Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i. kapittel 1.6 og 1.7

Transkript

1 Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i 155 kapittel 1.6 og 1.7 a) 12:00: u og v har samme retning: u v u v cos b) 09:30: Hver time er 30. Lilleviser (u) midt mellom 09 og 10! Altså er vinkelen 105 : u v u v cos c) u v cos 6 cos (Dette skjer 12 ganger i løpet av 12 timer, eksempelvis litt over halv ett.) Definisjon av arbeid: W F s G s cos [N] N s cos90 0[N] 160 R s cos [N] Jeg ville gjort: u v w u v u w 7 4 cos cos Litt pussig at man deretter skal regne ut u v og u w en gang til. Mulig boken ønsker at man skal regne ut lengde og vinkel for v w ved hjelp av et parallellogram delt i to trekanter med cosinus- og sinussetningen, noe som selvsagt er mulig, men for tungvindt til at vi gidder det d Definisjonen av skalarprodukt, u v u v cos,gir: e x e x 1 1 cos0 1 e y e y 1 1 cos0 1 e x e y 1 1 cos90 0 Da får vi med vanlig algebra, som også gjelder skalarprodukt: 5e x 3e y 3e x 4e y 53e x e x 33e y e x 54e x e y 34e y e y Det er dette vi vanligvis ikke gidder, da vi isteden utfører: Ulven av 5 1.6_1.7.tex

2 5,33, Regning med e x og e y brukes bare i bevis, for eksempel i beviset for koordinatformelen øverst side a) Regn selv, svarene blir ikke like, fordi: b) u v w blir kw,hvork er et tall (skalar). u v w har altså samme retning som w. u v w blir ul,hvorl er et tall (skalar). u v w har altså samme retning som u. Disse to uttrykkene er begge vektorer, men med forskjellig retning, altså kan de ikke være like! Dette er litt spesielt for vektorer, for skalarer er vi vant til at abc abc! 166 d Delingsforhold kan gi vektorer av denne typen: u 2, 1 t4,1 Kravet om ortogonalitet gir da: 2, 1 t4,1 2, t, 1 t2, t 1 t 0 9t 3 t En radiusvektor: r SP 4, 3 2 En tangentvektor, t, må stå normalt på r, så vi lager oss en tangentvektor: t x,y Normalitetskrav: r t 0 4, 3 2 x,y 0 4x 3 2 y 0 y 8 3 x Altså blir tangentvektoren: t x,y x, 8 3 x x 3 3,8 Som vi ser er parallell med 3, Morsom setning, kan kanskje være nyttig å ta vare på! a) u v cos uv u v b) w u v v u 25v 17u c) cosu, w uw u25 v17u 25uv17u w 722 Ulven av 5 1.6_1.7.tex

3 (Orker ikke regne ut 25v 17u 25v 17u...) cosw, v wv 25v17u v 25 v 2 17uv w 17 Vinklene er altså like, og w halverer vinkelen mellom u og v. Utregningene i c) kan gjøres generelle og gir et generelt bevis: 722 cosu, w uw u u v v u u uv v u 2 uv v u cosw, v wv u v v u v u v 2 v uv u v uv Vinklene er som man ser like også i det generelle tilfellet! d) Du bør selvfølgelig gjøre dette i GeoGebra! 171 Klassisk teknikk: Finne avstand fra punkt (C) til linje (AB). Skal treffe AB i P slik at CP AB. CP CA AP CA kab 4, 2 k3,6 4 3k,2 6k CP AB 0 4 3k,2 6k3, k 12 36k 0 k CP 4 3, , OP OC CP 5,4 12, 6 13, 26 P 13, Avstanden kan regnes ut som: (Oftere man spør om avstand enn koordinatene til P!) CP 12, 6 6 2, CP (Ofte lurt å sette en konstant utenfor vektoruttrykk når man skal finne lengder!) 172 u v 2u v 0 2 u 2 2u v u v v u v cos cos Denne oppgaven gir et vektorbevis for at alle høydene i en trekant skjærer hverandre i samme punkt (S), akkurat som medianene. (Se Ortosenter side 268.) a) Klassisk fremgangsmåte, velger et referansesystem med S som utgangspunkt for tre referansevektorer a, b og c, og får da: AC c a BC c b Dessuten: AB b a (brukes i d)) Ulven av 5 1.6_1.7.tex

