Tillegg til kapittel 2 Grunntall 9
|
|
|
- Gorm Andresen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kvadratsetningene Tillegg til kapittel 2 Grunntall 9 Nytt læringsmål i revidert læreplan 2013 Mål for det du skal lære: kunne bruke kvadratsetningene til å multiplisere to parentesuttrykk Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS
2 Innhold Kvadratsetningene. 3 Den første kvadratsetningen. 3 Den andre kvadratsetningen. 5 Den tredje kvadratsetningen. 6 2
3 Kvadratsetningene Vi har tidligere regnet med kvadrattall. Et kvadrattall finner vi ved å multiplisere et naturlig tall med seg selv. Dette kaller vi også å finne kvadratet av et tall. 1 2 = 1 1 = = 2 2 = = 3 3 = 9 1, 4 og 9 er de første kvadrattallene. Når vi skal multiplisere to like parenteser som har to ledd, kan vi bruke den vanlige regelen for å multiplisere to parenteser. Vi skal nå lære en raskere måte å multiplisere to like parenteser. Det gjør vi ved å bruke noe vi kaller kvadratsetningene. Den første kvadratsetningen Den første kvadratsetningen gjelder når vi skal finne kvadratet av summen av to tall [(a + b) 2 ]. Vi regner ut (a + b) 2 ved å bruke regelen for å multiplisere to parenteser: (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 Vi ser at vi kan finne svaret ved å ta kvadratet av det første tallet (a 2 ), addere det dobbelte produktet av de to tallene (2 a b) og til slutt addere kvadratet av det siste tallet. HUSK! (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a a + 2 a b + b b = a 2 + 2ab + b 2 Eksempel Regn ut (2x + 3y) 2. Løsning (2x + 3y) 2 = 2x 2x + 2 2x 3y + 3y 3y = 4x xy + 9y 2 Den andre linjen kan være en nyttig mellomregning, men du trenger ikke ta den med dersom du greier å regne ut svaret direkte. 3
4 1 a (x + 1) 2 b (2x + y) 2 c (x + 2y) 2 2 a (a + 5) 2 b (a + 3b) 2 c (2a + 1) 2 3 a (3x + 2) 2 b (2x + 4y) 2 c (a + 4b) 2 4 a (3x + 2y) 2 b (5x + 2y) 2 c (4a + 2b) 2 5 a (a + 2b) 2 + b 2 b (a + 2) 2 a 2 1 a x 2 + 2x + 1 b 4x 2 + 4xy + y 2 c x 2 + 4xy + 4y 2 2 a a a + 25 b a 2 + 6ab + 9b 2 c 4a 2 + 4a a 9x x + 4 b 4x xy + 16y 2 c a 2 + 8ab + 16b 2 4 a 9x xy + 4y 2 b 25x xy + 4y 2 c 16a ab + 4b 2 5 a a 2 + 4ab + 5b 2 b 4a a (x + 4) 2 + (x 3)x b x(2x 1) + (x + 3) 2 6 a 2x 2 + 5x + 16 b 3x 2 + 5x a (x + 2) 2 + (x + 5) 2 b (3x + y) 2 (2x + 3y) 2 7 a 2x x + 29 b 5x 2 6xy 8y 2 8 a (a + 3) 2 + 2(2a + 1) b (2a + 1) 2 + a(a 1) 8 a a a + 11 b 5a 2 + 3a a (3x + 2) 2 + 2x(x 2) b (2x + 5) 2 3x(x + 4) 9 a 11x 2 + 8x + 4 b x 2 + 8x a 2(x + 2) 2 b 4(2x + 3) 2 10 a 2x 2 + 8x + 8 b 16x x a x(2x + y) 2 b 2x 2 (x + 3) 2 11 a 4x 3 + 4x 2 y + xy 2 b 2x x x 2 12 a (x + 3) 2 + (2x + 1) 2 (x + 3) 2 b (2x + 3) 2 (x + 5) 2 + (3x + 1) a 4x 2 + 4x + 1 b 12x 2 + 8x 15
