Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Transkript

1 Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere gitte eksamener. Dessverre er disse ofte bare åpne for betalende medlemmer. Videre vil dette løsningsforslaget legge seg på en litt annen kurs enn andre løsningsforslag. I første del vil fasitsvaret til alle regneoppgaver bli oppgitt. Dette gjøres slik at om ønsket kan raskt se om en har regnet riktig eller ei. Har en regnet feil, kan en selv regne på nytt uten å få fremgangsmåten spolert. Deretter vil vi ta for oss oppgavene i tur og orden gjerne litt nøyere en hva som kreves under eksamen. Vi vil også skrive små kommentarer om vanlige feil elever gjør til en del oppgaver, og også hva som bør nevnes til hver oppgave. Til tider vil vi også vise alternative måter å løse oppgavene på. Og et fåtall ganger vil vi streife utenfor pensum og vise alternative metoder. Dette er et annerledes løsningsforslag, men vi håper den som leser dette vil få glede av det. Det viktigste å huske på før en eksamen er å opparbeide seg en god forståelse, og en bred faglig kompetanse. Dokumentet her er ment å hjelpe leser et lite steg i den retningen.

2 MAT1013-1T Høst Innhold Karaktergrenser og Vurderingsskjema Fasitsvar til regneoppgaver IV V Del 1 Oppgave 1 1 Oppgave 2 1 Oppgave 3 1 Oppgave 4 1 Oppgave 5 2 Oppgave 6 2 a) b) c) Oppgave 7 2 Oppgave 8 3 a) b) c) Oppgave 9 3 a) b) c) Oppgave 10 4 Del 2 Oppgave 1 5 a) b) Oppgave 2 5 a) b) II

3 MAT1013-1T Høst c) Oppgave 3 6 a) b) Oppgave 4 6 a) b) c) Oppgave 5 7 a) b) Oppgave 6 7 a) b) c) Oppgave 7 8 a) b) c) III

4 MAT1013-1T Høst Karaktergrenser og Vurderingsskjema Gjeldende poengfordeling Del 1 Del 2 Sum 1a 1b 1c 2a 2b 3a 3b 4a 4b 5a b 6a 6b 7a 7b a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a b 4c 5a 5b 6a 6b 6c Totalt antall poeng 60 Karaktergrenser Karakter I Poeng I prosent Nebuchadnezzars synspunkter om årets eksamen En stort sett grei eksamen. Oppgavene på del 1 var kreative, og arbeidsmengden var passelig. Arbeidsmengden på del to var forholdsvis høy. Dog var de fleste oppgavene av normal vanskelighetsgrad. Noen vil antakeligvis ha problemer med geometrioppgaven og siste deloppgave på oppgaven med flyet. Forhåndssensur Forhåndssensur blir ikke lagt ut for høst-eksamener. IV

5 MAT1013-1T Høst Fasitsvar til regneoppgaver Oppgave 1 y = 2x + 6 Oppgave 2 x = 7/2 = 3.5 Oppgave 3 x 6 /4 Oppgave 4 (x + 3)/(x 3) Oppgave 5 18 Oppgave 6 a) f(x) = 0 x = 1 x = 3 b) Bunnpunktet til f(x) er ( 1, 4) Oppgave 7 x = 4 eller x = 5 Oppgave 8 a) Tegning b) 5/25 = 1/5 = 20 % c) 5/14 = 35.7 % Oppgave 9 a) sin(a) = 12/13 og cos(a) = 5/13 b) Bevis oppgave c) Bevis oppgave Oppgave 10 Bevis oppgave Oppgave 1 a) R = 35/12 = /12 = 2.92 Ω b) (2/3)R 3 = 0.67R 3 Oppgave 2 a) Tegning b) y = 6x + 6 c) y = 2x 230/27 = 2x 8.52 eller y = 2x + 10 Oppgave 3 a) α = arccos(4/11) b) h = V

6 MAT1013-1T Høst Oppgave 4 a) 0.50 % b) % c) % Oppgave 5 Bevis Oppgave 6 a) BC = (8 x) = x 2 16x + 89 b) x = 8/3 = 2 + 2/3 = 2.67 c) E = 60 Oppgave 7 a) Forklaring b) Vis at... c) V (x = 4) = 240 VI

7 Del 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) En rett linje har stigningstall 2. Linjen skjærer x-aksen i punktet (3, 0). Bestem likningen for linjen. Oppgave 2 (1 poeng) Løs likningen lg(2x + 3) = 1 Oppgave 3 (1 poeng) Skriv så enkelt som mulig (2x) 3 x x 1 Oppgave 4 (2 poeng) Skriv så enkelt som mulig x 2 + 6x + 9 x av 8

8 MAT1013-1T Del 1 Høst Oppgave 5 (1 poeng) Skriv så enkelt som mulig ( ) 2 Oppgave 6 (5 poeng) Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 2 + 2x 3 a) Bestem nullpunktene til f ved regning. b) Begrunn at grafen til f har et bunnpunkt, og bestem koordinatene til bunnpunktet ved regning. c) Skisser grafen til f i et koordinatsystem. Oppgave 7 (2 poeng) Løs likningen Det logiske her blir å gange ut parentesene slik at vi ender opp med (x + 5)(x + 3) (x + 5)(2x + 7) = 0 (a + b)(c + d) = (ac + ad) + (bc + bd) 0 = (x + 5)(x + 3) (x + 5)(2x + 7) 0 = [(x 2 + 3x) + (5x + 15)] [(2x 2 + 7x) + (10x + 35)] 0 = x 2 + 3x + 5x x 2 7x 10x 35 0 = (x 2 2x 2 ) + (3x + 5x 7x 10x) + (15 35) 0 = x 2 9x 20 0 = x 2 + 9x = (x + 4)(x + 5) For å se den siste overgangen kan eksempelvis ABC-formelen (kanskje bedre kjent som andregradsformelen) benyttes. x = b ± b 2 4ac 2a = 9 ± 9 2 4(1)(20) 2(1) Slik at enten så er x = 4 eller så er x = 5. = 9 ± 1 2 = 4 x = 5 2 av 8

9 MAT1013-1T Del 1 Høst En alternativ måte er å legge merke til at vi har en felles faktor (x + 5) i begge ledd. For å se algebraen noe lettere settes α = (x + 5) slik at 0 = (x + 5)(x + 3) (x + 5)(2x + 7) 0 = α(x + 3) α(2x + 7) 0 = α [ (x + 3) (2x + 7) ] 0 = α( x 4) 0 = (x + 5)(x + 4) Tilsvarende som før. I tredje linje ble den felles faktoren α satt utenfor, for å sjekke at dette er rett kan en gange inn igjen og se at det blir det samme. Å bruke sistnevnte metode er noe en sensor nok vil legge merke til og kan være med å vippe en karakter i riktig retning. Oppgave 8 (4 poeng) I klasse 1A er det 25 elever. 12 av eleevene har valgt fysikk neste skoleår. 14 av elevene har valgt biologi. 4 elever har verken valgt fysikk eller biologi. a) Systematiser opplysningene i en krysstabell eller i et venndiagram. Vi velger tilfeldig en elev fra klassen. b) Bestem sannsynligheten for at eleven har valgt både fysikk og biologi Vi velger tilfeldig en elev som har valgt biologi. c) Bestem sannsynligheten for at eleven også har valgt fysikk Oppgave 9 (4 poeng) C b a A c Figur 1 B Gitt ABC ovenfor. a) Bestem sin A og cos A når a = 12, b = 13 og c = 5. 3 av 8

10 MAT1013-1T Del 1 Høst b) Vis at (sin A) 2 + (cos A) 2 = 1 når a = 12, b = 13 og c = 5 c) Vis at (sin A) 2 + (cos A) 2 = 1 for alle trekanter ABC der B = 90 Oppgave 10 (1 poeng) D C A B Figur 2 Figur (2) ovenfor viser en sirkel som er innskrevet i et kvadrat. AC = 4. Vis at arealet av det blå området på figur (2) er 8 2π 4 av 8

11 Del 2 Med hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Formelen nedenfor brukes for å regne ut den totale motstanden R i en parallellkobling med to motstander R 1 og R 2 1 R = 1 R R 2 a) Bestem R når R 1 = 5 og R 2 = 7. b) Vis at dersom R 2 = 2R 1, vil R = 2 3 R 1. Oppgave 2 (7 poeng) Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 3 2x 2 5x + 6 a) Tegn grafen til f b) Besten tangenten til grafen til f i punktet (1, f(1)) ved regning, Tegn tangenten i samme koordinatsystem som du brukte i a). c) Grafen til f har to tangenter med stigningstall 2. Bestem likningen for disse to tangentene. 5 av 8

12 MAT1013-1T Del 2 Høst Oppgave 3 (4 poeng) C h α A 8 Figur 3 B Gitt ABC i figur (3). a) Bestem vinkelen α ved regning. b) Bestem høyden h ved regning. Oppgave 4 (6 poeng) 60 % av bilistene som parker på en parkeringsplass, betaler med kort. Resten betaler med kontanter. a) Bestem sannsynligheten for at de 10 første bilistene som parkerer på parkeringsplassen en dag, betaler med kort. b) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig 10 av de 20 første bilistene som parkerer på parkeringsplassen en dag, betaler med kort. c) Bestem sannsynligheten for at mer enn halvparten av de 50 første bilistene som parkerer på parkeringsplassen en dag, betaler med kort. 6 av 8

13 MAT1013-1T Del 2 Høst Oppgave 5 (4 poeng) Petter har satt opp tabellen nedenfor. Han tror han har funnet et mønster n n Jeg tror summen av to etterfølgende hele tall pluss kvadratet av det minste av tallene er lik kvadratet av det største av tallene a) Velg to etterfølgende hele tall, og vis ved et eksempel at Petters antakelse er riktig for tallene du har valgt. b) Formuler Petters antakelse for to etterfølgende hele tall n og (n + 1) og vis at den er riktig. Oppgave 6 (6 poeng) C 8.0 x x A 5.0 Figur 4 B Gitt ABC ovenfor. AB = 5.0 og AC + BC = 8.0. a) Bestem lengden av BC ved regning. I DEF er D = 30, DE = 5.0 og DF + EF = 8.0 b) Bestem lengden EF ved regning c) Bestem E ved regning. 7 av 8

14 MAT1013-1T Del 2 Høst Oppgave 7 (6 poeng) En kasse har en kvadratisk grunnflate (bunn) med side x dm. Høyden i kassen er h dm. Kassen har ikke lokk. Høyden av kassen og omkretsen av grunnflaten er til sammen 30 dm. h x x Figur 5 a) Forklar hvorfor 0 < x < 7.5 b) Vis at overflaten av kassen kan uttrykkes ved funksjonen O gitt ved O(x) = 15x x c) Bestem x slik at kassen får størst mulig overflate. Hvor stor er overflaten da? 8 av 8