Kompetansemål Geometri, R Vektorer Regning med vektorer... 5 Addisjon av vektorer... 5 Vektordifferanse... 5

Transkript

1 1 Geometri Innhold Kompetansemål Geometri, R Vektorer Regning med vektorer... 5 Addisjon av vektorer... 5 Vektordifferanse... 5 Multiplikasjon av vektor med tall... 6 Parallelle vektorer... 7 Regneregler for vektorer... 7 Skalarproduktet... 8 Ortogonale vektorer Regneregler for skalarproduktet Lengden av en vektor Vektorer på koordinatform Addisjon av vektorer på koordinatform Differansen mellom vektorer på koordinatform Multiplikasjon av vektor med tall Posisjonsvektoren Vektorer mellom punkter Skalarproduktet av vektorer gitt på koordinatform Lengden av en vektor gitt på koordinatform Avstanden mellom punkter i planet Vinkelen mellom vektorer gitt på koordinatform Dekomponering av vektorer Ortogonale og parallelle vektorer Tredimensjonale vektorkoordinater, definisjon og regneregler Vektorprodukt Vektorproduktet på koordinatform Hva kan vi bruke vektorproduktet til? Linjer i rommet Linjer i planet

2 Vektorfunksjoner og parameterfremstilling for linjer i rommet Avstanden fra et punkt til en rett linje Vinkelen mellom to linjer Skjæring med koordinatplanene Avstand mellom to linjer Plan i rommet Plan gitt ved normalvektor og punkt i planet Plan gitt ved tre punkter Skjæring mellom linje og plan Skjæring mellom plan og koordinatakse Vinkelen mellom plan Vinkelen mellom linje og plan Avstanden fra et punkt til et plan Formel for avstand fra punkt til plan Parameterfremstilling for plan Skjæring mellom to plan. Mer om likningsfremstilling av linjer Kuleflater Likningsfremstilling for en kuleflate Parameterfremstilling for kuleflate Bildeliste

3 Kompetansemål Geometri, R2 Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne utføre beregninger med tredimensjonale vektorer som er representert både geometrisk og på koordinatform bruke og tolke skalar- og vektorproduktet i beregning av avstander, vinkler, areal og volum bruke vektorregning til å finne liknings- og parameterfremstillinger til linjer, plan og kuleflater beregne lengder, vinkler og arealer i legemer avgrenset av plan og kuleflater 3

4 1.1 Vektorer I R1 innførte vi vektorbegrepet. Vi lærte å regne med vektorer i planet, både geometrisk som piler og på koordinatform. Vi lærte også å beregne lengder og vinkler, og å avgjøre om to vektorer er parallelle eller ortogonale. I R2 skal vi utvide vektorbegrepet fra vektorer i planet til vektorer i rommet. Du vil se at alt du lærte om vektorer i planet, også gjelder for vektorer i rommet. Vi kan finne skalarproduktet av to vektorer i rommet på samme måte som mellom to vektorer i planet. I tillegg skal vi finne det vi kaller vektorproduktet. Da kan vi beregne lengder, vinkler, areal og volum. Vi begynner med litt repetisjon. En vektor er et linjestykke med en bestemt lengde og en bestemt retning. Størrelser som lar seg representere ved hjelp av vektorer, kaller vi vektorstørrelser eller bare vektorer. En skalar er en størrelse uten retning. Eksempler på vektorer er forflytning, fart og krefter. Eksempler på skalarer er temperatur, areal og volum. Vi kan oppfatte en vektor som en pil. Hvis vi flytter en vektor, men beholder både lengde og retning, har vi fortsatt samme vektor. Med s mener vi lengden av s. Med s mener vi vektoren som er parallell med og har samme lengde som s, men er motsatt rettet. På vei sørover i 80 km/t. Fart er en vektorstørrelse. 4

5 1.2 Regning med vektorer Her er litt mer repetisjon og en oversikt over regnereglene som gjelder for vektorer. Disse reglene gjelder også for vektorer i rommet. Addisjon av vektorer Definisjon Gitt to vektorer, a og b. Vi finner summen av vektorene, a b, ved å parallellforskyve b slik at den får sitt utgangspunkt der a har sitt endepunkt. Summen av vektorene, a b, er lik vektoren som går fra utgangspunktet til a og til endepunktet til b. Se figuren til høyre. Vektordifferanse Definisjon Vi definerer differansen mellom to vektorer a b a b Det betyr at vi kan finne vektordifferansen a b ved å finne summen ab. Se figuren til høyre. 5

6 Multiplikasjon av vektor med tall 2a er en vektor som er dobbelt så lang som a og har samme retning som a. 2a er en vektor som er dobbelt så lang som a og har motsatt retning. Definisjon Gitt en vektor a og et tall t. ta er en vektor med lengde lik t multiplisert med a. Hvis t 0, har ta samme retning som a. Hvis t 0, har ta og a motsatt retning. a b a b cos90 a b a b 0 ab0.. A.. Hvis t 0, er ta 0. 0 kaller vi «nullvektoren». Denne vektoren har lengde (absoluttverdi) lik null og ingen retning. Den er parallell med og står vinkelrett på enhver annen vektor. 6

7 Parallelle vektorer Fra forrige avsnitt følger en setning som du får bruk for når du skal undersøke om to vektorer er parallelle. To vektorer er parallelle hvis og bare hvis det finnes et reelt tall t slik at den ene vektoren kan skrives som t multiplisert med den andre vektoren. a b a t b hvor t. Regneregler for vektorer For addisjon av vektorer og multiplikasjon av en vektor med et tall, gjelder regneregler tilsvarende reglene som gjelder for addisjon og multiplikasjon av tall. a b b a a b c a b c a b c sa ta s t a s ta s t a s a b sa sb 7

8 Skalarproduktet Når vi finner summen av vektorer, differansen mellom vektorer, og multipliserer en vektor med et tall, får vi en ny vektor som resultat. Vi skal nå definere det som kalles skalarproduktet av vektorer. Det minner litt om multiplikasjon mellom tall, men siden tall og vektorer er forskjellige størrelser, er det ikke det samme. Skalarproduktet av to vektorer gir ikke en ny vektor som resultat, men en skalar. Derfor kalles det skalarprodukt. Et annet navn er prikkprodukt. Vi sier at vi «prikker» to vektorer med hverandre. Definisjon Gitt to vektorer a og b. La være vinkelen mellom vektorene. Skalarproduktet eller prikkproduktet av vektorene er definert som ab a b cos Skalarproduktet av to vektorer finner vi altså ved å multiplisere produktet av lengdene til de to vektorene med cosinus til vinkelen mellom dem. 8