5 Den andre kvadratsetningen Den andre kvadratsetningen er ganske lik den første. Forskjellen er at vi finner kvadratet av differensen mellom to tall [(a b) 2 ]. Vi regner ut (a b) 2 ved å bruke regelen for å multiplisere to pareneteser. (a b) 2 = (a b)(a b) = a 2 ab ab + b 2 = a 2 2ab + b 2 Vi ser at vi kan finne svaret ved å ta kvadratet av det første tallet (a 2 ), subtrahere det dobbelte produktet av de to tallene (2 a b) og til slutt addere kvadratet av det siste tallet. HUSK! (a b) 2 = (a b)(a b) = a a 2 a b + b b = a 2 2ab + b 2 Eksempel Regn ut (3x 2) 2. Løsning (3x 2) 2 = 3x 3x 2 3x = 9x 2 12x + 4 Den andre linjen kan være en nyttig mellomregning, men du trenger ikke ta den med dersom du greier å regne ut svaret direkte. 13 a (x 2y) 2 b (2x 1) 2 c (3x y) 2 14 a (a 3b) 2 b (4a b) 2 c (a 5) 2 15 a (3x 1) 2 b (2a 3b) 2 c (x 4y) 2 13 a x 2 4xy + 4y 2 b 4x 2 4x + 1 c 9x 2 6xy + y 2 14 a a 2 6ab + 9b 2 b 16a 2 8ab + b 2 c a 2 10a a 9x 2 6x + 1 b 4a 2 12ab + 9b 2 c x 2 8xy + 16y 2 16 a (2a 3) 2 2a(a 1) b a(3a 4) (a 2) 2 16 a 2a 2 10a + 9 b 2a 2 4 5
6 17 a (x 4) 2 2x(x 1) b (a 2) 2 (2a 3) 2 17 a x 2 6x + 16 b 3a 2 + 8a 5 18 a (x 2) 2 (x + 3) 2 b (2x y) 2 (x + 2y) 2 18 a 10x 5 b 3x 2 8xy 3y 2 19 a 2x(x 3) + (2x 5) 2 (3x + 2) 2 b (4x y) 2 3xy(x + 2) (3x + 2y) 2 19 a 3x 2 38x + 21 b 7x 2 3x 2 y 26xy 3y 2 20 a (3x + 2) 2 4(x 3) 2 + 4x 2 2(x 1) 2 b (4x + 1) 2 2(3x 2) 2 + 2x 2 (3x 1) 2 20 a 7x x 34 b 9x x 8 21 a 2x 2 (3x + 2) x(2x + 3) 2 + 4(x 3) 2 b x(2x + 1) 2 2(3x 2 + 2) + x 2 (x 1) 2 21 a 2x 3 4x 2 33x + 36 b x 4 + 2x 3 x 2 + x 4 Den tredje kvadratsetningen Den tredje kvadratsetningen er egentlig ikke en kvadratsetning og blir ofte i stedet kalt konjugatsetningen. Her skal vi ikke finne kvadratet av et uttrykk, men multiplisere summen og differensen av to tall [(a + b)(a b)].vi regner ut (a + b)(a b) ved å bruke regelen for å multiplisere to parenteser. (a + b)(a b) = a a a b + a b b b = a 2 b 2 Vi ser at vi kan finne svaret ved å ta kvadratet av det første tallet minus kvadratet av det siste tallet. HUSK! (a + b)(a b) = a a b b = a 2 b 2 6
7 Eksempel Regn ut (2a b)(2a + b). Løsning (2a b)(2a + b) = 2a 2a b b =. 4a 2 b 2. Den andre linjen kan være en nyttig mellomregning, men du trenger ikke ta den med dersom du greier å regne ut svaret direkte. 22 a (x + y)(x y) b (2x + 3y)(2x 3y) 22 a x 2 y 2 b 4x 2 9y 2 23 a (a 3)(a + 3) b (2x + 1)(2x 1) 23 a a 2 9 b 4x a (x + 2)(x 2) b (x 5)(x + 5) 24 a x 2 4 b x a (5x + 7)(5x 7) b (6a 8)(6a + 8) 25 a 25x 2 49 b 36a a (3x + 4y)(3x 4y) b (2x 5y)(2x + 5y) 26 a 9x 2 16y 2 b 4x 2 25y 2 27 a (4a + 5b)(4a 5b) b (3a 6b)(3a + 6b) 27 a 16a 2 25b 2 b 9a 2 36b 2 28 a (a + 6)(a 6) b (3x + 7)(3x 7) 28 a a 2 36 b 9x a (2a + b)(2a b) + (a + b)(a b) b (4a 1)(4a + 1) + (a + 3)(a 3) c (3x + 4)(3x 4) + (2x + 3)(2x 3) d (2x + 3y)(2x 3y) + (x + 2y)(x 2y) 29 a 5a 2 2b 2 b 17a 2 10 c 13a 2 25 d 5x 2 13y 2 7
