Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter.

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter."

Transkript

1 Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter. Dersom man ofte ikke er intressert i å finne eksakte løsninger kun sikkre interval, er ulikheter viktige. Hvis man f.eks ønsker å vite hvor mye man kan kjøpe for hvis faste kostnader er 300 og enhetspris er 20 må man løse ulikhet x< Hvis x>y har vi også x+2> y+2 og x-2> y-2. Vi kan legge til samme ledd og trekke fra samme ledd i sidene til ulikheten og den er sann for samme verdier på x og y. Hvis x>y har vi også 2x>2y og x/2>y/2. Vi kan multiplisere og dividere med samme positive tall og ulikheten er sann for samme verdier på variablene x og y. ønsker vi å multiplisere eller dele med negative tall blir det lite vanskligere. Hvis -x>-y er x<y. Du kan kanskje se dette hvis du tegner in x,y, -x og -y på tallinja? Hvis vi endrer tegn går det likvel greit hvis vi snur ulikhet. Får å løse en ulikhet kan vi så *** forenkle sidene, gruppere ledd av samme typ og trekke sammen *** legge til begge sidene og trekke fra samme tall eller uttrykk *** multiplisere og dividere begge sidene med samme positive tall *** endre tegn og snu ulikhet

2 Vi begynner med litt oppgaver fra praksis. Eksempel A. Vi løser ulikhet x<50000 fra oven. Hvis vi trekker fra 3000 fra begge sider får vi 20x< og 20x< Vi stryker selvfølgelig en null og får 2x<4700. Deler vi på to har vi x<2350. Vi kan produsere maks Eksempel B. Prisen er gitt ved p= x. Hvor mye kan man produsere hvis man ønsker ha prisen over Vi løser uliket x> Vi trekker fra begge sider og får -0.8x> Vi endrer tegn og må da snu ulikhet og får 0.8x<4000. Vi deler med 0.8 og får x<4000/0.8 =40000/8=5000. Eksempel C. Kostnadsfunksjon er gitt ved x. Hvor mye må man produsere hvis man ønsker ha enhetskostnad under 40. Vi løser ( x)/x = 2000/x+20<40. Vi trekker 20 fra begge sider og får 2000/x<20. Vi stryker selvfølgelig en null og får 200/x<2. Vi søker kun positive x og kan da multiplisere ulikhet med x (hvis x er negativ må man jo snu) og får 200<2x. Deler vi med to får vi 100<x. Vi må minst produsere 100. I alle disse eksemplene kan vi kanskje bruke snarveier. I eksempel A vokser kostnadene med produksjon og hvis vi finner produksjon når kostnadene er vet vi at vi må ha mindre produksjon enn hva vi fikk ved løsning av likhet. I eksempel B kan vi bruke at prisen avtaker og finner vi når prisen er vet vi produksjon må være mindre. I eksempel C minker enhetskostnad ved øket produksjon og finner vi når enhetskostnad er eksakt 40 vet vi produksjon må være større. Vi tar nå eksempel hvor vi vi har uliketer med andregradsledd. Eksempel D. Prisen er gitt ved x 2 Hvor mye kan vi produsere hvis vi ønsker pris over Vi løser ulikhet x Vi trekker fra begge sider og får x 2 0 Denne ulikhet kan faktoriseres med konjugatregelen og vi får x x 0 Vi søker fortegn på faktorene: X< <x<10000 x> x pos pos neg x neg pos pos venstre ledd neg pos neg

3 Kun positiv produksjon x>0 er intressant og da er venstre ledd positiv for x< Venstre ledd er produkt av to faktorer og kan være positiv kun hvis begge faktorene er positive eller begger er negative. Her er det mye enklere å bruke snarvei. Prisen avtaker med øket produksjon og det gjelder kun å finne når prisen er lik ( 0.01x 2 =10000 gir x=100) og se til at produksjon er mindre. Eksempel E. Hvor mye kan vi produserer hvis vi ønsker produksjonskostnader mindre enn 4980 og kostandsfunksjon er 0.001x 2 0.1x 3420 Vi må løse ulikhet x x hvilker er samme som x x Løser vi andregradslikning x x 1560=0 får vi løsninger x=1200 og x= Vi kan da bruke faktoriseringsteorem og skrive ulikhet som x 1200 x Vi søker igjen fortegn Vi ønsker ikke å ha negativ produksjon så venstre ledd er negativ for x<1200. Da er en faktor negativ og andre positiv og produkt er negativ. Her er det igjen mye enklere med snarvei. Kostnadene øker med produksjon og finner vi løsningene til x x 1560=0 krever vi kun produksjon mindre enn positive løsning Eksempel F. For hvilke produksjonsmengde er enhetskostnadene under 2, hvis kostnadsfunksjon er x 2 0.2x 720 Vi må løse ulikhet x 2 0.2x x Vi ser kun på positiv produksjon x og multipliserer begge ledd med x og får x 2 0.2x 720 2x og x 2 1.8x Løser vi likning x 2 1.8x 720=0 får vi løsningene x=600 og x=1200. Vi kan da faktorisere venstre ledd og får 0.001(x-600)(x-1200)<0 Vi ser på fortegn igjen. X< <x<1200 x>1200 x-1200 neg neg pos X+1300 neg pos pos venstre ledd pos neg pos