9 Cosinus Når vi skal finne skalarproduktet av to vektorer, må vi finne cosinus til vinkelen mellom vektorene. I 1T definerte vi cosinus til en vilkårlig vinkel ved hjelp av enhetssirkelen. Se figuren til høyre. Vi kan alltid finne cosinus til en vinkel ved å bruke et digitalt verktøy. Noen cosinusverdier bør du likevel klare å finne ved hjelp av enhetssirkelen. Slå opp i geometrikapittelet i 1T hvis du er usikker. Skalarproduktet har stor betydning i fysikkfaget. For eksempel er arbeid i fysikken definert som skalarproduktet av vektorene kraft og strekning. 9

10 Ortogonale vektorer Når to vektorer står ortogonalt (normalt, vinkelrett) på hverandre, er vinkelen mellom vektorene 90. Siden cos90 0 (se enhetssirkelen), vil skalarproduktet av vektorene være lik null: a b a b cos90 a b a b 0 ab0 Motsatt må det også være slik at hvis skalarproduktet er lik null, og begge vektorer er forskjellige fra nullvektor, må cosinus til vinkelen mellom dem være null, og vektorene står ortogonalt på hverandre. To vektorer som står ortogonalt på hverandre, kalles ortogonale vektorer. Det matematiske symbolet er. Oppsummering a b ab 0 10

11 Regneregler for skalarproduktet Det kan vises at regnereglene nedenfor gjelder for skalarproduktet. a b b a a b c a b a c a b c d a c a d b c b d satb st a b og a b a 2a b b 2 2 a b a 2a b b a b a b a b 2 2 Lengden av en vektor Vi har sett at skalarproduktet eller prikkproduktet av to vektorer er definert som ab a b cos Når en vektor «prikkes med seg selv», får vi en spesiell situasjon. Vinkelen er da 0. Som du ser av enhetssirkelen ovenfor, er cos01. Vi får derfor a a a a cos0 a a 2 2 a a Vi snur likningen og får et uttrykk for lengden av en vektor. a 2 2 a a a 2 Legg merke til skrivemåten 2 a for aa. 11

12 1.3 Vektorer på koordinatform I R1 lærte du å beskrive vektorer i planet ved hjelp av vektorkoordinater. Det ble da for eksempel mulig å addere vektorer uten å henge piler etter hverandre. Vi innførte en rekke regneregler for å kunne regne med vektorer i planet på koordinatform. Vi skal utvide disse regnereglene til også å gjelde tredimensjonale vektorer. Vi innfører en ekstra koordinat slik at hvis x - og y -koordinatene beskriver planet, så vil x -, y - og z - koordinatene beskrive rommet. Vi repeterer først innføringen av vektorkoordinater fra R1, og så ser vi mer på hvordan det blir med en ekstra koordinat. I koordinatsystemet til høyre har vi plassert to vektorer med utgangspunkt i origo. Vektoren e x går fra origo til punktet 1,0, og e går fra origo til punktet 0,1. y Disse vektorene har lengde 1, er parallelle med henholdsvis x - aksen og y - aksen og står normalt på hverandre. Vi kaller dem enhetsvektorer. (Vi plasserer vanligvis enhetsvektorene med utgangspunkt i origo, men de kunne like gjerne vært plassert et annet sted i koordinatsystemet.) I koordinatsystemet har vi også tegnet vektoren a a a 5e 3e x y x y Alle vektorer kan på tilsvarende måte skrives som en kombinasjon av enhetsvektorene. Når vi skal tegne a, kan vi starte hvor som helst i koordinatsystemet og så gå 5 enheter langs x - aksen i positiv retning og 3 enheter langs y - aksen i positiv retning for å finne vektorens endepunkt. Når tallene 5 og 3 er kjent, er vektoren bestemt. Vi innfører en forenklet skrivemåte for a : a 5,3 12

13 Denne skrivemåten likner på måten punkt angis på, men det er en viktig forskjell. For vektorer bruker vi hakeparenteser mens vi for punkt bruker vanlige parenteser. 5,3 kalles punktkoordinater og angir punktet som har x - koordinat lik 5 og y - koordinat lik 3. 5,3 kalles vektorkoordinater og betyr det samme som vektoren 5e 3e. x y I GeoGebra brukes ikke hakeparenteser. Her kan 5,3 angi både vektor og punkt. Bruker du stor bokstav og skriver A 5,3, får du punktet 5,3. Bruker du liten bokstav og skriver v 5,3 du vektoren 5,3 med start i origo. GeoGebra bruker også skrivemåten 5 for vektoren. 3, får Definisjon Alle vektorer kan skrives som en vektorsum av enhetsvektorer. Dette gir grunnlag for innføring av vektorkoordinater x, y xex ye y Vi bruker hakeparenteser for å betegne en vektor mens vi bruker vanlige parenteser for å betegne et punkt. 13

14 Addisjon av vektorer på koordinatform Gitt vektorene p 1,2 og q 3,1 Vi ser av tegningen at Vi har altså at pq 4,3 Ser du sammenhengen? 1,2 3,1 4,3 1,2 3,1 1 3,2 1 4,3 Vi finner summen av to vektorer på koordinatform ved å addere 1.koordinatene og 2.koordinatene hver for seg x1, y1 x2, y2 x1 x2, y1 y 2 14

15 Differansen mellom vektorer på koordinatform Gitt vektorene p 1,2 og q 3,1 Vi ser at Vi har altså at pq 2,1 1,2 3,1 2,1 Du ser sikkert sammenhengen her også 1,2 3,1 1 3,2 1 2,1 Vi finner differansen mellom to vektorer på koordinatform ved å subtrahere 1.koordinatene og 2.koordinatene hver for seg x1, y1 x2, y2 x1 x2, y1 y 2 15

16 Multiplikasjon av vektor med tall Gitt vektoren Vi ser at Vi har altså at p 1,2 2p 2,4 21,2 21,22 2,4 Vi multipliserer en vektor med et tall ved å multiplisere begge vektorkoordinatene med tallet.,, t x y t x t y Posisjonsvektoren Vektoren fra origo O 0,0 til punktet P 7,2 har koordinater OP e e 7 2 7,2 OP kalles for posisjonsvektoren til punktet P. x y Posisjonsvektoren til et punkt er vektoren fra origo til punktet. Denne vektoren viser punktets posisjon i forhold til origo. Posisjonsvektoren til et punkt xy, har koordinatene xy,. 16

17 Vektorer mellom punkter Gitt punktene A 2,4 og 7,1 B. Vi skal finne koordinatene til vektoren som har utgangspunkt i A og endepunkt i B, AB. Dette kan vi gjøre ved «å gå en omvei om origo». Vi har AB AO OB AB OA OB AO O A AB OB OA Vektoren fra punkt A til punkt B, AB, kan uttrykkes ved hjelp av posisjonsvektorene til punktene A og B. Det medfører at AB kan skrives på koordinatform. 7,1 2,4 7 2,1 4 5, 3 AB OB OA La nå punktene A og B være gitt som to generelle punkter i planet A x, y og, 1 1 Også nå kan AB uttrykkes ved hjelp av posisjonsvektorene til punktene A og B. På koordinatform får vi,,, AB AO OB OA OB OB OA x y x y x x y y B x y. 2 2 Gitt punktene A x, y og, 1 1 B x y. 2 2 Da er AB x x, y y

18 Skalarproduktet av vektorer gitt på koordinatform Vi får en enkel regneregel for skalarproduktet når vektorene er gitt med koordinater. x ex y ey x ex y ey x1, y1 x2, y x e x e x e y e y e x e y e y e 1 x 2 x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 y 2 y x x e e x y e e y x e e y y e e 1 2 x x 1 2 x y 1 2 y x 1 2 y y x x 1 x y 0 y x 0 y y x x y y For skalarproduktet til vektorer gitt med vektorkoordinater gjelder x 1, y1 x2, y2 x1 x2 y1 y 2 Eksempel 2,3 4,

19 Lengden av en vektor gitt på koordinatform Vi har tidligere vist at vi kan regne ut lengden av en vektor ved først å «prikke vektoren med seg selv» og så finne kvadratrota. a For en vektor gitt på koordinatform får vi da,,,, a x y x y x y x y x y Lengden av vektoren xy, er gitt ved, x y x 2 y 2 Eksempel 2 2 6,

20 Avstanden mellom punkter i planet Vi har sett hvordan vi finner vektoren mellom to punkter i planet, og hvordan vi finner lengden av en vektor. Avstanden mellom to punkter er det samme som lengden av vektoren mellom punktene. Gitt punktene A x, y og, 1 1 B x y. Avstanden mellom A og B er 2 2, AB x x y y x x y y Eksempel Gitt punktene A 2,3 og B 5,7 AB. Avstanden mellom A og B er ,

21 Vinkelen mellom vektorer gitt på koordinatform Formlene for lengden av, og skalarproduktet av, vektorer gitt på koordinatform gjør det enkelt å finne vinkelen mellom to vektorer. Eksempel Gitt vektorene p 1,2 og q 3,1 La være vinkelen mellom vektorene. Definisjonen av skalarproduktet gir da pq p q cos 1,2 3,1 1,2 3,1 cos cos cos 1,23,1 1,2 3, cos cos 45 2 Legg merke til tegnet «/ o» for å få vinkelen i grader! 21

22 Dekomponering av vektorer Da vi innførte vektorkoordinater, så vi hvordan en vektor, a, kunne skrives som en sum av de to vektorene a x og a y. Av figuren ser vi at a a a x y Når vi skriver en vektor som en sum, sier vi at vi dekomponerer vektoren. Her er a skrevet som en sum av to vektorer som er parallelle med koordinataksene. (Når vi dekomponerer en vektor, kan komponentene i prinsippet ha en hvilken som helst retning.) På koordinatform kan vi skrive a a a x y 5,3 5,00,3 22

23 Ortogonale og parallelle vektorer Setningene om ortogonale og parallelle vektorer som vi har sett på tidligere, gjelder også når vektorene er plassert i et koordinatsystem. Forutsatt at alle vektorene har lengde forskjellig fra null, gjelder a b a t b t a b ab 0 Eksempel Undersøk om a 3,4 og 6,8 b er parallelle. Løsning 2 3,4 6,8 a b fordi a2b Eksempel Undersøk om a 3,4 og b 4, 3 er ortogonale. Løsning 3,44, a b fordi ab 0 23

24 Tredimensjonale vektorkoordinater, definisjon og regneregler Alle vektorer i rommet kan på tilsvarende måte som i planet, skrives som en vektorsum av enhetsvektorer. Dette gir grunnlag for innføring av vektorkoordinater også i rommet. OP x, y, z x ex y ey z e z Det kan på tilsvarende måte som i planet, vises at tilsvarende regneregler gjelder for vektorer i rommet. Addisjon av vektorer på koordinatform x1, y1, z1 x2, y2, z2 x1 x2, y1 y 2, z1 z2 Subtraksjon av vektorer på koordinatform x1, y1, z1 x2, y2, z2 x1 x2, y1 y 2, z1 z2 Multiplikasjon av vektor med tall,,,, t x y z t x t y t z 24

25 Vektorer mellom punkter Gitt punktene Ax, y, z og,, Da er AB x x, y y, z z B x y z Posisjonsvektoren Vi ser spesielt at vektoren fra origo O 0,0,0 til et punkt P x, y, z er OP x, y, z. OP kalles for posisjonsvektoren til punktet P. Legg merke til at punktet og posisjonsvektoren til punktet har «samme» koordinater, men med en viktig forskjell. Punktet har punktkoordinater, og vi bruker vanlige parenteser. Vektoren har vektorkoordinater, og vi bruker hakeparenteser. Skalarproduktet av vektorer gitt på koordinatform x 1, y1, z1 x2, y2, z2 x1 x2 y1 y2 z1 z 2 Eksempel 2,3,4 4,5,

26 Lengden til en vektor gitt på koordinatform Lengden til vektoren x, y, z er gitt ved,, x y z x 2 y 2 z 2 Eksempel ,4, Vinkelen mellom vektorer gitt på koordinatform Gitt vektorene 1,2,3 og 3, 1,1 La være vinkelen mellom vektorene. Definisjonen på skalarproduktet gir 1,2,3 3, 1,1 1,2,3 3, 1,1 cos cos 1,2,33, 1,1 1,2,3 3, 1,1 2 cos ,3 26

