NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29

Transkript

1 MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29

2 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt 1.4: vertikale og horisontale linjer linjer og ligningen y = mx; proporsjonalitet linjer og ligningen y = mx + b; stigningstall ettpunktsformelen: y y 1 = m(x x 1 ) hvordan finne stigningstallet: m = y 2 y 1 x 2 x 1 MA0003 p.2/29

3 Oversikt, tirsdag 18/1 Avsnitt 1.4: oppgave 30, s. 52 (rette linjer, stigningstall) Avsnitt 1.1: renter og renters rente Avsnitt 1.5: kvadratiske funksjoner (f (x) = ax 2 + bx + c) potensfunksjoner, polynomfunksjoner, rasjonale funksjoner, absoluttverdifunksjoner Trigonometriske funksjoner radianer, sin x, cos x, tan x, periodiske funksjoner MA0003 p.3/29

4 Oversikt, torsdag 20/1 Ekstra notat: trigonometriske funksjoner periodiske funksjoner radianer sin x, cos x, tan x, Avsnitt 2.1: idéen bak grenser kontinuitet MA0003 p.4/29

5 Tirsdag 8/2: Avsnitt 2.8 og 2.9 d utvidet potensregel: dx xk = kx k 1 sammensatte funksjoner: f [g (x)], f g (x) kjerneregelen: d dx [f (g (x))] = f (g (x)) g (x), høyere ordens deriverte: ( (f (x)) = f d d y (x), dx dx aksellerasjon: a(t) = v (t) = s (t) d y dx = d y du ) = d2 y dx 2 du dx MA0003 p.5/29

6 Torsdag 10/2: Avsnitt 3.1, 3.2 og 3.3 kritiske punkt: f (c) = 0 eller f (c) finnes ikkes relative maksimums- og minimumsverdier førstederiverttesten: f (x) skifter fortegn annenderivertesten: f (x) > 0 eller f (x) < 0 vendepunkt: f (x 0 ) skifter fortegn skissering av grafer Muligens også litt om rasjonale funksjoner og asymptoter MA0003 p.6/29

7 Repetisjon f er voksende i et intervall I hvis f (a) < f (b) når a < b og a, b ligger i I f er avtagende i et intervall I hvis f (a) > f (b) når a < b og a, b ligger i I voksende funksjon avtagende funksjon MA0003 p.7/29

8 Førstederiverttesten Teorem 3, s.192 La f være en kontinuerlig funksjon som har nøyaktig ett kritisk punkt c i et åpent intervall (a, b). 1. f har et relativt minimum i c hvis f (x) < 0 i (a, c) og f (x) > 0 i (c, b). 2. f har et relativt maksimum i c hvis f (x) > 0 i (a, c) og f (x) < 0 i (c, b). 3. f har verken et relativt maksimum eller et relativt minimum i c hvis f (x) har samme fortegn i (a, c) og (c, b). MA0003 p.8/29

9 Annenderiverttesten Teorem 5, s.204 Sett at f er en funksjon slik at f (x) finnes for hver x i et åpent intervall (a, b) (i definisjonsmengden), og sett at der er et kritisk punkt c i (a, b) der f (c) = 0. Da er: 1. f (c) en relativ minimumsverdi hvis f (c) > 0 2. f (c) en relativ maksimumsverdi hvis f (c) < 0. Hvis f (c) = 0 kan vi ikke bruke testen, men må bruke førstederiverttesten i stedet for. MA0003 p.9/29

10 Skissering av grafer (s. 226) For å skissere grafen til en funksjon f må vi tenke på skjæringspunkt med x og y-aksene deriverte kritiske punkt for f (dvs. f (x 0 ) = 0 eller f (x 0 ) finnes ikke) relative maks/min punkt og verdier hvor f (x) > 0 og f (x) < 0 vendepunkt (f (x 0 ) = 0 eller f (x 0 ) finnes ikke) konkavitet (finn intervaller der f (x) > 0 eller f (x) < 0) asymptoter MA0003 p.10/29

11 Tirsdag 15/2: Avsn. 3.3 og 3.4 asymptoter: vertikale, horisontale og skrå å skissere grafer absolutte maksimums- og minimumsverdier ekstremverdisetningen hvordan finne absolutte maksimums- og minimumsverdier MA0003 p.11/29

12 Absolutt maks. og min. i [a, b] (1) Teorem 8, s La f være kontinuerlig i et lukket intervall [a, b]. Følg denne oppskriften for å finne de absolutte maksimums- og minimumsverdiene til f i [a, b]: 1. finn f (x) 2. finn de kritiske punktene c til f, dvs. punkt der f (c) = 0 eller der f (c) ikke finnes 3. de punktene som kan gi abs. maks og min er: endepunktene og de kritiske punktene a, c 1, c 2, etc., b. 4. finn verdiene f (a), f (c 1 ),..., f (b). Den største av disse verdiene er den absolutte maksimumsverdien til f i [a, b]. Den minste av disse verdiene er den absolutte minimumsverdien til f i [a, b]. MA0003 p.12/29

13 Absolutt maks. og min. i [a, b] (2) Teorem 9, s. 240 f funksjon slik at f (x) finnes for hver x i I. Anta kun ett punkt c i det indre av I med f (c) = 0. Da er f (c) den absolutte maksimumsverdien i I hvis f (c) < 0 f (c) den absolutte minimumsverdien i I hvis f (c) > 0 MA0003 p.13/29