4 x< <x<1200 x>1200 x-1200 neg neg pos x-600 neg pos pos venstre ledd pos neg pos Venstre ledd er negativ når produksjon er mellom 600 og For x<600 er begge faktorene negativ og produkt er positiv og for x>1200 er begge faktorene positive og produkt er positiv. Nå finner vi ikke mer enkle snarveier. Men man vel sjekke at hvis venstre ledd er negativ for et verdi f eks 1000 mellom 600 og 1200 så kan man vel tro det må være negativ i hele intervall, det kan vel ikke bli postivt uten å være null noen gang? Eksempel G. For hvilken produksjonmengde er inntekt over 660 hvis prisen er gitt ved p= x. Vi må løse ulikhet x x 660 Regner vi litt finner vi at vi må ha x 0.001x 2 0 og løser vi likning x 0.001x 2 =0 har vi løsningene x=600 og x=1100 og vi kan faktorisere venstre ledd i ulikhet og får (x-600)(x-1100)>0 Fortegnsanalyse gir x< <x<1100 x>1100 x-1100 neg neg pos x-600 neg pos pos venstre ledd neg pos neg Venstre ledd er positiv for produksjon mellom 600 og ( Ene faktor er negativ og andre positiv og fortegn til produkt er minus, alt tilsammen gir positiv).

5 Oppgave 1. Ved hvilken produksjonmengde er kostnadene mindre enn 6000 hvis kostnadsfunksjon er gitt ved a) x, b) x c) x Oppgave 2. En produkt er ferdig etter tre trinn. I første trinn er kostnadfunksjon gitt ved x, i andre trinn ved x, i tredje ved x. For hvilke produksjonsmengde er totale kostnadene mindre enn a) 3000 b) c) 1700 Oppgave 3. Kostnadene for bedrift Karabas er gitt ved x og for Buratino ved x. For hvilken produksjonsmengde er kostnadene for Buratino mindre enn for Karabas? Oppgave 4. Prisen er gitt p= x. Ved hvilken produksjonsmengde er prisen over a) 800, b) 500 c) null Oppgave 5. Kostnadsfunksjon er gitt ved x. For hvilke produksjonmengde er enhetskostnad mindre enn a) 140, b) 51, c) 30 Oppgave 6. For hvilke produksjonmengde er kostnad mindre enn 800 hvis kostnadsfunksjon er er gitt ved a) x x 2 b) x x 2 Oppgave 7. Kostnadene for bedrift Karabas er gitt ved x x 2 og for Buratino ved x x 2 For hvilken produksjonsmengde er kostnadene for Buration mindre enn kostnadene for Karabas? Oppgave 8. Prisen er gitt ved p=1300-x/3. Når er inntekt over ?

6 Fasit. Oppgave 1. a) x<120, b) x<153.3, c) x<280 Oppgave 2. Totale kostnad er sum av kostnad i tre trinn = x a) x<20, b) x<180, c) umulig, 1700 er under fastekostnader 2000, algebraisk løsning gir også negativ produksjon Oppgave 3. x<40 Oppgave 4. a) x<5000, b) x<12500, c) x<25000 Oppgave 5. a) x>11, b) x>100, c) umulig, enhetskostnad kan ikke være mindre enn 40 Oppgave 6. a) x<1000, b) x<500 Oppgave 7. x<200 eller x>3000 Oppgave <x<36000, dvs for produksjon mellom 300 og 36000

