Seksjonene : Vektorer
|
|
|
- Helene Helle
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Seksjonene : Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010
2 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren med lengde null. Eks. fra fysikk: fart, akselerasjon, kraft.
3 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren med lengde null. Eks. fra fysikk: fart, akselerasjon, kraft.
4 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren med lengde null. Eks. fra fysikk: fart, akselerasjon, kraft.
5 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren med lengde null. Eks. fra fysikk: fart, akselerasjon, kraft.
6 Kan beskrives geometrisk med pil mellom startpunkt og endepunkt. To vektorer er like de har samme lengde og retning. (som f.eks. a, b, c over) Konsekvens: startpunkt spiller ingen rolle, vi kan legge startpunkt i ethvert ønsket punkt, f.eks. origo.
7 Kan beskrives geometrisk med pil mellom startpunkt og endepunkt. To vektorer er like de har samme lengde og retning. (som f.eks. a, b, c over) Konsekvens: startpunkt spiller ingen rolle, vi kan legge startpunkt i ethvert ønsket punkt, f.eks. origo.
8 Kan beskrives geometrisk med pil mellom startpunkt og endepunkt. To vektorer er like de har samme lengde og retning. (som f.eks. a, b, c over) Konsekvens: startpunkt spiller ingen rolle, vi kan legge startpunkt i ethvert ønsket punkt, f.eks. origo.
9 Kan beskrives geometrisk med pil mellom startpunkt og endepunkt. To vektorer er like de har samme lengde og retning. (som f.eks. a, b, c over) Konsekvens: startpunkt spiller ingen rolle, vi kan legge startpunkt i ethvert ønsket punkt, f.eks. origo.
10 Operasjon: vektoraddisjon Addisjon av vektorer u + v.
11 Operasjon: vektoraddisjon Addisjon av vektorer u + v.
12 Operasjon: Skalarmultiplikasjon Multiplikasjon av vektor v med skalar(=reellt tall) c : cv er vektoren med lengde c v,med samme retning som v om c > 0, og i motsatt retning om c < 0. F.eks. har vektoren ( 1)u samme lengde som u men motsatt retning. Vi skriver gjerne u og kaller vektoren den motsatte vektoren til u.
13 Operasjon: Skalarmultiplikasjon Multiplikasjon av vektor v med skalar(=reellt tall) c : cv er vektoren med lengde c v,med samme retning som v om c > 0, og i motsatt retning om c < 0. F.eks. har vektoren ( 1)u samme lengde som u men motsatt retning. Vi skriver gjerne u og kaller vektoren den motsatte vektoren til u.
14 Operasjon: Skalarmultiplikasjon Multiplikasjon av vektor v med skalar(=reellt tall) c : cv er vektoren med lengde c v,med samme retning som v om c > 0, og i motsatt retning om c < 0. F.eks. har vektoren ( 1)u samme lengde som u men motsatt retning. Vi skriver gjerne u og kaller vektoren den motsatte vektoren til u.
15 Operasjon: Skalarmultiplikasjon Multiplikasjon av vektor v med skalar(=reellt tall) c : cv er vektoren med lengde c v,med samme retning som v om c > 0, og i motsatt retning om c < 0. F.eks. har vektoren ( 1)u samme lengde som u men motsatt retning. Vi skriver gjerne u og kaller vektoren den motsatte vektoren til u.
16
17 Egenskaper til vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon Kan vise at operasjonene oppfyller (u, v vektorer, k, l skalarer): u + v = v + u (kommutativitet) (u + v) + w = u + (v + w) (assosiativitet) 0 + u = u + 0 (eksistens av nullvektor) u + ( u) = 0 (eksistens av negativ vektor) 1 u = u (eksistens av multiplikativ identitet) k(u + v) = ku + kv (distributive lover) (k + l)u = ku + lu k(lu) = (kl)u
18 Aksiomatisk definisjon (MAT121) Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatisk definisjon av vektorer: Et vektorrom er en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner + mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over. Skalarene kan være elementer fra R, C, Q o.l., og vi snakker da om vektorrom over R, C, Q osv.
