1 (2 x 3 2 x 2 12 x ) x x 5 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
49 11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x + 1 (2 x 3 2 x 2 12 x ) x x 5 (x 2 x 6 ) 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
50 11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x + 1 (2 x 3 2 x 2 12 x ) x x 5 (x 2 x 6 ) 3 x + 1 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
51 11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x x+1 x 2 x 6 (2 x 3 2 x 2 12 x ) x x 5 (x 2 x 6 ) 3 x + 1 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
52 11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x x+1 x 2 x 6 (2 x 3 2 x 2 12 x ) x x 5 (x 2 x 6 ) 3 x + 1 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx = x 6 (2x x + 1 x 2 x 6 ) dx
53 11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x x+1 x 2 x 6 (2 x 3 2 x 2 12 x ) x x 5 (x 2 x 6 ) 3 x + 1 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx = x 6 = x 2 + x + ln x ln x 3 + c (2x x + 1 x 2 x 6 ) dx
54 Kapittel 7.5. Integrasjonstabeller og Dataassistert algebra
55 13 Reduksjonsformler tan n x dx = 1 n 1 tann 1 x tan n 2 x dx (1)
56 13 Reduksjonsformler tan n x dx = 1 n 1 tann 1 x tan n 2 x dx (1) x n e x dx = x n e x n x n 1 e x dx (2)
57 13 Reduksjonsformler tan n x dx = 1 n 1 tann 1 x tan n 2 x dx (1) x n e x dx = x n e x n x n 1 e x dx (2) sin n x cos m x dx = sinn+1 x cos m 1 x m + n + m 1 m + n sin n x cos m 2 dx (3)
58 14 Reduksjonsformler (ln x) n dx = x (ln x) n n (ln x) n 1 dx (4) Eksempel (ln x) 3 dx
59 14 Reduksjonsformler (ln x) n dx = x (ln x) n n (ln x) n 1 dx (4) Eksempel (ln x) 3 dx = x (ln x) 3 3 (ln x) 2 dx
60 14 Reduksjonsformler (ln x) n dx = x (ln x) n n (ln x) n 1 dx (4) Eksempel (ln x) 3 dx = x (ln x) 3 3 (ln x) 2 dx = x (ln x) 3 3x (ln x) (ln x) dx
61 14 Reduksjonsformler (ln x) n dx = x (ln x) n n (ln x) n 1 dx (4) Eksempel (ln x) 3 dx = x (ln x) 3 3 (ln x) 2 dx = x (ln x) 3 3x (ln x) (ln x) dx = x (ln x) 3 3x (ln x) 2 + 6x ln x 6 dx
62 14 Reduksjonsformler (ln x) n dx = x (ln x) n n (ln x) n 1 dx (4) Eksempel (ln x) 3 dx = x (ln x) 3 3 (ln x) 2 dx = x (ln x) 3 3x (ln x) (ln x) dx = x (ln x) 3 3x (ln x) 2 + 6x ln x 6 = x (ln x) 3 3x (ln x) 2 + 6x ln x 6x + c dx
63 15 Integrasjon i Maple For å integrere funksjonen f(x) = x sin 3 x i maple skriver vi > int ( x * sin^3(x), x); x ( 1/2 cos (x) sin (x) + 1/2 x) 1/4 cos 2 (x) 1/4 x 2
64 Kapittel 7.6. Nummerisk integrasjon
65 17 Nummerisk integrasjon Trapesmetoden Trapesmetoden går ut på å tilnærme integralet b a f(x) dx med n trapeser. b a f(x) dx T n = x ( ) f(x 0 ) + 2f(x 1 ) + + 2f(x n 1 ) + f(x n ) 2
66 18 Døme Eksempel Gitt integralet I = 1 0 sin(e x ) dx. Bruk trapesmetoden med 10 intervall til å finne eit estimat til verdien til integralet. Gi svaret med 4 desimalar.
