MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag

Transkript

1 MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) = cos ( π x) + cos (π x) cos (π ) + sin (π x) sin (π ) + cos ( π x) cos (π ) + sin (π x) sin (π ) = ( ) cos (π x) + ( + ) sin (π x) = cos ( π x) + sin ( π x) = cos ( π (x 1)) 1 + ( ) = og cos θ = 1 og sin θ = gir θ = π. b) En.ordens homogen differenslikning er gitt ved x n+ x n+1 + x n = 0 Finn den generelle løsningen av likningen. Karakteristisk polynom λ λ + 1 = 0 gir røtter, λ = 1 ± = e±i π. Det gir løsning x n = A cos ( π n) + B sin (π n) c) Vi tar for oss differenslikningen i oppgave b), men i denne oppgaven skal vi variere midtleddet for å studere andre typer løsninger. x n+ + b x n+1 + x n = 0 Beskriv hva slags løsninger vi får for varierende verdier av b. To verdier for b gir oss kun en rot i det karakteristiske polynomet. Skriv opp den generelle løsningen av likningen i disse tilfellene. Karakteristisk polynom λ + bλ + 1 = 0 gir røtter λ = b ± b 4 1

2 Det betyr at for b 4 > 0 dvs b > så har vi to reelle røtter og for < b < har vi to komplekse røtter (slik som i oppgave c). For b = får vi bare en rot, nemlig λ = ±1. Det gir løsninger, for b =, dvs λ = 1: og for λ = 1, x n = A 1 n + B n 1 n = A + Bn x n = A ( 1) n + B n ( 1) n = (A + Bn) ( 1) n d) Vi går tilbake til likningen i b), men nå ser vi på en inhomogen variant, x n+ x n+1 + x n = n n + 1 Finn løsningen av denne likningen som tilfredsstiller x 0 = 0 og x 1 = 0. Vi har allerede løsningen av den homogene likningen, så vi må finne en spesiell løsning av den inhomogene likningen. Dette er ikke noen av unntakstilfellene, så vi prøver med et polynom av samme grad som i oppgaven; x s n = an + bn + c. Innsetting gir a(n + ) + b(n + ) + c a(n + 1) b(n + 1) c + an + bn + c = an + (b + b)n + (a + b + c) = n n + 1 Sammenlikning av koeffisienter gir a = 1, a + b = 1 og a + b + c = 1, eller a = 1, b = og c = 1 og vi får en generell løsning, x n = A cos ( π n) + B sin (π n) + n n + 1 Setter vi inn for n = 0 får vi x n = A cos 0 + B sin = A + 1 = 0 dvs. at A = 1. Innsetting for n = 1 gir x n = A cos ( π ) + B sin (π ) = 1 + B 1 = 0 som gir B = og vi har løsning x n = cos ( π n) + sin ( π n) + n n + 1 = cos ( π (n )) + n n + 1 e) Differensiallikningen y + ( tan x)y = tan x kan betraktes enten som en første ordens likning, eller som en separabel likning y + ( tan x)(y 1) = 0 Løs likningen med begge metoder. Vi antar i denne oppgaven at cos x > 0.

3 Vi kommer til å få bruk for en antiderivert av tan x: sin x tan x dx = cos x dx u = cos x du = u = ln u = ln cos x du = sin x dx Siden cos x > 0 i oppgaven kan vi ta bort absoluttverditegnet. Nå bruker vi formelen y = e R tan x dx tan x e R tan x dx dx = e ( ln (cos x)) sin x cos x e( ln (cos x)) dx = cos x sin x 1 cos x cos x dx sin x = cos x cos x dx u = cos x du = sin x dx du = cos x u = cos x ( ( 1 ) 1 u + C) = cos x ( 1 cos x + C) = 1 + C cos x Så løser vi oppgaven som en separabel likning, ved først å separere de variable; dy = tan x dx y 1 Vi integrerer begge sider, ln y 1 = som vi kan skrive dy y 1 = tan x dx = ( ln (cos x) + K y 1 = cos x e K Erstatter vi konstanten K = e K (som får være positiv eller negativ), kan vi fjerne absoluttverditegnet og vi får y = 1 + K cos x Dette er det samme uttrykket som over, med en litt annen konstant. f) Summeformelen for sinus sier at sin x = sin x cos x. Regn ut sin x dx sin x cos x dx ved henholdsvis substitusjon og delvis integrasjon. Svarene blir tilsynelatende forskjellige. Kommentarer?

4 4 Vi tar først den første ved substitusjon sin x dx = 1 sin x dx u = x du = dx = 1 sin u du = 1 ( cos u + C) = 1 cos x + C Så gjør vi den andre ved delvis integrasjon, sin x cos x dx = ( u v u v dx ) u = sin x v = cos x u = cos x v = sin x = sin x cos x sin x dx + K Vi flytter det siste integralet over på venstre side og får 4 sin x cos x dx = sin x + K og deler på, som gir sin x cos x dx = sin x + K Hvorfor er disse like? Ved å bruke formelen cos x = cos x sin x, sette C = K + 1 og bruke at 1 = sin x + cos x får vi 1 cos x + C = 1 (cos x sin x) + K + 1 (sin x + cos x) = 1 cos x + 1 sin x + K + 1 sin x + 1 cos x = sin x + K g) Tegn grafen til funksjonene y = sin x og y = cos ( π x) i samme koordinatsystem. Identifiser på tegningen begrepene amplitude, periode og akrofase for de to funksjonene. Merk at de to funksjonene er identiske! Amplituden er utslaget fra middelverdien, i dette tilfellet 1, perioden er avstanden mellom to topper, her π, og akrofasen er avstanden fra y-aksen ut til første topp, i dette tilfellet π. Det siste kan også leses ut i fra at cos ( π x) = cos (x π ). h) En funksjon y = f(x) oppfyller to betingelser, y y = 1 og y (0) = 1. Finn denne funksjonen.

5 5 Dette er en separabel differensiallikning og vi startet med å separere de variable y dy = 1 dx = dx Vi integrerer begge sider, 1 y = x + C som gir y = x + C Siden y y = 1 har vi at y 1 = x + C Setter vi inn for x = 0, som skal gi y = 1, får vi y (0) = 1 = 1 C som gir C =, og vi har øsning y = x + 4