19 Aksiomatisk definisjon (MAT121) Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatisk definisjon av vektorer: Et vektorrom er en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner + mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over. Skalarene kan være elementer fra R, C, Q o.l., og vi snakker da om vektorrom over R, C, Q osv.
20 Aksiomatisk definisjon (MAT121) Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatisk definisjon av vektorer: Et vektorrom er en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner + mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over. Skalarene kan være elementer fra R, C, Q o.l., og vi snakker da om vektorrom over R, C, Q osv.
21 Aksiomatisk definisjon (MAT121) Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatisk definisjon av vektorer: Et vektorrom er en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner + mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over. Skalarene kan være elementer fra R, C, Q o.l., og vi snakker da om vektorrom over R, C, Q osv.
22 Aksiomatisk definisjon (MAT121) Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatisk definisjon av vektorer: Et vektorrom er en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner + mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over. Skalarene kan være elementer fra R, C, Q o.l., og vi snakker da om vektorrom over R, C, Q osv.
23 Aksiomatisk definisjon (MAT121) Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatisk definisjon av vektorer: Et vektorrom er en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner + mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over. Skalarene kan være elementer fra R, C, Q o.l., og vi snakker da om vektorrom over R, C, Q osv.
24 Posisjonsvektor til punkt i R 3 (a x, a y, a z ) Et punkt (a x, a y, a z ) definerer en vektor fra origo til punktet, som vi kaller posisjonsvektoren, og betegnes med a = a x, a y, a z. Lengden er a = ax 2 + ay 2 + az. 2 Kan skrive a = a x 1, 0, 0 + a y 0, 1, 0 + a z 0, 0, 1 = a x i + a y j + a z k
25 Posisjonsvektor til punkt i R 3 (a x, a y, a z ) Et punkt (a x, a y, a z ) definerer en vektor fra origo til punktet, som vi kaller posisjonsvektoren, og betegnes med a = a x, a y, a z. Lengden er a = ax 2 + ay 2 + az. 2 Kan skrive a = a x 1, 0, 0 + a y 0, 1, 0 + a z 0, 0, 1 = a x i + a y j + a z k
26 Posisjonsvektor til punkt i R 3 (a x, a y, a z ) Et punkt (a x, a y, a z ) definerer en vektor fra origo til punktet, som vi kaller posisjonsvektoren, og betegnes med a = a x, a y, a z. Lengden er a = ax 2 + ay 2 + az. 2 Kan skrive a = a x 1, 0, 0 + a y 0, 1, 0 + a z 0, 0, 1 = a x i + a y j + a z k
27 Standardbasisvektorene Vektorene i = 1, 0, 0 j = 0, 1, 0 k = 0, 0, 1 kalles standardbasisvektorene til R 3. Alle vektorer i R 3 kan uttrykkes som lineær kombinasjon av disse.
28 Standardbasisvektorene Vektorene i = 1, 0, 0 j = 0, 1, 0 k = 0, 0, 1 kalles standardbasisvektorene til R 3. Alle vektorer i R 3 kan uttrykkes som lineær kombinasjon av disse.
29 Hvordan representere vektorer i R 3? Vektoren P 1 P 2 fra P 1 (x 1, y 1, z 1 ) til P 2 (x 2, y 2, z 2 ) er gitt ved at OP 1 + P 1 P 2 = OP 2, dvs. P 1 P 2 = OP 2 OP 1 = x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1. Lengden er P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2
30 Hvordan representere vektorer i R 3? Vektoren P 1 P 2 fra P 1 (x 1, y 1, z 1 ) til P 2 (x 2, y 2, z 2 ) er gitt ved at OP 1 + P 1 P 2 = OP 2, dvs. P 1 P 2 = OP 2 OP 1 = x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1. Lengden er P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2
31 Hvordan representere vektorer i R 3? Vektoren P 1 P 2 fra P 1 (x 1, y 1, z 1 ) til P 2 (x 2, y 2, z 2 ) er gitt ved at OP 1 + P 1 P 2 = OP 2, dvs. P 1 P 2 = OP 2 OP 1 = x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1. Lengden er P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2
32 Vektoroperasjoner i R 3 Regel: alt skjer komponentvis. Hvis u = u 1, u 2, u 3 og v = v 1, v 2, v 3 er vektorer og c R er skalar, da er u + v = u 1, u 2, u 3 + v 1, v 2, v 3 = u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ; u v = u 1, u 2, u 3 v 1, v 2, v 3 = u 1 v 1, u 2 v 2, u 3 v 3 ; cu = cu 1, cu 2, cu 3.
33 Skalarprodukt Skalarproduktet mellom u = u 1, u 2, u 3 og v = v 1, v 2, v 3 er u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 R. Teorem : u v = u v cos θ. Spesielt: u v u v = 0.
34 Skalarprodukt Skalarproduktet mellom u = u 1, u 2, u 3 og v = v 1, v 2, v 3 er u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 R. Teorem : u v = u v cos θ. Spesielt: u v u v = 0.
35 Skalarprodukt Skalarproduktet mellom u = u 1, u 2, u 3 og v = v 1, v 2, v 3 er u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 R. Teorem : u v = u v cos θ. Spesielt: u v u v = 0.
36 Egenskaper til skalarprodukt Kan vise at skalarprodukt oppfyller følgende: u v = v u (kommutativitet) u (v + w) = u v + u w (distributiv lov) u u = u 2.
37 Eks: Arbeid i fysikk Når kraft og forflytning skjer i samme retning er Arbeid = kraft forflytning. Generelt: Kraft F og forflytning d er vektorer og Arbeid = F d = F d cos θ. Merk: F cos θ er lengden til projeksjonen av F langs d.
38 Eks: Arbeid i fysikk Når kraft og forflytning skjer i samme retning er Arbeid = kraft forflytning. Generelt: Kraft F og forflytning d er vektorer og Arbeid = F d = F d cos θ. Merk: F cos θ er lengden til projeksjonen av F langs d.
39 Eks: Arbeid i fysikk Når kraft og forflytning skjer i samme retning er Arbeid = kraft forflytning. Generelt: Kraft F og forflytning d er vektorer og Arbeid = F d = F d cos θ. Merk: F cos θ er lengden til projeksjonen av F langs d.
40 Skalarprojeksjon Skalarprojeksjonen til u langs v er scal v u = u cos θ = u v v
41 Vektorprojeksjon Vektorprojeksjonen til u langs v er vektoren med lengde scal v u i retning v, dvs. proj v u = u v = scal v u v v = u v v v v = u v v 2 v Merk: v v er vektor med lengde 1 langs v.
42 Vektorprojeksjon Vektorprojeksjonen til u langs v er vektoren med lengde scal v u i retning v, dvs. proj v u = u v = scal v u v v = u v v v v = u v v 2 v Merk: v v er vektor med lengde 1 langs v.
43 Vektorprojeksjon Vektorprojeksjonen til u langs v er vektoren med lengde scal v u i retning v, dvs. proj v u = u v = scal v u v v = u v v v v = u v v 2 v Merk: v v er vektor med lengde 1 langs v.
44 Vektorprojeksjon Vektorprojeksjonen til u langs v er vektoren med lengde scal v u i retning v, dvs. proj v u = u v = scal v u v v = u v v v v = u v v 2 v Merk: v v er vektor med lengde 1 langs v.
45 Vektorprojeksjon Vektorprojeksjonen til u langs v er vektoren med lengde scal v u i retning v, dvs. proj v u = u v = scal v u v v = u v v v v = u v v 2 v Merk: v v er vektor med lengde 1 langs v.
46 Vektorer i R n Alt vi har sagt hittil har sine naturlige generaliseringer til vektorer i R n, og til og med til vektorer i vilkårlige vektorrom. Men det som kommer nå (kryssprodukt) er kun definert i R 3.
47 Motivasjon: dreiemoment=torque τ. Dreiekraften τ avhenger av størrelsen på kraften F som vi virker med; lengden r ; vinkelen θ mellom F og r. Resultat: τ står normalt på både F og r, i retningen slik at r, F og τ danner et høyrehåndssystem og har lengde τ = F r sin θ.