7 Vi bruker mulighetene side 1 for å løse mer abstrakte ulikheter vi begynner med å løse lineære ulikheter av typ ax+b > 0 Eksempel 1. Vi ønsker løse ulikhet 2x 1 3x 5 4x 6 x Etter forenkling (grupperes og trekker sammen x-leddene og konstante) fås 5x 4 3x 6 For å få x-leddene til venstre og konstantene til høyre trekker vi fra 3x og addere til 4 i begge sidene (flytter over og endrer tegn) 5x 4 3x 4 3x 6 3x 4 Vi får 2x 2 og deler begge sidene med to og får så x>-1 Ulikhet gir altså at x må være større enn -1. Eksempel 2. Vi løser ulikhet 1 (3-x) > 4x + 4. Forenkling gir 1-3+x> 4x+4 eller -2+x>4x+4 Vi finner en ekvivalent ulikhet med x-leddene til venstre: -3x > 6. Vi dividerer begge sidene med 3 og får -x>2. Nå endrer vi tegn og snur ulikhet hvilket gir: x<-2 (Vi tenker, hvis -x er større enn 2 så må x være negativ for å få positiv -x og x må være mindre enn -2 for å få -x større enn 2)

8 Hvis vi ønsker å løse ulikheter med andregradsledd er det vanligt at det er enklest å flytte alt til venstre side og faktorisere og ha null til høyre. Eksempel 3. Vi løser x 2 16 Vi kan tenke over hva dette betyr. Tallet x 2 øker hvis x er positiv og øker. For x=4 har vi x 2 =16 og så er x 2 16 for positive x<4. Tallet øker hvis x er negativ og minker. For x=-4 har vi x 2 =16 og så er x 2 16 for negative x>-4. Dersom ulikhet er gyldig for x=0 får vi at ulikhet gjelder for -4<x<4 Det er også muligt å se på ulikhet på en annen måte. Ofte er det lettere å løse hvis man setter kun null til høyre og alle andre ledd til venstre: x Faktoriserer vi venstre side fås (x-4)(x+4)<0 Vi kan finne tegn får denne produkt fra et fortegnskjema: -4 4 x x (x-4)(x+4) Vi ser at x-4 er negativ for x<4 og positiv for x>4. Vi ser også at x+4 er negativ for x<-4 og positiv for x>-4. Vi får så at produkt er negativ hvis den ene faktor er negativ og den andre positiv. Dette skjer så når x er mellom -4 og 4.

9 Eksempel 4. Vi ønsker å løse 4x 2 20 x x 2 2x 48 Denne er enklest å løse ved å flytte alt til venstre og få null til høyre. 4x 2 20x x 2 2x 48=3x 2 18x 48 0 Vi prøver å faktorisere. Vi ser at alle leddene har 3 som felles faktor. Vi deler ulikhet med 3 og får. x 2 6x 16 0 Nå kan vi faktorisere venstre ledd gjennom å bruke røttene fra andregradslikning. x 2 x 8 0 Vi kan igjen bruke fortegnskjema: -8 2 x x (x-2)(x+8) Vi ser at uttrykket er negativ mellom -8 og 2 så ulikhet er sann for -8< x <2 Eksempel 4a. Vi løser ulikhet 32 2 x 6 x Vi ser vi kan dele med to og får 16 x 6 x =6x x 2 To er jo positiv så vi trenger ikke til å snu ulikhet Vi flytter alt til venstre og får 16 6x x 2 0 Nå er det nok best å endre tegn og snu ulikhet. Vi får x 2 6x 16 0 Dette er samme ulikhet som i eksempel 4 og vi får samme resultat. Eksempel 4b. Vi løser ulikhet 4x 2 20 x x 2 2x 48 Det er samme som i eksempel 4 men vi kan ogå ha likhet. Etter forenklinger får vi igjen x 2 x 8 0 Vi kan bruke samme fortegnskjema men må ta med muligheter for uttrykk å bli null, dvs når x=2 eller x=-8. Vi får da 8 x 2

10 Samme typ av fortegnskjema kan brukes for brøk. Eksempel 5. Vi løser 2 x x 1 1 Vi ønsker igjen å få null til høyre så vi regner 2 x x 1 2 x x 1 1= = 1 2x x 1 x 1 0 Hvis vi endrer tegn får vi 2x 1 x 1 0 Vi bruker nå fortegnskjema for brøk. 2x-1-1 1/ x+1 (2x-1)/(x+1) * Dersom nevner ikke kan bli null kan vi ikke ha x=-1 og legger en stjerne der. Vi ser at brøken er positiv for x<-1 eller x>1/2. Eksempel 5a. Vi løser 2 x x 1 1 Etter forenkling får vi igjen 2x 1 x 1 0 Vi kan bruke samme fortegnskjema som i eksempel 5. Brøken er null ved ½ men ikke ved -1 når nevner er null. Vi får nå at ulikhet er sann for x<-1 eller x 1 2