8 30 a (x + 6)(x 6) (2x 1)(2x + 1) b (3x + 2)(3x 2) (x + 3)(x 3) c (a 4)(a + 4) (3a + 5)(3a 5) d (2a + 4b)(2a 4b) (a 3b)(a + 3b) 30 a 3x 2 35 b 8x c 8a d 3a 2 7b 2 31 a (x 2) 2 + (x + 3)(x 3) b (3x 2) 2 + (2x + 1) 2 c (2 x)(2 + x) + (x 4) 2 d (x + 5)(x 5) (x + 5) 2 31 a 2x 2 4x 5 b 13x 2 8x + 5 c 8x + 20 d 10x a (2x + 7y)(2x 7y) + (x 3y)(x + 3y) b (6x + 5y)(6x 5y) (3x y)(3x + y) c (3x 4y) 2 (2x y) 2 + (x + 6y) 2 d (x + y) 2 2(x y) 2 (x + y)(x y) 32 a 5x 2 58y 2 b 27x 2 24y 2 c 6x 2 8xy + 51y 2 d 2x 2 + 6xy 33 a (2a 3) 2 (1 a) 2 b (2a 5) 2 (a + 4)(a 4) c (2a + b) 2 (3a + 4b)(3a 4b) d (3a 4) 2 (4 3a) 2 33 a 3a 2 10a + 8 b 3a 2 20a + 41 c 5a 2 + 4ab + 17b 2 d 0 34 a (6a b)(6a + b) (a + 2b) 2 + 3(2a + 3b) 2 b 5(a + 3b)(a 3b) (a 4b)(a + 4b) + 4(a + b) 2 c (3a 2) 2 (4a + 3) 2 (a + 5)(a 5) d (a 4b)(a + 4b) 3(3a 5b) 2 + 7(a b) 2 34 a 47a ab + 22b 2 b 8a 2 + 8ab 25b 2 c 8a 2 36a + 20 d 19a ab 84b 2 35 a (5a + 3b) 2 + (4a b) 2 (a 2b)(a + 2b) b (4x y)(4x + y) (3x + 4y) 2 (4x 5y) 2 c 6x(2x + 1)(2x 1) + 2x(x 3) 2 5x(3x 4)(3x + 4) d 4(a 2 + b 2 )(a 2 b 2 ) + a 2 (a + b) 2 + a 2 (a b) 2 35 a 40a ab + 14b 2 b 9x xy 42y 2 c 19x 3 12x x d 6a 4 + 2a 2 b 2 4b 4 36 a 5(x 2 + 2) 2 (2x 2 3)(2x 2 + 3) 4(2x 2 x) 2 b 3(4x + 3)(4x 3) 2x 2 (x + 3) 2 4(x 2 1) 2 c (2x 2 3) 2 2x(x + 2)(x 2) x(3x 2 + 2) 2 d 5(x 3 2) 2 x(x 2 1)(x 2 1) 2x(3x + 4) a 15x x x b 6x 4 12x x 2 31 c 9x 5 + 4x 4 14x 3 12x 2 + 4x + 9 d 5x 6 x 5 36x 3 48x 2 33x + 20
Forberedelseskurs i matematikk
Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger
STEGARK. Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst lav kompetanse innen temaet algebra.
STEGARK NIVÅ A: POSITIVE UTTRYKK MED SAMME VARIABEL lav kompetanse innen temaet algebra. A.1: Trekke sammen positive uttrykk med samme variabel: Trekk sammen: 3d + 5d + 2d = A.2: Multiplisere et uttrykk
Regning med variabler
Regning med variabler???? (x y) (x y) Hvordan kan Herman regne ut uttrykket på tavla? Når vi skal regne ut bokstavuttrykk med parenteser, må vi løse opp parentesene først. Hvis det står et tall eller et
NAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18
NAVN: INNHOLD FORORD... 2 LÆREPLAN... 3 ALGEBRA.... 3 REGNING MED VARIABLER... 3 MONOM... 3 POLYNOM... 3 TREKKE SAMMEN UTTRYKK (addisjon/subtraksjon)... 4 MULTIPLIKASJON... 4 DIVISJON... 4 ADDISJON AV
1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser
MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.