14 Eksempel 1, s En hobbybutikk har 6m gjerde til å sperre av et rektangulært område for et elektrisk tog i et hjørne av et utstillingsrom. Det trengs ikke gjerde for de to sidene mot veggen. Hvilke sidelengder må rektangelet ha for å gjerde inn størst mulig areal, og hva er det største arealet? x y = 6 x MA0003 p.14/29

15 Eksempel 3, s Et firma lager en rektangulær eske uten lokk, med kvadratisk bunn, som skal romme 108 cm 3. Hvilke dimensjoner gir minst mulig overflateareal? Hva er det minimale overflatearealet? MA0003 p.15/29

16 Torsdag 17/2: Avsn. 3.5 og 4.1 Eksempel 3 i avsnitt 3.5 eksponentialfunksjoner: f (x) = a x derivering av eksponentialfunksjoner tallet e og f (x) = e x d dx ex = e x kjerneregelen og e x MA0003 p.16/29

17 Tirsdag 22/2: Avsn. 4.2 og 4.3 generelle logaritmer: y = log a x x = a y logx = log 10 x, ln x = log e x regneregler for logaritmer d dx ln x = 1 x vekstmodeller: P (t) = kp(t) den logistiske vekstmodellen: : P(t) = L 1 + be kt MA0003 p.17/29

18 Torsdag 24/2: Avsn. 4.4 og 4.5 modellen dp dt = kp, P (t) = kp(t) radioaktiv desintegrasjon; halveringstid derivasjon av a x og log a x: d dx ax = (ln a)a x, (om tid) oppsummering d dx log a x = 1 ln a 1 x MA0003 p.18/29

19 Tirsdag 15/3: Avsn. 5.1 og 5.2 antiderivasjon (integrasjon): f (x)dx noen integrasjonsregler og - formler areal y f(x) A = b a f(x)dx a b x bestemt integral: b a f (x)dx MA0003 p.19/29

20 Torsdag 17/3: Avsn. 5.4 og 5.3 egenskaper ved bestemte integral: arealet mellom to grafer y f(x) A = b a [f(x) g(x)]dx g(x) a b x lim n n i=1 f (x i ) x = b a f (x)dx gjennomsnittsverdier: y av = 1 b a b a f (x)dx MA0003 p.20/29

21 Torsdag 31/3: Avsn. 5.5 og 5.6 Integrasjonsteknikker: substitusjon f (g (x))g (x)dx u=g (x) = f (u)du = f (g (x)) +C delvis integrasjon uv dx = uv u vdx Om tid: avsn. 6.2: T 0 P 0 e kt dt, T 0 P 0 e kt dt MA0003 p.21/29

22 Tirsdag 5/4: Avsn. 6.2 og 6.3 (6.6) Anvendelser av integrasjon: T 0 P 0 e kt dt, T 0 P 0 e kt dt Uegentlige integral: a b f (x)dx = lim b a f (x)dx (Om tid) Volum av omdreiningslegemer: V = b a π[f (x)] 2 dx. MA0003 p.22/29

23 Torsdag 7/4: Avsn. 6.6 og 6.7 Volum av omdreiningslegemer: V = b a π[f (x)] 2 dx. Differensialligninger: d y dx = g (x), d y dx = f (y)g (x). MA0003 p.23/29

24 Tirsdag 12/4: Lineære ligninger 1.1 lineære ligningssystemer: x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 matriser/matrisenotasjon å løse lineære ligningssystemer: elementære rekkeoperasjoner MA0003 p.24/29

25 Torsdag 14/4 hvordan finne ut om et system er inkonsistent vektorer: v = [ 1 2 ] vektorligninger:x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b matriseligninger: Ax = b Om A = [ a 1... a n ], x = x 1., så er x n Ax = x 1 a 1 + x 2 a x n a n MA0003 p.25/29

26 Tirsdag 19/4: 1.4, 1.6, 1.8 hvordan beregne Ax x 1 x 2 x 3 = x 1 2x 2 + x 3 2x 2 8x 3 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 anvendelser: strømning i nettverk transformasjoner (funksjoner!) matrisetransformasjoner T : R n R m T (x) = Ax MA0003 p.26/29

27 Torsdag 21/4: 1.8 og 1.9 (evt. 2.1) matrisetransformasjoner matrisen til en gitt transformasjon: T (x) = [ ([ ]) ([ ])][ 1 0 T T 0 1 } {{ } A geometrisk effekt av transformasjoner matriseregning: x 1 x 2 ] A + B, r A MA0003 p.27/29

28 Tirsdag 26/4: 2.1 og 2.2 skalarmultiplikasjon: r [ ] = [ r 2r 0 2r ] matrisemultiplikasjon: Gitt A og B = [ b 1... b p ], da er AB = [ Ab 1... Ab p ] inversen til en matrise: AA 1 = A 1 A = I MA0003 p.28/29

29 Torsdag 28/4: 2.2 og 2.7 inversen til en matrise: A = [ a b c d ], A 1 1 = ad bc [ d c b a ] litt om anvendelser innen datagrafikk: - lineærtransformasjoner i R 2 - homogene koordinater MA0003 p.29/29