11 Eksempel 6. Vi løser Faktoriserer vi fås x 2 2x 1 2x x 1 2 x 1 2 x 50 x 50 0 x 1 Bruker vi fortegnskjema ser vi at (gjør dette!) uttrykk til venstre er positivt for -50<x<-1 og -1<x<1 og x>50. Uttrykk er null ved x=-1, -50 og 50 så ulikhet er sann for 50 x 1 og x 50 Man har ofte bruk for et begrepp som kalles absoluttverdien. Det betegnes x definieres som x hvis x er positiv eller null -x hvis x er negativ Det betyr altså at taller er seg selv men endrer tegn hvis det er negativt. Det betyr også avstand til null på tallinja. Ulikheter med uttrykk som har absoluttverdier kan være vansklige å løse fordi man trenger ofte til å dele inn i forskjellige fall. Eksempel 7. Vi løser x 4 5 Hvis x-4>0 har vi ulikhet x-4<5 hvilket betyr x<9. Dersom x-4>0 betyr x>4 ser vi at ulikhet er sann for 4<x<9 Hvis x-4<0 har vi ulikhet -(x-4)<5 hvilket blir 4-x<5 og x>-1. Dersom x-4<0 betyr x<4 ser vi at ulikhet er sann for -1<x<4. Dersom 4<5 er ulikhet sann for x=0. Summeres fås at ulikhet er sann for -1<x<9. Men egentlig betyr det kun at avstand til 4 er mindre enn 5.

Prosent- og renteregning

Prosent- og renteregning FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra

Detaljer

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset

Detaljer

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger

Detaljer

Rasjonale potenser. For å finne side av kvadrat med gitt areal A løser vi likning x 2 = A.

Rasjonale potenser. For å finne side av kvadrat med gitt areal A løser vi likning x 2 = A. Rasjonale potenser Vi har tidligere sett hvordan man definierer potenser med heltall. Vi skal nå se hvordan man naturlig definierer potenser også for rasjonale tall, dvs brøk hvor teller og nevner er heltall.

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

TALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b.

TALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b. TALLÆRE UKE 34. Faktor. Hva er en faktor i et heltall? Vi fant ut at hvis et heltall b er med i et regnestykke med kun multiplikasjon som gir heltallet a som svar da er b faktor i a. Eksempel: 3 8=24 og

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5. Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med

Detaljer

Andregradslikninger. x 2 =d hvor d = c a

Andregradslikninger. x 2 =d hvor d = c a Andregradslikninger En andregradslikning har form ax bx c=0 hvor x er ukjent. Den enkelste er når b=0. Vi har då x =d hvor d = c a Denne likning kan løses med å ta rot. Eksempel 1. Vi løser x =11 Vi ønsker

Detaljer

FAKTORISERING FRA A TIL Å

FAKTORISERING FRA A TIL Å FAKTORISERING FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til faktorisering F - 2 2 Grunnleggende om faktorisering F - 2 3 Fremgangsmåter F - 3 3.1 Den grunnleggende

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Matematikk for økonomer Del 2

Matematikk for økonomer Del 2 Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Løsningsforslag. a) i. b) (1 i) 2. e) 1 i 3 + i LF: a) Tallet er allerede på kartesisk form. På polar form er tallet gitt ved

Løsningsforslag. a) i. b) (1 i) 2. e) 1 i 3 + i LF: a) Tallet er allerede på kartesisk form. På polar form er tallet gitt ved Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Mandag 3. august 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag Uttrykk følgende komplekse tall både

Detaljer

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5. Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2015

Matematikk for IT, høsten 2015 Matematikk for IT, høsten 015 Oblig 5 Løsningsforslag 5. oktober 016 3.1.1 3.1.13 a) Modus ponens. b) Modus tollens. c) Syllogismeloven. a) Ikke gyldig. b) Gyldig. 3.1.15 a) Hvis regattaen ikke avlyses,

Detaljer

Kapittel 8. Inntekter og kostnader. Løsninger

Kapittel 8. Inntekter og kostnader. Løsninger Kapittel 8 Inntekter og kostnader Løsninger Oppgave 8.1 (a) Endring i bedriftens inntekt ved en liten (marginal) endring i produsert og solgt mengde. En marginal endring følger av at begrepet defineres