4 b) Disse skalarproduktene blir null da forlengelsene av a, b og c er høydene i trekanten. c) Dette gir: a BC 0 a c b 0 a c a b 0 a c a b og: b AC 0 b c a 0 b c b a 0 b c b a som tilsammen gir: a b b c a c d) c AB c b a c b c a 0 (da b c a c ervistic).) Da står forlengelsen av c SC normalt på AB og er derfor den tredje høyden som går gjennom S. 181 Denne oppgaven gir et vektorbevis for at to medianer skjærer hverandre i et punkt som deler medianene i forholdet 2:1. Kunne gjort samme beviset med to andre sider så vi har derfor vist at alle medianene i en trekant har et felles skjæringspunkt som deler medianene i forholdet 2:1. a) OM 1 2 OA OB 1 2 a 1 2 b (Setningen om midtpunkt på en linje forutsettes kjent!) b) OP OA AC 2 3 CM a c a a 1 2 b c 1 3 a 1 3 b 1 3 c c) Tilsvarende for OQ: X1.3 OQ OB BQ b 2 BN b 2 ON OB b 2 OA 1 AC OB b 2 a 1 c a b 1 a 1 b 1 c OQ OP Q P Viktig teknikk, går igjen som ledd i større oppgaver. a) OB OA AB 2, 1 4,3 6,2 B 6, 2 OC OB BC 6,2 7,1 1,3 C 1,3 b) AC 3,4 AC AB 3,44, AC AB A 90 c) Parallellogram: AD BC X1.4 OD OA AD OA BC 2, 1 7,1 5,0 D 5,0 a) Rett frem... b) a b 3,48, ):a b c) 2,11 k3,4 t8,6 2 3k 8t 11 4k 6t k 2 t 1 2 Ulven av 5 1.6_1.7.tex

5 d) c 2a 1 b er en dekomponering av c langs a og b. 2 X1.6 a) AB 4,2 AC 3,4 AB b) AB BC 4,21, ): AB BC c) D på AC AD kac 1,2 k3,4 k 1 3 k 1 2 Selvmotsigende ): D ligger ikke på AC. d) E 0,y E på forlengelse av AC: AE kac 2,y 1 k3,4 2 k3 y 1 4k k 2 3 y ): E 0, 11 3 e) F x,0 FB 2 x,3 FB 5 2 x x x x 2 4x x 2 x 6 X1.7 ): F 2,0 eller F 6,0 Igjen ser vi at medianene i en trekant har et felles skjæringspunkt og at dette skjæringspunktet deler medianene i forholde 2:1. Oppgaven bruker spesielle tall, så dette er ikke et generelt bevis, men kan relativt enkelt generaliseres til et generelt bevis for mediansetningen. a) AB 4,0 AC 1,4 BC 3,4 b) Obs: A Origo 0,0 AM AB 1 2 4,0 2,0 M 1 2,0 AM AC 1 2 1,4 1 2,2M 2 1 2,2 c) kcm 1 CB tbm 2 k1, 4 3,4 t 7,2k,4k 3 7 t,4 2t 2 2 d) k t 4k 4 2t 2k 7t 6 4k 2t 4 t 2 3 k 2 3 (Viser at delingsforholdet er 2:1! (Største del 2/3 av hele.)) e) CS kcm 1 2 1, 4 2, AS AC CS 1,4 2, 8 5, 4 S5, f) AM AB AC 1 2 4,0 1,4 5 2,2 Vi ser at AS 5 3, ,2 så AM 3 går gjennom S. Ulven av 5 1.6_1.7.tex