67 Løsning: Steglengden er x = b a = 1 0 n 10 = 0,1.
68 Løsning: Steglengden er x = b a = 1 0 n 10 = 0,1. La f(x) = sin(e x ). Da gir trapesmetoden
69 Løsning: Steglengden er x = b a = 1 0 n 10 = 0,1. La f(x) = sin(e x ). Da gir trapesmetoden T 10 = x ( f(0) + 2f(0,1) + 2f(0,2) + 2f(0,3) + 2f(0,4) + 2f(0,5) 2 ) + 2f(0,6) + 2f(0,7) + 2f(0,8) + 2f(0,9) + f(1,0)
70 Løsning: Steglengden er x = b a = 1 0 n 10 = 0,1. La f(x) = sin(e x ). Da gir trapesmetoden T 10 = x ( f(0) + 2f(0,1) + 2f(0,2) + 2f(0,3) + 2f(0,4) + 2f(0,5) 2 ) + 2f(0,6) + 2f(0,7) + 2f(0,8) + 2f(0,9) + f(1,0) = ( 0,05 0, , , , , , ,96858 ) + 2 0, , , ,41078 = 0, 8724
71 20 Nummerisk integrasjon Simpsons Metode Simpsons metode går ut på å tilnærme f(x) med n 2 parabler for å tilnærme integralet b a f(x) dx. b a f(x) dx S n = x ) (y 0 +4y 1 +2y 2 +4y y n 2 +4y n 1 +y n 3 y k = f(x k )
72 21 Døme Eksempel Gitt integralet I = 1 0 sin(e x ) dx. Bruk Simpsonmetoden med 10 intervall til å finne eit estimat til verdien til integralet. Gi svaret med 4 desimalar.
73 Løsning: Steglengden er x = b a = 1 0 n 10 = 0,1. Den eksakte verdien er lik ca 0,
74 Løsning: Steglengden er x = b a = 1 0 n 10 = 0,1. La f(x) = sin(e x ). Da gir Simpsons metode Den eksakte verdien er lik ca 0,
75 Løsning: Steglengden er x = b a = 1 0 n 10 = 0,1. La f(x) = sin(e x ). Da gir Simpsons metode S 10 = x ( f(0) + 4f(0,1) + 2f(0,2) + 4f(0,3) + 2f(0,4) + 4f(0,5) 3 ) + 2f(0,6) + 4f(0,7) + 2f(0,8) + 4f(0,9) + f(1,0) Den eksakte verdien er lik ca 0,
76 Løsning: Steglengden er x = b a = 1 0 n 10 = 0,1. La f(x) = sin(e x ). Da gir Simpsons metode S 10 = x ( f(0) + 4f(0,1) + 2f(0,2) + 4f(0,3) + 2f(0,4) + 4f(0,5) 3 ) + 2f(0,6) + 4f(0,7) + 2f(0,8) + 4f(0,9) + f(1,0) = ( (0,1/3) 0, , , , , , ,96858 ) + 4 0, , , ,41078 = 0,8750 Den eksakte verdien er lik ca 0,
77 23 Feilanalyse for trapesmetoden Teorem (Feilanalyse Trapes) Hvis f (x) er kontinuerlig og f (x) M for alle x [a, b]. Så vil feilen tilfredstille E T = b a E T f(x) dx T n M (b a)3 12 n 2
78 24 Feilanalyse for Simpsons metode Teorem (Feilanalyse Simpson) Hvis f (4) (x) er kontinuerlig og f (4) (x) M for alle x [a, b]. Så vil feilen tilfredstille E S = b a E S f(x) dx S n M (b a)5 180 n 4
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
Mer om likninger og ulikheter
Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere
Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.
Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
. Vi får dermed løsningene x = 0, x = 1 og x = 2.
Innlevering i FO99A - Matematikk Innlevering 1 Innleveringsfrist. oktober 010 Antall oppgaver 11 Løsningsforslag Oppgave 1 a) ( 3 + 1)( 7 + ) 1 + 3 = 3 7 + 7 + 3 + 3 + 3 = 1 + 7 + 5. b) 5/3 3 50 = 3 5
Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe
MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Løsningsforslag Øving 1 Kapittel 7.1: Substitusjon Teorem 1. Hvis u = g() så er f(g())g
Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)
UNIVERSITETET I BERGEN
Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.
Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 7 sider.
Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005
Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x
Løsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye.