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

Handelshøyskolen BI Eksamen i Met Matematikk for økonomer kl til Løsninger

Handelshøyskolen BI Eksamen i Met Matematikk for økonomer kl til Løsninger Handelshøyskolen BI Eksamen i Met 91001 Matematikk for økonomer..1 00 kl 09.00 til 1.00 Løsninger OPPGAVE 0.1 Vi skal derivere disse funksjonene a) b) f( x) 3x 8 + 3x f ( x) x 8 1 + 3 x x 9 + 6x fx ( )

Detaljer

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup Brukerveiledning for webapplikasjonen Mathemateria 01.02.2015 Terje Kolderup Innhold Brukerveiledning for webapplikasjonen...1 Mathemateria...1 Introduksjon...3 Typisk eksempel og bryterstyring...3 Innlogging...4

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Innlevering i FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 19. september 2014 kl. 14:00 Antall oppgaver: 18

Innlevering i FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 19. september 2014 kl. 14:00 Antall oppgaver: 18 Innlevering i FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag 9. september 04 kl. 4:00 Antall oppgaver: 8 Løsningsforslag Skriv som en brøk (eller et heltall) + 3/4 +

Detaljer

Posisjonsystemet FRA A TIL Å

Posisjonsystemet FRA A TIL Å Posisjonsystemet FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til posisjonsystemet P - 2 2 Grunnleggende om posisjonsystemet P - 2 3 Titallsystemet P - 3 4 Posisjonsystemet

Detaljer

To likninger med to ukjente

To likninger med to ukjente To likninger med to ukjente av Peer Andersen Peer Andersen 2014 TO LIKNINGER MED TO UKJENTE I dette lille notatet skal vi se på hvordan vi kan bruke addisjonsmetoden og innsettingsmetoden for å løse to

Detaljer

ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger

ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad 9. mars 2011 ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger Revisjoner 9. mars 2011: Nye oppgavesett til 15. og 22. mars. Har benyttet sjansen

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

Høgskolen i Bodø Matematikk for økonomer 16. desember 2000 Løsninger

Høgskolen i Bodø Matematikk for økonomer 16. desember 2000 Løsninger Høgskolen i Bodø Matematikk for økonomer 6. desember 2 Løsninger OPPGAVE. a) Deriver funksjonen f( x) x 8 + 2x 4 + 7x 4 + 7 f ( x) 4x 8 + 4x 2 + + 28x 3 + 28x 3 8x 4 8x 6 b) Deriver funksjonen f( x) 7x

Detaljer

Tallregning Vi på vindusrekka

Tallregning Vi på vindusrekka Tallregning Vi på vindusrekka Addisjon... 2 Addisjon: Oppstilling... 3 Addisjon med minnetall... 4 Addisjon med desimaltall... 5 Subtraksjon... 6 Subtraksjon uten låning... 7 Subtraksjon med låning...

Detaljer

Oppgavesett med fasit

Oppgavesett med fasit TIL ENT3R ELEVENE Oppgavesett med fasit Tommy Odland Sist oppdatert: 1. november 2013 http://is.gd/ent3rknarvik http://tommyodland.com/ent3r 1 INNHOLD 1 Om dette dokumentet 3 1.1 Formål og oppbygging..................................

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

NAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18

NAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18 NAVN: INNHOLD FORORD... 2 LÆREPLAN... 3 ALGEBRA.... 3 REGNING MED VARIABLER... 3 MONOM... 3 POLYNOM... 3 TREKKE SAMMEN UTTRYKK (addisjon/subtraksjon)... 4 MULTIPLIKASJON... 4 DIVISJON... 4 ADDISJON AV

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M1 Onsdag 14.desember 2005

Løsningsforslag Eksamen M1 Onsdag 14.desember 2005 Løsningsforslag Eksamen M Onsdag.desember 005 Her følger et kort løsningsforslag, med forbehold om at det kan ha sneket seg inn enkelte feil... Oppgave (0) a) V basskasse dm 5,5dm 5,0dm 75,dm 75, l Basskassen

Detaljer

8 Likninger med to ukjente rette linjer

8 Likninger med to ukjente rette linjer 8 Likninger med to ukjente rette linjer 8. Likninger med to ukjente Per vil teste kameratens matematiske kunnskaper. Han forteller at han har ni mnter med en samlet verdi på 40 kroner i lommeboken sin.