KAPITTEL 1 - ALGEBRA. 1. Regnerekkefølger og regneregler. Legg først merke til at: Legg spesielt merke til at :
KAPITTEL - ALGEBRA. Regnerekkefølger og regneregler Legg først merke til at: 2( ) = 2 ( ) = 6, ab = a b = b a = ba og a a = a 2 Legg spesielt merke til at : a 2 = a a, ( a) 2 = ( a) ( a) = a 2 og ( a)
Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen
Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen De følgende oppgavene er øvinger i faktorisering og multiplisering ved hjelp av konjugatsetningen /3. kvadratsetning. Gjennom oppgavene gir vi elevene
Tallregning og algebra
30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer
Prosent- og renteregning
FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra
Men han kan også først finne ut hvor mange kasser han har solgt og deretter regne ut hvor mange epler det blir.
3.0 Variabler Peder har en stor eplehage og selger epler i hele kasser. En dag selger han 3 kasser og den neste 5 kasser. Han vil finne ut hvor mange epler han har solgt til sammen når det er 50 epler
En divisor til et heltall N er et heltall som går opp i N. Både 1 og N regnes blant divisorene til N.
Oppgave 1 Hvilket av disse tallene er ikke heltall? 11! 12345678910 11 11! 11! 11! 11! 11! A B C D E 20 21 22 23 24 Hva må være oppfylt for at brøkene i løsningsalternativene skal bli hele tall? Hvilke
Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Tall og algebra i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6
Tall og algera Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Tall og algera i Sirkel oppgaveok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a En pakke skinke holder til åtte horn. Sju pakker holder til 56 horn, og åtte pakker
Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015
Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8
En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter.
Algebra Variabel Konstant trekke sammen Algebra er bokstavregning. Det er et verktöy som forenkler regneoperasjonene i forskjellige omrôder av matematikken. Bokstavene er symboler for tall og skal behandles
Utfordringer med tall
Utfordringer med tall e følgende oppgavene er øvinger for å utdype tallforståelse. e første fem oppgavene handler om faktorer og faktorisering. I de to siste handler det om å vurdere størrelsen av tall
System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man
System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset
E.1: Lage et uttrykk som viser sammenhengen mellom to variabler hvor nødvendige opplysninger gis eksplisitt E.2: Faktorisere flerleddet
1. november 2013 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 NIVÅ A: POSITIVE UTTRYKK MED SAMME VARIABEL... 5 NIVÅ B: TREKKE SAMMEN POSITIVE OG NEGATIVE UTTRYKK, INNSETTING AV POSITIVE VERDIER...
Vi bruker desimaltall for Ô oppgi verdiene mellom de hele tallene. Tall med komma kaller vi desimaltall, og sifrene bak komma kaller vi desimaler.
196 FAKTA De naturlige tallene bestôr av ett eller ere sifre: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...Alle de hele positive tallene kaller vi naturlige tall, og tallmengden kaller vi N. NÔr vi tar med 0 og
INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER
INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...
Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag
Eksamen 1T høsten 015, løsningsforslag Del 1, ingen hjelpemidler Oppgave 1 1,8 10 1 0,0005 = 1,8 10 1 5 10 4 = 1,8 5 10 1+( 4) = 9 10 8 Oppgave Velger addisjonsmetoden Legger sammen ligningene: x + y =
Regning med tall og algebra
Regning med tall og algebra Dette er en variert samling av oppgaver. De kan alle løses ved algebraisk, men det fins også andre måter å løse dem på. Man kan bruke kvadratsetningene, potensregning, prosentregning
Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.
1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset
Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6
Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene
Beskrivende statistikk.
Obligatorisk oppgave i Statistikk, uke : Beskrivende statistikk. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut
Regning med tall og bokstaver
Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger
Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter
Lærerveiledning Passer for: Varighet: Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter Magisk Matematikk er et skoleprogram som tar utgangspunkt i «magiske» talltriks i plenum som dere kan jobbe videre
Tillegg til kapittel 2 Grunntall 10
8.09.0 Kvrtsetningene Tillegg til kpittel Grunntll 0 Ne læringsmål i reviert lærepln 0 Mål for et u skl lære: kunne ruke kvrtsetningene til å multiplisere to prentesuttrkk kunne fktorisere ve å ruke kvrtsetningene
Løsningsforslag matematikk S1 V14
Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2
Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:
Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)
Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6
Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300
Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
Oppgaver. Innhold. Tall og algebra Vg1T
Oppgaver Innhold Innhold... 1 1.1 Tallregning... Tall og tallmengder... Regningsarter... 4 Å regne med negative tall... 5 Addisjon og subtraksjon av brøker... 5 Multiplikasjon og divisjon med brøker...