27 Avstanden mellom punkter i rommet Gitt punktene Ax, y, z og,, Da er AB x x, y y, z z Avstanden, d, mellom A og B er B x y z d AB x2 x1 y2 y 1 z z 2 Til slutt skal vi ta med de setningene vi bruker når vi skal avgjøre om to vektorer eller linjer står ortogonalt på hverandre, eller om de er parallelle. Vi forutsetter at alle vektorene har lengde forskjellig fra null. Ortogonalitet og parallellitet a b a b 0 a b a t b hvor t Farget lys på svart bakgrunn. Ortogonalitet og parallellitet? 27

28 1.4 Vektorprodukt Vi innfører nå en ny operasjon på to vektorer i rommet som vi kaller for vektorproduktet. Som symbol for operasjonen bruker vi et kryss,. Derfor kaller vi også vektorproduktet for kryssproduktet. Vektorproduktet er, på samme måte som skalarproduktet, en operasjon på to vektorer. Mens skalarproduktet av to vektorer gir et tall (en skalar), gir vektorproduktet en ny vektor. Den nye vektoren står vinkelrett på begge de opprinnelige vektorene, og lengden til den nye vektoren er lik produktet av lengdene til de opprinnelige vektorene multiplisert med sinus til vinkelen mellom dem. Du skal senere i kapitlet se at ved å definere vektorproduktet på denne måten, får vi et effektivt redskap til å regne ut arealet og volumet til legemer i rommet. Definisjon La a og b være to vektorer. La c være vektorproduktet av a og b. Vi skriver c a b La vinkelen mellom a og b være. Da er c står vinkelrett på både a og b. c a b sin a, b og c danner et høyrehåndssystem (Se neste side). 28

29 Et høyrehåndssystem Du lurer sikkert på hva vi mener med «et høyrehåndssystem». Du så ovenfor at c står vinkelrett på både a og b. Men hvordan vet vi at den peker «oppover» (se figuren ovenfor) og ikke «nedover»? For å avgjøre retningen til c, kan vi bruke høyre hånd. La pekefingeren peke i samme retning som den første vektoren og langfingeren i samme retning som den andre. Tommelen peker da i samme retning som kryssproduktet. Når du bruker høyrehåndsregelen, vil du se at hvis a b c, så vil b a c. «Faktorenes orden» er altså ikke likegyldig når vi arbeider med vektorprodukt. 29

30 Vektorproduktet på koordinatform Gitt a x 1, y1, z 1 og b x 2, y2, z 2. Vi vil finne vektorproduktet ab. ab x 1, y1, z1 x x2, y2, z2 xe 1 x ye 1 y ze 1 z x2 ex y2 ey z2 ez x ex x e x ex y e x ex z e 1 2 x 1 2 y 1 2 z y ey x e y ey y e y ey z e 1 2 x 1 2 y 1 2 z z ez x e z ez y e z ez z e 1 2 x 1 2 y 1 2 z ex ex x y ex ey xz 1 2exez eyex y y eyez ezex ezey z z xx y x y y e e y z z x z y z z e e ey ez ey 1 2 ex 0 x y ez x z y x y z ex z x z y ey y x ez y1z2e x zx 1 ey z y ex x y ez x z y1z2 z1y2e x z1x2 x1z2 ey x 1 y 2 y1x2e y z z y, z x x z, x y y x z Ikke noe problem å huske dette, eller? 30

31 Kanskje det er lettere å huske dersom vi bruker noe vi kaller determinanter? Vi skriver Ser du systemet? Vi prøver med et eksempel. Eksempel a 2, 3, 4 b 5, 6, 7 e e e x y z ab e e e e e e 3, 6, 3 x y z x y z Det kan være lurt å gjøre det til en vane å bruke skalarprodukt til å kontrollere at den vektoren vi finner er vinkelrett på de to vektorene vi startet med. Det er jo fort gjort og vil avsløre om en eventuelt har regnet feil. 2, 3, 4 3,6, , 6, 7 3,6,

32 Med litt trening har du «knekt koden», og du regner ut vektorproduktet av vektorene 2,3,4 og 5,6,7 enkelt og greit på følgende måte ved først å plassere vektorene under hverandre 2, 3, 4 5, 6, 7 2, 3, 45, 6, , 27 54, , 6, 3 I CAS i GeoGebra får du samme resultat. Hurtigtasten for vektorproduktet er «alt + stjerne». 32

33 Hva kan vi bruke vektorproduktet til? Arealberegning I 1T brukte vi arealsetningen til å regne ut arealet av en trekant når vi kjente to sider og vinkelen mellom sidene. Arealsetningen q v p Eksempel Regn ut arealet av ABC når AB 4, AC 5 og A 53,13. 33

34 Fra definisjonen av vektorproduktet har vi at hvis c a b, så er c a b sin, hvor er vinkelen mellom a og b. Sammenlikner vi dette uttrykket med arealsetningen, ser vi at arealet av trekanten blir halvparten av lengden til c. Arealet 1 a b sin 1 c 1 ab Ser vi på trekanten i eksempelet ovenfor, får vi da at 1 Arealet 4,0,0 3,4,0 2 4,0,0 3,4,0 4,0,0 3,4, , , , 0, Arealet 0,0, Vi ser at vi får samme resultat som ovenfor. Dette gjelder helt generelt for vektorer i rommet. 34

35 Areal av trekant La a og b være to vektorer i rommet. Arealet av trekanten utspent av a og b er gitt ved Areal trekant 1 2 a b På tilsvarende måte kan vi også finne arealet av parallellogrammer. Areal av parallellogram Arealet av parallellogrammet utspent av a og b er gitt ved Areal parallellogram a b 35

36 Volumberegning Romfiguren utspent av vektorene p, q og r kalles et parallellepiped. Sideflatene består av seks parvis kongruente parallellogrammer. Hvis vinklene mellom vektorene p, q og r er rette, vil parallellogrammene være rektangler, og vi har da et rettvinklet parallellepiped. Hvis vektorene p, q og r i tillegg er like lange, har vi en terning. Volumet av parallellepipedet er grunnflaten multiplisert med høyden. V Gh Grunnflaten er her det parallellogrammet som er utspent av vektorene Vi har altså at Vi ser av figuren at høyden er Vi får at V G h V pq r cos G pq h r cos Dette uttrykket kjenner vi igjen som skalarproduktet av vektorene p og q. p q og r. Vi får V G h V pq r cos V pq r 36