Detaljer

Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag

Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

Eksamen S1 vår 2011 DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave f x x. f x x. x x. S1 Eksamen våren 2011, Løsning MATEMATIKK

Eksamen S1 vår 2011 DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave f x x. f x x. x x. S1 Eksamen våren 2011, Løsning MATEMATIKK S Eksamen våren 0, Løsning Eksamen S vår 0 DEL Uten hjelpemidler Oppgave a) Vi har funksjonen f x x 3 x 5 ) Deriver funksjonen. f x x 3 3 5 f x x 6 5 ) Bestem f. Hva forteller svaret deg om grafen til

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2017

Matematikk for IT, høsten 2017 Matematikk for IT, høsten 017 Oblig 5 Løsningsforslag 0. september 017 Oppgave 1 (eksamen desember 013) Gitt følgende logiske utsagn: ( p ( p q)) Benytt lovene i logikk til å finne hvilket av følgende

Detaljer

ADDISJON FRA A TIL Å

ADDISJON FRA A TIL Å ADDISJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til addisjon 2 2 Grunnleggende om addisjon 3 3 Ulike tenkemåter 4 4 Hjelpemidler i addisjoner 9 4.1 Bruk av tegninger

Detaljer

Øving 2. Oppgave 1: Diverse algebra med føring. Oppgave 2: Ligningssystem som tekstoppgave. Oppgave 3: Grafgjenkjenning

Øving 2. Oppgave 1: Diverse algebra med føring. Oppgave 2: Ligningssystem som tekstoppgave. Oppgave 3: Grafgjenkjenning Øving 2 Oppgave 1: Diverse algebra med føring Finn x som løser ligningene: a) x 2 + 9 = 25 b) x 2 = 2x + 8 c) 2x 2 + 12x = 32 d) x 1 = 1/x e) 2x 4 = x + 2 f) Gå gjennom føringen av oppgave a) og e) med

Detaljer

Regning med tall og bokstaver

Regning med tall og bokstaver Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger

Detaljer

3x + 2y 8, 2x + 4y 8.

3x + 2y 8, 2x + 4y 8. Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar

Detaljer

En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter.

En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter. Algebra Variabel Konstant trekke sammen Algebra er bokstavregning. Det er et verktöy som forenkler regneoperasjonene i forskjellige omrôder av matematikken. Bokstavene er symboler for tall og skal behandles

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007 Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1

Detaljer

Test, 1 Tall og algebra

Test, 1 Tall og algebra Test, 1 Tall og algebra Innhold 1.1 Tallregning... 1. Potenser... 5 1.3 Algebraiske uttrykk... 8 1.4 Likninger... 10 1.5 Faktorisering... 14 1.6 Andregradslikninger... 17 1.7 Faktorisering av andregradsuttrykk

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Husk at minustegn foran et tall eller en variabel er å tenke på som tallet multiplisert med det som kommer etter:

Husk at minustegn foran et tall eller en variabel er å tenke på som tallet multiplisert med det som kommer etter: Økonomisk Institutt, november 2006 Robert G. Hansen, rom 1207 ECON 1210: Noen regneregler og løsningsprosedyrer som brukes i kurset (A) Faktorisering og brøkregning (1) Vi kan sette en felles faktor utenfor

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

MET Matematikk for siviløkonomer

MET Matematikk for siviløkonomer SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 29.05.2019 Kl. 09:00 Innlevering: 29.05.2019 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia,

Detaljer

Løsninger til forkursstartoppgaver

Løsninger til forkursstartoppgaver Løsninger til forkursstartoppgaver Prosent: Oppgave 1. Prisforskjell er 20. 20 100 Kylling er da =66 2 prosent dyrere. 30 3 Vi beregner hvor mange prosent 20 er av 30. Kylling er også 20 100 =40 prosent

Detaljer

S1 2014 høst LØSNING. 2x 10 = x(x 5) x 2 + 7x 10 = 0 x = 7± 49 4 ( 1) ( 10) x = 7±3. x = 2 x = 5. lg( ) + 3 = 5. lg( ) = 2.