Innhold Innhold... 1 Kompetansemål Algebra, S Innledning Potenser og kvadratrøtter... 4
1 Algebra Innhold Innhold... 1 Kompetansemål Algebra, S1... 3 Innledning... 3 1.1 Potenser og kvadratrøtter... 4 Regneregler for potenser... 5 Definisjoner og regnereglene for potenser Oppsummering...
Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker
Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med
1Tall og algebra. Mål K 1. Ingressen
Tetra 9. Innled. + ap. -6 6.0.06 5:00 Side 9 Tall og algebra Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne multiplisere og dividere med positive tall mindre enn addere og subtrahere negative tall
Kapittel 1. Tallregning
Kapittel 1. Tallregning Regning med tall er grunnlaget for mer avansert matematikk. I dette kapitlet repeteres følgende fra grunnskolen: Brøkregning Desimaltall Regning med positive og negative tall Potenser
b) Lag to likninger med ulik vanskegrad (en ganske lett og en vanskelig), der svaret i begge skal bli x = -3. Løs også likningene.
Oppgave I Likninger og ulikheter a) Løs likningen: x + 2 a. + (3x + 4) 3 6 2 ( x + 2)6 6 6 + (3x + 4) 3 6 2 2x + 4 + 9x + 2 2x 9x 2 5 x b) Lag to likninger med ulik vanskegrad (en ganske lett og en vanskelig),
Sett ord på det! Tone Elisabeth Bakken
Tone Elisabeth Bakken Sett ord på det! Du ser vel at det er riktig at (2x + 3y) 2 er svaret når vi skal faktorisere uttrykket 4x 2 + 12xy + 9y 2? For kvadratroten av 4x 2 er 2x, kvadratroten av 9y 2 er
Obs. Læreren må være klar over at det er mulig å få riktig svar ved å regne feil her,
Oppgave 1 b 3b Hva er 3a 8a b hvis a 2? A 5 B 7 C 8 D 24 E 70 Er det nødvendig å finne tall for a og b? Hvor i uttrykket finnes a b? b Hva blir verdien av første ledd når a 2? Skriv om potensen i andre
Algebra. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver omforme en praktisk problemstilling til en
Oppfriskningskurs dag 1
Oppfriskningskurs dag 1 og ligninger Steffen Junge Oppfriskningskurs i matematikk 3.-8. august 2009 Outline 1 Outline 1 Typiske problem Ranger følgende brøker etter størrelse: 1 2, 7 12, 2 3, 5 8, 17 24
SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B
SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi
EKSAMEN. Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk)
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2.6.2014 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk) Eksamenstid: kl. 09.00 til kl.
Kapittel 8. Potensregning og tall på standardform
Kapittel 8. Potensregning og tall på standardform I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Standardform er en metode som er nyttig for raskt å kunne skrive
Denne følgen har N+1 ledd. En generell uendelig følge kan settes opp slik:
Følger En følge (eng: sequence) er en oppramsing av tall. Hvert tall i oppramsingen har et nummer eller en posisjon som er bestemt av hvor i følgen tallet står. Det første tallet har vanligvis posisjonen
Ordliste matematikk. Addere (addisjon) Areal. Divisjon. Addere er å "legge sammen" tall.
Ordliste matematikk Addere (addisjon) Addere er å "legge sammen" tall. Regnetegnet for addisjon er +. 3+4 er en addisjon. Summen er 7. Tallene som adderes kalles ledd. Areal Areal er et mål for hvor stor
Innledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Innledning Mål for opplæringen er at eleven skal kunne løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner, både ved regning
Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra
Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.
TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk
TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke
Rekker (eng: series, summations)
Rekker (eng: series, summations) En rekke er summen av leddene i en følge. Gitt følgen a 0, a 1, a,, a n,, a N Da blir den tilsvarende rekken a 0 + a 1 + a + + a n + + a N Bokstaven n er en summasjonsindeks.
I = (x 2 2x)e kx dx. U dv = UV V du. = x 1 1. k ekx x 1 ) = x k ekx 2x dx. = x2 k ekx 2 k. k ekx 2 k I 2. k ekx 2 k 1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 6..4 Vi skal evaluere det ubestemte integralet I = ( e k. Vi starter med å dele opp integralet
Magisk Matematikk. 75 minutter. Passer for: Varighet:
Lærerveiledning Passer for: Varighet: Magisk Matematikk 9. - 10. trinn 75 minutter Magisk Matematikk er et skoleprogram som tar utgangspunkt i «magiske» talltriks i plenum som enkelt avsløres med algebra,
Matematikk fellesfag veiledning til læreplanene
Matematikk fellesfag veiledning til læreplanene Denne veiledningen gir praktiske eksempler på hvordan du som lærer kan arbeide med læreplanene i matematikk fellesfag og matematikk 2P/2T. Veiledning Publisert:
Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag.
Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon per. juni 004 Matematikk 0 - Matematikk for data- og grafiske fag. y x Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Forord Dette kompendiet er skrevet for faget
Innhold. 1 Innledning. Søk SØK. Du er her: Forside Læring og trivsel Læreplanverket Matematikk fellesfag - veiledning til læreplaner.
Søk SØK SØK MENY Du er her: Forside Læring og trivsel Læreplanverket Matematikk fellesfag - veiledning til læreplaner Innhold 1 Innledning 2 Fagets egenart 3 Yrkesretting av fellesfaget matematikk 4 Praktiske
DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.
Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med
Innhold Kompetansemål Tall og algebra, 1T Tallregning... 4
1 Tall og algebra Innhold Kompetansemål Tall og algebra, 1T... 3 1.1 Tallregning... 4 Tallene våre... 4 Tall og tallmengder... 5 Regningsarter... 11 Å regne med negative tall... 1 Addisjon og subtraksjon
Kapittel 1. Tallregning
Kapittel 1. Tallregning Regning med tall er grunnlaget for mer avansert matematikk. I dette kapitlet repeteres følgende fra grunnskolen: Brøkregning Desimaltall Regning med positive og negative tall Potenser
löse likninger gôr ut pô Ô nne den ukjente verdien som gjör at venstresiden blir lik höyresiden.
Likning En likning inneholder alltid et likhetstegn og minst e n ukjent. Den ukjente kaller vi som regel eller y, men alle bokstavene i alfabetet kan brukes. löse likninger gôr ut pô Ô nne den ukjente
dx k dt н x 1,..., x n f 1,...,f n н- н f k (x 1,..., x n ), k =1,2,...,n, нн d X = f( X). X = (t),.. x 1 = 1 (t), x 2 = 2 (t),...
- ( ) - 3 579 : - - : - / : : 3 4 579-4 5 9 3 9 4 3 5 5 6 3 33 34 3 35 4 36 39 c - ( ) 3 c 3 - - ( ) - ( - ) - - - ( ) - - ( - ) ( t) - dx k = f k (x x n ) k = n () dt x x n f f n - d X = f( X) dt f k
Årsplan i matematikk Trinn 9 Skoleåret Haumyrheia skole
Årsplan i matematikk Trinn 9 Skoleåret 2016-2017 Tids rom 3 Kompetansemål Hva skal vi lære? (Læringsmål) Hvordan jobber vi? (Metoder) sammenligne og regne tall på standardform og uttrykke slike tall på
Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup
Brukerveiledning for webapplikasjonen Mathemateria 01.02.2015 Terje Kolderup Innhold Brukerveiledning for webapplikasjonen...1 Mathemateria...1 Introduksjon...3 Typisk eksempel og bryterstyring...3 Innlogging...4
Algebraiske morsomheter Vg1-Vg3 90 minutter
Lærerveiledning Passer for: Varighet: Algebraiske morsomheter Vg1-Vg3 90 minutter Algebraiske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene kan bruke forskjellige matematiske modeller i praktiske undersøkende
REGEL 1: Addisjon av identitetselementer
REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med
Unge Abel NMCC. Prosesslogg. Nord-Trøndelag, Norge 27.03.2015
2015 Unge Abel NMCC Prosesslogg Nord-Trøndelag, Norge 27.03.2015 Innhold UngeAbel logg... 2 Faglig rapport... 5 Innledning:... 5 UngeAbel oppgave Aa... 6 GeoGebra... 8 Excel... 9 Konklusjon... 10 UngeAbel
Kapittel 1. Tallregning
Kapittel 1. Tallregning Mål for Kapittel 1, Tallregning. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere
Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:
Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har
PENSUMLISTE TIL MATEMATIKKTENTAMEN 2. juni
PNSUMS MAMAKKNAMN 2. juni Del 1: Prøver deg i det regnetekniske. Føres direkte på arket. ngen hjelpemidler er tillatt. kke kladd på oppgavearket, det får du eget ark til. De oppgavene med regnerute, fører