37 Volum av parallellepiped Når et parallellepiped er utspent av tre vektorer p, q og r, er volumet gitt ved V pq r Vi setter absoluttverditegn rundt skalarproduktet fordi vi kan få negativt skalarprodukt. Husk at skalarproduktet er et tall. Det er likegyldig hvilken rekkefølge vi har på vektorene p, q og r fordi det er likegyldig hvilken side vi velger som grunnflate. Pyramider En pyramide utspent av tre vektorer kan ha en grunnflate som er trekantet eller firkantet. Volumet av en pyramide er gitt ved formelen Gh V 3 Arealet til en trekantet grunnflate er halvparten av arealet til en firkantet grunnflate når flatene er utspent av de samme vektorer. Volum av en pyramide med firkantet grunnflate 1 V 3 p q r Volum av en pyramide med trekantet grunnflate (tetraeder) 1 V 6 p q r 37

38 Regneregler for vektorprodukt Når vi multipliserer tall, og når vi regner ut skalarproduktet av vektorer, er «faktorenes orden likegyldig». For eksempel er Den kommutative lov gjelder. For vektorer har vi for eksempel Regneregler for vektorprodukt Vektorproduktet oppfyller ikke den kommutative lov. uv v u Multiplikasjon med en skalar (et tall). kuv ukv kuv Vektorproduktet oppfyller den distributive lov med hensyn på vektoraddisjon. u v w uv uw Parallelle vektorer Følgende setning følger av definisjonen når u 0 og v 0 u v uv 0 38

39 Vektorproduktet i fysikken Den kraften F som virker på en partikkel med ladning q, og som beveger seg med farten v i et magnetfelt B, gitt ved F qv B Her vil vektorene være gitt som piler og ikke på koordinatform. «Høyrehåndsregelen» gir retningen til kraftvektoren. Figuren er for positiv ladning q. Dersom q var negativ, ville F få stikk motsett retning! (Dette er på grunn av faktoren q i formelen.) 39

40 1.5 Linjer i rommet Linjer i planet Gitt to punkter A og B. La P være et vilkårlig punkt på linjen gjennom A og B. Da vil det alltid finnes en t slik at AP t AB Posisjonsvektoren til punktet P kan da skrives som OP OA AP OP OA t AB Vektorfunksjonen OP beskriver linjen gjennom A og B. Når t gjennomløper alle verdier, vil P gjennomløpe hele linjen. La A ha koordinatene 1,4, og la B ha koordinatene Vektorfunksjonen for linjen gjennom A og B blir 3,3. 1,4 3 1,3 4 1,4 2, 1 1 2,4 OP OA t AB t t t t Endepunktene til posisjonsvektorene vil beskrive linjen gjennom A og B. Linjen gjennom A og B kan beskrives ved vektorfunksjonen 1 2,4 r t t t eller parameterfremstillingen x12t y 4 t I stedet for å kjenne to punkter på linjen, er det nok å kjenne ett punkt A x 0, y 0 på linjen og en tilfeldig vektor ab, som er parallell med linjen. Vi kaller en slik vektor for en retningsvektor for linjen. Vektorfunksjonen for linjen blir: OP OA AP 0, 0,, r t x y t a b r t x at y bt 0 0 På parameterform form får vi x x0 at y y0 bt 40

41 Vektorfunksjoner og parameterfremstilling for linjer i rommet Gitt to punkter A og B. La P være et vilkårlig punkt på linjen gjennom A og B. Da vil det alltid finnes en t slik at Vi har at AP t AB OP OA AP OP OA t AB Når t gjennomløper alle verdier, vil P gjennomløpe hele linjen. Vektorfunksjonen OP beskriver derfor linjen gjennom A og B. Eksempel En linje går gjennom punktene A3,4,2 og 5,8,10 B. En vektorfunksjon for linjen er OP OA t AB 3, 4, 2 t5 3, 8 4, , 4, 2t2, 4, 8 3 2, 4 4, 2 8 OP OP OP t t t En parameterfremstilling for linjen er x 32t y 4 4t z 2 8t I stedet for å kjenne to punkter på linjen er det nok å kjenne ett punkt 0, 0, 0 tilfeldig vektor,, linjen. A x y z på linjen og en a b c som er parallell med linjen. Vi kaller en slik vektor for en retningsvektor for En vektorfunksjon for linjen blir En parameterfremstilling for linjen blir OP OA AP 0, 0, 0,,,, OP x y z t a b c OP x at y bt z ct x x0 at y y0 bt z z0 ct 41

42 Retningsvektor og punkt på linje Når en linje er gitt på parameterform, ønsker vi ofte å finne et punkt på linjen og en retningsvektor for linjen. Vi kan finne et punkt på linjen gitt ved x 32t y 4 4t z 2 8t ved å sette t 0. Vi får da punktet 3, 4, 2. Tallene som står «sammen med t», danner en retningsvektor for linjen, nemlig vektoren 2, 4, 8. Fra R1 husker du at fartsvektoren var den deriverte til posisjonsvektoren. v OP. Vi får at 3 2, 4 4, 2 8 2, 4, 8 v OP t t t v OP x at y bt z ct a b c en retningsvektor for linjen. Generelt er,,,, Et punkt på linjen kan vi, som nevnt ovenfor, finne ved å sette parameteren lik null. Vi får da punktet x0, y0, z 0. 42

43 Likningsfremstilling til en linje gitt på parameterform Eksempel Gitt en linje m på parameterform x32t m: y 4 4t z28t Vi kan regne slik x 3 x 3 2t t 2 y 4 y 4 4t t 4 z 2 z 2 8t t 8 Som gir x 3 y 4 z Vi får ikke en likningsfremstilling bestående av en likning. Vi får i stedet to (tre) likninger som til sammen kan betraktes som en likningsfremstilling for linjen. Det er derfor oftest hensiktsmessig å beskrive linjer i rommet på parameterform. En likning i rommet som inneholder x, y og z, vil gi et plan i rommet. Vi skal se på dette senere. 43

44 Avstanden fra et punkt til en rett linje Med avstanden fra et punkt A til en rett linje l mener vi den korteste avstanden vi kan få fra A til et punkt på l. Denne avstanden måler vi langs normalen fra A ned på linjen. Vi skal her vise to metoder for å finne denne avstanden. Det er viktig at du lærer deg begge metodene fordi dette er generelle metoder som kan brukes på andre problemstillinger. Metode 1 Idéen er å sette opp to ulike måter for å finne arealet av en trekant. Gitt punktene A 4, 0, 2, B 3, 5, 1 og 0, 7, 2 Avstanden fra C utspent av AB og AC. C. til linjen gjennom A og B er høyden i trekanten Vi setter to uttrykk for arealet av trekanten lik hverandre og løser likningen med hensyn på høyden. gh Vi bruker vektorproduktet og formelen A. 2 AB 1 h AB AC

45 Metode 2 I den andre metoden bruker vi følgende fremgangsmåte: Vi finner et uttrykk for vektoren fra punktet A til et vilkårlig punkt P x, y, z på linja l. Vi finner deretter den verdien av parameteren som gjør at denne vektoren står vinkelrett på l. Vi bruker da at skalarproduktet AP v l 0, der v l er en retningsvektor for linja l Lengden av den vektoren vi da får, er avstanden fra A til l. Eksempel Gitt en linje på parameterform x 4 t y 0 5t z 2t Finn avstanden fra punktet A 0, 7, 2 til et punkt P på linjen. Vi finner først AP 4 0, 0 5 7, 2 t 2 4 t, 5 7, t AP t t t AP skal stå vinkelrett på retningsvektoren til linjen, som er 1, 5, 1 v. AP v AP v 0 t t t t t t 4, 5 7, 1, 5, t 25t 35 t 0 27t 39 t t 13 gir AP 4 13, , 13,, AP Avstanden fra punktet A til linjen l er

46 Vinkelen mellom to linjer Hvis to linjer i et plan ikke er parallelle, vil de ha et skjæringspunkt. Merk at slik er det ikke i rommet. To linjer i rommet trenger ikke å skjære hverandre, selv om de ikke er parallelle. Det er «god plass» i rommet! (Slike linjer i rommet som ikke er parallelle og heller ikke har et skjæringspunkt, kaller vi «vindskjeve».) La u være vinkelen mellom to retningsvektorer til to linjer, m og n. Vi definerer vinkelen w mellom linjene m og n slik at w u hvis u 90 og w 180 u hvis u 90 Grunnen til denne definisjonen er at hvis v er en retningsvektor for en linje, så er v en like god retningsvektor for linjen. Det betyr at det alltid finnes retningsvektorer til to linjer som danner en vinkel som ikke er større enn 90. Definisjonen sørger for at vi alltid får den vinkelen som er lik eller mindre enn 90 grader. Eksempel Gitt to linjer i rommet x11t m: y 1 2t z 2 3t og x32t n: y 4 4t z28t Linjen m har retningsvektoren v m 1,2, 3, og linjen n har retningsvektoren n 2,4,8 v. Vinkelen mellom linjene m og n er lik 65,9 o. 46

47 Skjæring med koordinatplanene En linje er gitt ved parameterfremstillingen x x0 at y y0 bt z z0 ct For å finne hvor en linje skjærer xy - planet, setter vi z - koordinaten lik null og finner verdien til t. Vi setter denne verdien for t inn i uttrykket for x - og y - koordinatene, og vi har skjæringspunktet med xy - planet. 47

48 Avstand mellom to linjer Vi måler avstanden mellom to linjer m og n langs en linje som står vinkelrett på både m og n. Fremgangsmåten er slik: Vi lar P være et punkt på m, og Q et punkt på n. Vi setter opp et uttrykk for PQ. Vi bruker at PQ står vinkelrett på retningsvektorene for både m og n. Vi finner PQ. Eksempel Vi skal finne avstanden mellom to linjer i rommet gitt ved x t m: y 1t z22t x3 s n: y s z2s Vi viser fremgangsmåten med og uten bruk av CAS. Linjen m har retningsvektor v m 1, 1, 2, og linjen n har retningsvektoren n 1, 1, 2 v. P( t, 1 t, 22 t ) er et vilkårlig punkt på m, og Q(3 s, s, 2 s ) er et vilkårlig punkt på n. Vi finner først PQ (c i CAS) 3, 1, , 1, PQ s t s t s t s t s t s t PQ vmpqv m 0 PQv m 0 s t s t s t 3, 1, , 1, 2 0 s t 3 s t 1 4s 4t 4 0 2s 6t 2 0 s 3t

49 PQ vn PQv n 0 PQv n 0 s t s t s t 3, 1, , 1, 2 0 s t 3 s t 1 4s 4t 4 0 6s 2t 6 0 3s t 3 0 Dette gir oss altså to likninger med to ukjente. Vi løser likningssettet og finner de verdiene for s og t som er slik at s 3t 1 0 3s t 3 0 s 3t 1 3 3t 1 t 3 0 9t 3 t 3 0 s 3t t 0 t 0 PQ vm og PQ v n. Vi får at t 0 s 1. Vi setter disse verdiene inn i utrykket for PQ for å finne koordinatene til den vektoren som står normalt på retningsvektorene til de to linjene. 3, 1, , 1 0 1, , 2,0 PQ s t s t s t Til slutt finner vi lengden av PQ PQ Avstanden mellom de to linjene er

50 1.6 Plan i rommet Plan gitt ved normalvektor og punkt i planet La være et plan i rommet. La videre Q x0, y0, z 0 være et fast punkt i planet og n a, b, c en normalvektor til planet, det vil si en vektor som står normalt på planet. For et tilfeldig punkt, P x, y, z som ligger i planet, gjelder QP n 0 x x y y z z a b c,,,, a x x b y y c z z Vi har fått en likning som beskriver planet. Alle punkter x, y, z som tilfredsstiller likningen, ligger i planet. 50

51 Vi kan erstatte de konstante leddene i likningen med én konstant, og vi får likningen for planet gitt på den mest vanlige formen a x x b y y c z z ax ax by by cz cz ax by cz ax by cz ax by cz d 0 0 Likningen for et plan a x x b y y c z z er likningen for et plan som går gjennom punktet Qx0, y0, z 0 og har normalvektor n a, b, c. Når vi multipliserer ut parentesene, får vi en likning gitt på formen ax by cz d 0, der d ax by cz

52 Eksempel La n 2, 3, 4 være en normalvektor til planet. Punktet Q1, 2, 3 ligger i planet. La Px, y, z være et vilkårlig punkt i planet. Vi har da QP n 0 x y z x y z 1, 2, 3 2, 3, x 2 3y 6 4z x 3y 4z 20 0 som er likningen for planet. Dette kunne vi også funnet ved å sette direkte inn i likningen for et plan x y z a x x b y y c z z x 2 3y 6 4z x 3y 4z