Eksamen i FO929A - Matematikk Dato: 2013 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller
TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 4 Løsningsforslag Øving 5.7.4 Vi observerer at både y = cos πx 4 og y = x er like funksjoner. Det vil si
TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2
TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x
Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.
1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset
MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag
MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)
Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013
BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )
NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 8 Oppgave b. Vi har at f() > og f(π/) π /6
IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer
Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare
arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011 Kapittel 6.6. Arbeid 3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid
MAT jan jan feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis
Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 20 2 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen
Eksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag
Eksamen i MAT H4: Løsningsforslag Oppgave. ( poeng) Dersom f(x, y) x sin(xy ), er f y lik: A) sin(xy ) + xy cos(xy ) B) x cos(xy ) C) x y cos(xy ) D) sin(xy ) + x y cos(xy ) E) cos(xy ) Riktig svar: C):
IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden
Differensiallikninger Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Differensiallikninger Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. november 2011 Kapittel 15.1. Retningsfelt og Picards teorem 3 Retningsvektorfelt for y = y
Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2
Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4. av Sigbjørn Hals Innhold: CAS-verktøyet... Primtallanalyse... Faktorisering og utvidelse av uttrykk... Likninger... 4 Likningssett med flere ukjente... 5 Differensiallikninger...
DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1
HELDAGSPRØVE I MATEMATIKK 1T HØST DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) Oppgave 1. Trekk sammen uttrykkene: a) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 = a. b) 1
Tallregning og algebra
30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer
MET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Fagoppgave MET 1186 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 18.1.19 Kl. 9: Innlevering: 5.1.19 Kl. 1: For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven.
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon
9 + 4 (kan bli endringer)
Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Onsdag 9. april 5 Antall oppgaver: 9 + 4 (kan bli endringer) Finn de ubestemte integralene a) x 3 4/x dx LF: x 3 4/x dx
EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag 15. desember 2014 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 11 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag. desember 214 Tid: 9: 14:
Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende
x n+1 = x n f(x n) f (x n ) = x n x2 n 3
TMA4 Høst 26 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 4.2.8 Vi setter f(x) = x 2 3. Da blir f (x) = 2x, og iterasjonen blir f (x n ) = x n x2 n 3 2x n () Siden vi har
Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn
TMA4100 Matematikk1 Høst 2009
TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +
Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 24. august 2010 2 Grenselover for x ± L = lim f(x) M = lim g(x) 1. lim (f(x) ± g(x))
x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved
NTNU Institutt for matematiske fag TMA35 Matematikk D eksamen 20. desember 200 Løsningsforslag Oppgaven kan, for eksempel, løses ved hjelp av Lagrange-interpolasjon eller Newtons interpolasjonsformel.
Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 27. september 20 Kapittel 5.6. Substitusjon og arealet mellom kurver 3 Areal mellom kurver Problem
Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00
SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende
Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger
Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken
e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),
Krasjkurs MAT101 og MAT111
Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten
Prøve i Matte 1000 ELFE KJFE MAFE 1000 Dato: 02. desember 2015 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark
Prøve i Matte ELFE KJFE MAFE Dato: 2. desember 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 3 5 og B = [ 5 7 2 ] Regn
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11
Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x
MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår 7 Kapittel 7.3: Rasjonale funksjoner og delbrøkoppspaltning 7.3:3 Bruk polynomdivisjon for
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.6. Alternerende rekker Absolutt og betinget konvergens 3 Alternerende rekker
I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden Delvis integrasjon må brukes to ganger.
Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 45 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea4
BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)
Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1
Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:
MET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Fagoppgave MET 804 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 28.02.209 Kl. 09:00 Innlevering: 07.03.209 Kl. 2:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven.
Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:
Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2
Sammendrag kapittel 9 - Geometri
Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.3. Integrasjonstesten 3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av
NTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 12. Avsnitt Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at. 24 For x < 0 har vi at
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 200 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),
Prøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 2. Desember 2016. Tid for eksamen: 9:00 13:00.
Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om likninger og annen algebra
Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om likninger og annen algebra Kilde: www.clipart.com 1 Likninger og annen algebra. Lærerens ark Hva sier læreplanen? Tall og algebra Mål for opplæringen er at eleven
Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 2006. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 6 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det
Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07
Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver
= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8
. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.
MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f
Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 200 2 Funksjon som en maskin x Funksjon f f(x) 3 Definisjon- og verdimengde x f(x) 4 Funksjon som en
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema
TMA4110 Matematikk 3 Høst 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3 Høst 010 Løsningsforslag Øving 4 Fra Kreyszig (9. utgave) avsnitt.7 3 Vi skal løse ligningen (1) y 16y
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
![Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3](/thumbs/55/37240043.jpg "Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3")
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
Nicolai Kristen Solheim
Oppgave 1. 1a) 1, 0, 2, sin 5 4cos sin 54cos sin 8 sin cos cos 54cos 8 sin cos 5cos 4cos 8sin cos 5cos 4cos Dersom vi plotter grafen for vil vi se hvor vokser og avtar. 1 Fra grafen for ser vi følgende
Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals
Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...
Stigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA00 Hans Jako Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 0 Stigende og avtagende funksjoner En funksjon f kalles stigende på intervallet I vis f (x ) < f (x )
Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen
NTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 5. Avsnitt Vi vil finne dx ( cos t dt).
NTNU Instittt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 5 Avsnitt 5.4 ( + cos x)dx = dx + cos xdx = π + [sin x] π = π + (sin π sin) = π. 44 Vi vil finne d x dx ( cos t dt). Merk
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 får du trening i å løse ulike typer differensialligninger, og her får du bruk for integrasjonsteknikkene du lærte i forrige kapittel. Men
Forelesning 1: Integrasjon. Separable differensiallikninger.
Forelesning 1: Integrasjon. Separable differensiallikninger. Trond Stølen Gustavsen 12. januar, 2010 Innhold Anbefalt lesning 1 1.1. Kort repetisjon av integrasjon 1 1.2. Hva er en differensiallikning?
KAPITTEL 1 - ALGEBRA. 1. Regnerekkefølger og regneregler. Legg først merke til at: Legg spesielt merke til at :
KAPITTEL - ALGEBRA. Regnerekkefølger og regneregler Legg først merke til at: 2( ) = 2 ( ) = 6, ab = a b = b a = ba og a a = a 2 Legg spesielt merke til at : a 2 = a a, ( a) 2 = ( a) ( a) = a 2 og ( a)
Matematikk for økonomer Del 2
Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at
Høgskolen i Oslo og Akershus. = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) e 2x + x 2 ( e 2x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x
Oppgåve a) i) ii) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) ( x + ) dx x x dx+ x dx x +
Oblig 1 - vår 2015 MAT1012
Oblig 1 - vår 15 MAT11 MARI RØYSHEIM University of Oslo, Department of Physics 17. februar 15 Med forbehold om trykkfeil og andre feil! Oppgave 1 a) Vi skal finne det bestemte integralet, og bruker substitusjon.
Kapittel 4: Differensiallikninger
4.. Innledning og objekter i bevegelse. 57 Kapittel 4: Differensiallikninger 4.. Innledning og objekter i bevegelse. Oppgave 4..: (NY.) a) Vi har slik at venstre side er lik y + xy = xe x + x y(x) = e
Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009
Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være
MET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 29.05.2019 Kl. 09:00 Innlevering: 29.05.2019 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia,
Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Kalkulus. Eksamensdag: Fredag 9. desember 2. Tid for eksamen: 9.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
Eksamen i TMA4122 Matematikk 4M
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Yura Lyubarskii: mobil 9647362 Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA422 Matematikk
Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
Oversikt over aktuelle temaer til matematikkprøve onsdag 28. november
Oversikt over aktuelle temaer til matematikkprøve onsdag 28. november 1. Algebra 1.1 Innsetting av tallverdier i bokstavuttrykk Eksempel 1: Sett inn a = 2 og regn ut verdien til uttrykket 4a 3 4a 3 = 4
I = (x 2 2x)e kx dx. U dv = UV V du. = x 1 1. k ekx x 1 ) = x k ekx 2x dx. = x2 k ekx 2 k. k ekx 2 k I 2. k ekx 2 k 1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 6..4 Vi skal evaluere det ubestemte integralet I = ( e k. Vi starter med å dele opp integralet
EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1
EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk
Matematikk R1 Oversikt
Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac