TALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b.

Transkript

1 TALLÆRE UKE 34. Faktor. Hva er en faktor i et heltall? Vi fant ut at hvis et heltall b er med i et regnestykke med kun multiplikasjon som gir heltallet a som svar da er b faktor i a. Eksempel: 3 8=24 og da er 3 og 8 faktorer i tallet =24 og da er 2, 3 og 4 faktorer i =24 og da er 1 og 24 faktorer. Vi snakker kun om positive heltall her selv om begrepet faktor også fins for negative tall. Med matematiske symboler skriver vi b a. Vi kan også definiere det mer matematisk som at b er faktor i a hvis a/b er heltall, dvs divisjon med b gir ikke rest. Da fant vi nok ut at alle ikke er klar over hva er rest. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b. Eksempel. Vi deler godteri på barn (kanskje ikke så sunt, heller dele ut lekser?). Hvis vi har 14 stykk og skal dele på 3 barn får hvert barn 4 og vi har to over. Da er 2 rest: 14=4 3 2 Hvis vi har 14 stykk og skal dele på 5 barn får hvert barn 2 og vi har fire over. Da er 4 rest: 14= Office: For å finne rest ved divisjon i Office skriver vi =REST(a;b) Dette gir rest ved deling av a med b. For eksempel gir =REST(14;3) som svar 2. Hvis vi ønsker vite hvor mange hver får ved divisjon kan vi skrive (a-rest(a;b))/b Delelighet. Hvordan kan vi vite om et tall b er faktor i et annet tall a. Vi fant ut at to er faktor i et tall hvis tall slutter på 0,2,4,6 eller 8 og eller ikke. Disse tallene kalles partall. Vi fant ut at 5 er faktor hvis tall slutter på 0 eller 5 og ti er faktor hvis tall slutter på 0. Vi fant ut at fire er faktor i et tall hvis tall c dannet av to siste sifrer er delelig med fire. Hvis vi deler c på to og får et partall da er 4 en faktor i c. Eksempel. Fire er en faktor i fordi fire er faktor i 28. Fire er faktor i fordi 4 er faktor i 12. Fire er faktor i fordi fire er faktor i 64 (fire er faktor i 64 fordi 64/2=32 som er partall). For å vite om 3 er en faktor i et tall er det enklere å sjekke tverrsum. Tverrsum er sum av alle sifrer i tallet. 3 er faktor hvis og kun hvis 3 er faktor i tverrsum. Hvorfor litt senere. Eksempel. 3 er faktor i 4578 fordi tverrsum er =24 og tre deler er ikke faktor i fordi 3 deler ikke =22. 3 er faktor i Tverrsum er =57 og tverrsum av 57 er 5+7=12 som kan deles med 3 og da kan 57 også deles med 3. Samme regel med tverrsum gjelder for å sjekke hvis 9 er faktor.

2 Primtall. Et tall p som kun har faktorene 1 og p kalles primtall. Faktorisering. Et gitt tall kan faktoriseres slik at det er ett produkt av kun primtall som faktorer. Dette kan gjøres kun på en måte. Hvis vi skriver opp produkt med laveste faktorer først får vi alltid samme svar. Eksempel. Vi ønsker faktorisere Vi deler først med ti og får (fordi vi ser det slutter med null) slutter med fem og vi deler med 5: 21645= Tversum i 4329 er 18 og vi deler med 9: 4329=9 481 Nå kan vi ikke mer dele med 2, 3 eller 5. Vi prøver med neste primtall 7 og 11 men ser at disse ikke er faktorer i 481. Vi prøver med neste primtall 13 og finner 481= er primtall og når er vi klare: = Men 10 og 9 er ikke primtall og må faktoriseres og vi får da = = Mer om delelighet. Noen gang kan vi være heldige å finne snarveier for å finne ut om et tall deler et annet. Eksempel. 7 deler 1498 fordi 1498= og vi ser lett at 7 deler 1477 og 21 og da må den dele også sum. 1477/7=211 og 21/7 er 3 og da er 1498/7=( )/7=1477/7+21/7=211+3 som er et heltall. Generelt: Hvis t deler a og b da deler t også sum a+b. Vi viser a/t er heltall og b/t er heltall fordi t deler a og b. Da er (a+b)/t = a/t+b/t sum at to heltall og blir også et heltall. Men hvis (a+b)/t er et heltall så deler t tallet a+b. Tallet t deler også a-b og na hvis n et heltall (na er multiple av a og da må jo t også dele na). Eksempel. 3 deler 96 og da også 192 som er dobbelt større.

3 Hvordan finne store primtall. For å sjekke om et tall a er et primtall, må vi sjekke at det ikke kan deles med primtall. Men vi trenger kun til å sjekke med primtall mindre enn kvadratrot av a. Fordi hvis a er et sammensatt tall kan det skriver som et produkt av to tall og den ene faktor må være mindre enn rot av a. ( a a=a ) Office. Vi kan bruke regneark for å sjekke om et primtall er faktor i et tall. Vi sjekker om 1979 er primtall (Eksempel 4.10, nere side133). Vi lager en kolonne med primtall opp til 43 (for eksempel kolonne C, slik at vi har tallet 1 i rute C3 og tallet 43 i rute C18). I en annen kolonne regner vi ut rester. (for eksempel, vi skriver =REST(1979;C4) i rute D4 og kopierer og markerer deretter rutene D5 til D18 og limer inn). Da ser vi restene i denne kolonne, for eksempel er rest ved divisjon med 37 lik 18. Nå ser vi lett alle rester er over null. Men hvis vi ønsker se det mer tydelig kan vi skrive =HVIS(rest>0;''rest'';''faktor'') og da skriver office ut rest hvis vi har rest og faktor hvis vi ikke har rest (hvis vi ikke har rest er jo tallet en faktor i 1979, for eksempel, skriv =HVIS(D4>0;''rest'';''faktor'') i rute E4, kopier og lim inn i rutene E5 til E18). Vi ser resultat i tabell. primtall rest når 1979 deles med tall i kolonne C faktor eller med rest rest 3 2 rest 5 4 rest 7 5 rest rest 13 3 rest 17 7 rest 19 3 rest 23 1 rest 29 7 rest rest rest rest 43 1 rest Vi prøver nå om er et primtall på samme måte. Vi trenger kun til å teste alle primtall under 201 (hvorfor?). Resultat ser vi i tabell nere. Vi finner at primtall 109 deler Vi har 40003= Fordi 367 også er et primtall (sjekk!) har vi faktorisert Oppgave. Prøv om er et primtall.

4 primtall rest når deles med tall i kolonne C faktor eller rest rest 3 1 rest 5 3 rest 7 5 rest 11 7 rest 13 2 rest 17 2 rest 19 8 rest 23 6 rest rest rest 37 6 rest rest rest 47 6 rest rest 59 1 rest rest 67 4 rest rest rest rest rest rest rest rest rest rest faktor rest rest rest rest rest rest rest rest rest rest rest rest rest rest rest rest rest

5 Vi har også en annen måte å finne større primtall på. Hvis vi kjenner noen primtall p 1,..., p n må tallet p 1... p n 1 ha en faktor som er et primtall annet enn noen av p 1,..., p n. Hvorfor? Vi observerer at p 1... p n deles av alle p 1,..., p n. Hvis nå p 1... p n 1 deles av noen av p 1,..., p n må også 1 deles av denne, men dette er umulig. For eksempel kan =144 ikke deles av 11 eller 13 fordi 143 deles av disse og da kan 144 ikke deles av de samme 11 og 13 fordi det er kun en over 143. Likevel er 144 lett å faktorisere og gir ikke primtall større enn 11 eller 13. Men hvis vi tar =188=4 47 finner vi et nytt primtall 47. Hvis vi tar alle primtall til 21 finner vi et nytt primtall = Nok ikke mening du skal sjekke dette er et primtall. Hva brukes til? Faktorisering kan brukes til å forkorte og regne med brøk. Brukes også i andre seriøse tekniske sammenheng, for eksempel, kryptologi. Forenklet kryptologi kan godt brukes som oppgave i skole? Aktiviteter. Se i boka side 128 om aktiviteter i skolen og forsøk løse noen av spørsmålene. Litt mer Da kommer vi tilbake til hvorfor tverrsum for delelighet med 3 fungerer. Vi ser på et tall abcd med sifrer a,b,c og d. Dette tall er egentlig 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+a+b+c+d og da 999a, 99b og 9c sikkert kan deles med 3 må også a+b+c+d deles av 3, men dette er jo tverrsum. Eksempel. 4578= = Og dette er lik Da de første tre leddene sikkert deles av 3 må tverrsummen i sluttet deles av 3. Forklar da du på samme måte hvorfor tverrsumregelen fungerer for delelighet med 9.