Løsningsforslag til regneøving 6. a) Bruk boolsk algebra til å forkorte følgende uttrykk [1] Fjerner 0 uttrykk, og får: [4]
![Løsningsforslag til regneøving 6. a) Bruk boolsk algebra til å forkorte følgende uttrykk [1] Fjerner 0 uttrykk, og får: [4]](/thumbs/69/61285594.jpg "Løsningsforslag til regneøving 6. a) Bruk boolsk algebra til å forkorte følgende uttrykk [1] Fjerner 0 uttrykk, og får: [4]")
Løsningsforslag til regneøving 6 TFE4 Digitalteknikk med kretsteknikk Løsningsforslag til regneøving 6 vårsemester 28 Utlevert: tirsdag 29. april 28 Oppgave : a) Bruk boolsk algebra til å forkorte følgende
Rekker (eng: series, summations)
Rekker (eng: series, summations) En rekke er summen av leddene i en følge. Gitt følgen a 0, a 1, a,, a n,, a N Da blir den tilsvarende rekken a 0 + a 1 + a + + a n + + a N Bokstaven n er en summasjonsindeks.
Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh
Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 5. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =
b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden
Avsnitt. Oppgave Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen a) 7 går opp i 68 siden 68 7 b)
1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at
Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8
Hovedområder Kompetansemål
Årstrinn Nr Hovedområder 5 hovedområder 8 9 10 1 Tall og algebra 9 kompetansemål 113 læringsmål 8 9 10 2 Geometri 6 kompetansemål 45 læringsmål 8 9 10 3 Måling 3 kompetansemål 35 læringsmål 8 9 10 4 Statistikk,
Kapittel 4. Algebra. Mål for kapittel 4: Kompetansemål. Mål for opplæringen er at eleven skal kunne
Kapittel 4. Algebra Mål for kapittel 4: Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere resultatene
Tema. Beskrivelse. Husk!
Dette er ment som en hjelpeoversikt når du bruker boka til å repetisjon. Bruk Sammendrag etter hvert kapittel som hjelp. Verktøykassen fra side 272 i boka er og til stor hjelp for repetisjon til terminprøve.
Tallregning Vi på vindusrekka
Tallregning Vi på vindusrekka Addisjon... 2 Addisjon: Oppstilling... 3 Addisjon med minnetall... 4 Addisjon med desimaltall... 5 Subtraksjon... 6 Subtraksjon uten låning... 7 Subtraksjon med låning...
Ein konstant er eit symbol med ein fast verdi. 2 og er eksempel pô konstantar.
Algebra Variabel Konstant dra saman Algebra er bokstavrekning. Det er eit verktöy som forenklar rekneoperasjonane innanfor eire omrôde av matematikken. Bokstavane er symbol for tal og skal handterast som
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner. Faktor. Grunnbok. Bokmål
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner Faktor 9 Grunnbok Bokmål Hei til deg som skal bruke Faktor! Dette er Faktor 9 Grunnbok. Til grunnboka hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene
Fasit. Innhold. Tall og algebra Vg1T
Tall og algebra VgT Fasit Innhold Innhold.... Tallregning... 3 Tall og tallmengder... 3 Regningsarter... 4 Å regne med negative tall... 5 Addisjon og subtraksjon av brøker... 5 Multiplikasjon og divisjon
Løsning eksamen 1T våren 2010
Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x
Handelshøyskolen BI Eksamen i Met Matematikk for økonomer kl til Løsninger
Handelshøyskolen BI Eksamen i Met 91001 Matematikk for økonomer..1 00 kl 09.00 til 1.00 Løsninger OPPGAVE 0.1 Vi skal derivere disse funksjonene a) b) f( x) 3x 8 + 3x f ( x) x 8 1 + 3 x x 9 + 6x fx ( )
Veiledning til læreplanene i matematikk fellesfag
1 Veiledning til læreplanene i matematikk fellesfag Kapittel 1: Innledning Denne veiledningen gir praktiske eksempler på hvordan du som lærer kan arbeide med læreplanene i matematikk fellesfag og matematikk
Løsninger til forkursstartoppgaver
Løsninger til forkursstartoppgaver Prosent: Oppgave 1. Prisforskjell er 20. 20 100 Kylling er da =66 2 prosent dyrere. 30 3 Vi beregner hvor mange prosent 20 er av 30. Kylling er også 20 100 =40 prosent
Algebra Vi på vindusrekka
Algebra Vi på vindusrekka Utsagn... 2 Åpne utsagn... 3 Den ukjente... 4 Likhetstegnet... 5 Likninger... 6 Løs likninger... 7 Matematiske uttrykk... 8 Formel... 9 Tilordning... 10 Funksjon... 11 Koordinatsystem...
Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:
Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har
ÅRSPLAN FAG: MATEMATIKK
Begby barne- og ungdomsskole ÅRSPLAN FAG: MATEMATIKK TRINN: 8 Tid Kompetansemål Tema med emner Fokus/grunnleggende STATISTIKK 5 uker - hente fakta ut av tabeller - lese av, tolke og lage ulike diagrammer
Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse og den kontrapositive av følgende utsagn.
Plenumsregning 5 Ukeoppgaver fra kapittel 4 Roger Antonsen - 14. februar 2008 Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse og den kontrapositive av følgende utsagn. Husk at hvis p q er påstanden,
ÅRSPLAN for skoleåret 2015 /-2016 i Matematikk
ÅRSPLAN for skoleåret 2015 /-2016 i Matematikk Faglærer: Nina Gausdal Fagbøker/lærestoff: Grunntall 6a og 6b Uke 35-36 Læreplanmål (kunnskapsløftet) Delmål Tema/emne Addere tall med addere to tall ved
Sensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013
Sensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013 Oppgave 1 a) =2 = 5 2 =5 2 = = 25 4 = 25 8 Full uttelling gis for arealet uttrykt over. Avrundinger gis noe uttelling. b) DC blir 5 cm og bruk av
Dette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10.
SAMMENDRAG Dette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10. Hvis du trenger mer trening utover oppgavene i Nummer 10, finner du ekstra oppgaver
Eksamen ECON H17 - Sensorveiledning
Eksamen ECON22 - H7 - Sensorveiledning Karakterskala: - - 8 B - 79-65 C - 64-5 D - 49-4 E - 39-3 F - 29 - Oppgave ( poeng) a) f (x) = 2 x + x og f er kun definert for x >, slik at i hele sitt definisjonsområde
Lokal læreplan 9 trinn matematikk
Lokal læreplan 9 trinn matematikk Lærebok: Gruntal Antall uker Geometri i planet Gruntall 9 153-198 11 utføre, beskrive og grunngi geometriske konstruksjoner med passer og linjal (og dynamiske geometriprogram)
Lokal læreplan Sokndal skole. Fag: Matematikk Trinn: 5.trinn Lærebok: Grunntall 5A og 5B
Lokal læreplan Sokndal skole Fag: Matematikk Trinn: 5.trinn Lærebok: Grunntall 5A og 5B Uke Tema Komp.mål (direkte fra læreplanen) Læringsmål Uke 34 42? Uke 42-46 Repetisj on tidligere tema. Forbere dende
Skisse av den ideelle læreplan i matematikk
ved Anita Valenta, Mona Nosrati, Roberth Åsenhus og Kjersti Wæge Skisse av den ideelle læreplan i matematikk Formål med faget Matematikk er en del av den globale kulturarven vår. Mennesket har til alle
Arbeidsplan for 10C Uke: 40 og 42
Arbeidsplan for 10C Uke: 40 og 42 Timeplan 10C Tid Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag 08.15-09.00 Fag/UDV Samfunnsfag Valgfag Engelsk Språk 09.00-09.45 Engelsk Norsk Valgfag Engelsk Språk Friminutt 09.45-10.00
MAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 5: Ukeoppgaver fra kapittel 4 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. februar 2008 Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse
Innlevering i FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 19. september 2014 kl. 14:00 Antall oppgaver: 18
Innlevering i FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag 9. september 04 kl. 4:00 Antall oppgaver: 8 Løsningsforslag Skriv som en brøk (eller et heltall) + 3/4 +
MATEMATIKK - PLAN FOR TREÅRIG LØP
MATEMATIKK - PLAN FOR TREÅRIG LØP Læremidler: Matematikkofferten Konkretiseringsmateriell Uteskolemetodikk, hefter fra Lamis etc Digitale ressurser: regneark, graftegningsprogram, Kikora etc Læreverk,