S1 2014 høst LØSNING. 2x 10 = x(x 5) x 2 + 7x 10 = 0 x = 7± 49 4 ( 1) ( 10) x = 7±3. x = 2 x = 5. lg( ) + 3 = 5. lg( ) = 2. /14/016 S1 014 høst LØSNING matematikk.net S1 014 høst LØSNING Contents DEL EN Oppgave 1 x 10 = x(x 5) x + 7x 10 = 0 x = 7± 49 4 ( 1) ( 10) x = 7± x = x = 5 lg( ) + = 5 x lg( ) = x = 10 lg( x ) 10 x =

Detaljer

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent MATEMATIKK: 2 Likninger 2 Likninger 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent Ulike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolen brukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempel

Detaljer

Ordliste matematikk. Addere (addisjon) Areal. Divisjon. Addere er å "legge sammen" tall.

Ordliste matematikk. Addere (addisjon) Areal. Divisjon. Addere er å legge sammen tall. Ordliste matematikk Addere (addisjon) Addere er å "legge sammen" tall. Regnetegnet for addisjon er +. 3+4 er en addisjon. Summen er 7. Tallene som adderes kalles ledd. Areal Areal er et mål for hvor stor

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr Hvordan du regner med brøk Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com Opplysning: Et helt tall er delelig på et annet helt tall hvis svaret

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til

Detaljer

Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller

Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller Forelesningsnotat nr 5, august 2009, Steinar Holden Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller Først litt repetisjon ) Vi kan sette en felles faktor utenfor en parentes: Y ty = Y(-t) der det siste uttrykket

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

Ronny Kjelsberg. Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk

Ronny Kjelsberg. Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk Ronny Kjelsberg Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk Contents Hvordan bli en BRØKREGNER på en, to, tre:. EN: Basics................................ Hva er

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 1. oktober 2005. Tid for eksamen: 9:00 11:00. Oppgavesettet er på

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )

Detaljer

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si

Detaljer

Forberedelseskurs i matematikk

Forberedelseskurs i matematikk Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr 4 Hvordan du regner med bokstaver, likninger og formler (elementær algebra) Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com 1 Opplsning: Faste,

Detaljer

Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 15. november 2012 Hjelpemiddel: Kalkulator

Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 15. november 2012 Hjelpemiddel: Kalkulator Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 15. november 2012 Hjelpemiddel: Kalkulator Oppgave 1 a) Finn alle løsningene til likningen 10x 100 = 90x 1. b) Finn alle løsninger v til likningen slik at 0 v 4π. 2 cos

Detaljer

Eksamen S2 høsten 2014 løsning

Eksamen S2 høsten 2014 løsning Eksamen S høsten 014 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 3ln 1 3 f 3 1 b) g ln3 1 ln3 g 1

Detaljer

Oppgave 12.1 (a) Monopol betyr en tilbyder. I varemarkedet betraktes produsentene som tilbydere. Ved monopol er det derfor kun en produsent.

Oppgave 12.1 (a) Monopol betyr en tilbyder. I varemarkedet betraktes produsentene som tilbydere. Ved monopol er det derfor kun en produsent. Kapittel 12 Monopol Løsninger Oppgave 12.1 (a) Monopol betyr en tilbyder. I varemarkedet betraktes produsentene som tilbydere. Ved monopol er det derfor kun en produsent. (b) Dette er hindringer som gjør

Detaljer

1T eksamen høsten 2017 løsning

1T eksamen høsten 2017 løsning 1T eksamen høsten 017 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform. 105000 0,15

Detaljer

Newtons metode er en iterativ metode. Det vil si, vi lager en funksjon. F x = x K f x f' x. , x 2

Newtons metode er en iterativ metode. Det vil si, vi lager en funksjon. F x = x K f x f' x. , x 2 Newtons metode er en iterativ metode. Det vil si, vi lager en funksjon F x = x K f x f' x, starter med en x 0 og beregner x 1 = F x 0, x = F x 1, x 3 = F x,... Dette er en metode der en for-løkke egner

Detaljer

Brøk Vi på vindusrekka

Brøk Vi på vindusrekka Brøk Vi på vindusrekka Brøken... 2 Teller og nevner... 3 Uekte brøk... 5 Blanda tall... 6 Desimalbrøk... 8 Pluss/minus... 9 Multiplikasjon... 11 Likeverdige brøker... 12 Utviding... 13 Forkorting... 14

Detaljer

Fasit. Innhold. Tall og algebra Vg1T

Fasit. Innhold. Tall og algebra Vg1T Tall og algebra VgT Fasit Innhold Innhold.... Tallregning... 3 Tall og tallmengder... 3 Regningsarter... 4 Å regne med negative tall... 5 Addisjon og subtraksjon av brøker... 5 Multiplikasjon og divisjon

Detaljer

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente Oppvarming Her er et eksempel på et

Detaljer

Å løyse kvadratiske likningar

Å løyse kvadratiske likningar Å løyse kvadratiske likningar Me vil no sjå på korleis me kan løyse kvadratiske likningar, og me tek utgangspunkt i ei geometrisk tolking der det kvadrerte leddet i likninga blir tolka geometrisk som eit

Detaljer

Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Oppgave 4

Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Oppgave 4 Kontrollprøve 1 i MET1180 1 - Matematikk for siviløkonomer 9.-16. oktober 2018 LØSNINGSFORSLG Oppgave 1 (a) Vi setter u = x 20 og får andregradslikningen u 2 20u = 21. Vi fullfører kvadratet: (u 10) 2

Detaljer

Difflikninger med løsningsforslag.

Difflikninger med løsningsforslag. Repetisjon i Matematikk : Difflikninger med løsningsforslag. Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Eksamensrepetisjon REA4 Matematikk Difflikninger med løsningsforslag. Difflikninger med løsningsforslag. Dette

Detaljer

Tall Vi på vindusrekka

Tall Vi på vindusrekka Tall Vi på vindusrekka Tall og siffer... 2 Dekadiske enheter... 3 Store tall... 4 Avrunding... 5 Tverrsum... 8 Partall og oddetall... 9 Primtall... 10 Sammensatte tall... 11 Faktorisering... 13 Negative

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

www.skoletorget.no Tall og algebra Matematikk Side 1 av 6

www.skoletorget.no Tall og algebra Matematikk Side 1 av 6 Side 1 av 6 Hva = en ligning? Sist oppdatert: 15. november 2003 I dette kapittelet skal vi se på noen grunnregler for løsning av ligninger med én ukjent. Det viser seg at balanse er et helt sentralt prinsipp

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 6. november 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 4x 3. Vi bruker regelen samt regelen (x n ) = nx

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Øving 3 Determinanter

Øving 3 Determinanter Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2009

Eksamen REA3022 R1, Våren 2009 Eksamen REA0 R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonene ) f x x 4 4 8 f x x x x x ) g x x

Detaljer

Husk å registrer deg på emnets hjemmeside!

Husk å registrer deg på emnets hjemmeside! IT Informatikk basisfag 28/8 Husk å registrer deg på emnets hjemmeside! http://it.idi.ntnu.no Gikk du glipp av øving? Gjør øving og få den godkjent på datasal av din lærass! Forrige gang: HTML Merkelapper

Detaljer

SUBTRAKSJON FRA A TIL Å

SUBTRAKSJON FRA A TIL Å SUBTRAKSJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til subtraksjon S - 2 2 Grunnleggende om subtraksjon S - 2 3 Ulike fremgangsmåter S - 2 3.1 Tallene under hverandre

Detaljer

Desimaltall FRA A TIL Å

Desimaltall FRA A TIL Å Desimaltall FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side Innledning til desimaltall D - 2 2 Grunnleggende om desimaltall D - 2 2. Tideler, hundredeler og tusendeler D - 6 3 Å regne

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

Befolkning og velferd ECON 1730, H2016. Regresjonsanalyse

Befolkning og velferd ECON 1730, H2016. Regresjonsanalyse Netto innfl. Befolkning og velferd ECON 1730, H2016 Regresjonsanalyse Problem: Gitt planer for 60 nye boliger i kommunen neste år, hvor mange innflyttere kan vi forvente? Tabell Vestby kommune Nye boliger

Detaljer

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente. Oppvarming Her er et eksempel på et

Detaljer

Løsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.

Løsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene. Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +

Detaljer

Kapittel 2. Algebra. Kapittel 2. Algebra Side 29

Kapittel 2. Algebra. Kapittel 2. Algebra Side 29 Kapittel. Algebra Algebra kalles populært for bokstavregning. Det er ikke mye algebra i Matematikk P-Y. Det viktigste er å kunne løse enkle likninger og regne med formler. Kapittel. Algebra Side 9 1. Forenkling

Detaljer

Mikroøkonomi - Intensivkurs

Mikroøkonomi - Intensivkurs Mikroøkonomi - Intensivkurs Formelark Antall emner: 7 Emner Antall sider: 1 Sider Kursholder: Studiekvartalets kursholder Copyright 016 - Kjøp og bruk av materialet fra Studiekvartalet.no omfatter en personlig

Detaljer