48 Motivasjon: dreiemoment=torque τ. Dreiekraften τ avhenger av størrelsen på kraften F som vi virker med; lengden r ; vinkelen θ mellom F og r. Resultat: τ står normalt på både F og r, i retningen slik at r, F og τ danner et høyrehåndssystem og har lengde τ = F r sin θ.
49 Motivasjon: dreiemoment=torque τ. Dreiekraften τ avhenger av størrelsen på kraften F som vi virker med; lengden r ; vinkelen θ mellom F og r. Resultat: τ står normalt på både F og r, i retningen slik at r, F og τ danner et høyrehåndssystem og har lengde τ = F r sin θ.
50 Motivasjon: dreiemoment=torque τ. Dreiekraften τ avhenger av størrelsen på kraften F som vi virker med; lengden r ; vinkelen θ mellom F og r. Resultat: τ står normalt på både F og r, i retningen slik at r, F og τ danner et høyrehåndssystem og har lengde τ = F r sin θ.
51 Motivasjon: dreiemoment=torque τ. Dreiekraften τ avhenger av størrelsen på kraften F som vi virker med; lengden r ; vinkelen θ mellom F og r. Resultat: τ står normalt på både F og r, i retningen slik at r, F og τ danner et høyrehåndssystem og har lengde τ = F r sin θ.
52 Kryssprodukt i R 3 (kun i R 3!!) Kryssproduktet u v er den entydige vektoren slik at u v står normalt på både u og v, dvs. (u v) u = (u v) v = 0; u, v, u v danner høyrehåndssystem; u v = u v sin θ. Spesielt: u v u v = 0.
53 Kryssprodukt i R 3 (kun i R 3!!) Kryssproduktet u v er den entydige vektoren slik at u v står normalt på både u og v, dvs. (u v) u = (u v) v = 0; u, v, u v danner høyrehåndssystem; u v = u v sin θ. Spesielt: u v u v = 0.
54 Kryssprodukt i R 3 (kun i R 3!!) Kryssproduktet u v er den entydige vektoren slik at u v står normalt på både u og v, dvs. (u v) u = (u v) v = 0; u, v, u v danner høyrehåndssystem; u v = u v sin θ. Spesielt: u v u v = 0.
55 Kryssprodukt i R 3 (kun i R 3!!) Kryssproduktet u v er den entydige vektoren slik at u v står normalt på både u og v, dvs. (u v) u = (u v) v = 0; u, v, u v danner høyrehåndssystem; u v = u v sin θ. Spesielt: u v u v = 0.
56 Kryssprodukt i R 3 (kun i R 3!!) Kryssproduktet u v er den entydige vektoren slik at u v står normalt på både u og v, dvs. (u v) u = (u v) v = 0; u, v, u v danner høyrehåndssystem; u v = u v sin θ. Spesielt: u v u v = 0.
57 Utregning av kryssprodukt i R 3 Teorem u v = u 1, u 2, u 3 v 1, v 2, v 3 = u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 for de som kjenner til determinanter (MAT121).
58 Utregning av kryssprodukt i R 3 Teorem u v = u 1, u 2, u 3 v 1, v 2, v 3 = u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 for de som kjenner til determinanter (MAT121).
59 Egenskaper til kryssprodukt Kan vise at kryssprodukt oppfyller følgende: u v = v u (antikommutativitet) u (v + w) = u v + u w (distributiv lov) (u + v) w = u w + v w (distributiv lov) (cu) v = u (cv) = c(u v)
Seksjonene : Vektorer
Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og
4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
2 Vektorer. 2.1 Algebraiske operasjoner på vektorer
Vektorer Begrepet vektor dukker opp i mange sammenhenger både i matematikk og i fysikk, og står generelt for et objekt som er bestemt ved en størrelse og en retning. Eksempler fra fysikk er forflytning,
8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018
8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.
Kompetansemål Geometri, R Vektorer Regning med vektorer... 5 Addisjon av vektorer... 5 Vektordifferanse... 5
1 Geometri Innhold Kompetansemål Geometri, R2... 3 1.1 Vektorer... 4 1.2 Regning med vektorer... 5 Addisjon av vektorer... 5 Vektordifferanse... 5 Multiplikasjon av vektor med tall... 6 Parallelle vektorer...
Lineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
Vektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer?
Kapittel 7 Vektorrom Vårt mål i dette kapitlet og det neste er å generalisere og abstrahere ideene vi har jobbet med til nå Især skal vi stille spørsmålet Hva er en vektor? Svaret vi skal gi, vil virke
Test, 1 Geometri. 1.2 Regning med vektorer. X Riktig. X Galt. R2, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen. 1) En vektor har lengde.
Test, 1 Geometri Innhold 1.2 Regning med vektorer... 1 1.3 Vektorer på koordinatform... 6 1.4 Vektorproduktet... 11 1.5 Linjer i rommet... 16 1.6 Plan i rommet... 18 1.7 Kuleflater... 22 Grete Larsen 1.2
MA1201 Lineær algebra og geometri Høst 2017
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1201 Lineær algebra og geometri Høst 2017 Løsningsforslag Øving 1 Med forbehold om feil. Kontakt gjerne mads.sandoy@ntnu.no
MAT1120 Repetisjon Kap. 1
MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer
Lineær algebra. 0.1 Vektorrom
Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene
9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser
Kapittel Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser I dette kapittelet tar vi utgangspunkt i lineære likningssystemer, som vi lærte om i MAT, og setter dette inn i et større rammeverk, kalt
RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 6
RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 6 Lars Sydnes, NITH 4.oktober 2013 I. FUNKSJONER TILFELDIGE EKSEMPLER x-koordinaten er en funksjon av t når startposisjon x 0 og startfart v x er gitt: x = x 0 + v x
5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt
Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt La oss minne Hovedprinsippet (Seksjon 8.): Alle (endelig dimensjonale dvs. de som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n der n dim V. Alle
Løsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.
MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom
Lineær uavhengighet og basis
Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c
Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
Sammendrag R1. 26. januar 2011
Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander
Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling
Forelesningsnotater SIF839/ Grafisk databehandling Notater til forelesninger over: Kapittel 4: Geometric Objects and ransformations i: Edward Angel: Interactive Computer Graphics Vårsemesteret 22 orbjørn
TDT4195 Bildeteknikk
TDT495 Bildeteknikk Grafikk Vår 29 Forelesning 5 Jo Skjermo Jo.skjermo@idi.ntnu.no Department of Computer And Information Science Jo Skjermo, TDT423 Visualisering 2 TDT495 Forrige gang Attributter til
En rekke av definisjoner i algebra
En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det
Mer lineær algebra. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium i MAT1012 Matematikk 2. Våren 2014
Mer lineær algebra Kompendium i MAT Matematikk Våren 4 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Dette kompendiet er skrevet til bruk i andre del av emnet MAT. I dette emnet jobber vi under
Forelesningsnotat, lørdagsverksted i fysikk
Forelesningsnotat, lørdagsverksted i fysikk Kristian Etienne Einarsrud 1 Vektorer, grunnleggende matematikk og bevegelse 1.1 Introduksjon Fysikk er en vitenskap som har som mål å beskrive verden rundt
Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009
Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for
TMA4105 Matematikk 2 vår 2013
TMA4105 Matematikk vår 013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavene er fra læreboka Merk: I løsningene til alle oppgavene fra seksjon
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile 1 Kroppsutvidelser og geometriske konstruksjoner 1.1 Hva har kroppsutvidelser med geometriproblemer å gjøre? Avsnitt 29: Kroppsutvidelser Stoff: Utvidelseskropper
Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13
Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,
(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer
5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave
Vektorligninger. Kapittel 3. Vektorregning
Kapittel Vektorligninger I denne uken skal vi bruke enkel vektorregning til å analysere lineære ligningssystemer. Vi skal ha et spesielt fokus på R, for det går an å visualisere; klarer man det, går det
5.5 Komplekse egenverdier
5.5 Komplekse egenverdier Mange reelle n n matriser har komplekse egenverdier. Vi skal tolke slike matriser når n = 2. Ved å bytte ut R med C kan man snakke om komplekse vektorrom, komplekse matriser,
Egenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
Sammendrag kapittel 9 - Geometri
Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning
Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering
Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir
Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering
Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir
4 Vektorer. Vektorregning Vektorer...2. Skalarprodukt og vektorprodukt...14
4 Vektorer 4_Vektorer_2015.odt 31.08.2015 (cc)tg Vektorer...2 Skalarer og vektorer...2 Like, motsatt like, parallelle vektorer...2 Sum og differanse...3 Produkt av tall og vektor...4 Vektorer på koordinatform...5
Løsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b.