53 Plan gitt ved tre punkter Noen ganger har vi bare oppgitt tre punkter i planet. Vi skal finne likningen for et plan som går gjennom punktene A4, 0, 0, B2, 3, 0 og C 0, 0, 2. Vi må da først finne en normalvektor for planet. Siden AB og AC er parallelle med planet, vil AB AC være en normalvektor for planet. AB 2 4, 3 0, 0 0 2, 3, 0 AC 0 4, 0 0, 2 0 4, 0, 2 2,3,0 4,0,2 2, 3, 0 4, 0, 2 AB AC 32 00, , , 4, 12 23, 2, 6 Vi bruker så at likningen for et plan kan skrives som a x x b y y c z z Som punktet x0, y0, z 0 kan vi bruke et av de tre punktene A, B eller C. Vi velger her å bruke punktet A 4, 0, 0 og får x y z a x x b y y c z z x 2y 6z 12 0 Her er det bra å ha for vane å kontrollere at alle de tre punktene passer i planlikningen. Det er ikke mye arbeid og vil avsløre om noe er blitt feil. For eksempel ser vi at A 4, 0, 0 passer i planlikningen fordi

54 Skjæring mellom linje og plan Vi skal finne skjæringspunktet mellom linjen l og planet gitt ved x 5 t l: y 6 2t z 1 5t : 2x 3y z 1 0 Vi finner den verdien for t som gjør at koordinatene til l passer i likningen for t t t Dette gir 10 2t 18 6t 1 5t x 5 3 y z t 26 t 2 Skjæringspunktet er altså 3, 2,

55 Skjæring mellom plan og koordinatakse Figuren viser skjæringspunktene, B, D og C mellom planet : 2x 3y z 1 0 og hver av de tre koordinataksene. Når planet skjærer z -aksen, er x - og y - koordinatene lik null. Vi får da z 1 0 z 1 Skjæringspunktet blir 0, 0, 1. 55

56 Vinkelen mellom plan La u være vinkelen mellom to normalvektorer til to plan, og. Vi definerer vinkelen v mellom og slik at v u hvis u 90 og v 180 u hvis u 90 Figuren viser to plan, og. : x y z 4 0 : 2x 3y 4z 20 0 n 1,1,1 er normalvektor til og n 2,3,4 er normalvektor til. Vi regner ut vinkelen u mellom normalvektorene. Hvordan kan vi finne normalvektorene ut fra likningene for planene? Vinkelen u er mindre enn 90. Det betyr at vinkelen mellom planene og er lik 15,2. Uten CAS-verktøy kan du finne cosinus til vinkelen ved skalarproduktet n n n n cosu cosu n n n n 1,1,12,3,4 1,1,1 2,3,

57 Vinkelen mellom linje og plan Vinkelen mellom en linje i rommet, l, og en linje, n, i et plan er avhengig av hvilken linje i planet du velger. Tegn figuren til høyre i GeoGebra. Du kan flytte på punktet F i planet og se at vinkelen mellom linjene l og n endrer verdi. Den linjen i planet som danner den minste vinkelen med l, er den linjen som sammen med l danner et normalplan til planet. Vi definerer vinkelen, mellom en linje l og et plan, som vinkelen mellom linjen l og den linjen i planet som sammen med l danner et normalplan til planet. La m være den linjen i planet som danner den minste vinkelen med linjen l. La n være en normalvektor til og v en retningsvektor til l. n er også normalvektor til m, og linjene l og m, sammen med normalvektoren n, vil danne et plan som figuren viser. Kan du forklare hvorfor dette er riktig? Vi kan regne ut vinkelen (gresk «phi») mellom n og v ved å bruke skalarproduktet. Vi må skille mellom to retninger på normalvektoren som figurene viser. Vi regner ut vinkelen (gresk «phi») mellom n og v, og kan så finne ut fra figurene. Vi ser at Først regner vi ut vinkelen mellom normalvektoren til planet og retningsvektoren til linjen. Så finner vi vinkelen, som vist på figurene. 57

58 Avstanden fra et punkt til et plan Avstanden mellom to objekter er alltid den korteste avstanden mellom objektene. Den korteste avstanden fra et punkt til et plan måler vi langs normalen fra punktet til planet. Vi skal regne ut avstanden fra punktet 2, 8, 7 Vektoren 2, 3, 1 er en normalvektor til. Da er den også en retningsvektor for en normal n som går gjennom A og står vinkelrett på. En parameterfremstilling for normalen n er x 22t y 8 3t z 7t For å finne skjæringspunktet S mellom n og setter vi parameteruttrykket for n inn i likningen for. 2x 3y z t 83t 7 t t 24 9t 7 t t 2 14 Vi setter t 2 i parameterfremstillingen og får x y z 72 5 Skjæringspunktet S har koordinatene 6, 2, 5. SA 2 6, 8 2,7 5 4, 6, 2 Avstanden fra A til planet er SA A til planet gitt ved 2x 3y z

59 Formel for avstand fra punkt til plan Vi har også en formel for avstanden fra et punkt til et plan. La,, P x y z være et punkt i rommet La være et plan i rommet gitt ved ax by cz d 0. Da er avstanden fra P til gitt ved ax1 by1 cz1 d q a b c Bevis La S( x, y, z) være det punktet i planet som er slik at SP står normalt på planet. Da er avstanden fra punktet til planet q SP. Siden S( x, y, z ) ligger i planet, har vi at ax by cz d 0 d ax by cz Vi har også at n,, a b c er normalvektor til planet. Vi kan finne skalarproduktet av n og SP på to måter. Vi kan bruke definisjonen på skalarproduktet, eller vi kan regne med vektorkoordinater. Hvis vi bruker definisjonen på skalarprodukt, får vi SP n SP n cos0 eller 180 Hvis vi regner med vektorkoordinater, får vi SP n x x, y y, z za, b, c SP n cos 0 eller 180 x x, y y, z z a, b, c eller 1 SP n a x x b y y z z z eller q a b c ax by cz ax by cz q ax by cz d a b c 59

60 Eksempel Vi bruker formelen og regner ut avstanden fra punktet 2, 8, 7 2x 3y z 1 0. A til planet gitt ved q q q q q ax by cz d a b c q

61 Parameterfremstilling for plan Det er mest vanlig å beskrive et plan med en likningsfremstilling, men vi kan også bruke parameterfremstilling for plan. Vi trenger da to vektorer som ikke er parallelle og som ligger i planet. Dette kan være to oppgitte vektorer, eller to vektorer vi kan lage ut fra tre oppgitte punkter i planet. La A, B og C være tre punkter i et plan. La P være et vilkårlig punkt i planet. OP OA AP OP OA t AB s AC Når parameterne t og s gjennomløper alle verdier, vil P gjennomløpe hele planet. Vektorfunksjonen OP beskriver derfor planet. Eksempel La A3,4,2, B5,8,10 og C 4,5,6 være tre punkter i et plan. Vektorfunksjonen for planet blir OP OA t AB s AC 3,4,2 5 3, 8 4, , 5 4, 6 2 3, 4, 2 2, 4, 8 1, 1,4 3 2,4 4,2 8 4 OP t s OP t s OP t s t s t s Parameterfremstillingen for planet blir x 32t s y 4 4t s z 2 8t 4s I GeoGebra kan du få tegnet planet ved knappen. Utfordring! Vis ved regning at 8x2z 20 0 er en likningsfremstilling for planet! 61

62 Skjæring mellom to plan. Mer om likningsfremstilling av linjer Det er ikke mulig å beskrive en linje i rommet ved hjelp av én likning. Husk at en likning som inneholder x, y og z, gir et plan i rommet! Når to plan skjærer hverandre i rommet, blir mengden av fellespunktene en rett linje. Det betyr at vi kan oppfatte to likninger for to plan som et likningssett som beskriver en rett linje. To plan og er gitt ved : 2x 3y 4z 4 0 : 6x 7y 8z 4 0 En likningsfremstilling for en rett linje l i rommet kan for eksempel være gitt ved likningssettet 2x 3y 4z 4 0 6x 7y 8z 4 0 Vi ønsker å finne en parameterfremstilling for linjen l. Dette gjør vi på følgende måte: En retningsvektor for skjæringslinjen mellom to plan må være parallell med begge planene. Retningsvektoren må derfor stå normalt på normalvektorene til begge planene. Vi finner en retningsvektor for linjen som vektorproduktet av normalvektorene til de to planene. En retningsvektor for linjen er 1,10, 8 Vi finner et punkt på linjen ved å sette en av koordinatene lik null, og så løse likningssettet. (Hvorfor er dette riktig?). Merk! Dette vil ikke alltid fungere første forsøk. Hvis vi setter z 0 og linja er vinkelrett på z-aksen, kan det være slik at ingen punkt på linja har z 0. Men da er det bare å prøve på nytt med å sette y 0. Vi har da det vi trenger for å finne parameterfremstillingen for linjen. 62

63 1.7 Kuleflater Likningsfremstilling for en kuleflate En kule har sentrum i P 0 og radius r. Kuleflaten er samlingen av alle punkter P som har avstanden r fra P 0. Vi vil finne en likning for en slik kuleflate. Vi lar Px, y, z være et punkt på kuleflaten. Da vet vi at Dette gir P P r. 0 P P r x x, y y, z z r x x y y z z r x x y y z z r Vi har likningen for kuleflaten. Hvis origo er sentrum i kulen, blir likningen for kuleflaten x y z r Når likningen for en kuleflate er gitt på formen ovenfor, er det lett å finne sentrum og radius i kulen. Finn sentrum og radius til en kule når likningen for kuleflaten er gitt ved x y z Vanligvis er parentesene regnet ut. Hvordan finner vi da sentrum og radius? Vi skal se på et eksempel. 63

64 Eksempel Likningen x 2x y 6y z 1 beskriver en kuleflate. Vår oppgave blir å lage «fullstendige kvadrater» slik at vi får likningen på formen x x y y z z r. 2 2 x 2x y 6y z x 2x 1 y 6y 3 z x 2x 1 y 6y 9 z x1 y3 1 x y 3 z Dette er altså likningen for en kuleflate med sentrum i 1,3,0 og med radius 3. 64

65 Parameterfremstilling for kuleflate Gitt en kule med radius r plassert med sentrum i origo. Vi lar Px, y, z være et vilkårlig punkt på kuleflaten. Vi beskriver punktet P ved hjelp av to parametere. Den første parameteren kaller vi for t, og vi lar den være en erstatning for x - koordinaten. Parameteren t vil løpe fra r til r. For hver verdi av t får vi en mengde punkter på kuleflaten som ligger på en sirkel i et plan som er parallelt med yz -planet. Vi kaller radius i denne sirkelen for a. Vi innfører nå parameteren og lar denne løpe fra 0 til 360 eller fra 0 til 2. Da vil P gjennomløpe den blå sirkelen på figurene. Når t løper fra r til r, og når løper fra 0 til 360 for hver verdi av t, oppnår vi at P gjennomløper alle punkter på kuleflaten. 65

66 Ut fra figuren kan vi finne koordinatene til P uttrykt med a og parameterne t og. x t y acos z a sin Kanskje du trenger litt trigonometrisk repetisjon for å se dette? hosliggendekatet cos hypotenus hosliggendekatet cos a hosliggendekatet a cos motståendekatet sin hypotenus motståendekatet sin a motståendekatet asin I tillegg ser vi at vi kan bruke Pytagoras setning. r a t a r t a r t 2 2 Vi får da x t y acos r t 2 2 z asin r t 2 2 Vektorfunksjonen blir cos sin OP t, r t cos, r t sin Parameterfremstillingen blir x t y r t cos z r t sin 66

67 Eksempel En kuleflate med radius lik 5 cm og sentrum i origo har vektorfunksjonen OP t, 5 t cos, 5 t sin Vi kan flytte sentrum i kula til punktet 0,0,20 ved å endre vektorfunksjonen til OP t, 5 t cos,20 5 t sin Kommando i GeoGebra: «Kule[ <Punkt>, <Radius> ]» Oppsummering Generelt er en kuleflate med radius r og sentrum i x0, y0, z 0 gitt ved vektorfunksjonen OP x 0 t, y0 r t cos, z0 r t sin En parameterfremstilling for kuleflaten er x x0 t y y0 r t z z0 r t cos sin Singapore River, 1. juledag Hvert år kastes ca små og store kuler med jule- og nyttårsønsker ut i elva. 67

68 Tekst og eksempler Stein Aanensen og Olav Kristensen Bildeliste Fart Foto: Morten Holm/Scanpix Ortogonalitet og parallellitet Foto: John Rensten/zefa/Corbis/Scanpix Høyrehåndssystem Bilde: Oleg Alexandrov/Wikimedia Commons Partikkel i magnetfelt Bilde: NAROM/NDLA Kuler Foto: Joel Boh/Reuters/Scanpix 68