.9 til oppgavene i avsnitt.9.9. Regn ut (a) k ( i + j ), () ( i k ) ( j + 3k ), (c) ( i j + 3k ) ( 3i + j k ) a. k ( i + j ) = 0,0,,,0 = 0 + 0 + 0 = 0. ( i k ) ( j k ) ( ) + 3 =, 0, 0,,3 = 0 + 0 + 3 =
Lineære likningssystemer og matriser
Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
Fysikkmotorer. Andreas Nakkerud. 9. mars Åpen Sone for Eksperimentell Informatikk
Åpen Sone for Eksperimentell Informatikk 9. mars 2012 Vektorer: posisjon og hastighet Posisjon og hastighet er gitt ved ( ) x r = y Ved konstant hastighet har vi som gir likningene v= r = r 0 + v t x =
GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type
Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon.
Egenverdier for 2 2 matriser
Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
RF5100 Lineær algebra Leksjon 12
RF5100 Lineær algebra Leksjon 12 Lars Sydnes, NITH 26. november 2013 I. GAUSS-ELIMINASJON 2x + 3y + z = 1 2x + 5y z = 1 4x + 7y + 4z = 3 x + 3/2 y + 1/2 z = 1/2 x + 2z = 2 y z = 1 3z = 2 x + 2z = 2 y z
12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;
RF5100 Lineær algebra Leksjon 1
RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 Lars Sydnes, NITH 20.august 2013 I. INFORMASJON FAGLÆRER Kontakt: Lars Sydnes lars.sydnes@nith.no 93035685 Bakgrunn: Doktorgrad i Matematikk fra NTNU (2012), Siv.ing. Industriell
Oppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning
Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable
Kinematikk i to og tre dimensjoner
Kinematikk i to og tre dimensjoner 2.2.217 Innleveringsfrist oblig 1: Mandag, 6.eb. kl.14 Innlevering kun via: https://devilry.ifi.uio.no/ Mulig å levere som gruppe (i Devilry, N 3) Bruk gjerne Piazza
RF5100 Lineær algebra Leksjon 1
RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 Lars Sydnes, NITH 20.august 2013 I. INFORMASJON FAGLÆRER Kontakt: Lars Sydnes lars.sydnes@nith.no 93035685 Bakgrunn: Doktorgrad i Matematikk fra NTNU (2012), Siv.ing. Industriell
(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y
MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3
MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Fra kap. 1 repeterer vi: Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger
MA1201/MA6201 Høsten 2016
MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Med forebehold om feil Hvis du finner en, ta kontakt med Karin Kapittel 4 8 Vi benevner matrisen vi skal frem til
Lineære likningssystemer
Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så
Diagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.
Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november 2014 1 Lineære likningssystemer
v(t) = r (t) = (2, 2t) v(t) = t 2 T(t) = 1 v(t) v(t) = (1 + t 2 ), t 2 (1 + t 2 ) t = 2(1 + t 2 ) 3/2.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA40 Matematikk, øving, vår 0 Løsningsforslag Notasjon og merknader Hvis boken skriver en vektor som ai + bj + ck hender det at jeg skriver den som a, b, c). Jeg benytter
=,,,,, = det( A) a a a a a a a a a a + a a 0 1. a11 a12 a22 a12 a11 a22 a12 a21 a11a12 + a12 a11
3.3 Oppgaver 3.3.1 1 2 3 1 2 3 2 0 1.La A,,,,, 3 4 B 2 1 C 0 1 a -1 b 1 c 2 Regn ut (a) A a, (b) B b, (c) C c, (d) A B, (e) A B C ( a) ( c) ( e) ( f ) 1-2 2 1 2 + ( 2) ( 1) 4 A a 3 4 1 3 2 + 4 ( 1 ( b)
Komplekse tall og Eulers formel
Komplekse tall og Eulers formel Harald Hanche-Olsen 2011-03-24 1. Oppvarming Jeg vil anta at leseren er kjent med komplekse tall, men vil likevel si noen ord om temaet. Naivt kan man starte med bare å
Matematikk R1 Oversikt
Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac
Eksamensoppgave i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Faglig kontakt under eksamen: Steffen Oppermann Tlf: 9189 7712 Eksamensdato: 01. juni 2017 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
Innlevering i FORK Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 14.november 2018 kl. 10:30 Antall oppgaver: 13
Innlevering i FORK00 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag 4.november 08 kl. 0:0 Antall oppgaver: Bestem vinkelen mellom vektorene u = [, 7] og v = [4, 5]. Hva
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer vanlig indreprodukt (prikkprod.) i IR n, egenskaper. ortogonalitet i IR n Pythagoras teorem: u og v i IR n er ortogonale hvis og bare hvis u + v 2 =
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en
Lineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.
Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort
Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1
Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Lineære transformasjoner kan sammenliknes med vanlig funksjonslære. X x 1 x 2 x 3 f Y Gitt to tallmengder X og Y. y 1 En funksjon f er her en regel som y 2 knytter
MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.
3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:
Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )
For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
Emne 7. Vektorrom (Del 1)
Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske
Vektorvaluerte funksjoner
Versjon per 8.09.05. Parametriserte kurver Vektorvaluerte funksjoner Hans Petter Hornæs Forelesningsnotat til Matematikk 0 ved HiG, høst 005. Grafen til en kontinuerlig funksjon f av en variabel kan som
1 Geometri R2 Oppgaver
1 Geometri R2 Oppgaver Innhold 1.1 Vektorer... 2 1.2 Regning med vektorer... 15 1.3 Vektorer på koordinatform... 19 1.4 Vektorprodukt... 22 1.5 Linjer i rommet... 27 1.6 Plan i rommet... 30 1.7 Kuleflater...
Kinematikk i to og tre dimensjoner
Kinematikk i to og tre dimensjoner 4.2.216 Innleveringsfrist oblig 1: Tirsdag, 9.eb. kl.18 Innlevering kun via: https://devilry.ifi.uio.no/ Devilry åpnes snart. YS-MEK 111 4.2.216 1 v [m/s] [m] Eksempel:
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x
A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett
TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at
x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder
4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes
Oppgaver og fasit til seksjon
1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =
Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5
Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Gitt 3 punkter A 1,1,1,B 2,1,3,C 3,4,5 I Finne ligning for plan gjennom 3 punkt Lager to vektorer i planet: AB 1, 0,2 og AC 2,3, 4 Lager normalvektor
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 14. februar 2012 Funksjonsrekker En rekke på formen fn(x) der fn er en funksjon, kalles en n=1 funksjonsrekke. For alle
n-te røtter av komplekse tall
. 29. august 2011 Eksponentialform Forrige gang så vi at e iθ = cos θ + i sin θ Dette kan vi bruke til å gjøre polarfremstillingen av komplekse tall mer kompakt: z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) = re iθ
Mer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
Matematikk og fysikk RF3100
DUMMY Matematikk og fysikk RF3100 Løsningsforslag 7. april 015 Tidsfrist: 15. april 015 Oppgave 1 Her studerer vi et stivt 1 system som består av tre punktmasser m 1 1 kg, m kg, m 3 3 kg. Ved t 0 ligger
TMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
Mer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon
Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med
1 Geometri R2 Løsninger
1 Geometri R Løsninger Innhold 1.1 Vektorer... 1. Regning med vektorer... 1 1.3 Vektorer på koordinatform... 9 1.4 Vektorprodukt... 35 1.5 Linjer i rommet... 46 1.6 Plan i rommet... 55 1.7 Kuleflater...
En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom